Арифметическая и геометрическая прогрессии — это два типа числовых последовательностей, которые широко используются в различных областях науки, включая экономику. Эти прогрессии помогают анализировать и моделировать такие экономические и финансовые процессы и величины, как чистая приведенная стоимость (NPV), накопление суммарной величины кредитов и депозитов, инфляция, рост доходов, а также многие другие важные экономические явления, которые изменяются на постоянную величину или с постоянным темпом. В этой главе мы рассмотрим, что такое арифметическая и геометрическая прогрессии, их основные свойства, а также покажем, как эти концепции применяются в экономических задачах.
Арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Формально, последовательность \(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots,a_{n}\) является арифметической прогрессией, если для всех \(k\) выполняется равенство:
\(a_{k + 1} = {a_{k} + d}\),
где \(d\) — постоянная величина, называемая шагом прогрессии.
Свойства арифметической прогрессии
- Первый член арифметической прогрессии \(a_{1}\) задает ее начальное значение.
- Любой член арифметической прогрессии можно выразить через ее первый член и шаг:
\({a_{k} = {a_{1} + d}}\cdot({k - 1})\).
- Сумму первых \(k\) членов прогрессии \(S_{k} = {a_{1} + \ldots + a_{k}}\) можно вычислить по формулам
\({S_{k} = \left( {a_{1} + a_{k}} \right)}\cdot\frac{k}{2},\)
\({S_{k} = \left( {2{a_{1} + d}\cdot({k - 1})} \right)}\cdot\frac{k}{2}.\)
Применение арифметической прогрессии в экономике
Арифметическая прогрессия часто используется для моделирования линейных процессов в экономике. Она хорошо подходит для описания показателей, которые изменяются на постоянную величину за период времени. Рассмотрим несколько примеров:
- Вклад под простые проценты
Предположим, что человек вложил сумму денег на банковский вклад, который приносит простые проценты. Простой процент — это процент, который начисляется только на первоначальную сумму вклада, но не на процентные выплаты, которые были начислены ранее. Каждый период (например, год) начисляется одинаковый процент, что и создаёт возможность применения арифметической прогрессии для расчёта общей суммы вклада за несколько периодов. Пусть первоначальный вклад составляет \({P = 100}000\) рублей, процентная ставка составляет \({r = 10}\text{%}\), срок вклада составляет 3 года, а проценты начисляются в конце каждого года по принципу простых процентов. Тогда для определения конечной суммы денег на таком вкладе по его истечении мы можем смоделировать данную ситуацию как арифметическую прогрессию: \({a_{1} = P = 100}000\) рублей – первоначальная сумма вклада, \({d = P}\cdot{r = 100}000\cdot 10{\text{%} = 10}000\) рублей – ежегодно начисляемые процентные выплаты, тогда конечная сумма на вкладе через 3 года составит \({a_{4} = {a_{1} + 3}}{d = 130}000\) рублей.
- Накопление зарплаты с фиксированной индексацией
В некоторых организациях контракты могут предполагать увеличение заработной платы на фиксированную сумму каждый год. В таком случае изменения можно описать арифметической прогрессией. Предположим, что зарплата сотрудника за первый год составляет 30 000 рублей, и каждый год она увеличивается на 2 тысячи рублей. Тогда последовательность зарплат этого сотрудника можно представить как арифметическую прогрессию с \({a_{1} = 30}000,\) \({d = 2}000\). Если нам будет необходимо вычислить суммарный заработок этого работника, например, за первые 10 лет работы в данной организации, то мы воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: \({S_{10} = \left( {2\cdot 30{000 + 2}000\cdot\left( {10 - 1} \right)} \right)}\cdot{\frac{10}{2} = 390}000\) рублей.
Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается путём умножения предыдущего на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии. Формально, последовательность \(b_{1},b_{2},b_{3},\ldots,b_{n}\) является геометрической прогрессией, если для всех \(k\) выполняется равенство:
\({b_{k + 1} = b_{k}}\cdot q,\)
где \(q\) – постоянная величина, называемая знаменателем прогрессии.
Свойства геометрической прогрессии
- Первый член геометрической прогрессии \(b_{1}\) задает ее начальное значение.
- Любой член геометрической прогрессии можно выразить через ее первый член и шаг:
\({b_{k} = b_{1}}\cdot q^{k - 1}\).
- Сумму первых \(k\) членов геометрической прогрессии \(S_{k} = {b_{1} + \ldots + b_{k}}\) можно вычислить по формуле
\({S_{k} = b_{1}}\cdot\frac{1 - q^{n}}{1 - q},\)
если \(q\neq 1\) (при \(q = 1\) геометрическая прогрессия эквивалентна тривиальной арифметической прогрессии с \(d = 0\)).
