2.3. Технологии и производство: выбор фирмы

Вероника решила открыть цветочный бизнес. Она рассматривает несколько форматов: традиционный магазин, куда приходят гости и выбирают цветы для букета, сайт для заказа готовых композиций и сервис оформления интерьеров цветами для мероприятий. Этот выбор определит технологию производства для магазина: сколько потребуется сотрудников, оборудования, помещений, транспортных ресурсов. Чтобы определиться с выбором, рациональный предприниматель стремится оценить, какой из вариантов выгоднее.

Какие показатели производства необходимо знать, чтобы принять это решение? Как определить, сколько труда и оборудования использовать?

В этой главе будут рассмотрены вопросы, которые помогут определить оптимальные параметры производства:

Как создаются товары и услуги? Описание производства с помощью производственной функции
Зависимость выпуска от факторов производства
Что говорят исследования: оценка производственной функции на практике
Издержки фирмы в краткосрочном и долгосрочном периоде
Средние и предельные издержки
Оптимизация издержек в условиях нескольких заводов
Решение задачи фирмы

Эта глава посвящена способам оценки производства с точки зрения издержек и будущей прибыли. Коротко это можно назвать решением задачи фирмы. Сразу уточним, что существуют разные способы организации бизнеса: это может быть один человек (индивидуальный предприниматель), группа лиц (товарищество) или большой коллектив, управляющийся советом директоров (как акционерное общество). Но в этой главе и в экономической теории в целом для обобщения разных форм предпринимательства используется слово «фирма». Фирмой мы будем называть субъект предпринимательства, который производит и продает товары или услуги. Решения об объемах выпуска или повышении цены на продукцию в жизни принимают предприниматели или руководители предприятия, но мы для простоты будем говорить «фирма выбирает выпустить 100 единиц продукции».

Как создаются товары и услуги: производственная функция

Рассмотрим процесс создания товаров. Ресурсы, которые необходимы для производства товаров и услуг называются факторами производства. Принято выделять пять основных факторов:

Трудовые ресурсы (труд) – включает в себя все часы работы, который ушли на создание продукта. Это могут быть усилия работников непосредственно на производство товара (например, работа автора главы книги, который пишет текст), а также работа менеджеров (которые напоминают авторам о сроках и договариваются с издательством), рекламщиков, и тд.
Капитальные ресурсы (капитал) – все искусственно созданные предметы, которые участвуют в процессе производства: станки для производства деталей, персональные компьютеры для программистов, принтер в офисе. Но стоит обратить внимание, что деньги не входят в понятие капитала! Деньги в производстве выполняют функции средства обмена, но из них самих не может быть создан продукт.
Природные ресурсы (земля) – это владения, на которых располагается производство, вода, полезные ископаемые, флора.
Предпринимательские способности – фактор производства, под которым подразумевают способность человека организовать бизнес. Сюда включаются навыки управления, разработки стратегии для бизнеса, оценка рисков, способность принимать решения в сложных ситуациях. Этот фактор сложно оценивать, однако он является ключевым в работе фирмы.

Кто такие предприниматели?

Слово предприниматель знакомо каждому, но как определить границы этого понятия? Одно из наиболее известных определений дал Йозеф Шумпетер. Согласно ему, предпринимателем называется хозяйствующий субъект, функция которого заключается в осуществлении новых комбинаций, являющийся активным субъектом предприятия. Таким образом, предприниматель обязательно внедряет новые идеи в бизнес и при этом не обязательно является его собственником. Как только производство становится рутинным, все процессы в нем повторяются, оно больше не является результатом предпринимательской деятельности. Но предприниматель – не изобретатель. Он не придумывает новые технологии, но находит и внедряет в производство новые, более прибыльные способы использования ресурсов.

Информация – любые полезные для производства сведения. К примеру, информация о технологии производства, о намерениях конкурентов, о ситуации на рынке и предпочтениях потребителей.

Для простоты в экономических моделях, как правило, используют только два фактора – труд (обозначается L) и капитал (обозначается K).

Преобразование факторов производства в продукцию определяется технологией. Математически технология описывается производственной функцией - функцией зависимости объема произведенной продукции (Q – quantity или TP – total product) от количества затраченных на производство факторов (как правило, L и K).

\(TP = Q = f(L,K)\)

Примеры производственной функции

\(Q=4L+3K\)

Это наиболее простой пример, каждая дополнительная единица труда тут приносит 4 единицы продукции, а каждая единица капитала – 3 единицы продукции. Этот пример удобен для решения задач, но не очень правдоподобен: даже если у нас совсем нет сотрудников (L=0), но есть единица капитала (K=1), то будет произведено 3 единицы товара. Сложно представить производство, на котором капитал может производить продукцию совсем без работников.

\(Q = \sqrt{\text{KL}}\)

Произведение K и L в степени – это наиболее популярный для задач и теории вид производственной функции. В этом примере если один из факторов равен 0, то продукция не будет произведена, что гораздо ближе к реальности. Наиболее общий вид такой функции – функция Кобба-Дугласа \(Q = AK^{\alpha}L^{\beta}\).

\(Q = min(K,L)\)

Чуть менее популярный вид – функция Леонтьева. Согласно такой функции объем выпуска будет определяться минимальной из двух величин – количеством затраченного труда или количеством затраченного капитала.

Зависимость выпуска от факторов производства

Для того, чтобы проанализировать влияние отдельного фактора производства, к примеру труда, на выпуск, нужно зафиксировать все прочие факторы на некотором уровне. Вспомогательные показатели для такого анализа – средний продукт труда (AP_L) и предельный продукт труда (MP_L).

