В этой главе мы рассмотрим набор правил, руководствуясь которыми рациональный предприниматель будет принимать решение о том, что, в каком количестве ему производить и стоит ли вообще выходить со своим бизнесом на рынок. Коротко это можно назвать решением задачи фирмы. Сразу уточним, что существуют разные способы организации бизнеса: это может быть один человек (индивидуальные предприниматель), группа лиц (товарищество) или большой коллектив, управляющийся советом директоров (как акционерное общество). Но в этой главе и в экономической теории в целом для обобщения разных форм предпринимательства используется слово «фирма». Фирмой мы будем называть субъект предпринимательства, который производит и продает товары или услуги. Решения об объемах выпуска или повышении цены на продукцию в жизни принимают предприниматели или руководители предприятия, но мы для простоты будем говорить «фирма выбирает выпустить 100 единиц продукции».
Для того, чтобы бизнес начал работать, необходимо определиться с несколькими важными вопросами:
- Как производить продукцию? Какая будет технология производства?
- Сколько стоит произвести продукцию? Какие будут расходы?
- Какой объем продукции нужно произвести?
- Какие ожидаются доходы от бизнеса?
Решить задачу фирмы значит ответить на эти ключевые вопросы про работу бизнеса.
Представим, что Вероника решила открыть небольшой цветочный магазин. Ей предстоит решить, будет ли она делать магазин, куда приходят гости и выбирают цветы для букета, сделает ли сайт для заказа готовых композиций или будет специализироваться на украшении интерьеров цветами для праздников. Этот выбор определит технологию производства для магазина. Чтобы определиться с выбором, рациональная Вероника хочет оценить, какой из вариантов выгоднее. Для этого ей предстоит рассчитать затраты, которые она понесет на реализацию каждого из вариантов. Следующий шаг – оценить ситуацию на рынке. Сколько в среднем стоит продажа свежих цветов, готовых композиций и украшение праздников. Оценив будущие выгоды и издержки, Вероника сможет решить, какой вариант производства принесет ей самую большую прибыль. В этой главе мы рассмотрим модели, с помощью которых можно ответить на вопросы о производстве и получим инструменты, которые позволяют оценить выгоды бизнеса.
Как создаются товары и услуги: процесс производства
Рассмотрим процесс создания товаров. Ресурсы, которые необходимы для производства товаров и услуг называются факторами производства. Принято выделять пять основных факторов:
-
Труд – включает в себя все часы работы, который ушли на создание продукта. Это могут быть усилия работников непосредственно на производство товара (например, работа автора главы книги, который пишет текст), а также работа менеджеров (которые напоминают авторам о сроках и договариваются с издательством), рекламщиков, и тд.
-
Капитал – все искусственно созданные предметы, которые участвуют в процессе производства: станки для производства деталей, персональные компьютеры для программистов, принтер в офисе. Но стоит обратить внимание, что деньги не входят в понятие капитала! Деньги в производстве выполняют функции средства обмена, но из них самих не может быть создан продукт.
-
Земля – это владения, на которых располагается производство, а также все природные ресурсы: вода, полезные ископаемые, флора.
-
Предпринимательские способности – фактор производства, под которым подразумевают способность человека организовать бизнес. Сюда включаются навыки управления, разработки стратегии для бизнеса, оценка рисков, способность принимать решения в сложных ситуациях. Этот фактор сложно оценивать, однако он является ключевым в работе фирмы.
Кто такие предприниматели?
Слово предприниматель знакомо каждому, но как определить границы этого понятия? Одно из наиболее известных определений дал Йозеф Шумпетер. Согласно ему, предпринимателем называется хозяйствующий субъект, функцией которого является осуществление новых комбинаций и которые являются активными субъектами предприятий. Таким образом, предприниматель обязательно внедряет новые идеи в бизнес и при этом не обязательно является его собственником. Как только производство становится рутинным, все процессы в нем повторяются, оно больше не является результатом предпринимательской деятельности. Но предприниматель – не изобретатель. Он не придумывает новые технологии, но находит и внедряет в производство новые, более прибыльные способы использования ресурсов.
-
Информация – любые полезные для производства сведения. К примеру, информация о технологии производства, о намерениях конкурентов, о ситуации на рынке и предпочтениях потребителей.
Для простоты в экономических моделях, как правило, используют только два фактора – труд (L) и капитал (K).
Следующий вопрос состоит в том, как именно затраченные факторы превращаются в готовую продукцию? Это зависит от технологии производства, а она описывается производственной функцией. Производственная функция – это зависимость объема произведенной продукции (Q – quantity или TP – total product) от количества затраченных на производство факторов (как правило, L и K).
\(TP = Q = f(L,K)\)
По такой производственной функции можно узнать, сколько продукции будет произведено, если предприниматель наймет L рабочих и K единиц капитала.
#Примеры производственной функции
\(Q=4L+3K\)
Это наиболее простой пример, каждая дополнительная единица труда тут приносит 4 единицы продукции, а каждая единица капитала – 3 единицы продукции. Этот пример удобен для решения задач, но не очень правдоподобен: даже если у нас совсем нет сотрудников (L=0), но есть единица капитала (K=1), то будет произведено 3 единицы товара. Сложно представить производство, на котором капитал может производить продукцию совсем без работников.
\(Q = \sqrt{\text{KL}}\)
Произведение K и L в степени – это наиболее популярный для задач и теории вид производственной функции. В этом примере если один из факторов равен 0, то продукция не будет произведена, что гораздо ближе к реальности. Наиболее общий вид такой функции – функция Кобба-Дугласа \(Q = AK^{\alpha}L^{\beta}\).
\(Q = min(K,L)\)
Чуть менее популярный вид – функция Леонтьева. Согласно такой функции произведенное количество будет равняться минимальной из двух величин - количества труда и капитала.
Если стоит вопрос о найме дополнительных сотрудников, зафиксируем объем капитала на текущем уровне и не будем его менять. Нас будет интересовать, как объем продукции меняется в зависимости от количества нанятого труда. Вспомогательные показатели для этого анализа – средний продукт труда (APL) и предельный продукт труда (MPL).
