Формализация прогнозирования в матричной форме была предложена несколькими учеными, но наибольшую известность получила работа П.Лесли (Leslie P.H.), которую он опубликовал в 1945 г.1 в журнале Biometrika.
Лесли предложил при прогнозировании использовать матрицу (позднее была названа его именем), умножая на которую вектор численности населения в разных возрастах (возрастная структура населения) базового года, получаем вектор численности населения в следующем году.
В матричной записи это выглядит так:
\(P_{n + 1} = MP_{n}\),
где \(P_{n}\) – возрастная структура населения в году n;
\(P_{n + 1}\) – искомая возрастная структура населения в году n + 1.
Матрицу \(M\) Лесли определил как состоящую из нулей, за исключением первой строки, где располагаются возрастные коэффициенты рождаемости, и диагонали, расположенной сразу под главной диагональю (главная также состоит из нулей, кроме начального значения f0 в левом верхнем углу, где значение может быть ненулевым, если возрастные интервалы в матрице имеют шаг, скажем, в 15 лет и более). Ненулевая диагональ состоит из коэффициентов передвижки \(_{n}^{}S_{x + n}^{}\), рассмотренных выше.
Матрица \(M\) имеет квадратную форму, т.е. число столбцов равно числу строчек.
Матрица имеет следующий вид:
M = \(\begin{bmatrix} f_{0} & f_{1} & f_{2} & \cdots & f_{k} \\ s_{0} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & s_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & s_{k - 1} & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Подставив приведенную выше матрицу M в формулу \(P_{n + 1} = MP_{n}\) мы получаем численность населения в прогнозном году2.
Таким образом, передвижка возрастов с помощью матрицы Лесли дает точные результаты при соблюдении условий замкнутости населения (в матрице нет миграции) и неизменности повозрастной рождаемости и повозрастных вероятностей дожития.
Как только мы вводим изменение рождаемости, смертности и миграции (добавляем компоненты), мы вступаем в область гипотез и существенно теряем в точности прогнозов, приобретая взамен их устойчивость и большую близость к реальным процессам в странах и регионах.
Именно поэтому большинство прогнозов численности и структуры населения, которые выполняются официальными органами или исследовательскими центрами, имеют, как правило, две общие характеристики. Во-первых, эти прогнозы многовариантны, чтобы дать несколько гипотез об изменении трех основных компонентов балансового уравнения (административный прирост или убыль, в абсолютном большинстве случаев, никто даже не пытается предсказывать). Во-вторых, гипотезы прогнозов регулярно (не реже одного раза в два-три года, а иногда и чаще) пересматриваются, результаты пересчитываются и публикуются снова.