Средний продукт труда (average product of labor, AP_L) показывает, сколько единиц продукции в среднем производит каждая единица труда при количестве используемого труда L.

\(AP_{L} = \frac{Q}{L}\)

Предельный продукт труда (marginal product of labor, MP_L) – это величина, на которую изменится объем произведенной продукции при увеличении используемого труда на единицу.

\(MP_{L} = \frac{\mathrm{\Delta}Q}{\mathrm{\Delta}L} = \frac{Q_{2} - Q_{1}}{L_{2} - L_{1}}\)

Часто для простоты вычислений объемы продукции и труда рассматривают как бесконечно делимые величины. В таком случае предельный продукт труда можно рассматривать как изменение объема производства при росте объема используемого труда на бесконечно малую величину и рассчитывать по формуле производной:

\(MP_{L} = Q_{L}^{'}\)

Но в случае, если продукция может измеряться только целыми числами (как ноутбуки или машины – нельзя продать только половину или какую-то другую часть), формула принимает вид:

\(MP_{L} = \frac{\left( Q(L) - Q(L - 1) \right)}{L - (L - 1)} = Q(L) - Q(L - 1)\)

Рассмотрим пример расчета среднего и предельного продукта труда для небольшого производства в таблице 2.3 и рисунке 2.20.

Количество сотрудников, L	Количество произведенной продукции, Q	Средний продукт труда, AP_L	Предельный продукт труда, MP_L
0	0	-	-
1	3	3	3
2	8	4	5
3	15	5	7
4	26	6,5	11
5	35	7	9
6	42	7	7
7	46	6,6	4
8	48	6	2
9	49	5,4	1
10	48	4,8	-1

Таблица 2.3. Табличный вид производственной функции.

Рис. 2.20. Графики среднего и предельного продукта.

При малых значениях L предельный продукт труда и средний продукт труда возрастают: первый сотрудник создает ненулевой выпуск, а следующие нанятые сотрудиники повышают эффективность благодаря специализации. Но начиная с некоторого количества при дальнейшем увеличении штата каждый дополнительный сотрудник будет приносить всё меньше дополнительных произведенных единиц. Общий выпуск может даже уменьшаться, если при том же количестве капитала (рабочих помещений, оборудования) сотрудников станет слишком много. Это явление называется законом убывающего предельного продукта: при увеличении использования одного фактора при фиксированном количестве всех прочих факторов есть предел роста выпуска продукции.

Геометрические связи графиков TP, AP_L, MP_L

На графике 2.21 представлена связь между выпуском (TP), средним (AP_L) и предельным продуктом труда (MP_L) для стандартной производственной функции.

Рис. 2.21. Связь графиков общего продукта и среднего, предельного продукта труда.

Рассмотрим точку А. Геометрически формулу среднего продукта труда для этой точки можно интерпретировать через отрезки треугольника \(ОAL_{1}\):

\(AP_{L} = \frac{Q_{А}}{L_{А}} = \frac{AL_{1}}{OL_{1}} = tg(\alpha)\)

Аналогично средний продукт труда в любой точке графика можно расcчитать как тангенс угла наклона горизонтальной оси и линии, проведенной из нуля в точку эту.

Производную функции в точке можно рассматривать как тангенс угла наклона касательной к графику в этой точке. Тогда предельный продукт труда в точке А будет равен тангенсу угла β.

\(MP_{L} = \frac{\mathrm{\Delta}Q}{\mathrm{\Delta}L} = \frac{AL_{2}}{L_{1}L_{2}} = \text{tg}(\beta)\)

Тангенс угла наклона касательной в большинстве случаев производственной функции возрастает в начале (в нашем примере – до точки В), потом начинает уменьшаться и достигает нуля в точке максимума производственной функции (точка D).

Тангенс угла наклона прямой из начала координат также сначала возрастает, потом достигает своего максимума в точке, где эта прямая совпадает с касательной (точка С). После угол начинает убывать.

Поскольку в точке С угол наклона касательной совпадает с углом наклона прямой из начала координат, в этой точке AP_L=MP_L.

Ещё одна важная точка – пересечение графиков MP_L и AP_Lв точке своего максимума AP_L(точка С). Это происходит не случайно. Найдем максимум AP_L, приравняв производную этой функции к 0.

\(AP_{L}^{'} = \left( \frac{Q}{L} \right)_{L}^{'} = \frac{Q_{L}^{'}*L - Q}{L^{2}} = \frac{MP_{L}*L - Q}{L^{2}} = 0\)

\(\frac{MP_{L}*L}{L^{2}} = \frac{Q}{L^{2}}\)

\(MP_{L} = \frac{Q}{L} = AP_{L}\)

Таким образом, в точке, где производная среднего продукта труда равна 0, значение функции равно предельному продукту труда в этой точке. При стандартном виде графиков (средний продукт труда имеет вид параболы) в этой точке и будет максимум AP_L.

Те же рассуждения можно применить и к среднему и предельному продукту капитала. Формулы для их вычисления симметричны тем, которые мы применяли для расчета среднего и предельного продукта труда:

\(AP_{K} = \frac{Q}{K},\ MP_{K} = \frac{\mathrm{\Delta}Q}{\mathrm{\Delta}K}.\)

Насколько вырастет выпуск, если одновременно увеличить все факторы производства? Для ответа на этот вопрос можно оценить отдачу от масштаба производства. Пусть для функции

\(TP(K,L)=f(K, L) = Q\)

и количество каждого ресурса увеличивается в λ раз. Тогда новый выпуск составит:

\(f(\lambda K,\ \lambda L) = aQ\)

, где а показывает, во сколько раз увеличится выпуск.