\(AP_{L} = \frac{Q}{L}\)
Средний продукт труда показывает, сколько единиц продукции в среднем производит каждый сотрудник при количестве используемого труда L.
\(MP_{L} = \frac{\mathrm{\Delta}Q}{\mathrm{\Delta}L} = \frac{Q_{2} - Q_{1}}{L_{2} - L_{1}}\)
Предельный продукт труда – это величина, на которую изменится объем произведенной продукции при увеличении используемого труда на единицу. Часто для простоты вычислений объемы продукции и труда рассматривают как бесконечно делимые величины. В таком случае предельный продукт труда можно рассматривать как изменение объема производства при росте объема используемого труда на бесконечно малую величину и рассчитывать по формуле производной:
\(MP_{L} = Q_{L}^{'}\)
Но в случае, если продукция может измеряться только целыми числами (как ноутбуки или машины – нельзя продать только половину или какую-то другую часть), формула принимает вид:
\(MP_{L} = \frac{\left( Q(L) - Q(L - 1) \right)}{L - (L - 1)} = Q(L) - Q(L - 1)\)
Рассмотрим пример расчета среднего и предельного продукта труда для небольшого производства в таблице:
| Количество сотрудников, L | Количество произведенной продукции, Q | Средний продукт труда, APL | Предельный продукт труда, MPL |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | - |
| 1 | 3 | 3 | 3 |
| 2 | 8 | 4 | 5 |
| 3 | 15 | 5 | 7 |
| 4 | 26 | 6,5 | 11 |
| 5 | 35 | 7 | 9 |
| 6 | 42 | 7 | 7 |
| 7 | 46 | 6,6 | 4 |
| 8 | 48 | 6 | 2 |
| 9 | 49 | 5,4 | 1 |
| 10 | 48 | 4,8 | -1 |
Построим этот же пример на графике:
При маленьких значениях L предельный продукт труда и средний продукт труда возрастают. Ведь при открытии производства первый нанятый сотрудник точно будет производить количество, большее, чем 0. При найме второго и третьего сотрудников производство, вероятно, будет становиться только эффективнее, ведь теперь они могут специализироваться. Но при дальнейшем увеличении штата каждый дополнительный сотрудник будет приносить всё меньше дополнительных произведенных единиц, а с некоторого момента дополнительные сотрудники могут даже уменьшать общее производство. Это явление называется законом убывающего предельного продукта. Однако, закон выполняется только при условии фиксированного количества всех остальных факторов производства.
Представим, что Вероника решила открыть небольшой цветочный магазин. Сначала она являлась единственным сотрудником этого магазина, сама составляла финансовый план, ездила на закупки цветов, общалась с клиентами и собирала букеты. Из-за разнообразия активностей она могла держать магазин открытым всего несколько часов в день и продавать за это время по 3 букета. Вероника наняла себе помощников: флориста, который собирал букеты, закупщика, чтобы ездить на цветочные базы, менеджера для общения с клиентами. Это значительно повысило производственные возможности магазина: теперь он может быть открыт весь день, а менеджер увеличивает поток клиентов, ведя социальные сети. Предельный продукт труда каждого из этих сотрудников оказался очень высоким. Далее Вероника хочет увеличить свой объем продаж ещё больше: она нанимает дополнительных менеджеров для рекламы и продвижения цветочного магазина, а также ещё нескольких флористов. Эти сотрудники также увеличивают объемы производства, но уже на меньшую величину. Каждый следующий нанятый флорист помогает собрать ещё больше букетов, но в силу ограниченности потока клиентов цветочного они оказываются менее эффективны, чем первый нанятый флорист. Если Вероника продолжит нанимать флористов и дальше при фиксированном объеме капитала (всего одном помещении цветочного магазина), то сотрудники начнут мешать друг другу, их предельный продукт труда начнет падать и станет отрицательным. Аналогично можно объяснить изменения среднего продукта труда.
Если мы рассмотрим производственную функцию фирмы, а не отдельные точки производства, то зависимость общего произведенного продукта (TP), среднего и предельного продуктов труда от количества работников будет выглядеть примерно как на графике:
Геометрические хитрости графиков TP, APL, MPL
Поговорим о том, как определить вид среднего и предельного продукта труда, если задан график производственной функции от L, как на рисунке выше.
Рассмотрим точку А. Интерпретируем формулу среднего продукта труда для этой точки геометрически через отрезки треугольника \(ОAL_{1}\):
\(AP_{L} = \frac{Q_{А}}{L_{А}} = \frac{AL_{1}}{OL_{1}} = tg(\alpha)\)
Средний продукт труда в любой точке графика можно расcчитать как тангенс угла наклона горизонтальной оси и линии, проведенной из нуля в точку.
Производную функции в точке можно рассматривать как тангенс угла наклона касательной к графику в этой точке. Тогда предельный продукт труда в точке А будет равен тангенсу угла β.
\(MP_{L} = \frac{\mathrm{\Delta}Q}{\mathrm{\Delta}L} = \frac{AL_{2}}{L_{1}L_{2}} = \text{tg}(\beta)\)
Тангенс угла наклона касательной в большинстве случаев производственной функции возрастает в начале (в нашем примере – до точки В), потом начинает уменьшаться и достигает нуля в точке максимума производственной функции (точка D).
Тангенс угла наклона прямой из начала координат также сначала возрастает, потом достигает своего максимума в точке, где эта прямая совпадает с касательной (точка С). После угол начинает убывать.
Поскольку в точке С угол наклона касательной совпадает с углом наклона прямой из начала координат, в этой точке APL=MPL.
Отметим ещё одну важную точку – график APL пересекает MPL в точке своего максимума (точка С). Это происходит не случайно, давайте выведем такой результат алгебраически. Найдем максимум APL, приравняв производную этой функции к 0.
