Учебник+

6.3. Про доходность проектов и NPV

Вкладываясь в какой-то проект или приобретая финансовый актив, фирмы или домохозяйства почти всегда рассчитывают получить обратно больше денег, чем они вложили. Многочисленные причины этого можно разделить на две большие. Во-первых, любое вложение несёт в себе некоторый риск, а значит, должна быть компенсация для тех, кто принимает этот риск на себя. Во-вторых, деньги (и, в общем случае, любые блага), полученные раньше, ценнее таких же благ в будущем. Именно этому второму обстоятельству и посвящена эта глава.

Начнём с того, почему «рубль сегодня лучше рубля завтра». Первая значимая причина тут – неопределённость: если воспользоваться благом сейчас, полезность от него будет получена сразу же, если же благо будет предоставлено в будущем, то нельзя быть уверенным, что его ценность не изменится и вообще с экономическим агентом ничего не случится. Здесь иллюстрацией может служить классическая история про Хаджу Насреддина1, который смело пообещал падишаху за 20 лет научить ишака читать, будучи уверенным, что за двадцать лет или умрёт ишак, или падишах, а может, и сам Ходжа Насреддин, так что проверка выполнения обязательства не случится.

Другая причина – альтернативные издержки. Если получить деньги сейчас, можно будет как-то продуктивно ими воспользоваться и к будущему моменту превратить их в ещё большую сумму. Наконец, в большинстве экономик мира существует положительная инфляция, то есть цены в среднем растут. Значит, покупательная способность денег падает и на ту же сумму в будущем можно будет приобрести меньше благ. Подробнее об инфляции вы можете [прочитать в главе 3.4][/Introduction-to-Economics/chap03/3.4/].

Итак, деньги, потраченные или полученные в разные периоды времени, имеют разную ценность, даже если их номинальная величина одинакова. Однако при принятии решений экономическими агентами приходится суммировать и сравнивать денежные суммы, получаемые в разные периоды времени. Для того чтобы осуществить такое сравнение, используют процедуру под названием дисконтирование.

При дисконтировании будущие денежные потоки пересчитывают на современные деньги. Условно говоря, это позволяет показать, какова величина денег в будущем в «сегодняшних рублях». Ставкой дисконтирования – величиной, показывающей изменение ценности денег с каждым периодом, как правило, выступает величина инфляции или ставка процента. Выбор ставки дисконтирования, таким образом отражает разные механизмы снижения ценности денег: из-за уменьшения их покупательной способности (если выбирается инфляция) или из-за альтернативных издержек их использования (если выбирается ставка процента). Сама же основная формула при этом не меняется и в общем случае выводится так:

  1. Если мы предполагаем, что оцениваем разовое вложение в какой-то проект или финансовый актив, то, как правило, считается, что в нулевой период (сейчас) мы делаем вложение, а в следующие периоды получаем от него доход. Обозначим эту инвестицию буквой \(X\);
  2. Ценность дохода, полученного в следующем периоде и имеющего величину \(M_{1}\) в «рублях первого периода», в «сегодняшних рублях» будет равна сумме \(M_{1}\), поделённой на \(({1 + i})\), где \(i\) – ставка дисконтирования, то есть \(\frac{M_{1}}{({1 + i})}\);
  3. С каждым следующем периодом мы делим сумму, получаемую в этот период, на \(({1 + i})\) ещё раз, потому что проходит ещё один период. Таким образом, сумма, полученная в период \(N\) и имеющая стоимость \(M_{N}\) в «рублях N-го периода» в «сегодняшних рублях» будет иметь стоимость \(\frac{M_{N}}{{({1 + i})}^{N}}\);
  4. Назовём сумму всех будущих доходов от инвестиционного проекта длительностью K периодов, выраженную в «сегодняшних рублях» приведённой стоимостью вложения, а эту же сумму за вычетом первоначальной инвестиции – чистой приведённой стоимостью (по-английски – Net Present Value или NPV). Тогда её формула:

    \(N{\mathit{PV} = {{- X} + \frac{M_{1}}{({1 + i})} + \frac{M_{2}}{{({1 + i})}^{2}} + \ldots + \frac{M_{N}}{\left( {1 + i} \right)^{N}} + \ldots}}\frac{M_{K}}{{({1 + i})}^{K}}\)

Приводить стоимость инвестиционного проекта можно не только к «сегодняшним» рублям, но и к «завтрашним», «послезавтрашним», и т.д. Мы уже установили, что с каждым периодом ценность денег уменьшается в \(({1 + i})\) раз. Соответственно, \(X\) рублей сегодня эквивалентны \(X({1 + i})\) рублей завтра, \(X({{1 + i})}^{2}\), и т. д. А значит, чтобы перевести \(N\mathit{PV}\) в размерность «будущих рублей», достаточно домножить все слагаемые на \({({1 + i})}^{T}\), где Т – количество периодов в будущем, на которые мы «переводим» \(N\mathit{PV}\).