Если \(a > \lambda\) - производство характеризуется возрастающей отдачей от масштаба, выпуск растет быстрее, чем увеличиваются факторы производства;
Если \(a = \lambda\) – это производство с постоянной отдачей от масштаба, выпуск растет пропорционально увеличению ресурсов;
Если \(a < \lambda\) – это производство с уменьшающейся отдачей от масштаба, выпуск растет медленнее, чем увеличивается количество затрачиваемых ресурсов.

На примере функции Кобба-Дугласа \(Q = K^{\frac{1}{2}}L^{\frac{2}{3}}\), если количество каждого ресурса увеличится в λ раз, то выпуск изменится так:

\(f(\lambda K,\ \lambda L) = {(\lambda K)}^{\frac{1}{2}}{(\lambda L)}^{\frac{2}{3}} = \lambda^{\frac{7}{6}}K^{\frac{1}{2}}L^{\frac{2}{3}} = \lambda^{\frac{7}{6}}f(K,\ L)\)

\(\lambda^{\frac{7}{6}} > \lambda\)

Значит, для нашей функции увеличение количества факторов в \(\lambda\) раз привело к увеличению количества произведенной продукции больше, чем в \(\lambda\) раз. Это производство с возрастающей отдачей от масштаба.

Для того, чтобы определить возможности замещения капитала трудом для конкретной технологии есть показатель – предельная норма замещения факторов. Он рассчитывается по формуле:

\(\text{MRT}S_{L,K} = - \frac{\mathrm{\Delta}K}{\mathrm{\Delta}L}\)

Предельная норма замещения показывает, на сколько нужно изменить количество используемого в производстве капитала в ответ на изменение количества используемого труда на единицу, чтобы сохранить выпуск на начальном уровне. В предположении о бесконечной делимости капитала и труда можно рассматривать необходимое изменение капитала в ответ рост используемого труда на бесконечно малую величину. В таком случае MRTS_L,K выражается через производные:

\(\text{MRT}S_{L,K} = - \frac{dK}{dL} = - \frac{\frac{\text{dQ}}{\text{dL}}}{\frac{\text{dQ}}{\text{dK}}} = - \frac{MP_{L}}{MP_{K}}\)

Как на практике оценивают производственную функцию

Несмотря на многообразие производственных функций, с которыми вы сталкиваетесь при решении количественных экономических задач, экономисты при работе с данными практически всегда предполагают, что выпуск фирмы описывается технологией в форме Кобба-Дугласа: \(Q = A \bullet K^{\alpha} \bullet L^{\beta}\). В данном случае выпуск фирмы определяется затратами труда (L) и капитала (K), их вклад в производство интерпретируют следующим образом:

эластичность (см. главу 7.4) выпуска по капиталу равна \(\alpha\),

эластичность выпуска по труду равна \(\beta\).

За что в этом случае отвечает оставшийся параметр \(A\)? Экономисты называют его общей факторной производительностью (ОФП). Общая факторная производительность — это эффект от всех прочих ресурсов, включающий в себя особенности технологии и человеческих знаний (например, человеческий капитал). По многим оценкам, он обеспечивает большую часть экономического роста.

Как правило, оценка производственной функции среднестатистической фирмы на рынке какого-либо товара или в экономике в целом не является самостоятельной задачей. Например, исследователи [Белев, Ветеринаров, Сучкова, 2021] оценивали производственную функцию для российских фирм из разных отраслей за 2014-2018 гг. для того, чтобы определить эффект создания территорий опережающего развития¹ на рост производительности. То есть оценить, как появление благоприятной для предпринимательства зоны влияет на ОФП в функции Кобба-Дугласа.

Одна из первых аккуратных оценок производственной функции была сделана в статье [Olley, Pakes, 1996]. Задача авторов – выяснить, как технологический прогресс в телекоммуникационном оборудовании (устройства, необходимые для работы компьютерной сети) изменил производительность (опять-таки ОФП) в этой отрасли за период с 1974 по 1987 года.

Казалось бы, в чем может быть трудность получения оценок коэффициентов, таких как \(\alpha\) или \(\beta\)? Дело в том, что обычно исследователи рассматривают только фирмы, которые на протяжении всего изучаемого периода работали в отрасли, чтобы для них понять изменения производительности со временем. Но при таком подходе мы не учитываем, что некоторые фирмы ушли с рынка, поскольку у них была низкая производительность и они не имели успеха. Другие фирмы, возможно, вышли на рынок, так как им уже удалось внедрить некоторую новую эффективную технологию. Когда [Olley, Pakes, 1996] смогли учесть вышеописанную трудность, то выяснилось, что эластичность по капиталу (\(\alpha\)) более чем удваивается по сравнению с прямой оценкой, а эластичность по труду (\(\beta\)) снижается примерно на 20%. Значит в отрасли появляются все более капиталоемкие фирмы, а уходят – трудоемкие.

Издержки фирмы

После того, как установлена зависимость выпуска от количества затрачиваемых ресурсов, можно оценить стоимость производства. Для этого используется понятие издержки фирмы – все расходы фирмы на выпуск продукции.

Издержки могут быть:

явные (бухгалтерские) - это оплата сотрудникам фирмы, расходы на сырье и на транспортировку, то есть расходы, которые фирма оплатила, и их можно зафиксировать в отчетности;
неявные - стоимость упущенных возможностей. Например, упущенная заработная плата от другой возможной занятости предпринимателя или альтернативных инвестиций.

Экономические издержки состоят из суммы явных и неявных издержек.

Если для цветочного магазина используется арендованное помещение, оплата аренды – это явные издержки. Если это помещение находится в собственности владельца магазина, то есть упущенная выгода: он мог получать доход от сдачи в аренду. Недополученная аренда в данном случае и будет относиться к неявным издержкам и будет включена в экономические издержки.

