Многие экономические ситуации описываются моделями, в которых требуется решать оптимизационные задачи. Экономические агенты максимизируют полезность, прибыль, выручку, минимизируют издержки и т. д. Познакомимся с методами условной и безусловной оптимизации, чтобы понимать, как устроено решение этих задач.
В этой главе также обращаем ваше внимание на то, что для полного изучения данной темы следует обратиться к специализированным математическим учебникам.
В главе рассмотрены:
Безусловная оптимизация функции одной переменной
Пусть целевая функция зависит от одной переменной: \({y = f}(x)\rightarrow\mathit{\max}\).
У нас есть несколько путей нахождения таких точек \(x\), в которых целевая функция достигает наибольшего значения, то есть глобального максимума функции. Частный, часто встречающийся случай – функция-парабола \({y = a}{x^{2} + \mathit{bx} + c}\) (либо такая функция, которую можно свести к виду параболы).
Для поиска глобального максимума такой функции достаточно проверить, что коэффициент \(a < 0\), то есть мы анализируем параболу ветвями вниз. Тогда максимум будет достигаться в вершине при \(x = \frac{- b}{2a}\).
Если коэффициент \(a > 0\), то парабола повернута ветвями вверх. В таком случае без дополнительных ограничений глобальный максимум функции не достигается, а глобальный минимум будет в вершине.
В большинстве случаев задачи по экономике начального уровня сводятся к виду параболы сразу или с помощью замены переменных.
Но более универсальный алгоритм нахождения максимума функции начинается с вычисления производной функции.
\({y = f}(x)\rightarrow\mathit{\max}\)
Предположим, график нашей функции выглядит как на рисунке 7.4.
Рис. 7.4. Пример касательных к графику функции y(x).
Как видно из графика 7.4, максимум функции находится в точке А3. В этот момент скорость роста функции становится нулевой, касательная к графику расположена горизонтально, параллельно оси OX. Это говорит о том, что \(y_{x}^{'} = 0\). Это условие является необходимым, но не достаточным для существования максимума в точке. Мы видим, что в А6 касательная тоже располагается горизонтально, но это точка минимума. Достаточное условие для максимума выполнится, если производная до точки равенства нулю будет положительной, а после точки равенства нулю – отрицательной. В нашем примере производная (тангенс угла наклона касательной α1, α2) больше нуля до точки А3, скорость изменения функции положительная. Это значит, что функция на этом участке возрастает. После точки А3 производная (тангенс угла наклона касательной α4, α5) меньше нуля, скорость изменения функции отрицательная, то есть функция убывает. Таким образом, для нахождения максимума нам нужно проверить следующие условия:
\(y_{x}^{'}{\left( x_{0} \right) = 0}\)
\(y_{x}^{'}{\left( {x < x}_{0} \right) > 0}\)
\(y_{x}^{'}{\left( {x > x}_{0} \right) < 0}\)
Тогда в точке \(x_{0}\) находится максимум функции.
Для нахождения минимума функции нужно проверить противоположные условия:
\(y_{x}^{'}{\left( x_{0} \right) = 0}\)
\(y_{x}^{'}{\left( {x < x}_{0} \right) < 0}\)
\(y_{x}^{'}{\left( {x > x}_{0} \right) > 0}\)
Условная оптимизация функции одной переменной
Довольно часто в экономических задачах возникают дополнительные ограничения, которые не позволяют достичь глобального максимума функции. Например, когда мы максимизируем прибыль, может возникнуть ограничение на производственные мощности, объем производства не может превосходить определенную величину. В таком случае оптимизационная задача немного меняется и мы можем найти локальный экстремум (максимум или минимум на заданном множестве значений). Разберем на примере параболической функции прибыли, наиболее популярной в количественных задачах:
\({П = a}{Q^{2} + \mathit{bQ} + c}\rightarrow\mathit{\max}\)
\(Q\leq A\)
\(Q\geq 0\)\(a < 0\)
Тогда первое, что стоит сделать – это найти безусловный максимум функции прибыли по формуле \(Q^{\ast} = \frac{- b}{a}\) и проверить, удовлетворяет ли он ограничению \(0\leq Q^{\ast}\leq A\). На этот вопрос мы можем получить один из трех вариантов ответа:
- Безусловный оптимум попал в отрезок от 0 до А. Тогда найденный нами безусловный максимум совпадает с условным, \(Q^{\ast} = \frac{- b}{a}\).
- Безусловный оптимум оказался левее отрезка \(\lbrack{0;A}\rbrack\). Посмотрим на графике 7.5.
Рис. 7.5. Иллюстрация поиска максимума функции П(Q) при ограничении (оранжевая область по Q).
Оранжевым выделена область, которая доступна в соответствии с ограничениями по Q. Безусловный максимум оказался в точке С, которая находится за границами доступной области. После точки С функция убывает, ближайшая к максимуму доступная точка – это точка В. Именно в ней и будет условный экстремум в данной задаче.
- Безусловный оптимум оказался правее отрезка \(\lbrack{0;A}\rbrack\). Посмотрим на графике 7.6.
Рис. 7.6. Иллюстрация поиска максимума функции П(Q) при ограничении (оранжевая область по Q).
Безусловный максимум оказался в точке С, но теперь эта точка находится справа от доступной области. До точки С функция возрастает, ближайшая к максимуму доступная точка – это точка D. Локальный максимум в этой задаче достигается в ней.
В этом разделе рассмотрен конкретный пример, но логика рассуждений может быть распространена и на другие задачи условной оптимизации функций одной переменной. Последовательность шагов сохраняется и в других примерах. Необходимо найти безусловный максимум, оценить, входит ли эта точка в доступный интервал. Если точка не вошла в интервал, нужно рассмотреть ближайшие к максимуму точки, удовлетворяющие условию, не забывая о проверке участков возрастания/убывания функции.