Демографические таблицы – один из основных методов анализа демографических процессов. Они бывают общими – для повторяющихся демографических событий, и специальными – для неповторяющихся, а также простыми – для одного демографического процесса, и комбинированными – для нескольких процессов одновременно.
Таблица смертности – простая специальная таблица – числовая модель смертности, представляющая собой систему взаимосвязанных, упорядоченных по возрасту рядов чисел, отражающих процесс вымирания некоторого условного или реального поколения с фиксированной начальной численностью. Идея таблицы смертности впервые появилась в середине XVII века в работе Дж.Граунта, современный вид таблицы смертности был рекомендован в конце XIX века Лондонским институтом актуариев.
Для построения таблиц смертности реального поколения необходимо собрать информацию за почти 100-летний период – период жизни одного поколения, она будет отражать закономерности вымирания определенной когорты, но с опозданием. Таблицы смертности для календарного года – это оценки смертности условного поколения. Они оперативно отражают изменения уровня смертности во времени и влияние на смертность особенностей текущего года.
В основу построения таблицы смертности положен принцип стационарного населения: «закрытое население», в котором отсутствует миграция; число рождений равно числу смертей, неизменная возрастная структура; любая совокупность новорожденных имеет тот же порядок вымирания (возрастные коэффициенты смертности), что и все остальные.
Как и любая демографическая таблица, таблица смертности имеет шкалу. Шкала приведена в первой колонке таблицы и отражает точное число полных лет, прошедших с момента рождения. Начальный возраст в таблице – 0 лет (момент рождения), конечный – w лет (возраст, к которому вымирает вся совокупность родившихся). Первая колонка таблицы – точный возраст х. Это единственная независимая переменная, которая может измеряться в днях, месяцах (при изучении младенческой смертности), но, как правило, измеряется в годах. В зависимости от длины возрастного интервала n выделяют полные (n=1) и краткие (n=5 или n=10) таблицы смертности. В таблице 7.1 приведен пример краткой таблицы смертности.
Таблица 7.1. Пример краткой таблицы смертности
| Точный возраст | число доживших до точного возраста х | число умирающих в интервале возраста от х до х+n | вероятность умереть в интервале возраста от x до х+n | вероятность выжить к возрасту х+n для всех тех, кто дожил до возраста х | среднее число человеко-лет, прожитое в интервале возраста от х до х+n теми, кто дожил до начала данного интервала | число человеко-лет жизни в возрасте х лет и старше | ожидаемая продолжительность жизни в точном возрасте х лет |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| х | lх | ndх | nqх | npх | nLх | Tх | Eх |
| 0 | 100000 | 525 | 0,00525 | 0,99475 | 99561 | 6550537 | 65,51 |
| 1 | 99475 | 133 | 0,001337 | 0,998663 | 397588 | 6450976 | 64,85 |
| 5 | 99342 | 93 | 0,000936 | 0,999064 | 496477 | 6053388 | 60,93 |
| 10 | 99249 | 143 | 0,001441 | 0,998559 | 495938 | 5556911 | 55,99 |
| 15 | 99106 | 397 | 0,004006 | 0,995994 | 494703 | 5060973 | 51,07 |
| 20 | 98709 | 722 | 0,007314 | 0,992686 | 491874 | 4566270 | 46,26 |
| 25 | 97987 | 1041 | 0,010624 | 0,989376 | 487542 | 4074396 | 41,58 |
| 30 | 96946 | 1796 | 0,018526 | 0,981474 | 480682 | 3586854 | 37,00 |
| 35 | 95150 | 2871 | 0,030173 | 0,969827 | 469182 | 3106172 | 32,65 |
| 40 | 92279 | 4105 | 0,044485 | 0,955515 | 451638 | 2636990 | 28,58 |
| 45 | 88174 | 5025 | 0,05699 | 0,94301 | 428702 | 2185352 | 24,78 |
| 50 | 83149 | 6185 | 0,074385 | 0,925615 | 401078 | 1756650 | 21,13 |
| 55 | 76964 | 8263 | 0,107362 | 0,892638 | 365235 | 1355572 | 17,61 |
| 60 | 68701 | 10947 | 0,159343 | 0,840657 | 317506 | 990337 | 14,42 |
| 65 | 57754 | 13293 | 0,230166 | 0,769834 | 256357 | 672831 | 11,65 |
| 70 | 44461 | 13955 | 0,313871 | 0,686129 | 187652 | 416474 | 9,37 |
| 75 | 30506 | 12072 | 0,395725 | 0,604275 | 122149 | 228822 | 7,50 |
| 80 | 18434 | 9809 | 0,532115 | 0,467885 | 66172 | 106673 | 5,79 |
| 85 | 8625 | 5506 | 0,638377 | 0,361623 | 27703 | 40501 | 4,70 |
| 90 | 3119 | 2207 | 0,707599 | 0,292401 | 9201 | 12798 | 4,10 |
| 95 | 912 | 493 | 0,54057 | 0,45943 | 2977 | 3597 | 3,94 |
| 100 | 419 | 419 | 1 | 0 | 620 | 620 | 1,48 |
Таблица смертности для календарного года строится на основе возрастных коэффициентов смертности \(m(x) = \frac{M(x)}{\overline{P}(x) \bullet T}\), которые рассчитывают как отношение умерших по возрастам за год M(x) к среднегодовому населению \({\overline{P}(x)}\). Т – это период (как правило, один год). Эти коэффициенты смертности преобразуют в вероятности умереть, и после выбора корня таблицы l0 разворачивается вся таблица смертности – это так называемый демографический метод построения таблицы смертности. Численность населения, для которого строится таблица смертности, должна быть достаточно большой, чтобы исключить случайные колебания возрастных коэффициентов.