Общие издержки фирмы (total costs, TC) – это все затраты на производство продукции. Как правило предполагается, что они совпадают с экономическими, то есть включают в себя явные и неявные издержки.

При анализе расходов фирмы важно учитывать временной промежуток планирования: долгосрочный или краткосрочный период.

Долгосрочный период (long run, LR) – это такой промежуток времени, за который в производстве можно изменить количество всех используемых в производстве ресурсов. Количество капитала и труда может быть изменено или сокращено до нуля.

Краткосрочный период (short run, SR) – это промежуток времени, в течении которого фирма может изменять количество только части своих ресурсов, но не всех сразу. За короткий период, такой как один месяц, фирма сможет нанять новых сотрудников или наоборот сократить штат, то есть фактор труда будет переменным. Но капитал, вероятно, будет фиксирован, так как контракты на аренду помещений и оборудования часто заключаются на срок не менее года.

Если рассматривать горизонт планирования – одну неделю, то все факторы производства окажутся фиксированными. Даже на то, чтобы нанять или уволить сотрудников, фирме потребуется не менее двух недель. Период, когда все факторы производства оказываются фиксированными, называется мгновенным.

Таким образом, в долгосрочном периоде фирма может полностью изменять количество используемых ресурсов. В том числе, если будет принято решение прекратить производство (Q=0), количество труда и капитала можно сократить до нуля, издержки также станут нулевыми. Но в краткосрочном периоде, даже если фирма не производит ничего (Q=0), она несет издержки на уже закупленные ресурсы. В краткосрочном периоде издержки можно разделить на те, который зависят от производимого объема продукции (переменные издержки, variable costs, VC), и те, которые не зависят от произведенного объема (постоянные издержки, fixed costs, FC). (рис. 2.22) В долгосрочном периоде также могут быть издержки, которые оплачиваются один раз и не меняются с повышением объема, к примеру, лицензия на продажу товара. Но если эти издержки равны нулю при нулевом выпуске, то они называются квазипостоянными.

Таблица 2.22. Структура издержек в краткосрочном и долгосрочном периоде.

Исходя из затрат на ресурсы, общие издержки состоят из суммы расходов на труд и капитал. Цена труда для фирмы – это заработная плата сотрудников (wage, w), а цена капитала – рента (rent, r).

\(TC = wL + rK\)

Но этот вид функции не очень удобен для принятия решения о том, какое количество товара производить. Поэтому для окончательного решения про выпуск обычно анализируют издержки в зависимости от объема произведенной продукции. Перейти к такому виду функции можно с помощью производственной функции фирмы \(Q = f(L,K)\).

Чтобы получить зависимость общих издержек фирмы от выпуска \(TC(Q)\) нужно решить задачу минимизации расходов на ресурсы для каждого возможного объема выпуска. В долгосрочном периоде при условии переменных количествах труда и капитала это задача вида:

\(\left\{ \begin{matrix} TC = wL + rK \rightarrow \min_{L,\ K} \\ Q = f(L,K) \\ \end{matrix}\ \right.\ \)

Количественный пример вывода издержек в LR

Рассмотрим для примера производственную функцию \(Q = \left\{ \begin{matrix} (L - 10)^{\frac{1}{3}}K^{\frac{2}{3}},K > 0,L > 10 \\ 0,K = 0,L < 10 \\ \end{matrix} \right.\ \)

Нам нужно из общего вида издержек \(\text{TC} = \text{wL} + \text{rK}\) перейти к функции вида \(\text{TC} = f(Q)\).

Сделаем это в несколько шагов:

Шаг 1. Выражаем один из факторов производства через другой фактор и Q из производственной функции.

\(Q = \left\{ \begin{matrix} (L - 10)^{1/3}K^{2/3},\ K > 0,\ L > 10 \\ 0,\ \ K = 0,\ L < 10\ \\ \end{matrix} \right.\ \)

\(K = \left\{ \begin{matrix} \left( \frac{Q}{(L - 10)^{\frac{1}{3}}} \right)^{\frac{3}{2}},\ Q > 0 \\ 0,\ Q = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \)

\(K = \left\{ \begin{matrix} \frac{Q^{\frac{3}{2}}}{(L - 10)^{\frac{1}{2}}},\ Q > 0 \\ 0,\ Q = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \)

Шаг 2. Подставляем выраженный фактор в функцию издержек.

\(TC = wL + rK = \left\{ \begin{matrix} wL + r\frac{Q^{\frac{3}{2}}}{(L - 10)^{\frac{1}{2}}},\ Q > 0 \\ 0,\ Q = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \)

Шаг 3. Минимизируем полученную функцию по оставшемуся в ней фактору производства, считая Q фиксированным значением.

Этот шаг объясняется тем, что мы хотим рассчитать минимальные затраты на производство любого заданного объема Q. Для этого подбираем оптимальное с точки зрения расходов количество фактора для любого фиксированного объема производства.

\(TC = wL + r\frac{Q^{\frac{3}{2}}}{(L - 10)^{\frac{1}{2}}} \rightarrow \min_{L}{}\)

\(TC_{L}^{'} = w + rQ^{\frac{3}{2}}*\left( - \frac{1}{2} \right)(L - 10)^{- \frac{3}{2}} = 0\)

\((L - 10)^{- \frac{3}{2}} = \frac{2w}{rQ^{\frac{3}{2}}}\)

\(L - 10 = \left( \frac{rQ^{\frac{3}{2}}}{2w} \right)^{\frac{2}{3}}\)

\(L = \left( \frac{r}{2w} \right)^{\frac{2}{3}}*Q + 10\)

Проверим, что это точка максимума. При меньших значениях L первая производная \(w - \frac{rQ^{\frac{3}{2}}}{{2(L - 10)}^{\frac{3}{2}}}\) будет принимать отрицательные значения, так как знаменатель дроби \(\frac{rQ^{\frac{3}{2}}}{{2(L - 10)}^{\frac{3}{2}}}\) уменьшается, сама дробь возрастает, а она входит в функцию производной со знаком минус. При больших значениях L всё произойдет в точности наоборот, производная станет положительной. Значит, до нашей точки функция убывала, а после неё – возрастает. Значит, найденная точка – локальный минимум функции.(рис. 2.23)

Рис. 2.23. Связь изменений функции издержек и производной.

