Заранее оговоримся, что для полного изучения данной темы следует обратиться к специализированным математическим учебникам. В этой главе приведены методы, которых будет достаточно для решения количественных заданий учебника, но часть теории по исследованию функций сознательно пропущена авторами.
Производная непрерывной функции
Для решения многих экономических количественных задач требуется понятие производной. В этом разделе будет представлен минимальный набор информации, необходимый для вычисления производных.
Для определения производной введём понятия предела функции в точке:\({\underset{x\rightarrow a}{\text{lim}}f(x{) = b}}{}\) (читают: предел функции \({{y = f}(x)}{}\) при стремлении \(x{}\) к \(a{}\) равен \(b{}\)).
Содержательный смысл этой записи таков: если значения аргумента (\(x{}\)) выбирать всё ближе и ближе к значению \({x = a}{}\), то значение функции всё меньше и меньше отличается от предельного значения \(b{}\). То есть поблизости от точки \(a{}\) мы можем приближённо записать, что \({f(x{) \approx b}}{}\). (рис. 7.2.1)
Рис. 7.2.1.График функции f(x).
Можно дать альтернативную интерпретацию понятию производной. Если мы хотим изучить поведение функции \({{y = f}(x)}{}\) около конкретной точки \(x_{0}{}\), нам важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Пусть функция \({{y = f}(x)}{}\) определена в точках \(x_{0}{}\) и \(x_{1}{}\). Разность \({x_{1} - x_{0}}{}\) называют приращением аргумента (при переходе от точки \(x_{0}{}\) к \(x_{1}{}\)), а разность \({f(x_{1}{) - f}(x_{0})}{}\) называют приращением функции. Приращение аргумента обозначают \(\mathit{\Delta x}{}\) (читают: «дельта икс»), а приращение функции \(\mathit{\Delta y}{}\) или \(\mathit{\Delta f}{}\).
Рассмотрим в данных обозначениях задачу о касательной функции в точке. Пусть дан график функции \({{y = f}(x)}{}\). На нём выбрана точка \({M(a;\mspace{9mu} f(a))}{}\), в этой точке к графику функции проведена касательная. Нужно найти угловой коэффициент касательной (то есть тангенс её наклона).
Дадим аргументу приращение \(\mathit{\Delta x}{}\) и рассмотрим на графике точку \(P{}\) с абсциссой \({a + \mathit{\Delta x}}{}\). Ордината точки \(P{}\) равна \({f({a + \mathit{\Delta x}})}{}\). Угловой коэффициент секущей \(\mathit{\text{MP}}{}\), то есть тангенс угла наклона между секущей и осью \(x{}\), вычисляется по формуле \(k = \frac{\mathrm{\Delta}y}{\mathrm{\Delta}x}\) . (рис. 7.2.2)
Рис. 7.2.2. Приращение значения функции f(x) при изменении аргумента на \(\mathit{\Delta x}{}\).
Если мы теперь устремим \(\mathit{\Delta x}{}\) к нулю, то точка \(P{}\) начнёт приближаться по кривой к точке \(M{}\). Касательная — это предельное положение секущей при таком приближении. Значит, угловой коэффициент касательной \(k\) будет вычисляться по формуле \(k = {\lim\limits_{\mathrm{\Delta}x\rightarrow 0}k}\), или \(k = {\lim\limits_{\mathrm{\Delta}x\rightarrow 0}\frac{\mathrm{\Delta}y}{\mathrm{\Delta}x}}\).
Таким образом, определение производной – это тоже предел. Пусть функция \({{y = f}(x)}{}\) определена в конкретной точке \(x{}\) и в некоторой её окрестности. Дадим аргументу \(x{}\) приращение \(\mathit{\Delta x}{}\) такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдём соответствующее приращение функции \(\mathit{\Delta y}{}\) и составим отношение \(\frac{\mathit{\Delta y}}{\mathit{\Delta x}}{}\). Если существует предел этого отношения при условии \({\mathit{\Delta x}\rightarrow 0}{}\), то указанный предел называют значением производной функции \({{y = f}(x)}{}\) в точке \(x{}\)и обозначают \({f'(x)}{}\). Итак,
\({\underset{\mathit{\Delta x}\rightarrow 0}{\text{lim}}{\frac{\mathit{\Delta y}}{\mathit{\Delta x}} = f}'(x)}{}\).
Технически для решения количественных задач вам нужно знать, как считать производную для разных функций.
