2.9. Монопсония и равновесие на рынке труда

Один продавец – много покупателей

Представим себе создание в начале XX века крупной электростанции, которая должна обеспечивать Москву электричеством. Это большое строительство, которое длится более 10 лет и требует развитой инфраструктуры. За это время вокруг образуются поселения, которые позже объединяются в город. Электростанция – основной работодатель для местных жителей. Такой населенный пункт, появившийся рядом с градообразующим предприятием, называется моногородом, а ситуация, сложившаяся на рынке труда – монопсонией. Предпосылки рыночной структуры – монопсонии:

• большое количество продавцов;
• один покупатель.

Чаще всего под эти предпосылки подходит именно рынок труда, рассмотрим его с точки зрения модели. Спрос на этом рынке предъявляют фирмы. Они «покупают» рабочее время за почасовую заработную плату. На стороне предложения на этом рынке выступают домохозяйства, которые предлагают своё время.

Как и в ситуации монополии, в монопсонии единственный покупатель обладает рыночной властью. Фирма, которая является единственным покупателем труда на рынке, будет максимизировать свою прибыль с учетом предложения труда. Если труд – единственный фактор производства для этой фирмы, задача выглядит так:

\(П = p*Q(L) - w*L \rightarrow max\)

При известном этой фирме предложении труда :\(L^{s} = l(w)\)

Фирма выбирает, сколько закупить труда, при известной цене собственной продукции. Найдем величину L, максимизирующую прибыль фирмы, подставив вместо w обратную функцию предложения труда:

\(П_{L}^{'} = p*Q(L)_{L}^{'} - w_{L}^{'}*L - w = 0\)

\(p*Q(L)_{L}^{'} = w_{L}^{'}*L + w\)

\(p*MP_{L} = w\left( w_{L}^{'}*\frac{L}{w} + 1 \right)\)

\(\text{MR}P_{L} = w(\frac{1}{E_{w}^{L}} + 1)\)

Так выглядит необходимое условие максимума прибыли, по которому можно определить оптимальный объем труда, который захочет купить фирма при заданной функции предложения труда.

*Конечно, для каждой конкретной производственной функции и функции предложения труда стоит проверить выполнение достаточного условия максимума прибыли, а именно: \(П_{L}^{''} < 0\).

Бывает ли монопсония на рынке труда в настоящее время?

Как мы знаем, монопольная сила фирм на рынках товаров является объектом внимания специальных государственных органов, таких как Федеральная антимонопольная служба в России. Монопсония на рынке труда в течение долгого времени являлась неисследованной проблемой, так как ситуация с единственным крупным работодателем, как в приведенном в начале главы примере градообразующего предприятия-электростанции, довольно редкая для современного мира с большими городами, в которых много разных фирм, соперничающих друг с другом за работников. Поэтому до сих пор во многих моделях и исследованиях предполагается, что рынок труда по определению конкурентен.

Однако в 2010 году, казалось бы, совершенно неожиданно, Министерство юстиции США подало в суд на крупные технологические фирмы Силиконовой долины, такие как Apple, Google, Adobe, Intel и др., за участие в соглашениях не нанимать друг у друга инженеров-программистов. Очевидно, что подобные соглашения прямо вредят работникам, причем таким, которые являются высококвалифицированными и высокооплачиваемыми. IT-гиганты придумали такое соглашение, ограничивающее конкуренцию на рынке труда, чтобы иметь возможность не повышать зарплаты своим специалистам. На рынке труда низкоквалифицированных работников похожая ситуация также недавно «вскрылась». В 2016 году выяснилось, что глобальные сети быстрого питания, такие как McDonald’s, Burger King, тоже договорились, что не будут переманивать друг у друга работников.

Правда ли, что на рынке труда высокая концентрация? Напомним, что в случае рынка труда это значит, что существует небольшое число работодателей, у которых довольно большое число рабочих мест. В 2018 году ученые ([Azar, Marinescu et al., 2018]) провели исследование по США. Авторы используют набор данных, охватывающий почти весь спектр онлайн-объявлений о вакансиях в США, что позволяет построить исчерпывающую картину концентрации рынка труда в Америке. Результаты обескураживают: уровень концентрации на всем рынке труда, измеренный с помощью индекса Херфиндаля-Хиршмана¹, эквивалентен ситуации, когда на рынке существует всего лишь 2,5 нанимающих фирмы с одинаковым числом рабочих мест у каждой²! При этом если рассматривать рынки труда раздельно по специальностям (около 200 различных), то окажется, что более 54% всех рынков труда являются рынками с высокой концентрацией (эквивалентно ситуации, когда на рынке существует примерно 4 нанимающих фирмы). Что интересно, наиболее «концентрированная» профессия – менеджеры по маркетингу, а наименее – дипломированные медсестры, при этом в топ-5 наиболее «концентрированных» профессий входят только профессии высокой квалификации.

Может ли при этом быть так, что высокая концентрация на рынке труда – это не плохо (в отличие от монополии на «обыкновенных» рынках)? Нет, последствия абсолютно аналогичны. В своей статье [Benmelech, Bergman, Kim, 2022] исследуют влияние концентрации на локальных рынках труда на зарплаты работников (это и есть цена на данном рынке). Они выяснили, что на местных рынках США с 1977 по 2009 годы концентрация росла (кстати, абсолютное значение индекса Херфиндаля-Хиршмана сопоставимо с результатами предыдущей статьи), при этом существует отрицательное влияние концентрации на заработные платы, и оно тем сильнее, чем слабее профсоюзы на данном рынке. Что может быть еще более важно среди полученных авторами результатов, так это тот факт, что зарплата является фактором продуктивности работника (иначе говоря, стимулом, мотивацией) только на тех рынках, где низкая концентрация. Ну и наконец последний важный вывод данной статьи заключается в том, что чем рынок более открытый (например, к конкуренции со стороны Китая), тем более низкая на нем концентрация. Аналогичные результаты получили [Marinescu, Ouss, Pape, 2021] для Франции: рост концентрации на рынке труда на 10% приводит к снижению зарплат нанимаемых работников на 1%, причем в данной статье авторы показывают именно причинно-следственную связь с помощью аккуратных эконометрических методов.

