Нам уже известен фактически наблюдаемый обычный коэффициент естественного прироста населения k, который показывает на сколько ежегодно прирастает население. Напоминаем, что он вычисляется как разность общих коэффициентов рождаемости и смертности. Если он меньше 0, то население сокращается.
Истинный коэффициент естественного прироста населения r показывает на сколько ежегодно прирастает модельное население. Он определяется в рамках модели стабильного населения (подробнее о стабильном населении см. следующий параграф), является средством анализа демографической ситуации путем проекции ее на будущую динамику населения.
Как правило, истинный коэффициент естественного прироста не равен фактически наблюдаемому обычному коэффициенту естественного прироста. Он свободен от влияния возрастной структуры (тогда как обычный коэффициент естественного прироста находится под двойным влиянием структуры – влияние на общий коэффициент рождаемости и общий коэффициент смертности). Только если длительное время сохранятся неизменными возрастные интенсивности рождаемости и смертности, то r и k совпадут.
На рис. 4, где сравниваются обычный коэффициент естественного прироста и
истинный коэффициент естественного прироста для России, хорошо видно, что в соответствующем модельном населении без учета возрастной структуры уже в середине 1960-х гг. прозвучал сигнал о сокращении населения, поскольку истинный коэффициент естественного прироста стал отрицательным. И только в начале 1990-х гг. это явление стало наблюдаемым.
Рисунок 4. Обычный коэффициент естественного прироста и истинный коэффициент естественного прироста, Россия, 1960-2000 гг.
Источник: Денисенко М.Б. Воспроизводство населения //Введение в демографию. Учебник. Под ред. В.А.Ионцева, А.А.Саградова. М., 2003.
Интегральное уравнение воспроизводства населения и оценка истинного коэффициента воспроизводства
Модель стабильного населения, а соответственно и интегральное уравнение воспроизводства населения, ввел в своих работах 1910-1930-х гг. Альфред Лотка.
Интегральное уравнение стабильного населения устанавливает связь между параметрами режима воспроизводства населения, то есть между численностью населения, его возрастной структурой и возрастными характеристиками рождаемости и смертности. Для женского населения формула интегрального уравнения стабильного населения выглядит так:
\(N(t) = \delta\int_{0}^{\infty}{l(x)f(x)N(t - x)\text{dx}}\),
где \(N(t)\) – плотность распределения родившихся, \(\delta\) – доля рожденных девочек, \(l(x)\) – функция дожития, то есть вероятность дожить до точного возраста x лет, \(f(x)\) – функция рождаемости.
В данном варианте интегрального уравнения мы принимаем, что доля девочек не зависит от времени, функции рождаемости и дожития не зависят от момента рождения. Более сложные случаи интегрального уравнения воспроизводства населения см. в Андреев Е.М. Интегральное уравнение // Народонаселение. Энциклопедия. М., Большая российская энциклопедия. 1994.
Каждому набору возрастных коэффициентов рождаемости и смертности закрытого однополового населения соответствует только один коэффициент естественного прироста, и, следовательно, только одно стабильное население (А.Лотка). Соответственно, зная функции дожития и рождаемости, мы можем вычислить истинный коэффициент естественного прироста через уравнение:
\(\int_{0}^{\infty}{e^{- rx}l(x)f(x)\text{dx}} = 1\)
(все обозначение здесь уже знакомы читателю, уравнение выводится из интегрального уравнения стабильного населения).