Многие экономические ситуации описываются моделями, в которых требуется решать оптимизационные задачи. Экономические агенты максимизируют полезность, прибыль, выручку, минимизируют издержки и т.д. Познакомимся с методами условной и безусловной оптимизации, чтобы понимать, как устроено решение этих задач.
Заранее оговоримся, что для полного изучения данной темы следует обратиться к специализированным математическим учебникам. В этой главе приведены методы, которых будет достаточно для решения количественных заданий учебника, но часть теории по исследованию функций сознательно пропущена авторами.
Производная
Для решения многих экономических количественных задач требуется понятие производной. В этом разделе будет представлен минимальный набор информации, необходимый для вычисления производных.
Для определения производной введём понятия предела функции в точке:\({\underset{x\rightarrow a}{\text{lim}}f(x{) = b}}{}\) (читают: предел функции \({{y = f}(x)}{}\) при стремлении \(x{}\) к \(a{}\) равен \(b{}\)).
Содержательный смысл этой записи таков: если значения аргумента (\(x{}\)) выбирать всё ближе и ближе к значению \({x = a}{}\), то значение функции всё меньше и меньше отличается от предельного значения \(b{}\). То есть поблизости от точки \(a{}\) мы можем приближённо записать, что \({f(x{) \approx b}}{}\).
Можно дать альтернативную интерпретацию понятию производной. Если мы хотим изучить поведение функции \({{y = f}(x)}{}\) около конкретной точки \(x_{0}{}\), нам важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Пусть функция \({{y = f}(x)}{}\) определена в точках \(x_{0}{}\) и \(x_{1}{}\). Разность \({x_{1} - x_{0}}{}\) называют приращением аргумента (при переходе от точки \(x_{0}{}\) к \(x_{1}{}\)), а разность \({f(x_{1}{) - f}(x_{0})}{}\) называют приращением функции. Приращение аргумента обозначают \(\mathit{\Delta x}{}\) (читают: «дельта икс»), а приращение функции \(\mathit{\Delta y}{}\) или \(\mathit{\Delta f}{}\).
Рассмотрим в данных обозначениях задачу о касательной функции в точке. Пусть дан график функции \({{y = f}(x)}{}\). На нём выбрана точка \({M(a;\mspace{9mu} f(a))}{}\), в этой точке к графику функции проведена касательная. Нужно найти угловой коэффициент касательной (то есть тангенс её наклона).
Дадим аргументу приращение \(\mathit{\Delta x}{}\) и рассмотрим на графике точку \(P{}\) с абсциссой \({a + \mathit{\Delta x}}{}\). Ордината точки \(P{}\) равна \({f({a + \mathit{\Delta x}})}{}\). Угловой коэффициент секущей \(\mathit{\text{MP}}{}\), то есть тангенс угла наклона между секущей и осью \(x{}\), вычисляется по формуле \(k = \frac{\mathrm{\Delta}y}{\mathrm{\Delta}x}\) .
Если мы теперь устремим \(\mathit{\Delta x}{}\) к нулю, то точка \(P{}\) начнёт приближаться по кривой к точке \(M{}\). Касательная — это предельное положение секущей при таком приближении. Значит, угловой коэффициент касательной \(k\) будет вычисляться по формуле \(k = {\lim\limits_{\mathrm{\Delta}x\rightarrow 0}k}\), или \(k = {\lim\limits_{\mathrm{\Delta}x\rightarrow 0}\frac{\mathrm{\Delta}y}{\mathrm{\Delta}x}}\).
Таким образом, определение производной – это тоже предел. Пусть функция \({{y = f}(x)}{}\) определена в конкретной точке \(x{}\) и в некоторой её окрестности. Дадим аргументу \(x{}\) приращение \(\mathit{\Delta x}{}\) такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдём соответствующее приращение функции \(\mathit{\Delta y}{}\) и составим отношение \(\frac{\mathit{\Delta y}}{\mathit{\Delta x}}{}\). Если существует предел этого отношения при условии \({\mathit{\Delta x}\rightarrow 0}{}\), то указанный предел называют значением производной функции \({{y = f}(x)}{}\) в точке \(x{}\)и обозначают \({f'(x)}{}\). Итак,
\({\underset{\mathit{\Delta x}\rightarrow 0}{\text{lim}}{\frac{\mathit{\Delta y}}{\mathit{\Delta x}} = f}'(x)}{}\).
Технически для решения количественных задач вам нужно знать, как считать производную для разных функций.
