Анализ эффектов диверсификации привел к формированию теоретических концепций, которые впоследствии легли в основу модели, предложенной Гарри Марковицем и расширенной в работах Джеймса Тобина и ряда других исследователей.
В основе большинства моделей в области портфельной теории лежат такие предпосылки, как мышление в терминах «матожидания и стандартного отклонения», совершенная делимость активов, ликвидность, отсутствие налогов, гомогенность ожиданий, не склонность экономических агентов к риску, доступность коротких продаж. Многие предпосылки являются существенными для получения выводов моделей, например, делимость активов нужна, так как вывод модели часто предполагает анализ влияния небольших изменений долей активов в портфеле. При этом ряд предпосылок представляет особый интерес в связи с анализом того, как изменятся выводы модели при их снятии. Например, при отмене предпосылки о доступности коротких продаж уменьшается множество всех доступных для инвестора портфелей, и в ряде случаев теряются некоторые привлекательные с точки зрения соотношения риска и доходности инвестиционные возможности.
В рамках модели Марковица рассматривается все множество активов и портфелей, которые возможно образовать из этих активов. Нам уже известно, что ожидаемая доходность портфеля является линейной комбинацией ожидаемых доходностей активов, взвешенной по долям соответствующих активов, а ожидаемое стандартное отклонение доходности портфеля всегда ниже, чем линейная комбинация ожидаемых стандартных отклонений активов, взвешенная по долям соответствующих активов. В связи с этим, рассматривая все множество активов и портфелей в координатах «ожидаемое стандартное отклонение доходности – ожидаемая доходность» можно выделить такие активы, которые с точки зрения любого не склонного к риску инвестора всегда лучше других. Множество всех инвестиционных портфелей, которые для заданного уровня риска приносят наибольшую ожидаемую доходность, называется границей эффективных портфелей. Также равноценным является определение границы эффективных портфелей как множества всех инвестиционных портфелей, которые имеют наименьший уровень риска из всех портфелей для каждого заданного уровня ожидаемой доходности. Фактически граница эффективных альтернатив образована множеством оптимальных по Парето портфелей, так как меняя структуру портфеля невозможно улучшить ожидаемую доходность, не увеличив риск.
Особый интерес представляет поиск оптимального выбора инвестора. Рациональный инвестор из множества всех рисковых портфелей всегда будет выбирать один из портфелей, лежащий на эффективной границе. Однако выбор конкретного портфеля будет сделан вследствие индивидуальных предпочтений такого инвестора. В рамках портфельной теории функция полезности инвестора представлена CRRA-функцией (Constant Relative Risk Aversion), которая предполагает постоянную относительную несклонность инвестора к риску. В рамках такой функции постоянной является мера Эрроу-Пратта в расчете на единицу благосостояния инвестора. Применительно к портфельной теории важно, что значение функции полезности инвестора в будущем будет тем меньше, чем выше возможный разброс в возможных уровнях благосостояния. Таким образом уровень полезности инвестора определяется ожидаемой доходность портфеля \(r_{p}\) и ожидаемой дисперсией доходности портфеля \(\sigma_{p}^{2}\):
\({U = {r_{p} - \frac{\gamma}{2}}}\sigma_{p}^{2}\).
Чем выше степень абсолютного неприятия риска \(\gamma\), тем выше у него степень избегания риска, и тем сильнее снижается полезность инвестора при выборе портфеля с более высокой дисперсией доходности.
Графическая иллюстрация функцией полезности для несклонных к риску экономических агентов с разной степенью избегания риска изображена на рисунке.
Рисунок 1. Функции полезности инвесторов в координатах ожидаемая доходность – ожидаемое стандартное отклонение доходности для разных степеней избегания риска.
Таким образом, среди несклонных к риску инвесторов можно выделить тех, кто имеет сильную, среднюю или слабую склонность к избеганию риска. Инвесторы с сильной склонностью к избеганию рисков будут выбирать сравнительно менее рискованные портфели. Инвесторы, сравнительно терпимые к риску, будут выбирать сравнительно более рискованные портфели.
При этом в рамках стандартных предпосылок выбор оптимального портфеля будет единственным для каждого инвестора с заданной функцией полезности, так как будет определяться точкой касания кривой безразличия для каждого заданного уровня полезности и границей эффективных альтернатив. Важными условиями единственности является направленный влево вверх градиент кривой безразличия, выпуклость кривой безразличия и вогнутость границы эффективных альтернатив.
Задача поиска оптимального портфеля при заданных инвестиционных характеристиках активов и функции полезности инвестора может быть решена аналитически посредством максимизации функции полезности.