Первые формулы перехода от возрастных коэффициентов смертности к вероятностям умереть были предложены практически одновременно в середине XIX века У.Фаром и А.Кетле:
\({_{n}^{}q}_{x} = \frac{2 \cdot {_{n}^{}m}_{x}}{2 + {_{n}^{}m}_{x}}\) для однолетних возрастных интервалов
\({_{n}^{}q}_{x} = \frac{2n \cdot {_{n}^{}m}_{x}}{2 + n \cdot {_{n}^{}m}_{x}}\) для n-летних возрастных интервалов, где
\({_{n}^{}q}_{x}\) – возрастные вероятности умереть, \({_{n}^{}m}_{x}\) – возрастные коэффициенты смертности в расчете на 1 человека, n - длина интервала, x - начало возрастного интервала.
Эти формулы перехода от возрастных коэффициентов смертности к вероятностям умереть основаны на гипотезе линейного изменения числа смертей в возрастных интервалах.
Формулы для ситуаций, когда гипотеза линейного изменения числа смертей работает плохо
В 1968 году американский демограф Чанг (Chiang) модифицировал эту формулу, введя в нее параметр \(a_{x}\), который показывает, какую долю возрастного интервала прожили умершие в этом интервале:
\(q(x) = \frac{n \bullet m(x)}{1 + (n - a(x)) \bullet m(x)}\) , где
q(x) – возрастные вероятности умереть, n – длина возрастного интервала, m(x) возрастные коэффициенты смертности, a(x) – доля возрастного интервала, прожитого умершими.
Если \(a_{x}\)=0,5, получим формулу Кетле-Фарра.
Для оценки параметра \(a_{x}\) в возрастном интервале 1-4 года используется эмпирическая формула, предложенная Коулом и Демени (Coale, Demeny, 1983). В таблице С1 приведены результаты оценок на основе этой формулы. Для остальных возрастов можно использовать гипотезу линейности функции дожития.
Таблица С1. Оценки параметра \(a_{x}\ \)в возрастном интервале 1-4 года
Мужчины Женщины Значения 1a0 Если 1m0 ≥ 0,107 0,330 0,350 Если 1m0 < 0,107 0,045+2,6841m0 0,053+2,8001m0 Значения 4a1 Если 1m0 ≥ 0,107 0,338 0,340 Если 1m0 < 0,107 0,413-0,7041m0 0,381-0,3801m0 Источник: Preston, Heuveline, Guillot Demography, p. 48. adapted from Coale and Demeny (1983), West modal life tables https://www.gwern.net/docs/statistics/2001-preston-demography.pdf
Часть показателей таблицы смертности рассчитывается для точных возрастов (lx, Ex), остальные – для возрастных интервалов.
lx – число доживших до точного возраста х из начальной численности когорты. Начальная численность когорты (поколения) или корень таблицы l0 обычно принимается равной 100000 человек (но может встречаться 1000, 10000 и даже 1). Корень таблицы задает масштаб расчетов. Ряд чисел доживающих называют функцией дожития. График функции дожития (см. Рис. 1) по мере снижения смертности стремится принять прямоугольную форму, это явление получило название квадратизации функции дожития.
ndx - числа умирающих в интервале возраста от х до (х+n). Сумма значений ndx равна числу родившихся l0.
nqx - вероятность умереть в интервале возраста от x до х+n; nqx=ndx/lx для всех тех, кто дожил до возраста х. Вероятность наступления смерти в возрастном интервале представляет собой усредненный риск смерти, относящийся ко всем членам когорты, дожившим до начала данного интервала.