\(AP_{L}^{'} = \left( \frac{Q}{L} \right)_{L}^{'} = \frac{Q_{L}^{'}*L - Q}{L^{2}} = \frac{MP_{L}*L - Q}{L^{2}} = 0\)
\(\frac{MP_{L}*L}{L^{2}} = \frac{Q}{L^{2}}\)
\(MP_{L} = \frac{Q}{L} = AP_{L}\)
Таким образом, в точке, где производная среднего продукта труда равна 0, значение функции равно предельному продукту труда в этой точке. При стандартном виде графиков (средний продукт труда – параболическая функция) в этой точке и будет максимум APL.
Те же рассуждения можно применить и к среднему и предельному продукту капитала. Формулы для их вычисления симметричны тем, которые мы применяли для расчета среднего и предельного продукта труда:
\(AP_{K} = \frac{Q}{K},\ MP_{K} = \frac{\mathrm{\Delta}Q}{\mathrm{\Delta}K}.\)
По производственной функции можно определить отдачу от масштаба производства. Отдача от масштаба говорит о том, насколько эффективно на этом производстве увеличивать количество ресурсов. Как сильно вырастет выпуск, если нанять дополнительных сотрудников и вложиться в капитал? Попробуем оценить на примере классической функции \(Q = K^{\frac{1}{2}}L^{\frac{2}{3}}\). Пусть количество ресурсов увеличилось в λ раз, во сколько раз в таком случае вырастет выпуск?
\(f(\lambda K,\ \lambda L) = aQ\)
В нашем примере \(f(\lambda K,\ \lambda L) = {(\lambda K)}^{\frac{1}{2}}{(\lambda L)}^{\frac{2}{3}} = \lambda^{\frac{7}{6}}K^{\frac{1}{2}}L^{\frac{2}{3}} = \lambda^{\frac{7}{6}}f(K,\ L)\)
\(\lambda^{\frac{7}{6}} > \lambda\)
Значит, для нашей функции увеличение количества факторов в \(\lambda\) раз привело к увеличению количества произведенной продукции больше, чем в \(\lambda\) раз. Такая ситуация называется возрастающей отдачей от масштаба. Таким образом, для общего вида \(f(\lambda K,\lambda L) = \text{aQ}\) условие выглядит так:
\(a > \lambda\) - производство с возрастающей отдачей от масштаба;
\(a = \lambda\) – производство с постоянной отдачей от масштаба;
\(a < \lambda\) – производство с уменьшающейся отдачей от масштаба.
Отдача от масштаба – полезная характеристика, но она дает общее представление о влиянии увеличения количества факторов производства. Перед предпринимателем же обычно стоит более конкретная задача: стоит ли нанять дополнительного сотрудника, если в штате уже есть 10? Для ответа на этот вопрос будет полезно узнать, как меняются средние и предельные объемы производства.
А для того, чтобы лучше понять возможности замещения капитала трудом для конкретной технологии есть показатель – предельная норма замещения факторов. Он рассчитывается по формуле:
\(\text{MRT}S_{L,K} = - \frac{\mathrm{\Delta}K}{\mathrm{\Delta}L}\)
Предельная норма замещения показывает, на сколько нужно изменить количество используемого в производстве капитала в ответ на изменение количества используемого труда, чтобы сохранить выпуск на начальном уровне. Можно немного преобразовать эту формулу:
\(\text{MRT}S_{L,K} = - \frac{\mathrm{\Delta}K}{\mathrm{\Delta}L} = - \frac{\frac{\text{dQ}}{\text{dL}}}{\frac{\text{dQ}}{\text{dK}}} = - \frac{MP_{L}}{MP_{K}}\)
#Исследования про производственные функции
Несмотря на многообразие производственных функций, с которыми вы сталкиваетесь при решении количественных экономических задач, экономисты при работе с данными практически всегда предполагают, что выпуск фирмы описывается технологией в форме Кобба-Дугласа: \(Q = A \bullet K^{\alpha} \bullet L^{\beta}\). В данном случае выпуск фирмы определяется затратами труда (L) и капитала (K), их вклад в производство интерпретируют следующим образом:
- эластичность (см. мат. приложение) выпуска по капиталу равна \(\alpha\),
- эластичность выпуска по труду равна \(\beta\).
За что в этом случае отвечает оставшийся параметр \(A\)? Экономисты называют его общей факторной производительностью (ОФП). Общая факторная производительность — это эффект от всех прочих ресурсов, включающий в себя особенности технологии и человеческих знаний (например, человеческий капитал). По многим оценкам, он обеспечивает большую часть экономического роста.
Как правило, оценка производственной функции среднестатистической фирмы на рынке какого-либо товара или в экономике в целом не является самостоятельной задачей. Например, исследователи [Белев, Ветеринаров, Сучкова, 2021] оценивали производственную функцию для российских фирм из разных отраслей за 2014-2018 гг. для того, чтобы определить эффект создания территорий опережающего развития1 на рост производительности. То есть оценить, как появление благоприятной для предпринимательства зоны влияет на ОФП в функции Кобба-Дугласа.
Одна из первых аккуратных оценок производственной функции была сделана в статье [Olley, Pakes, 1996]. Задача авторов – выяснить, как технологический прогресс в телекоммуникационном оборудовании (устройства, необходимые для работы компьютерной сети) изменил производительность (опять-таки ОФП) в этой отрасли за период с 1974 по 1987 года.
Казалось бы, в чем может быть трудность получения оценок коэффициентов, таких как \(\alpha\) или \(\beta\)? Дело в том, что обычно исследователи рассматривают только фирмы, которые на протяжении всего изучаемого периода работали в отрасли, чтобы для них понять изменения производительности со временем. Но при таком подходе мы не учитываем, что некоторые фирмы ушли с рынка, поскольку у них была низкая производительность и они не имели успеха. Другие фирмы, возможно, вышли на рынок, так как им уже удалось внедрить некоторую новую эффективную технологию. Когда [Olley, Pakes, 1996] смогли учесть вышеописанную трудность, то выяснилось, что эластичность по капиталу (\(\alpha\)) более чем удваивается по сравнению с прямой оценкой, а эластичность по труду (\(\beta\)) снижается примерно на 20%. Значит в отрасли появляются все более капиталоемкие фирмы, а уходят – трудоемкие.
