Задача 1.
Инвестору доступно приобретение активов K, L и N. Активы являются абсолютно делимыми и ликвидными.
Ожидаемые доходности активов равны:
| Актив | Ожидаемая доходность |
| K | 0,3 |
| L | 0,38 |
| N | 0,2 |
Ковариационная матрица ожидаемых доходностей активов имеет следующий вид:
| K | L | N | |
| K | 1 | 1 | 0 |
| L | 3 | 0 | |
| N | 0 |
- Инвестор вложил весь свой капитал в два рисковых актива поровну. Определите инвестиционные характеристики (ожидаемые доходность и стандартное отклонение доходности) портфеля
- Инвестор решил снизить риски своего портфеля, в связи с чем он половину портфеля из предыдущего пункта заменил безрисковым активом (при сохранении структуры рисковых активов)
- Известно, что полезность инвестора равна \({U = {r - 0,1}}\sigma^{2}\). Как вы порекомендуете изменить веса в портфеле для максимизации полезности?
- Сравните значения полезности инвестора и значения коэффициентов Шарпа для портфелей в пунктах А-В.
- Чему равна ожидаемая корреляция доходностей активов K и L?
- Что с высокой вероятностью произойдет с корреляцией доходностей в случае сильного экономического кризиса (ответ обоснуйте)?
Решение
Безрисковым активом является актив N.
Ожидаемая доходность равна \(r\text{=}0,5\text{*}0,3\text{+}0,5\text{*}0,38\text{=}0,34\)
Ожидаемое СКО равно \(\sigma\text{=}{(0,5\text{*}0,5\text{*}1\text{+}0,5\text{*}0,5\text{*}3\text{+}2\text{*}0,5\text{*}0,5\text{*}1)}^{0,5}\text{=}1,5^{0,5}\text{=}1,225\)
Штраф за арифметическую ошибку или округление более чем на 0,1 (1 балл)
Ожидаемая доходность равна \(r\text{=}0,5\text{*}0,34\text{+}0,5\text{*}0,2\text{=}0,27\)
Ожидаемое СКО равно \(\sigma\text{=}1,225\text{*}0,5\text{=}0,612\)
Пусть доля актива K равна \(w_{K}\), доля актива L равна \(w_{L}\), тогда доля безрискового актива равна \({1\text{-}w}_{K}\text{-}w_{L}\)
Тогда полезность инвестора может быть представлен как:
\(U\text{=}r\text{-}0,1\sigma^{2}\text{=}{0,3w}_{K}\text{+}0,38w_{L}\text{+}0,2\left( {{1\text{-}w}_{K}\text{-}w_{L}} \right)\text{-}0,1({1\text{*}w}_{K}^{2}\text{+}3\text{*}w_{L}^{2}\text{+}2w_{K}w_{L})\)
\(U\text{=}0,2\text{+}0,1w_{K}\text{+}0,18w_{L}\text{-}0,1w_{K}^{2}\text{-}0,3w_{L}^{2}\text{-}0,2w_{K}w_{L}\)
Находим экстремум полезности приравнивая производные по \(w_{K}\) и \(w_{L}\) к 0
\(\partial U\text{/}\partial w_{K}\text{=}0,1\text{-}0,2w_{K}^{❑}\text{-}0,2w_{L}\)
\(\partial U\text{/}\partial w_{L}\text{=}0,18\text{-}0,2w_{K}\text{-}0,6w_{L}^{❑}\)
\(0,1\text{-}0,2w_{K}^{❑}\text{-}0,2w_{L}\text{=}0\)
\(0,18\text{-}0,2w_{K}\text{-}0,6\text{*}w_{L}^{❑}\text{=}0\)
\(w_{K}\text{=}0,3\)
\(w_{L}\text{=}0,2\)
\(w_{N}\text{=}0,5\)
Вторые производные по \(w_{K}\) и \(w_{L}\) отрицательные, поэтому мы нашли макмимальную полезность.