Обратим внимание, что минимальное количество L при любом неотрицательном объеме производства – 10. Посмотрим, сколько капитала требуется для производства Q штук продукции. Подставим полученное значение L в функцию K:

\(K = \frac{Q^{\frac{3}{2}}}{(L - 10)^{\frac{1}{2}}} = \frac{Q^{\frac{3}{2}}}{\left( \left( \frac{r}{2w} \right)^{\frac{2}{3}}*Q + 10 - 10 \right)^{\frac{1}{2}}} = \left( \frac{2w}{r} \right)^{\frac{1}{3}}*Q\)

Количество капитала неотрицательно при любом объеме производства.

Шаг 4. Подставляем оптимальное количество факторов в функцию издержек.

\(TC = wL + rK = \)

\(wL + r\frac{Q^{\frac{3}{2}}}{(L - 10)^{\frac{1}{2}}} = w\left( \left( \frac{r}{2w} \right)^{\frac{2}{3}}*Q + 10 \right) + r*\frac{Q^{\frac{3}{2}}}{\left( \left( \frac{r}{2w} \right)^{\frac{2}{3}}*Q + 10 - 10 \right)^{\frac{1}{2}}} =\)

\(2^{- \frac{2}{3}}*r^{\frac{2}{3}}w^{\frac{1}{3}}*Q + 10w + 2^{\frac{1}{3}}*r^{\frac{2}{3}}w^{\frac{1}{3}}*Q = r^{\frac{2}{3}}w^{\frac{1}{3}}*Q*\left( \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}} \right) + 10w = \)

\(2^{\frac{1}{3}}*r^{\frac{2}{3}}w^{\frac{1}{3}}*Q*\left( \frac{1}{2} + 1 \right) + 10w = 3*2^{\frac{- 2}{3}}*r^{\frac{2}{3}}w^{\frac{1}{3}}*Q + 10w \)

Шаг 5. Проверяем, не забыты ли особые точки функции.

На прошлом шаге мы получили функцию \(\text{TC} = 3 \ast 2^{\frac{1}{3}} \ast r^{\frac{2}{3}}w^{\frac{1}{3}} \ast Q + 10w\). Получается, что даже при объеме производства 0 (Q=0) наша фирма несет издержки в размере 10w. Производственная функция устроена так, что для достижения любого положительного объема производства необходимо нанять хотя бы 10 сотрудников. Но если предприниматель решит закрыть фирму и производить 0, то оставлять в штате 10 сотрудников совершенно не обязательно. Таким образом мы должны добавить к функции издержек отдельную точку TC(Q=0)=0.

\(TC = \left\{ \begin{matrix} 3*2^{\frac{1}{3}}*r^{\frac{2}{3}}w^{\frac{1}{3}}*Q + 10w,\ Q > 0 \\ 0,\ Q = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \)

Такие особые точки могут возникать в нуле производства, как в нашем случае, или при отрицательных оптимальных объемах факторов производства. В решении могло возникнуть отрицательное оптимальное количество L при небольших объемах производства. В таком случае нужно добавлять в решение ограничение на неотрицательность количества факторов производства.

Если рассматривать краткосрочный период, фирма может принять решение о количестве только одного из ресурсов, количество второго зафиксировано. Как правило, задача краткосрочного периода выглядит так:

\(\left\{ \begin{matrix} TC = wL + r\overline{K} \rightarrow \min_{L} \\ Q = f(L,\overline{K}) \\ \end{matrix}\ \right.\ \)

, где \(\overline{K}\) – фиксированный запас капитала.

Количественный пример вывода издержек в SR

Пусть для производственной функции из прошлого примера \(Q = \left\{ \begin{matrix} (L - 10)^{\frac{1}{3}}K^{\frac{2}{3}},K > 0,L > 0 \\ 0,K = 0,L = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \) количество капитала зафиксировано на уровне 27 единиц. Тогда для вывода издержек вида \(\text{TC} = f(Q)\) снова используем общий вид \(\text{TC} = \text{wL} + \text{rK}\).

Шаг 1. Подставим фиксированное количество капитала в производственную функцию и издержки

K=27

\(Q = (L - 10)^{1/3}K^{2/3} = (L - 10)^{1/3}*27^{\frac{2}{3}} = 9(L - 10)^{1/3}\)

\(Q = \left\{ \begin{matrix} 9(L - 10)^{1/3},\ L > 10 \\ 0,\ \ L < 10\ \\ \end{matrix} \right.\ \)

\(\text{TC} = \text{wL} + rK = wL + 27r\)

Шаг 2. Выражаем количество труда из производственной функции.

Рассчитываем, сколько единиц труда понадобится для производства Q единиц продукции.

\(Q = \left\{ \begin{matrix} 9(L - 10)^{1/3},\ L > 10 \\ 0,\ L < 10 \\ \end{matrix} \right.\ \)

\(L = \left\{ \begin{matrix} \left( \frac{Q}{9} \right)^{3} + 10,\ Q > 0 \\ 0,\ Q = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \)

Шаг 3. Подставляем функцию трудозатрат в функцию издержек.