Издержки фирмы
Когда мы выяснили, как выпуск продукции зависит от затрачиваемых ресурсов, можно оценить, сколько будет стоить такой производственный процесс. Для этого нужно определить издержки фирмы.
Издержки – это расходы фирмы на выпуск продукции, они зависят от отрасли и технологии производства. Бывают явные издержки: те деньги, которые платят сотрудникам фирмы за работу, расходы на сырье и на транспортировку. Расходы, которые фирма оплатила, и их можно зафиксировать в отчетности – называются бухгалтерские. Но кроме них, экономисты рассматривают неявные издержки, связанные с упущенными возможностями. Экономические издержки включают в себя бухгалтерские и альтернативные издержки. В случае производства альтернативные издержки могут быть связаны с другими возможными занятиями предпринимателя или альтернативными инвестициями.
Если для цветочного магазина используется арендованное помещение, оплата аренды – это явные издержки. Если это помещение находится в собственности владельца магазина, явных издержек на аренду он не несёт, но есть упущенная выгода: помещение можно сдавать в аренду самому. Недополученная аренда в данном случае и будет относиться к неявным издержкам и будет включена в экономические издержки.
Общие издержки фирмы (total costs, TC) – это все затраты на производство продукции, они состоят из суммы расходов на труд и капитал. Цена труда для фирмы – это заработная плата сотрудников (wage, w), а цена капитала – рента (rent, r).
\(TC = wL + rK\)
Этот вид функции не очень удобен для принятия решения о том, сколько товара производить. Поэтому для окончательного решения про выпуск обычно анализируют издержки в зависимости от объема произведенной продукции. Перейти к такому виду функции можно с помощью производственной функции фирмы \(Q = f(L,K)\). Получить зависимость издержек от объема производства можно, если решить задачу:
\(\left\{ \begin{matrix} TC = wL + rK \rightarrow \min_{L,\ K} \\ Q = f(L,K) \\ \end{matrix}\ \right.\ \)
#Математический пример вывода издержек
Рассмотрим для примера производственную функцию \(Q = \left\{ \begin{matrix} (L - 10)^{\frac{1}{3}}K^{\frac{2}{3}},K > 0,L > 0 \\ 0,K = 0,L = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \)
Нам нужно из общего вида издержек \(\text{TC} = \text{wL} + \text{rK}\) перейти к функции вида \(\text{TC} = f(Q)\).
Сделаем это в несколько шагов:
Шаг 1. Выражаем один из факторов производства через другой фактор и Q из производственной функции.
\(Q = \left\{ \begin{matrix} (L - 10)^{1/3}K^{2/3},\ K > 0,\ L > 0 \\ 0,\ \ K = 0,\ L = 0\ \\ \end{matrix} \right.\ \)
\(K = \left\{ \begin{matrix} \left( \frac{Q}{(L - 10)^{\frac{1}{3}}} \right)^{\frac{3}{2}},\ Q > 0 \\ 0,\ Q = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \)
\(K = \left\{ \begin{matrix} \frac{Q^{\frac{3}{2}}}{(L - 10)^{\frac{1}{2}}},\ Q > 0 \\ 0,\ Q = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \)
Шаг 2. Подставляем выраженный фактор в функцию издержек.
\(TC = wL + rK = \left\{ \begin{matrix} wL + r\frac{Q^{\frac{3}{2}}}{(L - 10)^{\frac{1}{2}}},\ Q > 0 \\ 0,\ Q = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \)
Шаг 3. Минимизируем полученную функцию по оставшемуся в ней фактору производства, считая Q фиксированным значением.
Этот шаг объясняется тем, что мы хотим рассчитать минимальные затраты на производство любого заданного объема Q. Для этого подбираем оптимальное с точки зрения расходов количество фактора для любого фиксированного объема производства.
\(TC = wL + r\frac{Q^{\frac{3}{2}}}{(L - 10)^{\frac{1}{2}}} \rightarrow \min_{L}{}\)
\(TC_{L}^{'} = w + rQ^{\frac{3}{2}}*\left( - \frac{1}{2} \right)(L - 10)^{- \frac{3}{2}} = 0\)
\((L - 10)^{- \frac{3}{2}} = \frac{2w}{rQ^{\frac{3}{2}}}\)
\(L - 10 = \left( \frac{rQ^{\frac{3}{2}}}{2w} \right)^{\frac{2}{3}}\)
\(L = \left( \frac{r}{2w} \right)^{\frac{2}{3}}*Q + 10\)
Проверим, что это точка максимума. При меньших значениях L первая производная \(w - \frac{rQ^{\frac{3}{2}}}{{2(L - 10)}^{\frac{3}{2}}}\) будет принимать отрицательные значения, так как знаменатель дроби \(\frac{rQ^{\frac{3}{2}}}{{2(L - 10)}^{\frac{3}{2}}}\) уменьшается, сама дробь возрастает, а она входит в функцию производной со знаком минус. При бо’льших значениях L всё произойдет в точности наоборот, производная станет положительной. Значит, до нашей точки функция убывала, а после неё – возрастает. Значит, найденная точка – локальный минимум функции. Те же рассуждения графически:
братим внимание, что минимальное количество L при любом неотрицательном объеме производства – 10. Посмотрим, сколько капитала требуется для производства Q штук продукции. Подставим полученное значение L в функцию K:
\(K = \frac{Q^{\frac{3}{2}}}{(L - 10)^{\frac{1}{2}}} = \frac{Q^{\frac{3}{2}}}{\left( \left( \frac{r}{2w} \right)^{\frac{2}{3}}*Q + 10 - 10 \right)^{\frac{1}{2}}} = \left( \frac{2w}{r} \right)^{\frac{1}{3}}*Q\)
Количество капитала неотрицательно при любом объеме производства.