Краткая таблица для вычисления производных:
| Функция | Производная |
| \(y=C\), где \(C\) — произвольная константа (число) | \(y_{x}^{'} = 0\) |
| \(y=ax^k\), где a — произвольный коэффициент, \(k\) — натуральный показатель степени | \(y_{x}^{'} = {\mathit{ak} \ast x^{k - 1}}\) |
| \(y=b* \ln(x)\), где b — произвольный коэффициент | \(y_{x}^{'} = \frac{b}{x}\) |
|
Производная суммы двух функций: \({y = f}{(x) + g}{(x)}\) |
\(y_{x}^{'} = {f_{x}^{'} + g_{x}^{'}}\) |
|
Производная произведения: \({y = f}{(x) \ast g}{(x)}\) |
\({y_{x}^{'} = {f_{x}^{'} \ast g}}{(x) + f}{(x) \ast g_{x}^{'}}\) |
|
Производная частного: \(y = \frac{f(x)}{g(x)}\) |
\(y_{x}^{'} = \frac{{f_{x}^{'} \ast g}{(x) - f}{(x) \ast g_{x}^{'}}}{g^{2}(x)}\) |
|
Производная сложной функции: \({y = G}{({f(x)})}\) |
\(y_{x}^{'} = {G_{f{(x)}}^{'} \ast f_{x}^{'}}\) |
Безусловная оптимизация функции одной переменной
Пусть целевая функция зависит от одной переменной: \({y = f}(x)\rightarrow\mathit{\max}\).
У нас есть несколько путей нахождения таких точек \(x\), в которых целевая функция достигает наибольшего значения. Частный, часто встречающийся случай – функция-парабола \({y = a}{x^{2} + \mathit{bx} + c}\) (либо такая функция, которую можно свести к виду параболы).
Для поиска максимума такой функции достаточно проверить, что коэффициент \(a < 0\), то есть мы анализируем параболу ветвями вниз. Тогда максимум будет достигаться в вершине при \(x = \frac{- b}{2a}\).
Если коэффициент \(a > 0\), то парабола повернута ветвями вверх. В таком случае без дополнительных ограничений максимум функции не достигается, а минимум будет в вершине.
В большинстве случаев задачи по экономике начального уровня сводятся к виду параболы сразу или с помощью замены переменных.
Но более универсальный алгоритм нахождения максимума функции начинается с вычисления производной функции.
\({y = f}(x)\rightarrow\mathit{\max}\)
Предположим, график нашей функции выглядит как на рисунке:
Как видно из графика, максимум функции находится в точке А3. В этот момент скорость роста функции становится нулевой, касательная к графику расположена горизонтально, параллельно оси OX. Это говорит о том, что \(y_{x}^{'} = 0\). Это условие является необходимым, но не достаточным для существования максимума в точке. Мы видим, что в А6 касательная тоже располагается горизонтально, но это точка минимума. Достаточное условие для максимума выполнится, если производная до точки равенства нулю будет положительной, а после точки равенства нулю – отрицательной. В нашем примере производная (тангенс угла наклона касательной α1, α2) больше нуля до точки А3, скорость изменения функции положительная. Это значит, что функция на этом участке возрастает. После точки А3 производная (тангенс угла наклона касательной α4, α5) меньше нуля, скорость изменения функции отрицательная, то есть функция убывает. Таким образом, для нахождения максимума нам нужно проверить следующие условия:
\(y_{x}^{'}{\left( x_{0} \right) = 0}\)
\(y_{x}^{'}{\left( {x < x}_{0} \right) > 0}\)
\(y_{x}^{'}{\left( {x > x}_{0} \right) < 0}\)
Тогда в точке \(x_{0}\) находится максимум функции.
Для нахождения минимума функции нужно проверить противоположные условия:
\(y_{x}^{'}{\left( x_{0} \right) = 0}\)
\(y_{x}^{'}{\left( {x < x}_{0} \right) < 0}\)
\(y_{x}^{'}{\left( {x > x}_{0} \right) > 0}\)
Условная оптимизация функции одной переменной
Довольно часто в экономических задачах возникают дополнительные ограничения, которые не позволяют достичь глобального максимума функции. Например, когда мы максимизируем прибыль, может возникнуть ограничение на производственные мощности, объем производства не может превосходить определенную величину. В таком случае оптимизационная задача немного меняется. Разберем на примере параболической функции прибыли, наиболее популярной в количественных задачах:
\({П = a}{Q^{2} + \mathit{bQ} + c}\rightarrow\mathit{\max}\)
\(Q\leq A\)
\(Q\geq 0\)\(a < 0\)
Тогда первое, что стоит сделать – это найти безусловный максимум функции прибыли по формуле \(Q^{\ast} = \frac{- b}{a}\) и проверить, удовлетворяет ли он ограничению \(0\leq Q^{\ast}\leq A\). На этот вопрос мы можем получить один из трех вариантов ответа:
- Безусловный оптимум попал в отрезок от 0 до А. Тогда найденный нами безусловный максимум совпадает с условным, \(Q^{\ast} = \frac{- b}{a}\).