Краткая таблица для вычисления производных:
| Функция | Производная |
| \(y=C\), где \(C\) — произвольная константа (число) | \(y_{x}^{'} = 0\) |
| \(y=ax^k\), где a — произвольный коэффициент, \(k\) — натуральный показатель степени | \(y_{x}^{'} = {\mathit{ak} \ast x^{k - 1}}\) |
| \(y=b* \ln(x)\), где b — произвольный коэффициент | \(y_{x}^{'} = \frac{b}{x}\) |
|
Производная суммы двух функций: \({y = f}{(x) + g}{(x)}\) |
\(y_{x}^{'} = {f_{x}^{'} + g_{x}^{'}}\) |
|
Производная произведения: \({y = f}{(x) \ast g}{(x)}\) |
\({y_{x}^{'} = {f_{x}^{'} \ast g}}{(x) + f}{(x) \ast g_{x}^{'}}\) |
|
Производная частного: \(y = \frac{f(x)}{g(x)}\) |
\(y_{x}^{'} = \frac{{f_{x}^{'} \ast g}{(x) - f}{(x) \ast g_{x}^{'}}}{g^{2}(x)}\) |
|
Производная сложной функции: \({y = G}{({f(x)})}\) |
\(y_{x}^{'} = {G_{f{(x)}}^{'} \ast f_{x}^{'}}\) |
Приращение для дискретных функций
Как мы знаем, экономика тесно связана с деятельностью человека, где бывает такое, что продукт/товар или что-либо другое является строго целочисленным и неотрицательным. Например, на рынке тапочек производитель не может продать 1,5 пары тапок (если не вводить дополнительные условия). В таком случае идею производной не просто нельзя использовать, она даже может дать неверный ответ. Позже мы рассмотрим пример, который это покажет.
Что же делать, если мы можем продать только целое число товаров? Вместо производной нужно рассматривать приращение функции. То есть:
\(\Delta f{(x) = f}{(x) - f}\left( {x - 1} \right),\)
где \(x\) – целочисленная переменная.
В данном случае \(\Delta f(x)\), выписанная выше, показывает, как изменилось значение функции из-за роста аргумента на единицу. Отметим, что тут важны обозначения. Приращение функции при переходе к \(x = a\) равно \(\Delta f{(a) = f}{(a) - f}\left( {a - 1} \right)\). Может возникнуть желание написать, что \(\Delta f{\left( {a - 1} \right) = f}{(a) - f}\left( {a - 1} \right)\), однако это неверно, выражение справа не передает смысл того, что написано слева, так как слева приращение функции, вызванное переходом в точку \(x = {a - 1}\) (из точки \(x = {a - 2}\)).
Почему такое приращение может быть интересно? Например, если спрос на продукцию фирмы-монополиста имеет вид \(Q_{d} = {10 - p}\), где \(Q\) – количество товара, а \(p\) –цена единицы этого товара, и нас интересует вопрос, как меняется приращение выручки в зависимости от количества проданного товара, при условии, что \(Q\) принимает строго целые значения. Если мы решим считать приращение через производные, то получим следующее:
\(\mathit{TR}{(Q) = p}{{(Q) \ast Q} = {\left( {10 - Q} \right) \ast Q} = 10}{Q - Q^{2}}\Rightarrow\mathit{MR}(Q{) = T}R^{'}{(Q) = {10 - 2}}Q\)
Но задача целочисленная, поэтому приращение функции необходимо считать другим способом, а именно:
\(\Delta\mathit{TR}{(Q) = \mathit{TR}}{(Q) - \mathit{TR}}{\left( {Q - 1} \right) = {\left( {10{Q - Q^{2}}} \right) - \left( {10{\left( {Q - 1} \right) - \left( {Q - 1} \right)^{2}}} \right)} = {11 - 2}}Q\)
Заметим, что функции не совпадают, а значит и значения в интересующих нас точках разные. Например, приращение выручки при увеличении количества на единицу и переходе к состоянию \(Q = 2\) по функции приращения равно \(\Delta\mathit{TR}{(2) = 7}\). А вот производная \(MR{(2) = 6}\). Это связано с тем, что производная сравнивает изменение не относительно состояния \(Q = 1\), а относительно стремления \(Q\) к двойке. То есть, на самом деле, приращение функции с целочисленным аргументом это просто тангенс угла наклона секущей, которая проходит через точки \((a,f(a))\) и \(({a - 1},f\left( {a - 1} \right))\), когда производная устремляет вторую точку к \(\left( {a,f(a)} \right)\), что в предельном случае нас приводит к касательной в функции \(f(x)\) в точке \(x = a\). Сама производная показывает тангенс угла наклона этой касательной. На рисунке 7.2.3 хорошо видны отличия тангенсов касательной и секущей. Учитывая, что задача целочисленная, мы должны использовать именно функцию приращения. Этот способ содержательно верен, мы рассматриваем эффект от выпуска дополнительной единицы продукции. Кроме того, у целочисленной функции невозможно рассмотреть предел значения или аргумента.
Рис. 7.2.3. Касательная и производная к графику функции.