Шаг 4. Подставляем оптимальное количество факторов в функцию издержек.
\(TC = wL + rK = \)
\(wL + r\frac{Q^{\frac{3}{2}}}{(L - 10)^{\frac{1}{2}}} = w\left( \left( \frac{r}{2w} \right)^{\frac{2}{3}}*Q + 10 \right) + r*\frac{Q^{\frac{3}{2}}}{\left( \left( \frac{r}{2w} \right)^{\frac{2}{3}}*Q + 10 - 10 \right)^{\frac{1}{2}}} =\)
\(2^{- \frac{2}{3}}*r^{\frac{2}{3}}w^{\frac{1}{3}}*Q + 10w + 2^{\frac{1}{3}}*r^{\frac{2}{3}}w^{\frac{1}{3}}*Q = r^{\frac{2}{3}}w^{\frac{1}{3}}*Q*\left( \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}} \right) + 10w = \)
\(2^{\frac{1}{3}}*r^{\frac{2}{3}}w^{\frac{1}{3}}*Q*\left( \frac{1}{2} + 1 \right) + 10w = 3*2^{\frac{- 2}{3}}*r^{\frac{2}{3}}w^{\frac{1}{3}}*Q + 10w \)
Шаг 5. Проверяем, не забыты ли особые точки функции.
На прошлом шаге мы получили функцию \(\text{TC} = 3 \ast 2^{\frac{1}{3}} \ast r^{\frac{2}{3}}w^{\frac{1}{3}} \ast Q + 10w\). Получается, что даже при объеме производства 0 (Q=0) наша фирма несет издержки в размере 10w. Производственная функция устроена так, что для достижения любого положительного объема производства необходимо нанять хотя бы 10 сотрудников. Но если предприниматель решит закрыть фирму и производить 0, то оставлять в штате 10 сотрудников совершенно не обязательно. Таким образом мы должны добавить к функции издержек отдельную точку TC(Q=0)=0.
\(TC = \left\{ \begin{matrix} 3*2^{\frac{1}{3}}*r^{\frac{2}{3}}w^{\frac{1}{3}}*Q + 10w,\ Q > 0 \\ 0,\ Q = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \)
Такие особые точки могут возникать в нуле производства, как в нашем случае, или при отрицательных оптимальных объемах факторов производства. В решении могло возникнуть отрицательное оптимальное количество L при небольших объемах производства. В таком случае нужно добавлять в решение ограничение на неотрицательность количества факторов производства.
В данном случае мы рассматривали ситуацию, когда фирма может выбирать и объем труда, и объем капитала, который она будет использовать для производства. Но это не всегда возможно, всё зависит от горизонта планирования. Если мы рассматриваем стратегию компании на год вперед, за это время, вероятно, можно будет как менять труд и нанимать дополнительных сотрудников, так и докупить дополнительное оборудование и увеличить капитал. Но если мы будем рассматривать план той же компании на месяц, за это время сложно успеть докупить или продать сложное оборудование.
При анализе расходов фирмы нужно выбрать, говорим ли мы о долгосрочном или краткосрочном периоде.
Долгосрочный период (long run, LR) – это такой промежуток времени, за который в фирме можно изменить количество всех используемых в производстве ресурсов. Математически это значит, что капитал и труд – переменные, а не константы в производственной функции фирмы.
Краткосрочный период (short run, SR) – это промежуток времени, в течении которого фирма может изменять количество только части своих ресурсов, но не всех сразу. За короткий период, такой как один месяц, фирма сможет нанять новых сотрудников или наоборот сократить штат, то есть фактор труда будет переменным. Но капитал, вероятно, будет фиксирован, так как контракты на аренду помещений и оборудования часто заключаются на срок не менее года.
Если мы будем рассматривать горизонт планирования – всего одну неделю, то все факторы производства окажутся фиксированными. Даже на то, чтобы нанять или уволить сотрудников, фирме потребуется не менее двух недель. Период, когда все факторы производства оказываются фиксированными, называется мгновенным.
Если рассматривать краткосрочный период, задача вывода издержек из производственной функции становится гораздо легче. Фирма может принять решение о количестве только одного из ресурсов, количество второго зафиксировано. Как правило, задача краткосрочного периода выглядит так:
\(\left\{ \begin{matrix} TC = wL + r\overline{K} \rightarrow \min_{L} \\ Q = f(L,\overline{K}) \\ \end{matrix}\ \right.\ \)
, где \(\overline{K}\) – фиксированный запас капитала.
Для решения такой задачи достаточно выразить труд (L) через объем произведенной продукции (Q) из производственной функции. После этого подставить получившееся выражение в функцию издержек.
#Пример вывода издержек в краткосрочном периоде
Пусть для производственной функции из прошлого примера \(Q = \left\{ \begin{matrix} (L - 10)^{\frac{1}{3}}K^{\frac{2}{3}},K > 0,L > 0 \\ 0,K = 0,L = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \) количество капитала зафиксировано на уровне 27 единиц. Тогда для вывода издержек вида \(\text{TC} = f(Q)\) снова используем общий вид \(\text{TC} = \text{wL} + \text{rK}\).
Шаг 1. Подставим фиксированное количество капитала в производственную функцию и издержки
K=27
\(Q = (L - 10)^{1/3}K^{2/3} = (L - 10)^{1/3}*27^{\frac{2}{3}} = 9(L - 10)^{1/3}\)
\(Q = \left\{ \begin{matrix} 9(L - 10)^{1/3},\ L > 0 \\ 0,\ \ L = 0\ \\ \end{matrix} \right.\ \)
\(\text{TC} = \text{wL} + rK = wL + 27r\)
Шаг 2. Выражаем количество труда из производственной функции.
Рассчитываем, сколько единиц труда понадобится для производства Q единиц продукции.
\(Q = \left\{ \begin{matrix} 9(L - 10)^{1/3},\ L > 0 \\ 0,\ L = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \)
\(L = \left\{ \begin{matrix} \left( \frac{Q}{9} \right)^{3} + 10,\ Q > 0 \\ 0,\ Q = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \)
Шаг 3. Подставляем функцию трудозатрат в функцию издержек.