Что же тем не менее может позволить работникам повысить свой уровень оплаты труда? Вам будет полезно понимать, что уровень образования и его качество являются для компаний ориентиром для определения более производительных и способных кандидатов: люди с высшим образованием зарабатывают в среднем больше, чем люди без него, и это различие в заработной плате сохраняется в течение всей жизни [Dale, Krueger, 2002, 2011], а выпускники университетов с высоким рейтингом имеют более высокие темпы роста заработка в начале своей карьеры [Hoekstra, 2009; Bordon, Braga, 2020]. Повсеместное внедрение искусственного интеллекта и возможность автоматизации многих сложных рутинных задач привела к тому, что стали очень важны социальные навыки работников, такие как работа в команде, коммуникабельность, навыки ведения переговоров [Deming, 2017; Autor, 2014; Lu 2015]. Российскому рынку труда в этом ключе посвящена работа [Волгин, Гимпельсон, 2022]: в своей статье они использовали данные с сайта HeadHunter - опубликованные вакансии за 2019 и 2020 годы в различных регионах России, авторы анализируют влияние различных групп навыков на предлагаемую работодателями заработную плату.

Эффект дополнительного агента - профсоюза

Деятельность фирмы иногда может ограничиваться профсоюзом - объединением рабочих, представляющих и защищающих их интересы. На практике профсоюзы создаются для того, чтобы защищать права сотрудников во многих аспектах трудовых отношений: соблюдение работодателем трудового законодательства, улучшение условий труда, помощь сотрудникам в случае тяжелых жизненных обстоятельств. Но в моделях цели профсоюза, как правило, ограничиваются повышением уровня заработной платы при поддержании уровня занятости на уровне, близком к начальному.

#Пример задачи с профсоюзом

Пусть на рынке труда действует единственная фирма, производственная функция которой описывается так: \(Q = K^{\frac{1}{2}}*L^{\frac{1}{2}}\), где K – запас капитала, L – количество сотрудников фирмы. Запас капитала зафиксирован на уровне 16 единиц. Цена на конечную продукцию фирмы установилась на уровне P, заработная плата на рынке до вмешательства профсоюза составляла \(w^{*}\). На рынке появляется сильный профсоюз, который может установить минимальный уровень заработной платы. Функция полезности профсоюза: \(U = L*(w - w^{*})\), где w – текущий уровень заработной платы после его вмешательства в рыночное равновесие. Во сколько раз изменятся равновесный уровень занятости и равновесная заработная плата в результате деятельности профсоюза?

Это последовательное взаимодействие агентов, значит, будем решать задачу с конца. Профсоюз ходит первым, учитывая будущую реакцию фирмы. Задача фирмы:

\(П = \text{PQ} - \text{wL} - \text{rK} = P*2L^{\frac{1}{2}} - \text{wL} - 16r \rightarrow \max_{L}{}\)

Ранее монопсонист устанавливил заработную плату на уровне \(w^{*}\). Если в равновесие вмешается профсоюз и он обладает большей властью (ходит первым), он установит более высокую минимальную ставку заработной платы. В противном случае полезность профсоюза не будет положительной. По аналогии с монополией, если для монопсониста установят «пол цены» выше, чем его оптимальное значение, он будет продавать по цене, равной минимальному допустимому уровню. Тогда монопсонист должен воспринимать w как величину, заданную профсоюзом. В таком случае он максимизирует свою прибыль только по L. Если рассматривать функцию прибыли относительно \(L^{\frac{1}{2}}\), то это парабола с ветвями вниз. Максимум достигается в вершине параболы:

\(L^{\frac{1}{2}} = \frac{- 2P}{- w}\)

Спрос фирмы на труд в таком случае:

\(L_{D} = \left( \frac{2P}{w} \right)^{2}\)

Профсоюз будет максимизировать свою полезность с учетом будущей реакции фирмы:

\(U = L*\left( w - w^{*} \right) = \left( \frac{2P}{w} \right)^{2}\left( w - w^{*} \right) = \frac{4P^{2}}{w} - \frac{4P^{2}w^{*}}{w^{2}} \rightarrow \max_{w}{}\)

Это парабола ветвями вниз относительно \(\frac{1}{w}\). Максимум в вершине:

\(\frac{1}{w} = - \frac{4P^{2}}{2*\left( - 4P^{2}w^{*} \right)} = \frac{1}{2w^{*}}\)

\(w = 2w^{*}\)

Значит, в результате действий профсоюза заработная плата увеличится в 2 раза.

\(L_{0} = \left( \frac{2P}{w^{*}} \right)^{2}\)

\(L_{1} = \left( \frac{2P}{2w^{*}} \right)^{2} = \frac{1}{4}L_{0}\)

Занятость при этом снизится в 4 раза.

Сочетания рыночных структур на примере рынка труда

Мы обсудили ситуацию, когда фирма является монопсонистом на рынке труда и совершенным конкурентом на рынке конечной продукции. Рассмотрим несколько других распространенных сочетаний:

	Рынок труда
Рынок конечной продукции фирмы		Совершенная конкуренция	Монопсония
	Совершенная конкуренция	1	2
	Монополия	3	4

Равновесие на рынке в случаях 1, 3, 4

Случай 1

В первом случае фирма является совершенным конкурентном на рынке товара – это означает, что она принимает цену товара как заданную. Так как она рынок труда тоже совершенно конкурентный, то для нее заработная плата является заданной величиной, на которую фирма повлиять не может.

Итого, можно записать задачу максимизации прибыли:

\(Pr = TR - TC = p*Q(L) - wL \rightarrow max(L)\)

При этом зависимость\(\text{Q}(L)\) – это производственная функция фирмы. \(p\);\(\ \)-параметры, на которые фирма не может повлиять в силу сложившихся рыночных структур.

Решая задачу, мы получаем функцию спроса фирмы на труд, которую также часто называют оптимальным правилом, описывающим равенство предельного денежного продукта заработной плате.

\(p*Q^{'}(L) - w = 0\)

\(MRPL = p*MPL = w\)

Фирма будет заинтересована нанимать, пока W MR * MPL, то фирма не наймет еще одного сотрудника, так как заплатит ему больше, чем он произведет.