Ожидаемая доходность равна \(r\text{=}0,3\text{*}0,3\text{+}0,2\text{*}0,38\text{+}0,5\text{*}0,2\text{=}0,266\)
Ожидаемое СКО равно \(\sigma\text{=}{(0,3\text{*}0,3\text{*}1\text{+}0,2\text{*}0,2\text{*}3\text{+}2\text{*}0,2\text{*}0,3\text{*}1)}^{0,5}\text{=}0,33^{0,5}\text{=}0,575\)
Полезность инвестора равна \(U\text{=}0,266\text{-}0,1\text{*}0,575\text{=}0,233\)
Для пункта А полезность инвестора была равна \(U\text{=}0,34\text{-}0,1\text{*}1,5\text{=}0,19\)
Для пункта Б полезность инвестора была равна \(U\text{=}0,27\text{-}0,1\text{*}0,559\text{*}0,559\text{=}0,2325\)
Коэффициент Шарпа для портфеля равен \(\mathit{SR}\text{=}\frac{0,27\text{-}0,2}{0,575}\text{=}0,1217\)
Пункт А Пункт Б Пункт В Полезность 0,19 0,2325 0,233 SR 0,1143 0,1147 0,1148 Коэффициент корреляции может быть найден исходя из следующего:
\(\mathit{cov}(r_{K}{;r}_{L})\text{=}\mathit{corr}(r_{K}{;r}_{L})\text{*}\sigma_{K}\sigma_{L}\)
\(\mathit{corr}\left( {r_{K}{;r}_{L}} \right)\text{=}\frac{1}{\sqrt{3}}\text{=}0,577\)
В случае сильного кризиса корреляции обычно сильно возрастают, в частности, корреляция может возрасти до 0,65-0,95 (численные значения не обязательно указывать).
Задание 2.
Магнус хочет сформировать инвестиционный портфель из двух активов. Ожидаемые доходности и ковариационные матрицы этих активов представлены ниже.
| Актив | Ожидаемая доходность | Актив | K | B | |
| K | 0,24 | K | 0,25 | 0,06 | |
| B | 0,12 | B | 0,06 | 0,09 |
- Определите ожидаемые доходность и стандартное отклонение доходности инвестиционного портфеля, который состоит на 75% из актива K и на 25% из актива B.
- Определите ожидаемые доходность и стандартное отклонение доходности портфеля, который состоит на 50% из актива K и на 50% из безрискового актива с доходностью 8%.
- Определите ожидаемые доходность и стандартное отклонение доходности портфеля, который состоит на 150% из актива B и долга, который инвестор привлекает под 10%.
- Известно, что если в портфеле, который состоит на 95% из низкорискованного актива B и на 5% из высокорискованного актива K немного сократить долю B (немного увеличив долю K), то риски портфеля снизится. Как это можно объяснить (расчеты проводить не обязательно)?
Решение
\(r\text{=}0,8\text{*}0,2\text{+}0,2\text{*}0,1\text{=}18\text{%}\).
\(\sigma^{2}\text{=}0,8\text{*}0,8\text{*}0,16\text{+}0,2\text{*}0,2\text{*}0,09\text{+}2\text{*}0,8\text{*}0,2\text{*}0,05\text{=}0,122\).
\(\sigma^{❑}\text{=}0,8\text{*}0,8\text{*}0,16\text{+}0,2\text{*}0,2\text{*}0,09\text{+}2\text{*}0,8\text{*}0,2\text{*}0,05\text{=}34,93\text{%}\)
\(r\text{=}0,5\text{*}0,2\text{+}0,5\text{*}0,06\text{=}13\text{%}\).
\(\sigma^{❑}\text{=}0,5\text{*}0,16^{0,5}\text{=}20\text{%}\)
\(r\text{=}1,5\text{*}0,1\text{-}0,5\text{*}0,08\text{=}11\text{%}\).
\(\sigma^{❑}\text{=}1,5\text{*}0,09^{0,5}\text{=}45\text{%}\)
Это происходит за счет эффекта диверсификации, так как корреляция между активами достаточно низкая (\(\mathit{corr}\text{=}\frac{0,05}{0,16^{0,5}0,09^{0,5}}\text{=}41,(6)\text{%}\)), то комбинация активов N и Q имеет хорошие диверсифицирующие возможности.