\(TC = wL + 27r = \left\{ \begin{matrix} w\left( \left( \frac{Q}{9} \right)^{3} + 10 \right) + 27r,\ \ Q > 0 \\ 27r\ ,\ Q = 0 \\ \end{matrix} \right.\ = \left\{ \begin{matrix} \frac{w}{729}Q^{3} + 10w + 27r,\ Q > 0 \\ 27r,\ Q = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \)

В мгновенном периоде количество всех факторов производства фиксировано, поэтому функция издержек также становится фиксированным числом: \(\text{TC} = \text{const}\).

Средние и предельные издержки

Функция общих издержек, как правило, возрастает с увеличением объема производства. Но для того, чтобы принять решение о наиболее выгодном выпуске, необходимо исследовать скорость роста издержек. Для этого рассматривают средние и предельные показатели издержек.

Средние издержки производства (average costs, AC) – это сумма, которая расходуется на производство единицы продукции в среднем при данном объеме производства.

\(AC = \frac{\text{TC}(Q)}{Q}\)

Средние издержки в стандартном случае убывают до некоторого объема производства, достигают минимума, а затем начинают расти. На примере цветочного магазина, чтобы произвести первый букет, нужно понести очень высокие издержки на открытие магазина. Второй букет обойдется дешевле, так как для него нужно будет только докупить цветы. Но начиная с определенного количества заказов в день средние издержки начнут возрастать. В магазин нужно будет нанимать дополнительных сотрудников, открывать новые точки продажи, запускать рекламу. В этом случае каждый дополнительный букет будет повышать средние расходы.

Средние издержки можно разделить на средние переменные издержки (AVC) и средние постоянные издержки (AFC).

\(AC = \frac{\text{TC}(Q)}{Q} = \frac{VC + FC}{Q} = \frac{\text{VC}}{Q} + \frac{\text{FC}}{Q} = AVC + AFC\)

Помимо средних расходов на единицу товара можно рассматривать предельные величины. Предельные издержки (marginal costs, MC) – дополнительные издержки на производство последней единицы продукции:

\(MC = \frac{\mathrm{\Delta}\text{TC}}{\mathrm{\Delta}Q}\)

В случае, если количество товара может быть только целым числом, рассчитать предельные издержки можно по формуле:

\(MC = \text{TC}(Q) - TC(Q - 1)\)

Если количество произведенной продукции может быть нецелым, применима формула с производной:

\(MC = \lim_{\mathrm{\Delta}Q \rightarrow 0}\frac{\mathrm{\Delta}\text{TC}}{\mathrm{\Delta}Q} = TC_{Q}^{'}\)

Предельные издержки по аналогии со средними сначала убывают, потом возрастают. (рис. 2.24)

Рис. 2.24. Связь средних, средних переменных и предельных издержек.

График MC пересекает AC и AVC в точках их минимумов, это можно вывести аналитически. Найдем минимум AC:

\(AC \rightarrow \min_{Q}{}\)

В стандартном случае график AC имеет точку минимума при положительных значениях выпуска. Значит, для минимума верно необходимое условие экстремума:

\(AC_{Q}^{'} = 0\)

\(AC_{Q}^{'} = \left( \frac{\text{TC}(Q)}{Q} \right)_{Q}^{'} = \frac{TC_{Q}^{'}*Q - TC}{Q^{2}} = 0\)

\(\frac{MC*Q}{Q^{2}} - \frac{\text{TC}}{Q^{2}} = 0\)

\(\frac{MC*Q}{Q^{2}} = \frac{\text{TC}}{Q^{2}}\)

\(\frac{\text{MC}}{Q} = \frac{\text{AC}}{Q}\)

\(MC = AC\)

Значит, если у функции AC есть минимум при положительных значениях выпуска, то он должен лежать на функции MC.

Связь краткосрочных и долгосрочных издержек фирмы

Издержки фирмы в краткосрочном периоде всегда будут не меньше, чем в долгосрочном. В долгосрочном периоде предприниматель может изменять количество любого ресурса и подбирать для каждого произведенного объема самую оптимальную комбинацию. В краткосрочном периоде один из факторов зафиксирован, поэтому возможности оптимизации производства становятся ограниченными.

Предприниматель может замещать один фактор другим. К примеру, количество капитала в краткосрочном периоде фиксировано, но потребовалось произвести много продукции. Предприниматель будет нанимать больше сотрудников и замещать недостаток капитала трудом, хотя это может быть менее эффективно.

Если предприниматель будет заранее планировать повышение объемов производства в долгосрочном периоде, у него будет возможность подобрать оптимальное количество труда и капитала. Таким образом, \(TC_{\text{LR}} \leq TC_{\text{SR}}\). Но даже в краткосрочном периоде будет как минимум одна точка производства, в которой количество капитала, необходимое для производства определенного количества товара, совпадет с долгосрочным периодом. Тогда \(TC_{\text{LR}}(K,L) = TC_{\text{SR}}\left( \overline{K},L \right)\). Значит, в этой точке окажутся равны и средние издержки. А так, как при всех остальных объемах производства оптимально другое количество капитала и долгосрочные издержки ниже, долгосрочные средние издержки тоже будут ниже, чем краткосрочные. (рис. 2.25)

Рис. 2.25. Связь долгосрочных и краткосрочных средних издержек.

Если построить разные варианты краткосрочных средних издержек, которые для всех возможных вариантов количества капитала, нижняя огибающая этих кривых образует долгосрочные средние издержки. (рис. 2.26)

Рис. 2.26. Связь долгосрочных и краткосрочных средних издержек.