Все множество активов в координатах «ожидаемая доходность – ожидаемое стандартное отклонение доходности» можно изобразить следующим образом (рисунок):
Рисунок 2. Множество активов
В частности, обратите внимание на актив, который лежит на оси ординат. У этого актива ожидаемое стандартное отклонение равно 0. Как мы узнаем далее, такой актив в финансовой теории называется безрисковым.
Если комбинировать рисковые активы, то за счет эффекта диверсификации можно достигнуть улучшения в соотношении риска и ожидаемой доходности. Предельный случай, когда все эффекты диверсификации использованы, образует границу эффективных портфелей (синяя линия на рисунке). Обратите внимание, что граница эффективных альтернатив лежит строго выше безрискового актива, что является следствием не склонного к риску поведения инвесторов (если бы доходность безрискового актива была выше доходности диверсифицированного рискового портфеля, то у инвесторов не было бы стимулов приобретать такой рисковый портфель).
Рисунок 3. Граница эффективных портфелей
Оптимальный портфель для инвестора (если при выборе отсутствует возможность инвестировать некоторую часть средств в безрисковый портфель) соответствует точке касания кривой безразличия с наибольшей полезностью (в соответствии с градиентом) и границы эффективных портфелей.
Рисунок 4. Оптимальный портфель, состоящий из рисковых активов
Аналитически задача поиска оптимального портфеля может быть представлена следующим образом. Инвестор стремится максимизировать свою полезность:
\({U = {r_{p} - \frac{\gamma}{2}}}\sigma_{p}^{2}\rightarrow\mathit{\max}\)
посредством выбора весов активов в портфеле \((w_{1};w_{2};\ldots{;w}_{N}\)),
при этом, как было отмечено выше, сумма весов всех активов в портфеле равна \({\sum\limits_{i = 1}^{N}w_{i}} = 1\), а ожидаемые доходность и дисперсия доходности портфеля определяются соответственно как \(r_{p} = {\sum\limits_{i = 1}^{N}{w_{i}r_{i}}}\)
и
До настоящего момента мы преимущественно рассматривали множество рисковых портфелей. Однако в выводах модели произойдут существенные изменения, если предположить, что, помимо рисковых активов, инвестору также доступен безрисковый актив.
Графически легко показать, что включение в портфель безрискового актива приводит к возможности получить еще более высокий уровень полезности (рисунок).
Рисунок 5. Выбор оптимального полного портфеля инвестора
Аналитически это означает, что при решении максимизационной задачи \(\)\({U = {r_{p} - \frac{\gamma}{2}}}\sigma_{p}^{2}\rightarrow\mathit{\max}\)
один из активов является безрисковым – дисперсия его доходности равна нулю, и, как следствие, ковариации его доходности с доходностями всех активов равны нулю.
Для большинства инвесторов максимизация полезности будет достигаться за счет комбинации в полном портфеле двух классов активов – безрискового актива и хорошо диверсифицированного набора рисковых активов. Применительно к личным финансам это означает, что в оптимальном портфеле должны быть и низкорискованные активы, и диверсифицированный портфель акций.
Отметим, что в рамках большинства моделей в портфельной теории понятие безрискового актива носит строгое определение – это актив, дисперсия (и стандартное отклонение) номинальной доходности которого равны нулю. Важным является экономический смысл безрискового актива при заданном определении.
Безрисковый актив дает одну и ту же доходность вне зависимости от состояния мира. Однако важно отметить, что речь идет о фиксированной номинальной доходности в конкретной валюте. В связи с этим на самом деле безрисковая доходность не очищена от ряда рисков. Во-первых, при инвестировании в безрисковый актив неизвестна реальная доходность. Следовательно, инвестор знает только номинальный уровень своего будущего инвестиционного результата, но не его покупательную способность. Такой риск часто называют инфляционным риском (inflation risk), или риском покупательной способности (purchasing power risk). Во-вторых, развивая рассуждения о покупательной способности, если мы фиксируем доходность в рублях, а нас интересует инвестиционный результат, измеренный в другой валюте, становится ясно, что безрисковая доходность относится к конкретной валюте и не очищена от валютного риска. В-третьих, следует отметить, что понятие безрискового актива предполагает конкретный инвестиционный горизонт. Если срочность погашения безрискового актива равна этому инвестиционного горизонту, то инвестор получит ожидаемую фиксированную номинальную доходность. Если срок до погашения актива, который инвестор считает безрисковым, существенно превышает инвестиционный горизонт, то на самом деле инвестор будет подвержен риску процентных ставок, при росте процентных ставок доходность, которую безрисковый актив принесет к моменту истечения инвестиционного горизонта, будет ниже ожидаемой. Если срок до погашения актива, который инвестор считает безрисковым, короче инвестиционного горизонта, то инвестор будет подвержен риску реинвестирования, при снижении процентных ставок доходность, которую безрисковый актив принесет к моменту истечения инвестиционного горизонта, будет ниже ожидаемой.