Случай 3

В данном случае у фирмы появляется власть на рынке товара. Это означает, что, будучи монополистом, фирма может определять не только оптимальное количество производимого товара, но и назначать цену за свой товар. Однако в условиях монополии для фирмы возникает естественное ограничение на установление цены – рыночный спрос на товар фирмы.

Тогда задача фирмы выглядит теперь так:

\(Pr = TR - TC = \mathbf{p(Q)}*Q(L) - wL \rightarrow max(L)\)

Дифференцируем по L:

\(p'(Q)*Q'(L)*Q(L) + p*Q'(L) - w = 0\)

\(MR*MPL*Q + p*MPL - w = 0\)

\(p*MPL\left( 1 + \frac{MR*Q}{p} \right) - w = 0\)

\(p*MPL\left( 1 + \frac{1}{E_{p}^{Q}} \right) = w\)

Так как эластичность спроса по цене отрицательная, то спрос монополии на труд меньше, чем при совершенной конкуренции.

На первый взгляд, данное утверждение кажется парадоксальным, поскольку монополист получает более высокие прибыли, чем конкурентная фирма. В этом смысле общий вклад фактора для монополиста "ценнее", чем для конкурентной фирмы.

Этот парадокс разрешим, если обратить внимание на разницу между стоимостью общего продукта и стоимостью предельного продукта. Общее используемое количество фактора действительно имеет для монополиста бОльшую ценность, чем для конкурентной фирмы, так как монополист получает от данного фактора больше прибыли. Однако при данном объеме выпуска увеличение использования фактора приведет к увеличению выпуска и снижению цены, которую может назначить монополист. Увеличение же выпуска конкурентной фирмы не изменит цены, которую она может запрашивать. Следовательно, с точки зрения предельных величин, малое увеличение использования фактора представляет для монополиста меньшую ценность, чем для конкурентной фирмы.

Поскольку (в предельных величинах) приросты используемого количества фактора в краткосрочном периоде для монополиста менее ценны, чем для конкурентной фирмы, разумно было бы ожидать, что монополист, как правило, предпочтет использовать меньшее количество фактора, чем конкурентная фирма. Действительно, обычно дело так и обстоит: монополист увеличивает свою прибыль, сокращая выпуск, и поэтому использует обычно меньшие количества факторов производства, чем конкурентная фирма.

На рисунке ниже приведена графическая иллюстрация. Кривая (1) – это случай, который был при совершенной конкуренции (рассмотрен выше). Кривая (2) – это случай при монополии.

\((1):MRPL = p*MPL = w\)

\((2):MRPL = MR*MPL = w\)

Рисунок 10.1.

Случай 4

В данном случае фирма – монополист на рынке товара и монопсонист на рынке труда. Оптимальное поведение фирмы получаем, комбинируя два уже рассмотренных случая:

\(Pr = TR - TC = \mathbf{p(Q)}*Q(L) - \mathbf{w}\left( \mathbf{L} \right)*L \rightarrow \max(L)\)

\(p*MPL\left( 1 + \frac{1}{E_{p}^{Q}} \right) = w\left( 1 + \frac{1}{E_{w}^{L}} \right)\)

Во всех описанных случаях мы принимали предложение труда как известную функцию. Теперь обсудим, как она формируется. Домохозяйства принимают решение о том, сколько часов в день они готовы работать при каждом уровне заработной платы. В предпочтения членов домохозяйства обычно входят потребление и время досуга. Возникает вопрос, как распределить своё время между досугом и работой, которая позволит совершать покупки.

#Математическое решение задачи домохозяйства

Рассмотрим задачу, которую решает каждый человек, столкнувшийся с необходимостью работать. Он хочет максимизировать свою полезность (U), которая положительно зависит от его совокупного потребления (С) и времени отдыха (Le). Для того, чтобы потреблять, нужны деньги, которые наш герой может заработать. Решение состоит в том, как распределить своё время между работой и отдыхом, чтобы получить наибольшую полезность?

Пусть функция полезности описывается выражением: \(U = C*L_{e}\) Человек принимает решение о том, сколько из 24 часов дня посвятить работе, а сколько – отдыху, если его почасовая заработная плата составит w рублей. I – величина дохода, не зависящего от часов работы. К примеру, проценты по накопленному капиталу. Сколько часов он посвятит работе, а сколько – отдыху, в зависимости от ставки заработной платы, чтобы получать максимальную полезность?

\(\left\{ \begin{matrix} C*L_{e} \rightarrow max\ \\ C = wL + I \\ L_{e} + L = 24 \\ \end{matrix} \right.\ \)

\(Составим\ условие\ на\ C\ и\ L_{e}:\)

\(C + wL_{e} = 24w + I\)

Это условие напоминает бюджетное ограничение из задачи про полезность (глава 1). Если рассматривать его этой точки зрения, то весь бюджет – это 24w+I (количество денег, которое мог бы заработать индивид, если бы работал всё время), цена потребления равна 1. Это верно, так как мы предполагаем тут потребление – композитным благом, то есть совокупностью всех трат нашего индивида. Стоимость отдыха составляет w в час. Именно столько недополучит индивид, если будет отдыхать вместо работы.

По аналогии с потреблением, оптимум будет достигнут при равенстве отношений предельной полезности благ к их ценам.

\(\frac{MU_{\text{Le}}}{P_{\text{Le}}} = \frac{MU_{C}}{P_{C}}\)

\(\frac{C}{w} = \frac{L_{e}}{1}\)

\(C = wL_{e}\)

Из бюджетного ограничения получаем оптимальное время отдыха: \(2wL_{e} = 24w + I\)

\(L_{e} = 12 + \frac{I}{2w}\)

Тогда оптимальное время работы в зависимости от заработной платы:

\(L = 12 - \frac{I}{2w}\)

Это и есть индивидуальное предложение труда. При такой функции полезности предложение труда возрастает по заработной плате при всех значениях цен. Иллюстрация:

При увеличении заработной платы возникает два разнонаправленных эффекта:

• растет доход за каждый час работы: это значит, что каждый час на работе приносит вам больший доход, а значит, можно меньше работать и больше отдыхать, сохраняя потребление на прежнем уровне.
• растет альтернативная стоимость отдыха: в бюджетном ограничении заработная плата выступает в качестве цены часа отдыха. С ростом зарплаты отдых дорожает, поэтому человек может сделать выбор в пользу большего количества часов работы, это позволит увеличить потребление ещё сильнее.