Отдельного рассмотрения заслуживает такой частный подвид геометрической прогрессии, как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия – геометрическая прогрессия с \(|q| < 1\). У такой прогрессии можно вычислить сумму всех членов \({S = {b_{1} + b_{2} + \ldots} = b_{1}}\cdot\frac{1}{1 - q}.\)
Применение геометрической прогрессии в экономике
Геометрическая прогрессия хорошо подходит для описания показателей, которые изменяются с постоянным темпом (в постоянное число раз) за период времени. Такие величины встречаются в экономике чаще, чем величины, изменяющиеся по линейному закону. Рассмотрим несколько примеров:
- Чистая приведенная стоимость (NPV) и дисконтирование
Зачастую различным экономическим агентам приходится иметь дело с инвестиционными проектами, которые требуют первоначальных вложений, а затем приносят материальную выгоду, распределенную по времени. Например, заведение быстрого питания может рассматривать открытие нового филиала, который будет приносить потоки дохода после открытия; или же фермер может рассматривать покупку нового комбайна, который позволит в будущем более эффективно собирать урожай и получать большую прибыль, или же выбирать один наиболее привлекательный с экономической точки зрения из нескольких комбайнов. В таких ситуациях традиционным критерием «выгодности» того или иного проекта зачастую выступает чистая приведенная стоимость этого проекта (NPV – net present value). При выборе одного из нескольких проектов выбирают проект с наибольшим NPV, а если речь идет о том, стоит ли инвестировать в какой-либо проект в принципе, то определяют, положительная ли у него чистая приведенная стоимость. Для подсчета NPV денежные потоки в разные моменты времени агрегируются с учетом принципа дисконтирования (денежные потоки из более отдаленного будущего дисконтируются сильнее), причем в качестве «ставки дисконтирования» зачастую используется реальная ставка процента. Подробнее про NPV можно прочитать в главе 6.3. Так, если инвестиционный проект требует первоначальных вложений в данный момент в размере \(I\), а затем (начиная со следующего периода) будет приносить в каждом периоде доход в размере \(Y\) в течение \(T\) периодов времени, то его чистую приведенную стоимость можно вычислить по формуле
\(N{\mathit{PV} = {{- I} + {\sum\limits_{t = 1}^{T}\frac{Y}{\left( {1 + r} \right)^{t}}}}},\)
где \(r\) – ставка дисконтирования (в виде доли).
Пусть, к примеру, фирма рассматривает 2 альтернативы: альтернатива А потребует моментальных затрат в размере 1 млн рублей и будет приносить по 250 тысяч рублей ежегодно на протяжении последующих 5 лет; альтернатива Б потребует моментальных затрат в размере 2 млн рублей и будет приносить по 500 тысяч рублей ежегодно на протяжении всех последующих лет (то есть на бесконечном горизонте). Предположим, что фирма рассматривает реализацию одной или обеих альтернатив, а ставка дисконтирования составляет 20%. Рассчитаем NPV обеих альтернатив при помощи суммы геометрической прогрессии. Для альтернативы А:
\(NP{V_{A} = {- 1}}000{000 + {\sum\limits_{t = 1}^{5}{{\frac{250000}{\left( {{1 + 0},2} \right)^{t}} = {- 1}}000{000 + \frac{250000}{1,2}}\cdot{\frac{1 - \left( \frac{1}{1,2} \right)^{5}}{1 - \frac{1}{1,2}} = {- 252}}375}}}\)
рублей. Для альтернативы Б (тут воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии):
\(NP{V_{B} = {- 2}}000{{000 + {\sum\limits_{t = 1}^{\infty}\frac{500000}{\left( {{1 + 0},2} \right)^{t}}}} = {- 2}}000{000 + \frac{500000}{1,2}}\cdot{\frac{1}{1 - \frac{1}{1,2}} = 500}000\)
рублей. Поскольку NPV у альтернативы А отрицательное, а у альтернативы Б – положительное, фирме оптимально реализовать только альтернативу Б.
- Вклад под сложные проценты
Предположим, что человек вложил сумму денег на банковский вклад, который приносит сложные проценты. В отличие от примера в части с арифметической прогрессией, здесь мы имеем дело со сложными процентами (так же, как и у большинства финансовых продуктов в реальности) — они начисляются и на первоначальную сумму вклада, и на процентные выплаты, которые были начислены ранее. Проще говоря, они начисляются на всю сумму, лежащую на вкладе на момент их очередного начисления. Каждый период (например, год) начисляется одинаковый процент, то есть сумма увеличивается в одинаковое число раз. Это и создаёт возможность применения геометрической прогрессии для расчёта общей суммы вклада за несколько периодов. Пусть первоначальный вклад составляет \({P = 100}000\) рублей, процентная ставка составляет \({r = 10}\text{%}\), срок вклада составляет 3 года, а проценты начисляются в конце каждого года по принципу сложных процентов. Тогда для определения конечной суммы денег на таком вкладе по его истечении мы можем смоделировать данную ситуацию как геометрическую прогрессию: \({b_{1} = P = 100}000\) рублей – первоначальная сумма вклада, \({q = {1 + r} = 1},1\), тогда конечная сумма на вкладе через 3 года составит \({b_{4} = b_{1}}\cdot{q^{3} = 133}100\) рублей.
- Инфляция
Инфляцию – темп прироста уровня цен – также можно смоделировать в виде геометрической прогрессии, если она постоянна. Пусть в базовом году ИПЦ в экономике некоторой страны составляет \(p_{1} = 1\) (как и должно быть по определению в базовом году), и ежегодная инфляция стабильно держится на уровне \({\pi = 10}\text{%}\). В таком случае, если нам потребуется вычислить значение ИПЦ в этой экономике в году \(t\), то мы представим ИПЦ как геометрическую прогрессию с \(p_{1} = 1\), \({q = {1 + \pi} = 1},1\), и тогда значение ИПЦ в году \(t\) составит \({p_{t} = p_{1}}\cdot{\left( {1 + \pi} \right)^{t - 1} = {1,1}^{t - 1}}\).
Выводы
- Арифметическая прогрессия позволяет моделировать экономические и финансовые величины, которые изменяются на постоянную величину.
- Геометрическая прогрессия позволяет моделировать экономические и финансовые величины, которые изменяются в постоянное число раз (на постоянное число процентов, когда есть постоянный темп роста).
- Прогрессии помогают экономистам оценивать чистую приведенную стоимость проектов (NPV), производить вычисления со вкладами и кредитами как с простыми, так и со сложными процентами, а также моделировать другие величины с постоянным во времени абсолютным или относительным изменением.