Отдельного внимания заслуживает случай бесконечного ряда дисконтируемых величин. Такая оценка может быть нужна в случае приобретения актива, приносящего доход постоянно, например, недвижимости. В этом случае приведённая стоимость всех будущих доходов актива будет иметь вид:

\(N{\mathit{PV} = {\frac{M_{1}}{({1 + i})} + \frac{M_{2}}{{({1 + i})}^{2}} + \ldots + \frac{M_{N}}{\left( {1 + i} \right)^{N}} + \ldots}}\)

Если доходы в каждый из будущих периодов одинаковы (что логично предположить для актива, приносящего постоянный стабильный доход), этот ряд слагаемых представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем \(\frac{1}{({1 + i})}\). [В главе 7.1][/Introduction-to-Economics/chap07/7.1/]. описаны свойства геометрической прогрессии, из которых следует, в том числе, что сумма бесконечной геометрической прогрессии: \({\sum } = \frac{b_{1}}{1 - q}\), где q – знаменатель геометрической прогрессии, а \(b_{1}\) – её первый член. Тогда в данном случае:

\(N{\mathit{PV} = \frac{\frac{M}{({1 + i})}}{1 - \frac{1}{({1 + i})}} = \frac{\frac{M}{({1 + i})}}{\frac{1 + i - 1}{({1 + i})}} = \frac{\frac{M}{({1 + i})}}{\frac{i}{({1 + i})}} = \frac{M}{i}}\)

Такой результат является достаточно логичным: общая сумма будущих доходов растёт вместе с ростом дохода, получаемого каждый период и убывает с ростом ставки дисконтирования, ведь доходы в бесконечно далёком будущем становятся менее ценными.

Подобный механизм анализа ценности активов может быть полезен как для оценки приобретения физических активов, приносящих регулярный доход, так и для финансовых активов, торгуемых на бирже (о которых вы можете [прочитать в главе 6.2][/Introduction-to-Economics/chap06/6.2/]). В таком контексте часто используют также понятие «внутренней нормы доходности» (по-английски – «internal rate of return» или IRR). Это такое значение i, что:

\(N{\mathit{PV} = {{- X} + \frac{M_{1}}{\left( {1 + i} \right)} + \frac{M_{2}}{\left( {1 + i} \right)^{2}} + \ldots + \frac{M_{N}}{\left( {1 + i} \right)^{N}} + \ldots}}{\frac{M_{K}}{\left( {1 + i} \right)^{K}} = 0}\)

IRR соответствует ставке процента, при которой вложение в актив, для которого мы оценили MVP, принесёт в точности такой же доход, что и вклад по этой ставке процента (подробнее о банковских вкладах [читайте в главе 6.1][/Introduction-to-Economics/chap06/6.1/]). То есть, «внутренняя норма доходности» представляет собой оценку выгодности актива в виде эквивалентной банковской ставки: чем выше эта норма, тем выгоднее актив. Значение IRR часто используется финансистами как простой обобщённый показатель доходности того или иного проекта или вложения.

Выводы

  • Одно из важных свойств денег – то, что ценность одной и той же номинальной суммы в будущем меньше, чем ценность этой же суммы в настоящем;

  • Для сравнения или суммирования денежных сумм, выплачивающихся в разные периоды, экономисты используют метод под названием дисконтирование: «уменьшают» сумму в будущем пропорционально количеству периодов, отделяющих её от настоящего момента, и таким образом приводят её к «современному» эквиваленту;

  • С помощью дисконтирования и рассчитываемых с его помощью показателей NPV (чистой приведённой стоимости) и IRR (внутренней нормы доходности) оценивают доходность вложений в инвестиционные проекты и финансовые активы.


  1. Популярный персонаж фольклора исламских народов↩︎