Как мы обсудили, при небольшом количестве часов работы с ростом заработной платы индивидуальное предложение труда будет возрастать, так как дополнительный час отдыха становится дороже. Но чем больше часов человек работает, тем более редким благом для него становится отдых. Таким образом, начиная с некоторого высокого уровня заработной платы и соответствующего ему большого объема труда, при дальнейшем повышении заработной платы человек будет выбирать дополнительный отдых вместо рабочих часов. Тогда первый эффект становится более существенным, доход будет достаточным для потребления и при меньшем количестве рабочих часов. Тогда индивидуальное предложение труда будет иметь вид загибающейся линии.

При переходе к рыночной функции предложения мы будем складывать индивидуальные кривые сотрудников, резервная заработная плата у них будет разная. Убывающие участки индивидуальных предложений одних людей накладываются на возрастающие участки других. Поэтому считается, что рыночное предложение будет всегда возрастать по цене в результате этого наложения индивидуальных графиков. Кроме того, фирме не выгодно работать на убывающем участке кривой предложения, поэтому, даже если такой участок рыночного предложения труда существует, равновесия на нем быть не может.

Ещё один важный агент на рынке труда – государство. Поскольку это социально значимый рынок, практика его регулирования довольно распространена. Именно для рынка труда часто фиксируется пол цены – минимальный размер оплаты труда (МРОТ). В России МРОТ ежегодно устанавливается федеральным законом на уровне 42% от медианной заработной платы прошлого года. Если представить совершенную конкуренцию на рынке труда, установление МРОТ дает те же результаты, что и пол цен в прошлых главах. Если МРОТ оказался выше, чем равновесная заработная плата на рынке, то возникнет излишек. (Рис. ..) То есть часть людей, которые были готовы работать при этой зарплате, не смогут найти работу. Отсюда может возникнуть дополнительная безработица. (Подробнее о безработице можно прочитать в главе 3.3 Безработица, её последствия)

Но рынок труда для разных сфер деятельности и разных регионов значительно отличается. Естественно, равновесие на рынке труда IT-специалистов и рынке труда поваров будет различаться и по объему рынка, и по равновесной заработной плате. Когда мы говорим о том, что МРОТ может повлиять на рыночное равновесие, это, как правило, относится к рынкам труда работников с низкой квалификацией.

Хотя до этого мы предполагали, что все единицы труда стоят одинаково и приносят продукт в соответствии с производственной функцией, разница в эффективности между сотрудниками может быть очень большой. В результате чего она возникает? Сотрудник может быть более производительным как за счет личных качеств: собранности, внимательности, уму или выносливости; так и за счет уровня образования и наличия специальных профессиональных навыков. Работодатель в момент найма не наблюдает личные качества работников, для него будущая эффективность сотрудника оказывается скрытой информацией. Ситуация, когда один участник сделки не может определить качество торгуемого товара или услуги (в данном случае качество труда) называется асимметрией информации. Подробнее про асимметрию информации можно прочитать тут.

Асимметрия информации на рынке порождает неэффективные равновесия. Работодатель не может определить, покупает ли он труд добросовестного и эффективного сотрудника или труд человека, который будет отлынивать от работы и плохо справляться со своими обязанностями. В таком случае работодатель будет занижать заработную плату, чтобы покрыть убытки от плохих сотрудников. Быть хорошим сотрудником становится невыгодно, ведь существуют издержки качественной работы: на это приходится траться больше времени и сил. В результате, на рынке происходит отрицательный отбор, при заниженной заработной плате все сотрудники рано или поздно начнут отлынивать от работы. Для того, чтобы избежать такого равновесия, существует целая система сигналов на рынке труда. Сигналом в данном случае называется информация, которую работник может продемонстрировать, чтобы подтвердить качество своей будущей работы. Таким сигналом является хорошее образование. Человек, закончивший престижный университет демонстрирует, что он способен много трудиться, раз смог получить диплом. Также сигналом будет резюме с описанным прошлым опытом работы, который подтвердит наличие у соискателя навыка работать и специальных знаний из определенной сферы занятости.

Модель скрининга на рынке труда. Что делать, если одни сотрудники работают эффективнее других?

Представим, что на рынке труда есть два типа сотрудников, производительность которых различается. Обозначим более производительных сотрудников Р, а менее производительных – U. Производительный сотрудник за час рабочего времени может произвести \(\theta_{P}\) единиц продукции, а непроизводительный \(\theta_{U}\). Фирма не может определить, кто из сотрудников будет производительным. Но она может предложить сотрудникам на выбор разные контракты. Покажем, что можно составить контракты так, чтобы сотрудники сами выбрали тот, который подходит их уровню производительности. Контакт – это такой набор (w,L), который определяет месячную заработную плату (w) и количество часов работы в месяц (L).

Сотрудники максимизируют свою полезность, которая положительно зависит от заработной платы и отрицательно от количества работы, которую предстоит выполнить: \(U = w - \frac{1}{\theta}L^{2}\). Чем более производителен сотрудник, тем легче ему работать, и тем меньшие издержки на выполнение своих обязанностей он понесет.

Фирма будет максимизировать прибыль. Пусть в её штате производительных и непроизводительных сотрудников половина. Тогда оценка её прибыли будет такой:

\(П = P\left( \frac{1}{2}\theta_{P}L_{P} + \frac{1}{2}\theta_{U}L_{U} \right) - \frac{1}{2}w_{P} - \frac{1}{2}w_{U}\)

Введем условия, которые помогут разделить сотрудников на продуктивных и непродуктивных.