\(TC = wL + 27r = \left\{ \begin{matrix} w\left( \left( \frac{Q}{9} \right)^{3} + 10 \right) + 27r,\ \ Q > 0 \\ 27r\ ,\ Q = 0 \\ \end{matrix} \right.\ = \left\{ \begin{matrix} \frac{w}{729}Q^{3} + 10w + 27r,\ Q > 0 \\ 27r,\ Q = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \)
В мгновенном периоде количество всех факторов производства фиксировано, поэтому функция издержек также становится фиксированным числом: \(\text{TC} = \text{const}\).
Виды издержек
Итак, функции издержек выводятся по-разному в зависимости от того, рассматриваем ли мы долгосрочный или краткосрочный период. Это будет отражаться и в том, как выглядит функция издержек. Рассмотрим пример функции издержек, которую мы вывели для краткосрочного периода: \(\text{TC} = \left\{ \begin{matrix} \frac{w}{729}Q^{3} + 10w + 27r,Q > 0 \\ 27r,Q = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \).
Даже если фирма не производит ничего (Q=0), она несет издержки на уже закупленный капитал. Таким образом, издержки в краткосрочном периоде можно разделить на те, который зависят от производимого объема продукции (переменные издержки, variable costs, VC), и те, которые не зависят от произведенного объема (фиксированные издержки, fixed costs, FC).
\(TC = VC + FC\)
Но в долгосрочном периоде издержки при нулевом производстве отсутствовали, \(TC_{\text{LR}}(Q = 0) = 0\). Это вышло не случайно. Поскольку в долгосрочном периоде фирма может менять количество всех используемых факторов производства, фиксированные издержки отсутствуют.
#Связь краткосрочных и долгосрочных издержек одной фирмы
Издержки фирмы в краткосрочном периоде всегда будут не меньше, чем в долгосрочном. В долгосрочном периоде предприниматель может изменять количество любого ресурса и подбирать для каждого произведенного объема самую оптимальную комбинацию. В краткосрочном периоде один из факторов зафиксирован, поэтому возможности оптимизации производства становятся ограниченными.
Предприниматель может замещать один фактор другим. К примеру, количество капитала в краткосрочном периоде фиксировано, но потребовалось произвести много продукции. Предприниматель будет нанимать больше сотрудников и замещать недостаток капитала трудом, хотя это может быть менее эффективно.
Если предприниматель будет заранее планировать повышение объемов производства в долгосрочном периоде, у него будет возможность подобрать оптимальное количество труда и капитала. Таким образом, \(TC_{\text{LR}} \leq TC_{\text{SR}}\). Но даже в краткосрочном периоде будет как минимум одна точка производства, в которой количество капитала, необходимое для производства определенного количества товара, совпадет с долгосрочным периодом. Тогда \(TC_{\text{LR}}(K,L) = TC_{\text{SR}}\left( \overline{K},L \right)\). Значит, в этой точке окажутся равны и средние издержки. А так, как при всех остальных объемах производства оптимально другое количество капитала и долгосрочные издержки ниже, долгосрочные средние издержки тоже будут ниже, чем краткосрочные.
Если построить разные варианты краткосрочных средних издержек, которые для всех возможных вариантов количества капитала, нижняя огибающая этих кривых образует долгосрочные средние издержки.
Вернемся к функции долгосрочных издержек из нашего расчетного примера:
\(\)\(\text{TC} = \left\{ \begin{matrix} 3 \ast 2^{\frac{1}{3}} \ast r^{\frac{2}{3}}w^{\frac{1}{3}} \ast Q + 10w,Q > 0 \\ 0,Q = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \)
Хотя при нулевом производстве издержки равны нулю, в первой строчке можно заметить компонент, который не зависит от объема производимой продукции: \(10w\). Издержки, которые остаются одинаковыми начиная с некоторого объема производства, называются квазипостоянными. В нашем примере они постоянны для любого положительного уровня производства, но фирма не несет их при нулевом производстве. Эти издержки относятся к переменным.
Характеристики издержек
Функция общих издержек, как правило, возрастает при больших объемах производства. Но для того, чтобы принять решение о самом выгодном объеме, нужно понимать, как именно функция растет при разных объемах производства. Для этого рассматривают средние и предельные показатели издержек.
Средние общие издержки производства (average costs, AC) – сумма, которая расходуется на производство единицы продукции в среднем при данном объеме производства.
\(AC = \frac{\text{TC}(Q)}{Q}\)
График средних издержек в стандартном случае убывает до некоторого объема производства, а при всех бОльших объемах возрастает. Вернемся к примеру цветочного магазина из раздела производственной функции. Для того, чтобы произвести первый букет, нужно понести очень высокие издержки на открытие магазина. Второй букет обойдется дешевле, так как для него нужно будет только докупить цветы. Но с определенного количества заказов в день средние издержки начнут возрастать. В магазин нужно будет нанимать дополнительных сотрудников, открывать новые точки продажи, запускать рекламу. В этом случае каждый дополнительный букет будет повышать средние расходы.
Средние издержки можно разделить на средние переменные издержки (AVC) и средние постоянные издержки (AFC).
\(AC = \frac{\text{TC}(Q)}{Q} = \frac{VC + FC}{Q} = \frac{\text{VC}}{Q} + \frac{\text{FC}}{Q} = AVC + AFC\)
Помимо средних расходов на единицу товара можно рассматривать предельные величины. Предельные издержки (marginal costs, MC) – дополнительные издержки на производство последней единицы продукции.