- Безусловный оптимум оказался левее отрезка \(\lbrack{0;A}\rbrack\). Посмотрим на графике:
Оранжевым выделена область, которая доступна в соответствии с ограничениями по Q. Безусловный максимум оказался в точке С, которая находится за границами доступной области. После точки С функция убывает, ближайшая к максимуму доступная точка – это точка В. Именно в ней и будет условный экстремум в данной задаче.
- Безусловный оптимум оказался правее отрезка \(\lbrack{0;A}\rbrack\). Посмотрим на графике:
Безусловный максимум оказался в точке С, но теперь эта точка находится справа от доступной области. До точки С функция возрастает, ближайшая к максимуму доступная точка – это точка D. Условный максимум в этой задаче достигается в ней.
В этом разделе рассмотрен конкретный пример, но логика рассуждений может быть распространена и на другие задачи условной оптимизации функций одной переменной. Последовательность шагов сохраняется и в других примерах. Необходимо найти безусловный максимум, оценить, входит ли эта точка в доступный интервал. Если точка не вошла в интервал, нужно рассмотреть ближайшие к максимуму точки, удовлетворяющие условию, не забывая о проверке участков возрастания/убывания функции.
Оптимизация функции нескольких переменных
Полное обсуждение этого класса задач занимает существенную часть учебников по математическому анализу. В этом разделе будут рассмотрены конкретные примеры оптимизации для типов задач, которые встречаются в главах учебника.
- Задача оптимизации полезности для двух товаров.
\(\left\{ \begin{matrix} {{U = f}\left( {x_{1},x_{2}} \right)\rightarrow\mathit{\max}} \\ {P_{1}{x_{1} + P_{2}}x_{2}\leq I} \\ \end{matrix} \right.\)
Здесь \(x_{1},x_{2}\) – количества товаров 1 и 2 соответственно, \(P_{1},P_{2}\) – цены этих товаров, \(I\) – доступный потребителю доход. Бюджетное ограничение задано нестрогим неравенством, так как потребитель не обязан потратить весь свой бюджет. Так возникает два возможных варианта решения:
1) внутренний оптимум (потребитель тратит не весь бюджет, бюджетное ограничение выполняется как строгое неравенство);
2) оптимум на границе (бюджетное ограничение выполняется как равенство).
Если это внутренний оптимум (случай 1), мы можем решать задачу без ограничения:
\({U = f}\left( {x_{1},x_{2}} \right)\rightarrow\mathit{\max}\)
\(\left\{ \begin{matrix} {{U_{x_{1}}^{'} = M}{U_{x_{1}} = 0}} \\ {{U_{x_{2}}^{'} = M}{U_{x_{2}} = 0}} \\ \end{matrix} \right.\)
Это необходимое условие, но не достаточное. Оно будет давать максимум при стандартном виде функции, выпуклой к началу координат. При этом для найденной точки должно выполняться условие \(P_{1}{x_{1} + P_{2}}{x_{2} < I}\).
Но если мы говорим о стандартных предпочтениях потребителя, чем дальше от начала координат находятся кривые безразличия, тем большему уровню полезности они соответствуют. Потребности человека безграничны и в большинстве примеров нет точки насыщения, после которой потребитель решит больше не тратить бюджет. Следовательно, более реалистично, что решение находится на бюджетном ограничении:
\(\left\{ \begin{matrix} {{U = f}\left( {x_{1},x_{2}} \right)\rightarrow\mathit{\max}} \\ {P_{1}{x_{1} + P_{2}}{x_{2} = I}} \\ \end{matrix} \right.\)
В данном случае можно выразить одну из переменных из бюджетного ограничения и подставить в целевую функцию: мы получим функцию от одной переменной.
\({x_{1} = {\frac{I}{P_{1}} - \frac{P_{2}}{P_{1}}}}x_{2}\)
\({U = f}\left( {{\frac{I}{P_{1}} - \frac{P_{2}}{P_{1}}}x_{2},x_{2}} \right)\rightarrow\mathit{\max}\)
Теперь можно максимизировать полезность только по переменной \(x_{2}\), но теперь производную придется искать по формуле для производной сложной функции.
\(\frac{\partial U}{\partial x_{2}} = {\frac{\frac{\partial U}{\partial x_{1}} \ast {\partial x_{1}}}{\partial x_{2}} + \frac{\partial U}{\partial x_{2}}} = 0\)
Это условие можно преобразовать:
\(M{{U_{x_{1}} \ast {(\frac{- P_{2}}{P_{1}})}} + M}{U_{x_{2}} = 0}\)
\(\frac{MU_{x_{1}}}{MU_{x_{2}}} = \frac{P_{1}}{P_{2}}\)
Получаем такой же вывод, как и из графического решения, приведенного в главе 2.1.