Чтобы высокопроизводительный сотрудник выбирал свой контакт (\(L_{P},w_{P}\)), и не выбирал контакт для низкопроизводительного сотрудника (\(L_{U},w_{U}\)), его полезность от собственного контракта должна быть не меньше:

\(w_{P} - \frac{1}{\theta_{P}}L_{P}^{2} \geq w_{U} - \frac{1}{\theta_{P}}L_{U}^{2}  (1)\)

Чтобы он согласился работать, его полезность от его контракта должна быть неотрицательной:

\(w_{P} - \frac{1}{\theta_{P}}L_{P}^{2} \geq 0  (2)\)

Аналогично для непроизводительного сотрудника. Ему должно быть выгодно выбирать контракт, предназначенный для его группы:

\(w_{U} - \frac{1}{\theta_{U}}L_{U}^{2} \geq w_{P} - \frac{1}{\theta_{U}}L_{P}^{2}  (3)\)

\(w_{U} - \frac{1}{\theta_{U}}L_{U}^{2} \geq 0  (4)\)

Можно заметить, что неравенство (2) выполняется автоматически при соблюдении (1) и (4) с учетом того, что \(\theta_{P} > \theta_{U}\).

\(w_{P} - \frac{1}{\theta_{P}}L_{P}^{2} \geq w_{U} - \frac{1}{\theta_{P}}L_{U}^{2} \geq w_{U} - \frac{1}{\theta_{U}}L_{U}^{2} \geq 0\ \ \ \ \)

Таким образом, остается система из условий (1), (3), (4).

\(\left\{ \begin{matrix} П = P\left( \frac{1}{2}\theta_{P}L_{P} + \frac{1}{2}\theta_{U}L_{U} \right) - \frac{1}{2}w_{P} - \frac{1}{2}w_{U} \rightarrow \max_{L_{p},\ W_{p},\ L_{U},\ W_{U}} \\ w_{P} - \frac{1}{\theta_{P}}L_{P}^{2} \geq w_{U} - \frac{1}{\theta_{P}}L_{U}^{2}  (1) \\ w_{U} - \frac{1}{\theta_{U}}L_{U}^{2} \geq w_{P} - \frac{1}{\theta_{U}}L_{P}^{2}\text{ }(3) \\ w_{U} - \frac{1}{\theta_{U}}L_{U}^{2} \geq 0 (4) \\ \end{matrix} \right.\ \)

Заметим, что при фиксированных контрактах (\(L_{P},w_{P}\)) и (\(L_{U},w_{U}\)) прибыль фирмы отрицательно зависит от \(w_{P}\). Фирме выгодно при всех прочих фиксированных переменных понижать \(w_{P}\) до тех пор, пока (1) не станет равенством. При этом снижение \(w_{P}\) никак не влияет на условие (4) и не нарушает условие (3). С учетом этого:

\(\left\{ \begin{matrix} П = P\left( \frac{1}{2}\theta_{P}L_{P} + \frac{1}{2}\theta_{U}L_{U} \right) - \frac{1}{2}w_{P} - \frac{1}{2}w_{U} \rightarrow \max_{L_{p},\ W_{p},\ L_{U},\ W_{U}} \\ w_{P} - \frac{1}{\theta_{P}}L_{P}^{2} = w_{U} - \frac{1}{\theta_{P}}L_{U}^{2}\ \ \ \ \ (1) \\ w_{U} - \frac{1}{\theta_{U}}L_{U}^{2} \geq w_{P} - \frac{1}{\theta_{U}}L_{P}^{2}\text{ }(3) \\ w_{U} - \frac{1}{\theta_{U}}L_{U}^{2} \geq 0\ \ \ \ (4) \\ \end{matrix} \right.\ \)

Фирме также выгодно снижать \(w_{U}\) для увеличения прибыли. Чтобы не нарушались условия (1) и (3), будем понижать \(w_{U}\) и \(w_{P}\) на одну и ту же величину. Это можно делать до момента, пока (4) не обратится в равенство. Тогда:

\(\left\{ \begin{matrix} П = P\left( \frac{1}{2}\theta_{P}L_{P} + \frac{1}{2}\theta_{U}L_{U} \right) - \frac{1}{2}w_{P} - \frac{1}{2}w_{U} \rightarrow \max_{L_{p},\ W_{p},\ L_{U},\ W_{U}} \\ w_{P} - \frac{1}{\theta_{P}}L_{P}^{2} = w_{U} - \frac{1}{\theta_{P}}L_{U}^{2}\ \ \ \ \ (1) \\ w_{U} - \frac{1}{\theta_{U}}L_{U}^{2} \geq w_{P} - \frac{1}{\theta_{U}}L_{P}^{2}\text{ }(3) \\ w_{U} - \frac{1}{\theta_{U}}L_{U}^{2} = 0\ \ \ \ (4) \\ \end{matrix} \right.\ \)

Условие (3) можно упростить вычитанием условия (1):

\(w_{U} - \frac{1}{\theta_{U}}L_{U}^{2} - \left( w_{U} - \frac{1}{\theta_{P}}L_{U}^{2}\ \right) \geq w_{P} - \frac{1}{\theta_{U}}L_{P}^{2} - \left( w_{P} - \frac{1}{\theta_{P}}L_{P}^{2} \right)\)

\(L_{U}^{2}\left( \frac{1}{\theta_{P}} - \frac{1}{\theta_{U}} \right) \geq L_{P}^{2}\left( \frac{1}{\theta_{P}} - \frac{1}{\theta_{U}} \right)\)

\(L_{U}^{2} \leq L_{P}^{2}\)

С учетом неотрицательности часов работы:

\(L_{U} \leq L_{P}\)

Это условие означает, что продуктивным сотрудникам должны предложить больше рабочих часов. Такое условие, вероятно, выполнится, с учетом того, что для фирмы они приносят больше продукции, а издержки работы для них самих ниже. Но мы проверим выполнение этого условия в оптимуме.