Чтобы оценить вероятность смерти на первом году жизни, Росстат оценивает так называемый фактор сепарации f на основе числа смертей до 1 года в текущем и предыдущем годах:
\(f = \frac{M^{t - 1}}{M^{t - 1} + M^{t}}\),
где \(M^{t - 1}\)- число младенцев, умерших в данном году, но родившихся в предыдущем году, \(M^{t}\)- число младенцев, умерших в данном году и родившихся в данном году.
Вероятность смерти на первом году жизни рассчитывается на основании фактора сепарации, числа родившихся в текущем и предыдущем году и суммарного числа умерших детей до года в текущем году:
\(q_{0} = \frac{M_{0} \bullet (1 - f)}{N_{t}} + \frac{M_{0} \bullet f}{N_{t - 1}}\),
где \(N_{t}\ \)и \(N_{t - 1}\ \)- числа родившихся в текущем и предыдущем годах, \(M_{0}\)- число детей, умерших в текущем году в возрасте до 1 года, f - фактор сепарации.
В последнем возрастном интервале вероятность умереть приравнивается к 1.
npx – вероятность выжить к возрасту х+n для всех тех, кто дожил до возраста х; nqx+npx = 1.
nLx – среднее число человеко-лет, прожитое в интервале возраста от х до х+n теми, кто дожил до начала данного интервала (lx). Приближенно, при использовании гипотезы равномерного распределения смертей в возрастном интервале, этот показатель рассчитывается как полусумма чисел доживающих до начала и конца возрастного интервала, умноженная на длину возрастного интервала n. Эта гипотеза будет слишком грубой для детских и старших возрастов, где число смертей как правило смещено к началу возрастного интервала.
Согласно методике Росстата, в возрастном интервале от 0 до 1 года число человеко-лет рассчитывается по формуле:
\(L_{0} = f \bullet l_{0} + (1 - f) \bullet l_{1}\)
Если в последней возрастной группе значение коэффициента смертности оказывается ниже коэффициента смертности в предыдущей возрастной группе, то значение Lω рассчитывается по формуле:
\(L_{w} = \frac{l_{w}}{2}\).
Тх – число человеко-лет жизни в возрасте х лет и старше, Tx=Lx+Lx+n+…+Lw.
Еx – ожидаемая продолжительность жизни в точном возрасте х лет, ее можно оценить на основе одной из формул. Формула (2) подразумевает линейное распределение смертей в возрастных интервалах.
\(Е_{х} = \frac{Т_{х}}{l_{x}} = \frac{\sum_{x}^{w}{_{n}^{}L}_{x}}{l_{x}}\) (1) или \(Е_{х} = \frac{Т_{х}}{l_{x}} = \frac{\sum_{x}^{w}{{_{n}^{}d}_{x}(x + \frac{n}{2})}}{l_{x}}\) (2)
На рис. 1 приведены графики основных функций таблицы смертности.
Рис. 1. Графики функций таблицы смертности (слева направо и сверху вниз): числа доживающих, числа умерших, вероятность умереть, ожидаемая продолжительность жизни
Для оценки уровня смертности чаще всего пользуются важнейшей интегральной характеристикой смертности населения – ожидаемой продолжительностью жизни при рождении Е0. Этот показатель отражает число лет, которое в среднем предстоит прожить новорожденному при условии, что на протяжении всей жизни этого поколения возрастные уровни смертности останутся такими же, как в году, для которого рассчитан данный показатель. Е0 зависит только от распределения возрастных коэффициентов смертности и не может интерпретироваться как средний возраст смерти населения в данном году, который, в свою очередь, зависит еще и от возрастной структуры населения.
Например, в 2021 году ожидаемая продолжительность жизни при рождении у мужчин в России составила 65,51 года. Это означает, что новорожденные 2021 года в среднем проживут 60,51 года, но только при условии, что таблица смертности 2021 года на протяжении их жизни останется неизменной.
Когда число умирающих на первом году жизни достаточно велико, может проявиться так называемый парадокс младенческой смертности, при котором Е1›Е0. В настоящее время в большинстве экономически развитых стран этот парадокс отсутствует из-за низкого уровня младенческой смертности.
Кроме основных показателей, на основе таблицы смертности можно определить:
- отсроченную (интервальную) продолжительность жизни в интервале возраста. Например, отсроченная продолжительность жизни мужчин в трудоспособных возрастах будет рассчитываться по формуле: \(\frac{T_{15} - T_{65}}{l_{15}}\), если за границы трудоспособного возраста принять 15 и 65 лет. На основе этого показателя можно оценить потери ожидаемой продолжительности жизни (в годах) для возрастного контингента на основе текущих характеристик смертности.
- медианную продолжительность жизни – возраст, к которому в живых остается ровно половина исходной численности поколения \(0,5 \bullet l(0)\).
- модальную продолжительность предстоящей жизни – возраст, в котором умирает большая часть поколения.