Оптимизация издержек в условиях нескольких заводов

Классическая математическая задача на тему издержек – вывод общей функции издержек для фирмы с несколькими заводами.

В общем случае заводы представлены функциями издержек:

\(TC_{1} = f(q_{1})\)

\(TC_{2} = g(q_{2})\)

Общая функция издержек должна выглядеть как \(\text{TC} = F(Q)\), где \(Q = q_{1} + q_{2}\). Основной вопрос этой задачи – как распределить производство Q единиц между двумя заводами, то есть какая часть (\(q_{1}\)) должная быть произведена на первом, а какая (\(q_{2}\)) – на втором.

Возможны два подхода к решению этой задачи.

Способ 1. Оптимизировать издержки по одному из \(q_{i}\).

Выразим \(q_{1} = Q - q_{2}\) при условии \(Q \geq q_{1} \geq 0,\ Q \geq q_{2} \geq 0\).

\(TC = TC_{1}\left( q_{1} \right) + \text{TC}_{2}\left( q_{2} \right) = TC_{1}\left( Q - q_{2} \right) + TC_{2}\left( q_{2} \right)\)

Теперь осталось оптимизировать получившуюся функцию по \(q_{2}\):

\(TC = TC_{1}\left( Q - q_{2} \right) + TC_{2}\left( q_{2} \right) \rightarrow \min_{q_{2}}{}\)

В результате получится оптимальное значение \(q_{2}\) для каждого Q. После подстановки оптимального \(q_{2}\ \)в суммарные издержки получится общая функция.

Пример решения:

\(\text{TC}_{1}\left( q_{1} \right) = q_{1}^{2} + 20\)

\(\text{TC}_{2}\left( q_{2} \right) = 2q_{2} + 10\)

Нужно вывести \(TC = F(Q)\), где \(Q = q_{1} + q_{2}\).

Выразим \(q_{1} = Q - q_{2}\) при условии\(\ Q \geq q_{1} \geq 0,\ Q \geq q_{2} \geq 0\).

\(TC = TC_{1}\left( q_{1} \right) + \text{TC}_{2}\left( q_{2} \right) = q_{1}^{2} + 20 + 2q_{2} + 10 = \left( Q - q_{2} \right)^{2} + 2q_{2} + 30 \rightarrow \min_{q_{2}}{}\)

Относительно \(q_{2}\) эта функция – парабола с ветвями вверх. Следовательно, в вершине будет минимум функции.

\(q_{2}^{*} = - \frac{- 2Q + 2}{2} = Q - 1\)

Условие \(Q \geq q_{2} \geq 0\) выполняется только при \(Q \geq 1\). Если \(Q < 1\), то вершина параболы лежит в отрицательных числах. Тогда нам нужно выбрать ближайшее к оптимуму доступное число, это \(q_{2}^{*} = 0.\) (рис. 2.27)

Рис. 2.27. Графическое решение оптимизации общих издержек.

\(q_{2}^{*} = \left\{ \begin{matrix} Q - 1,\ Q \geq 1 \\ 0,\ Q < 1 \\ \end{matrix} \right.\ \)

Подставим в суммарную функцию издержек:

\(TC = \left( Q - q_{2} \right)^{2} + 2q_{2} + 30 = \left\{ \begin{matrix} \left( Q - (Q - 1) \right)^{2} + 2(Q - 1) + 30,Q \geq 1 \\ Q^{2} + 30,\ Q < 1 \\ \end{matrix} \right.\ \)

\(TC = \left\{ \begin{matrix} 2Q + 29,Q \geq 1 \\ Q^{2} + 30,\ Q < 1 \\ \end{matrix} \right.\ \)

Способ 2. Рассмотреть предельные издержки заводов и выбирать производство на том, где издержки ниже.

Для нашего примера

\(\text{TC}_{1}\left( q_{1} \right) = q_{1}^{2} + 20\)

\(\text{TC}_{2}\left( q_{2} \right) = 2q_{2} + 10\)

Построим графики предельных издержек. (рис. 2.28)

\({MC}_{1}\left( q_{1} \right) = 2q_{1}\)

\(\text{MC}_{2}\left( q_{2} \right) = 2\)

Рис. 2.28. Вывод общих издержек через графики предельных издержек заводов.

До точки \(q = 1\) MC₁ ниже, чем MC₂. Значит, производить дополнительную единицу продукции выгоднее сначала на первом заводе. После того, как на первом заводе произведено количество q=1, издержки производства дополнительной единицы на нем становятся выше, чем издержки производства первой единицы на втором заводе. Далее единица продукции на втором заводе всегда дешевле, а значит, при q>1 мы будем производить всё, кроме первой штуки, на втором заводе. Предельные издержки суммарной функции издержек представлены на рисунке 2.29.

Рис. 2.29. Вывод общих издержек через графики предельных издержек заводов.

По этой функции можем восстановить общие издержки:

\(MC = \left\{ \begin{matrix} 2q,\ q \leq 1 \\ 2,\ q > 1 \\ \end{matrix} \right.\ \)

\(TC = \left\{ \begin{matrix} q^{2} + C,\ q \leq 1 \\ 2(q - 1) + C,\ q > 1 \\ \end{matrix} \right.\ \)

C=30, константа определяется постоянными издержками заводов.

Решение задачи фирмы

Главная цель большинства фирм - получение наибольшего заработка или прибыли. Прибыль фирмы – это сумма денег, которая осталась после продажи товаров и выплаты всех расходов фирмы.

Прибыль = Выручка – Издержки

\(PR = TR - TC\)

Выручка – это сумма денег, которую получает фирма от продажи товара.