Теперь можно переходить непосредственно к максимизации прибыли:

\(\left\{ \begin{matrix} П = P\left( \frac{1}{2}\theta_{P}L_{P} + \frac{1}{2}\theta_{U}L_{U} \right) - \frac{1}{2}w_{P} - \frac{1}{2}w_{U} \rightarrow \max_{L_{p},\ W_{p},\ L_{U},\ W_{U}} \\ w_{P} = \frac{1}{\theta_{P}}L_{P}^{2} + w_{U} - \frac{1}{\theta_{P}}L_{U}^{2}\ \ \ \ \ (1) \\ L_{U} \leq L_{P}\text{     }(3) \\ w_{U} = \frac{1}{\theta_{U}}L_{U}^{2}\ \ \ \ (4) \\ \end{matrix} \right.\ \)

Подставляя условия (1) и (4) в функцию прибыли, получаем:

\(П = P\left( \frac{1}{2}\theta_{P}L_{P} + \frac{1}{2}\theta_{U}L_{U} \right) - \frac{1}{2}\left( \frac{1}{\theta_{P}}L_{P}^{2} + \frac{1}{\theta_{U}}L_{U}^{2} - \frac{1}{\theta_{P}}L_{U}^{2} \right) - \frac{1}{2}\frac{1}{\theta_{U}}L_{U}^{2} = \frac{1}{2}\left( P\theta_{P}L_{P} - \frac{1}{\theta_{P}}L_{P}^{2} \right) + \frac{1}{2}\left( \text{Pθ}_{U}L_{U} - \left( \frac{2}{\theta_{U}} - \frac{1}{\theta_{P}} \right)L_{U}^{2} \right) \rightarrow \max_{L_{p},\ L_{U}}{}\)

Теперь прибыль состоит из двух независимых парабол ветвями вниз относительно \(L_{P}\) и \(L_{U}\). Максимум в вершине парабол:

\(L_{P} = \frac{P\theta_{P}}{2\frac{1}{\theta_{P}}} = \frac{1}{2}P\theta_{P}^{2}\)

\(L_{U} = \frac{P\theta_{U}}{2\left( \frac{2}{\theta_{U}} - \frac{1}{\theta_{P}} \right)} = \frac{1}{2}\frac{P\theta_{U}^{2}\theta_{P}}{2\theta_{P} - \theta_{U}}\)

Осталось проверить, что в этой точке выполнено условие (3):

\(L_{U} \leq L_{P}\)

\(\frac{1}{2}\frac{P\theta_{U}^{2}\theta_{P}}{2\theta_{P} - \theta_{U}} \leq \frac{1}{2}P\theta_{P}^{2}\)

\(\frac{\theta_{U}^{2}}{2\theta_{P} - \theta_{U}} \leq \theta_{P}\)

\(\theta_{U}^{2} \leq 2\theta_{P}^{2} - \theta_{P}\theta_{U}\)

При начальном условии \(\theta_{P} > \theta_{U}\) это неравенство выполняется всегда.

Из этой модели мы можем сделать несколько выводов:

• низкопроизводительные работники получают такие контракты, что их полезность равно 0;
• высокопроизводительные работники получают такие контракты, что им безразлично, выбрать контракт для своей группы или для группы низкопроизводительных;
• контракты для более производительных сотрудников предлагают большее количество рабочих часов.

Такие модели, в которых одна из сторон обладает меньшей информацией о контрагенте и составляет контракты так, чтобы выяснить его тип, называются моделями скрининга. Такие модели применяются не только для рынка труда, но и в моделях дискриминации на монополистических рынках.

Модель склонности к дискриминации. Что, если работодатель предпочитает одни группы работников другим?

Из главы по монополии мы знаем, что агент, обладающий монопольной властью, может применять дискриминацию к своим контрагентам. Как и в монополии, монопсонист тоже может устанавливать разные заработные платы для групп работников, отличающихся своими функциями предложения труда. Эта модель решается по аналогии с моделью монополии. Но на рынках труда встречается другой тип дискриминации, основанный на предпочтении работодателем определенной группы сотрудников. При этом предпочитаемая группа может не отличаться по продуктивности. Модель, описывающая такую ситуацию, введена Гэри Беккером в книге «Экономика дискриминации». Рассмотрим её на примере задачи.

В городе Солнечном на рынке труда существует две фирмы и два вида работников. Первая группа работников отличается тем, что ходит на работу в шортах, а вторая надевает только костюмы. Владелец первой фирмы склонен к дискриминации группы сотрудников, которые носят шорты. Его раздражает неформальная одежда в офисе, поэтому полезность владельца такой фирм описывается функцией \(U_{1} = П_{1} - hw_{1}*L_{1}\), где \(L_{1}\) – количество сотрудников в шортах в их офисе. h – это склонность к дискриминации. Примем её равной 1. Владелец второй фирмы толерантен к любой одежде, поэтому его функция полезности совпадает с его прибылью. Конечная продукция фирм продается на рынке совершенной конкуренции по цене P=50. Фирма несет расходы только на оплату труда. На рынке труда фирмы ведут себя как совершенные конкуренты, но в силу наличия дискриминации на рынке, равновесные заработные платы для групп работников в шортах и костюмах могут отличаться.

Предложение групп соответственно \(Ls_{1} = w_{1}^{2}\) у сотрудников в шортах, \(Ls_{2} = w_{2}^{2}\) для любителей костюмов.

1. Определим заработные платы обеих групп сотрудников в равновесии, если производственная функция обеих фирм имеет вид \(Q = \sqrt{L}\), а производительность сотрудников не зависит от их формы одежды.

Рассмотрим фирму, которая дискриминирует сотрудников:

\(U_{1} = П_{1} - hw_{1}*L_{1} = P\sqrt{L_{1} + L_{2}} - w_{1}L_{1} - w_{2}L_{2} - hw_{1}*L_{1} \rightarrow \max_{L_{1},\ L_{2}}{}\)

\({U_{1}}_{L_{1}}^{'} = \frac{P}{2\sqrt{L_{1} + L_{2}}} - w_{1} - hw_{1} = 0\ \)

\({U_{1}}_{L_{2}}^{'} = \frac{P}{2\sqrt{L_{1} + L_{2}}} - w_{2} = 0\)

Из необходимых условий максимума получаем противоречие:

\(\left\{ \begin{matrix} \frac{P}{2\sqrt{L_{1} + L_{2}}} = w_{1}(1 + h) \\ \frac{P}{2\sqrt{L_{1} + L_{2}}} = w_{2} \\ \end{matrix} \right.\ \)

Левые части этих уравнений всегда одинаковы, на правые будут равны только если заработные платы групп сложатся на уровне: \(w_{1}(1 + h) = w_{2}\). Это не обязательно будет так.