Эти рассуждения показывают, что безрисковый актив на самом деле не защищает инвестора от всех возможных рисков, и при этом необходимо корректно подходить к выбору безрискового актива. Обычно в качестве безрисковой ставки используется бескупонная доходность государственных облигаций со сроком погашения, равным инвестиционному горизонту. В частности, в России обычно используется бескупонная доходность ОФЗ, которая на каждую дату публикуется на сайте Банка России. Иногда встречаются предложения по использованию в качестве безрисковой ставки ключевой ставки Банка России, однако несмотря на ее высокую корреляцию со значениями бескупонной доходности ОФЗ, значение ключевой ставки некорректно использовать, в частности, так как инвестор не может физически вложить деньги под ключевую ставку на конкретный период времени. Кроме этого, значение ключевой ставки не учитывает длину инвестиционного горизонта инвестора.
Интересными являются предложения использовать в качестве безрисковой доходность к погашению ОФЗ-ИН (с индексируемым номиналом), так как она очищена от инфляционного риска. Такая доходность номинирована в реальном выражении. Однако развитие полноценных моделей для такого определения безрисковой ставки представляет собой нетривиальную задачу, а само использование в качестве безрисковой реальной доходности также имеет свои ограничения, в частности, несоответствие расходов каждого конкретного инвестора официальной инфляции и низкая ликвидность облигаций с индексируемым номиналом.
Из определения безрискового актива следует, в частности, что корреляции доходностей безрискового актива с любым рисковым активом будут также равны 0. Одним из интересных следствий этого аспекта является тот факт, что стандартное отклонение портфеля, состоящего на \(w_{A}^{❑}\) из рискового актива со стандартным отклонением \(\sigma_{A}^{❑}\) и на \(({1 - w_{A}^{❑}})\)из безриского актива, будет равно и \(({1 - w_{A}^{❑}})\sigma_{A}^{❑}\).
Как было отмечено ранее, безрисковый актив всегда имеет ожидаемую доходность ниже, чем любой из портфелей на границе эффективных портфелей. Это связано с тем, что любой портфель с границы эффективных портфелей является рисковым, а, следовательно, при его ценообразовании закладывается премия за риск. В противном случае, инвесторы предпочитали бы безрисковый актив рисковому, цена рискового актива бы снизилась, а его доходность выросла бы до равновесного (превышающего безрисковую ставку) уровня.
Важным выводом портфельной теории также является подход к рассмотрению доходности любого рискового актива как суммы безрисковой доходности и премии (или премий) за риск. В подавляющем большинстве моделей именно таким образом представляется доходность рисковых активов.
Анализируя совместно и безрисковый актив, и все множество активов, расположенных на границе эффективных портфелей, интересно проанализировать портфель, который лежит на касательной к границе эффективных портфелей, которая проходит через безрисковый актив. Этот портфель часто называется тангенсным. Его характеризует наибольшее из возможных значение коэффициента Шарпа, который представляет собой отношение разности доходности портфеля и безрисковой доходности к стандартному отклонению портфеля:
\(\mathit{SR}_{A} = \frac{r_{A} - r_{f}}{\sigma_{A}}\).
Как было показано ранее, как правило, оптимальный выбор инвестора, которому доступен безрисковый актив, будет представлять собой комбинацию безрискового актива и тангенсного портфеля. Этот вывод находит свое отражение в подходе к управлению благосостоянием, в рамках которого частному инвестору следует определить оптимальное соотношение между инвестициями в низкорискованные активы (например, облигации) и рисковые активы (например, акции). При этом даже инвесторам с высоким избеганием риска рекомендуется вкладывать небольшую долю активов в хорошо диверсифицированный портфель акций, а инвесторам с высокой терпимостью к риску все равно небольшую часть портфеля рекомендуется размещать в низкорисковые активы. В рамках модели возможен выбор инвестора, который предполагает левереджированную позицию в тангенсном портфеле (при возможности заимствований), либо портфель на границе эффективных портфелей, который лежит правее тангенсного портфеля (если возможности занятия коротких позиций по безрисковому активу ограничены).
Интересным соотношением является \({\mathit{SR}_{B} > {\mathit{SR}_{A} \ast \mathit{corr}}}\left( {r_{A};r_{B}} \right)\), которое устанавливает, что если и только если коэффициент Шарпа актива B больше коэффициента Шарпа портфеля A, умноженного на корреляцию доходностей актива B и портфеля A, то включение актива B в портфель A может увеличить коэффициент Шарпа портфеля B.