\(MC = \frac{\mathrm{\Delta}\text{TC}}{\mathrm{\Delta}Q}\)
В случае, если количество товара может быть только целым числом, рассчитать предельные издержки можно по формуле:
\(MC = \text{TC}(Q) - TC(Q - 1)\)
Если количество произведенной продукции может быть нецелым, то можно использовать формулу с производной:
\(MC = \lim_{\mathrm{\Delta}Q \rightarrow 0}\frac{\mathrm{\Delta}\text{TC}}{\mathrm{\Delta}Q} = TC_{Q}^{'}\)
Предельные издержки по аналогии со средними сначала убывают, потом возрастают. В предельных издержках отражается эффект каждой отдельной единицы продукции на функцию расходов, а в средних этот эффект распределяется на все произведенные единицы. Поэтому функция предельных издержек изменяется быстрее, чем функция средних.
Обратим внимание, что график MC пересекает AC и AVC в точках их минимумов. Это можно вывести аналитически. Найдем минимум AC, если он есть:
\(AC \rightarrow \min_{Q}{}\)
В стандартном случае график AC имеет точку минимума. Значит, в ней верно необходимое условие экстремума:
\(AC_{Q}^{'} = 0\)
\(AC_{Q}^{'} = \left( \frac{\text{TC}(Q)}{Q} \right)_{Q}^{'} = \frac{TC_{Q}^{'}*Q - TC}{Q^{2}} = 0\)
\(\frac{MC*Q}{Q^{2}} - \frac{\text{TC}}{Q^{2}} = 0\)
\(\frac{MC*Q}{Q^{2}} = \frac{\text{TC}}{Q^{2}}\)
\(\frac{\text{MC}}{Q} = \frac{\text{AC}}{Q}\)
\(MC = AC\)
Значит, если у функции AC есть минимум, то он должен лежать на функции MC.
#Несколько заводов
Классическая математическая задача на тему издержек – вывод общей функции издержек для фирмы с несколькими заводами.
В общем случае заводы представлены функциями издержек:
\(TC_{1} = f(q_{1})\)
\(TC_{2} = g(q_{2})\)
Общая функция издержек должна выглядеть как \(\text{TC} = F(Q)\), где \(Q = q_{1} + q_{2}\). Основной вопрос этой задачи – как распределить производство Q единиц между двумя заводами, то есть какая часть (\(q_{1}\)) должная быть произведена на первом, а какая (\(q_{2}\)) – на втором.
Возможны два подхода к решению этой задачи.
Способ 1. Оптимизировать издержки по одному из \(q_{i}\).
Выразим \(q_{1} = Q - q_{2}\) при условии \(Q \geq q_{1} \geq 0,\ Q \geq q_{2} \geq 0\).
\(TC = TC_{1}\left( q_{1} \right) + \text{TC}_{2}\left( q_{2} \right) = TC_{1}\left( Q - q_{2} \right) + TC_{2}\left( q_{2} \right)\)
Теперь осталось оптимизировать получившуюся функцию по \(q_{2}\):
\(TC = TC_{1}\left( Q - q_{2} \right) + TC_{2}\left( q_{2} \right) \rightarrow \min_{q_{2}}{}\)
В результате получится оптимальное значение \(q_{2}\) для каждого Q. После подстановки оптимального \(q_{2}\ \)в суммарные издержки получится общая функция.
Пример решения:
\(\text{TC}_{1}\left( q_{1} \right) = q_{1}^{2} + 20\)
\(\text{TC}_{2}\left( q_{2} \right) = 2q_{2} + 10\)
Нужно вывести \(TC = F(Q)\), где \(Q = q_{1} + q_{2}\).
Выразим \(q_{1} = Q - q_{2}\) при условии\(\ Q \geq q_{1} \geq 0,\ Q \geq q_{2} \geq 0\).
\(TC = TC_{1}\left( q_{1} \right) + \text{TC}_{2}\left( q_{2} \right) = q_{1}^{2} + 20 + 2q_{2} + 10 = \left( Q - q_{2} \right)^{2} + 2q_{2} + 30 \rightarrow \min_{q_{2}}{}\)
Относительно \(q_{2}\) эта функция – парабола с ветвями вверх. Следовательно, в вершине будет минимум функции.
\(q_{2}^{*} = - \frac{- 2Q + 2}{2} = Q - 1\)
Условие \(Q \geq q_{2} \geq 0\) выполняется только при \(Q \geq 1\). Если \(Q < 1\), то вершина параболы лежит в отрицательных числах. Тогда нам нужно выбрать ближайшее к оптимуму доступное число, это \(q_{2}^{*} = 0.\)
\(q_{2}^{*} = \left\{ \begin{matrix} Q - 1,\ Q \geq 1 \\ 0,\ Q < 1 \\ \end{matrix} \right.\ \)
Подставим в суммарную функцию издержек:
\(TC = \left( Q - q_{2} \right)^{2} + 2q_{2} + 30 = \left\{ \begin{matrix} \left( Q - (Q - 1) \right)^{2} + 2(Q - 1) + 30,Q \geq 1 \\ Q^{2} + 30,\ Q < 1 \\ \end{matrix} \right.\ \)
\(TC = \left\{ \begin{matrix} 2Q + 29,Q \geq 1 \\ Q^{2} + 30,\ Q < 1 \\ \end{matrix} \right.\ \)
Способ 2. Рассмотреть предельные издержки заводов и выбирать производство на том, где издержки ниже.
Для нашего примера
\(\text{TC}_{1}\left( q_{1} \right) = q_{1}^{2} + 20\)
\(\text{TC}_{2}\left( q_{2} \right) = 2q_{2} + 10\)
Построим графики предельных издержек.
\({MC}_{1}\left( q_{1} \right) = 2q_{1}\)
\(\text{MC}_{2}\left( q_{2} \right) = 2\)
До точки \(q = 1\) MC1 ниже, чем MC2. Значит, производить дополнительную единицу продукции выгоднее сначала на первом заводе. После того, как на первом заводе произведено количество q=1, издержки производства дополнительной единицы на нем становятся выше, чем издержки производства первой единицы на втором заводе. Далее единица продукции на втором заводе всегда дешевле, а значит, при q>1 мы будем производить всё, кроме первой штуки, на втором заводе. Предельные издержки суммарной функции издержек будут такие:
По этой функции можем восстановить общие издержки:
\(MC = \left\{ \begin{matrix} 2q,\ q \leq 1 \\ 2,\ q > 1 \\ \end{matrix} \right.\ \)
\(TC = \left\{ \begin{matrix} q^{2} + C,\ q \leq 1 \\ 2(q - 1) + C,\ q > 1 \\ \end{matrix} \right.\ \)
C=30, константа определяется постоянными издержками заводов.