Проанализируем получившуюся систему:

\(\left\{ \begin{matrix} \text{MR}P_{L} = w_{1}(1 + h) \\ \text{MR}P_{L} = w_{2} \\ \end{matrix} \right.\ \)

Эти условия предполагают, что предельная производительность труда должна быть предельным издержкам на труд. Если равенство \(w_{1}(1 + h) = w_{2}\) не будет выполняться, это значит, что одна группа более выгодна для фирмы, чем другая. В таком случае, предприниматель будет нанимать только одну из групп. Какую группу он будет нанимать, зависит от соотношения заработных плат в равновесии. Мы можем построить линию реакции предпринимателя на разные соотношения сложившихся заработных плат. Равновесные заработные платы можно будет определить, когда мы сопоставим реакции всех участников рынка: фирм обеих типов и работников.

Спрос первой фирмы на работников разных типов с учетом h=1:

\(L_{1}^{D} = \left\{ \begin{matrix} 0,\ \ w_{2} < 2w_{1} \\ \left\lbrack 0;\frac{P^{2}}{16w_{1}^{2}} \right\rbrack,w_{2} = 2w_{1}\ \\ \frac{P^{2}}{16w_{1}^{2}},w_{2} > 2w_{1}\ \\ \end{matrix} \right.\ \)

На среднем участке фирме безразлично, какое количество сотрудников из каждой группы нанять.

\(L_{2}^{D} = \left\{ \begin{matrix} \frac{P^{2}}{4w_{2}^{2}},\ \ w_{2} < 2w_{1} \\ \frac{P^{2}}{4w_{2}^{2}} - L_{1},w_{2} = 2w_{1}\ \\ 0,\ \ w_{2} > 2w_{1}\ \\ \end{matrix} \right.\ \)

Рассмотрим фирму, у которой нет склонности к дискриминации:

\(U_{2} = П_{2} = P\sqrt{L_{1} + L_{2}} - w_{1}L_{1} - w_{2}L_{2} \rightarrow \max_{L_{1},\ L_{2}}{}\)

\({U_{2}}_{L_{1}}^{'} = \frac{P}{2\sqrt{L_{1} + L_{2}}} - w_{1} = 0\ \)

\({U_{2}}_{L_{2}}^{'} = \frac{P}{2\sqrt{L_{1} + L_{2}}} - w_{2} = 0\)

Как и первая, вторая фирма выбирает более дешевую группу. По аналогии с первым случаем, спрос второй фирмы на каждую из групп сотрудников:

\(L_{1}^{\text{ND}} = \left\{ \begin{matrix} 0,\ \ w_{2} < w_{1} \\ \left\lbrack 0;\frac{P^{2}}{4w_{1}^{2}} \right\rbrack,w_{2} = w_{1}\ \\ \frac{P^{2}}{4w_{1}^{2}},w_{2} > w_{1}\ \\ \end{matrix} \right.\ \)

\(L_{2}^{\text{ND}} = \left\{ \begin{matrix} \frac{P^{2}}{4w_{2}^{2}},\ \ w_{2} < w_{1} \\ \frac{P^{2}}{4w_{2}^{2}} - L_{1},w_{2} = w_{1}\ \\ 0,\ \ w_{2} > w_{1}\ \\ \end{matrix} \right.\ \)

Сложим спросы фирм и выведем рыночный спрос:

\(L_{1} = \left\{ \begin{matrix} 0,\ \ w_{2} < w_{1} \\ \left\lbrack 0;\frac{P^{2}}{4w_{1}^{2}} \right\rbrack,w_{2} = w_{1} \\ \frac{P^{2}}{4w_{1}^{2}},\ \ {\frac{w_{2}}{2} < w}_{1} < w_{2} \\ \left\lbrack \frac{P^{2}}{4w_{1}^{2}};\ \frac{{5P}^{2}}{16w_{1}^{2}} \right\rbrack,\ \ {\frac{w_{2}}{2} = w}_{1}\text{ } \\ \frac{P^{2}}{4w_{1}^{2}} + \frac{P^{2}}{16w_{1}^{2}} = \frac{{5P}^{2}}{16w_{1}^{2}},{\frac{w_{2}}{2} > w}_{1}\ \\ \end{matrix} \right.\ \)

\(L_{2} = \left\{ \begin{matrix} 0,\ \ w_{2} > 2w_{1} \\ \left\lbrack 0;\frac{P^{2}}{4w_{2}^{2}} \right\rbrack,w_{2} = 2w_{1} \\ \frac{P^{2}}{4w_{2}^{2}},\ \ {w_{1} < w}_{2} < {2w}_{1} \\ \left\lbrack \frac{P^{2}}{4w_{1}^{2}};\ \frac{P^{2}}{2w_{1}^{2}} \right\rbrack,\ \ w_{2} = w_{1}\text{ } \\ \frac{P^{2}}{4w_{1}^{2}} + \frac{P^{2}}{4w_{1}^{2}} = \frac{P^{2}}{2w_{1}^{2}},{w_{2} < w}_{1}\ \\ \end{matrix} \right.\ \)

Представим решение графически:

Возможен только случай разделения рынков (как на графике выше). В противном случае на одном из рынков спрос будет 0, а на другом спрос обеих фирм. Тогда на рынке с нулевым спросом установится низкая заработная плата, хотя бы одной из фирм будет выгодно отклониться от такого равновесия и нанимать эту группу.

Тогда сотрудников в шортах нанимает вторая фирма:

\(L_{1} = \frac{P^{2}}{4w_{1}^{2}} = w_{1}^{2}\)

\(w_{1} = \sqrt[4]{\frac{P^{2}}{4}}\)

Сотрудников в костюмах нанимает первая фирма:

\(L_{2} = \frac{P^{2}}{4w_{2}^{2}} = w_{2}^{2}\)

\(w_{2} = \sqrt[4]{\frac{P^{2}}{4}}\)

Заработные платы двух групп установились на одинаковом уровне. При P=50, \(w_{1} = w_{2} = 5\). Это решение находится на границе интервала, но удовлетворяет условиям.\(\ L_{1} = L_{2} = 25\).

2. Теперь проверим, что будет, если фирм, склонных и не склонных к дискриминации станет не поровну. Рассмотрим случае, когда рынке появилась ещё одна фирма, владелец которой точно так же склонен к дискриминации, h=1. Чему будут равны новые равновесные заработные платы для сотрудников, которые любят шорты, и для любителей костюмов?