Выручка = цена * количество проданного товара

\(TR = P*Q\)

Тогда функцию прибыли можно преобразовать:

\(PR = TR - TC = P*Q - TC = (P - AC)*Q\)

Из такого вида формулы легко заметить, что прибыль будет положительна, если цена продукции окажется выше средних издержек, и отрицательна в противном случае.

Рис. 2.30. Интервал объемов продаж с положительной прибылью.

На примере графика 2.30 для получения положительной прибыли нужно выбрать объем производства внутри голубого прямоугольника на интервале [Q₁; Q₂].

Рассмотрим интервал доступных объемов производства, начиная с Q₁. При объеме производства Q₁ предельные издержки производства (MC) ниже, чем цена продажи (P). Значит, фирма тратит на производство этой единицы меньше, чем зарабатывает с её продажи. Стоит произвести и продать эту дополнительную единицу продукции, чтобы повысить общую прибыль фирмы. Такие же рассуждения можно применять дальше до момента, пока MC не сравняется с P (точка Q₃). В точке Q₃ фирма тратит на производство единицы продукции столько же, сколько зарабатывает от продажи. Если увеличивать объем производства и дальше, то предельные издержки станут выше цены, это будет уменьшать общую прибыль. Таким образом, в стандартном случае оптимум фирмы достигается при таком объеме производства, когда MC=P, при условии, что до этой точки MC < P.

К этому же выводу можно прийти аналитически, исследуя функцию прибыли:

\(PR = TR - TC \rightarrow \max_{Q}{}\)

\(PR_{Q}^{'} = TR_{Q}^{'} - TC_{Q}^{'} = 0\)

\({(P*Q)}_{Q}^{'} - MC = 0\)

Если P – это постоянная величина, то

\(P - MC = 0\)

\(P = MC\)

Конечно, для каждой конкретной функции необходимо проверять, является ли эта точка максимумом функции или нет.

Что, если средние издержки при любом объеме производства выше, чем цена?

В долгосрочном периоде, если средние издержки при любом объеме производства строго выше цены, то фирме стоит покинуть отрасль. При любом положительном объеме производства она будет получать отрицательную прибыль, а при закрытии производства прибыль окажется равна 0.

Но в краткосрочном периоде часть издержек на производство, вероятно, уже оплачена (фиксированные издержки). В таком случае решение о закрытии производства принимается, если прибыль от любого положительного объема Q меньше прибыли при производстве 0. Фирма останется на рынке, если:

\(PR(Q) \geq PR(0)\)

\(P*Q - TC(Q) \geq P*0 - TC(0)\)

\(P*Q - VC(Q) - FC \geq - FC\)

\(P*Q \geq VC(Q)\)

\(P \geq AVC(Q)\)

Значит, если существует хотя бы одна точка, в которой цена выше средних переменных издержек, фирме выгодно продолжать работу на рынке и получать прибыль.

Если при любом объеме производства цена ниже, чем средние переменные издержки, то есть ниже минимума (\(P < \text{AV}C_{\min}\)), то фирме стоит закрыть производство.

В краткосрочном периоде фирма может получать отрицательную прибыль и оставаться на рынке по нескольким причинам:

Уход с рынка – это ещё более высокие издержки в краткосрочном периоде. Продажи позволяют покрыть хотя бы часть из этих уже понесенных издержек;
В моделях рассматривается экономическая прибыль. Отрицательная экономическая прибыль не обязательно означает работу в долг. Возможно, на данный момент можно было получить большую выгоду от альтернативных способов использования ресурсов.

Выводы

Производственная функция – это зависимость объема произведенной продукции (Q) от количества затраченных на производство факторов (как правило, L и K). Наиболее важные её характеристики – отдача от масштаба и предельная норма замещения факторов;
Издержки фирмы – это все её затраты на производство продукции. Издержки разделяют на явные и неявные, постоянные и переменные;
Постоянные издержки существуют только в краткосрочном периоде, так как в долгосрочном количество всех используемых ресурсов можно изменять и снижать до нуля;
Издержки фирмы в краткосрочном периоде всегда не ниже, чем в долгосрочном периоде;
Для выбора оптимального объема производства фирме важны предельные издержки и их соотношение с ценой.

Литература по теме:

Carvalho Vasco M, Makoto Nirei, Yukiko U Saito, Alireza Tahbaz-Salehi, “Supply Chain Disruptions: Evidence from the Great East Japan Earthquake” // The Quarterly Journal of Economics, Volume 136, Issue 2, May 2021.
Ernest Liu & Aleh Tsyvinski, Dynamical Structure and Spectral Properties of Input-Output Networks // Working Papers 2021-13, Princeton University. Economics Department. – 2021.
Olley, G.S., Pakes, A. The dynamics of productivity in the telecommunications equipment industry // Econometrica. – 1996.
Белев С.Г., Ветеринаров В.В., Сучкова О.В. Территории опережающего развития и производительность в российских регионах // Экономический журнал ВШЭ. – 2021

Глоссарий:

Факторы производства, производственная функция, средний продукт труда, предельный продукт труда, отдача от масштаба, предельная норма замещения факторов, общие издержки фирмы (TC), явные и неявные издержки, долгосрочный период, краткосрочный период, переменные издержки, постоянные издержки, квазипостоянные издержки, средние издержки (AC), переменные издержки (MC), прибыль, выручка (TR)

«часть территории субъекта Российской Федерации, включая закрытое административно-территориальное образование, и (или) акватории водных объектов, на которых в соответствии с решением Правительства Российской Федерации установлен особый правовой режим осуществления предпринимательской и иной деятельности в целях формирования благоприятных условий для привлечения инвестиций, обеспечения ускоренного социально-экономического развития и создания комфортных условий для обеспечения жизнедеятельности населения»↩︎