Оптимальный выбор фирмы
Чтобы понять, высоки или нет издержки фирмы на выпуск, нужно сравнить их со средней ценой на производимую продукцию. Рассмотрим главную цель большинства фирм: максимум прибыли.
Прибыль – это сумма денег, которая осталась после продажи товаров и выплаты всех расходов фирмы.
Прибыль = Выручка – Издержки
\(\pi = TR - TC\)
Выручка – это сумма денег, которую получает фирма от продажи товара.
Выручка = цена * количество проданного товара
\(TR = P*Q\)
Тогда функцию прибыли можно преобразовать:
\(\pi = TR - TC = P*Q - TC = (P - AC)*Q\)
Из такого вида формулы легко заметить, что прибыль будет положительна, если цена продукции окажется выше средних издержек, и отрицательна в противном случае.
Добавим цену на наш график издержек. Предположим пока, что цена продукции неизменна при любом объеме выпуска нашей фирмы.
Чтобы прибыль фирмы была положительна, нужно выбрать объем производства внутри оранжевого прямоугольника на интервале [Q1; Q2].
Рассмотрим интервал доступных объемов производства, начиная с Q1. При объеме производства Q1 предельные издержки производства (MC) ниже, чем цена продажи (P). Значит, фирма тратит на производство этой единицы меньше, чем зарабатывает с её продажи. Стоит произвести и продать эту дополнительную единицу продукции, это повысит общую прибыль фирмы. Значит, выгодно увеличить объем производства по сравнению с Q1 хотя бы на 1 единицу. Такие же рассуждения можно применять дальше до момента, пока MC не сравняется с P (точка Q3). В точке Q3 фирма тратит на производство единицы продукции столько же, сколько зарабатывает от продажи. Если увеличивать объем производства и дальше, то предельные издержки станут выше цены, это будет уменьшать общую прибыль. Таким образом, в стандартном случае оптимум фирмы достигается при таком объеме производства, когда MC=P, при условии, что до этой точки MCP.
К этому же выводу можно прийти аналитически, исследуя функцию прибыли:
\(\pi = TR - TC \rightarrow \max_{Q}{}\)
\(\pi_{Q}^{'} = TR_{Q}^{'} - TC_{Q}^{'} = 0\)
\({(P*Q)}_{Q}^{'} - MC = 0\)
Если P – это постоянная величина, то
\(P - MC = 0\)
\(P = MC\)
Конечно, для каждой конкретной функции необходимо проверять, является ли эта точка максимумом функции или нет (подробнее – в математической главе).
Что, если средние издержки при любом объеме производства выше, чем цена?
Ответ зависит от того, рассматриваем ли мы долгосрочный или краткосрочный период. Если речь идет о долгосрочном периоде и средние издержки при любом объеме производства строго выше цены – фирме стоит покинуть отрасль. При любом положительном объеме производства она будет получать отрицательную прибыль, а при закрытии производства прибыль окажется равна 0.
Если речь о краткосрочном периоде, то часть издержек на производство, вероятно, уже оплачена. Вспомним о постоянных издержках в краткосрочном периоде. Тогда решение о закрытии производства не спасет от части издержек и нужно оценивать выгоду такого решения. Сравним прибыль от любого положительного объема Q с прибылью при производстве 0. Фирма останется на рынке, если:
\(\pi(Q) \geq \pi(0)\)
\(P*Q - TC(Q) \geq P*0 - TC(0)\)
\(P*Q - VC(Q) - FC \geq - FC\)
\(P*Q \geq VC(Q)\)
\(P \geq AVC(Q)\)
Значит, если существует хотя бы одна точка, в которой цена выше средних переменных издержек, фирме выгодно продолжать работу на рынке и получать прибыль.
Если при любом объеме производства цена ниже, чем средние переменные издержки, то есть ниже минимума (\(P < \text{AV}C_{\min}\)), то фирме стоит закрыть производство.
В краткосрочном периоде фирма может получать отрицательную прибыль и оставаться на рынке по нескольким причинам:
- Уход с рынка – это ещё более высокие издержки в краткосрочном периоде. Продажи позволяют покрыть хотя бы часть из этих уже понесенных издержек;
- В моделях рассматривается экономическая прибыль. Отрицательная экономическая прибыль не обязательно означает работу в долг. Возможно, на данный момент можно было использовать ресурсы оптимальнее и получить больше выгоды от их сдачи в аренду.
Источники литературы:
- Carvalho Vasco M, Makoto Nirei, Yukiko U Saito, Alireza Tahbaz-Salehi, “Supply Chain Disruptions: Evidence from the Great East Japan Earthquake” // The Quarterly Journal of Economics, Volume 136, Issue 2, May 2021.
- Ernest Liu & Aleh Tsyvinski, Dynamical Structure and Spectral Properties of Input-Output Networks // Working Papers 2021-13, Princeton University. Economics Department. – 2021.
- Olley, G.S., Pakes, A. The dynamics of productivity in the telecommunications equipment industry // Econometrica. – 1996.
- Белев С.Г., Ветеринаров В.В., Сучкова О.В. Территории опережающего развития и производительность в российских регионах // Экономический журнал ВШЭ. – 2021.
Вам может быть интересно:
«часть территории субъекта Российской Федерации, включая закрытое административно-территориальное образование, и (или) акватории водных объектов, на которых в соответствии с решением Правительства Российской Федерации установлен особый правовой режим осуществления предпринимательской и иной деятельности в целях формирования благоприятных условий для привлечения инвестиций, обеспечения ускоренного социально-экономического развития и создания комфортных условий для обеспечения жизнедеятельности населения»↩︎