Новая фирма ведет себя в точности как фирма 1 в первом пункте. Задача оптимизации её прибыли и вывод спроса на труд будут аналогичными. Таким образом, меняется только рыночный спрос:

\(L_{1} = \left\{ \begin{matrix} 0,\ \ w_{2} < w_{1} \\ \left\lbrack 0;\frac{P^{2}}{4w_{1}^{2}} \right\rbrack,w_{2} = w_{1} \\ \frac{P^{2}}{4w_{1}^{2}},\ \ {\frac{w_{2}}{2} < w}_{1} < w_{2} \\ \left\lbrack \frac{P^{2}}{4w_{1}^{2}};\ \frac{{6P}^{2}}{16w_{1}^{2}} \right\rbrack,\ \ {\frac{w_{2}}{2} = w}_{1}\text{\ \ } \\ \frac{P^{2}}{4w_{1}^{2}} + 2\frac{P^{2}}{16w_{1}^{2}} = \frac{{6P}^{2}}{16w_{1}^{2}},{\frac{w_{2}}{2} > w}_{1}\ \\ \end{matrix} \right.\ \)

\(L_{2} = \left\{ \begin{matrix} 0,\ \ w_{2} > 2w_{1} \\ \left\lbrack 0;\frac{P^{2}}{4w_{2}^{2}} \right\rbrack,w_{2} = 2w_{1} \\ 2\frac{P^{2}}{4w_{2}^{2}},\ \ {w_{1} < w}_{2} < {2w}_{1} \\ \left\lbrack \frac{P^{2}}{4w_{1}^{2}};\ \frac{3P^{2}}{4w_{1}^{2}} \right\rbrack,\ \ w_{2} = w_{1}\text{\ \ } \\ \frac{P^{2}}{4w_{1}^{2}} + 2\frac{P^{2}}{4w_{1}^{2}} = \frac{3P^{2}}{4w_{1}^{2}},{w_{2} < w}_{1}\ \\ \end{matrix} \right.\ \)

Рассмотрим изменения на графиках:

Снова проверяем вариант с разделением рынков, так как крайние участки с нулевым спросом по-прежнему не являются равновесными:

Сотрудников в шортах нанимает форма 2:

\(L_{1} = \frac{P^{2}}{4w_{1}^{2}} = w_{1}^{2}\)

\(w_{1} = \sqrt[4]{\frac{P^{2}}{4}} = 5\)

Сотрудников в костюмах теперь нанимают две фирмы, 1 и 3:

\(L_{2} = \frac{2P^{2}}{4w_{2}^{2}} = w_{2}^{2}\)

\(w_{2} = \sqrt[4]{\frac{P^{2}}{2}} = 5\sqrt{2}\)

В новых условиях заработная плата на сотрудников в костюмах становится более высокой.

В этой модели дискриминируемая группа проиграла, так как для неё установилась более низкая заработная плата. Однако, интересный вывод модели состоит в том, что проиграли и сами фирмы, владельцы которых склонны к дискриминации. Если у всех трех фирм технологии производства и цены на конечную продукцию одинаковы, но первая и третья должны платить более высокие заработные платы сотрудникам в костюмах, то они будут получать меньшую прибыль. Таким образом, согласно более общей постановке модели, в долгосрочном периоде фирмы, применяющие дискриминацию, будут вытеснены с рынка.

Источники литературы:

1. https://econs.online/articles/ekonomika/rynochnaya-sila-rabotodatelya/
2. Волгин А.Д., Гимпельсон В.Е. Спрос на навыки: анализ на основе онлайн-данных о вакансиях. // Экономический журнал ВШЭ. - 2022. - No. 26(3). - C. 343–374
3. Azar José A., Marinescu Ioana, Steinbaum Marshall I. and Bledi Taska, Concentration in US Labor Markets: Evidence From Online Vacancy Data // Nat. Bureau of Econ. Res. Working Paper No. 24395 – 2019
4. Autor D.H. Polanyi’s paradox and the shape of employment growth // NBER Working Paper Series. - 2014
5. Benmelech Efraim, Bergman Nittai K., Kim Hyunseob, Strong Employers and Weak Employees // Journal of Human Resources. – 2022.
6. Bordon P., Braga B. Employer learning, statistical discrimination and university prestige // Economics of Education Review. - 2020. - No 77
7. Dale S.B., Krueger A.B. Estimating the Payoff to Attending a More Selective College: an Application of Selection on Observables and Unobservables // Quarterly Journal of Economics. - 2002. - Vol.117. - No 4. - P.1491–1528
8. Dale S.B., Krueger A.B. Estimating the Return to College Selectivity Over the Career Using Administrative Earning Data // ERN: Econometric Modeling in Microeconomics (Topic). - 2011
9. Deming D. The Growing Importance of Social Skills in the Labor Market // Quarterly Journal of Economics. - 2017. - Vol.132. - No 4. - P.1593–640
10. Hoekstra M. The Effect of Attending the Flagship State University on Earnings: A Discontinuity-Based Approach // The Review of Economics and Statistics. - 2009. - Vol.91. - P.717-724;
11. Marinescu Ioana, Ouss Ivan, Pape Louis-Daniel, Wages, hires, and labor market concentration // Journal of Economic Behavior & Organization, Elsevier, vol. 184(C), pages 506-605 – 2021.

Вам может быть интересно:

1. Suresh Naidu, Eric Posner & E. Glen Weyl, "Antitrust Remedies for Labor Market Power," 132 Harvard Law Review 537 (2018).

Глоссарий

монопсония, рынок труда, дискриминация на рынке труда, асимметрия информации на рынке труда, МРОТ, модель скрининга, модель склонности к дискриминации

---

1. Рыночная доля фирмы на данном рынке определяется как сумма вакансий, размещенных данной фирмой на данном рынке, деленная на общее количество вакансий, размещенных на этом рынке.↩︎

2. Можно привести другую математическую аналогию: на рынке существует одна фирма с 50% вакансий, другая с 35% вакансий и третья с 15%, что дает практически полностью совпадающее с реальностью значение индекса HHI.↩︎