Иллюстрация?
Задание 3.
Бета акции равна 1,2. Безрисковая ставка равна 16%, а премия за рыночный риск 10%.
- Определите ожидаемую доходность акции в соответствии с моделью CAPM.
- При каком значении беты ожидаемая доходность акции составит 23%?
- Чему равна ожидаемая доходность рыночного индекса полной доходности исходя из условий задачи?
- Опишите пошагово, как самостоятельно рассчитать бету акции на основе рыночных данных в соответствии с моделью CAPM.
Решение
В соответствии с моделью CAPM различия в ожидаемых доходностях акций определяются их бетами. Наибольшая бета у акции Lifeinvader, следовательно, ожидаемая доходность этой акции также максимальная.
r=0,07+2*0,05=17%.
Бета портфеля равна средневзвешенной бете активов, которые в него входят.
Beta=1,8*0,3+1,6*0,3+2*0,2+0,7*0,2=1,56.
Ожидаемая доходность портфеля равна:
r=0,07+1,56*0,05=14,8%.
Бета портфеля выше 1, значит он более рискованный чем рынок. При роста рынке портфель растет обычно сильнее; но при падении рынка портфель обычно падает еще сильнее.
Также портфель более рискованный в терминах стандартного отклонения, так как он хуже диверсифицирован, чем весь рынок в целом.
При росте рынка на 30% фактическая премия за рыночный риск (ex post) составила 23%. Следовательно, доходность портфеля Франклина должна была бы составить:
r=0,07+1,56*(0,23)=42,88%.
То есть доходность портфеля составила всего 28%, тогда как должна была составить 42,88%.
Следует добавить в портфель облигаций и других финансовых инструментов (диверфицикация между классами финансовых активов), лучше диверсифицировать портфель по отраслям, лучше диверсифицировать портфель внутри каждой отрасли
Задание 4.
Майклу 58 лет, он достаточно терпим к риску. Каждый месяц он инвестирует часть своего дохода в акции четырех компаний, которые представлены в его портфеле:
| Компания | Отрасль | Бета | Доля в портфеле |
| Elitas Travel | Транспорт | 1,8 | 30% |
| Legendary Motorsport | Транспорт | 1,6 | 30% |
| Lifeinvader | Технологии | 2,0 | 20% |
| Sprunk | FMCG (безалкогольные напитки) | 0,7 | 20% |
Ожидаемая премия за рыночный риск равна 5%, безрисковая ставка равна 7%.
- Ожидаемая доходность какой акции является максимальной? Ответ поясните. Рассчитайте ожидаемую доходность этой акции.
- Оцените бету инвестиционного портфеля.
- Определите ожидаемую доходность инвестиционного портфеля.
- Что можно сказать о риске инвестиционного портфеля относительно рынка акций в целом? Ответ поясните.
- В следующем году доходность рынка акций составила 30%. Доходность портфеля Майкла 28%, Майкл был очень рад тому, что выбрал акции, которые выросли. Почему Майклу не следует так радоваться росту своих акций (ответ обоснуйте, в том числе с помощью расчетов)?
- Какие рекомендации вы можете дать Майклу, чтобы улучшить характеристики его инвестиционного портфеля?
Решение
В соответствии с моделью CAPM
\(r_{A}\text{=}r_{f}\text{+}\beta_{A}\text{*}\mathit{ERP}\)
\(r_{A}\text{=}16\text{%}\text{+}1,2\text{*}10\text{%}\text{=}28\text{%}\)
Бету можно найти исходя из:
\(23\text{%}\text{=}16\text{%}\text{+}\beta_{A}\text{*}10\text{%}\)
\(\beta_{A}\text{=}0,7\)
Ожидаемая доходность рыночного индекса равна сумме безрисковой ставки и премии за рыночный риск:
\(\)\(r_{M}\text{=}16\text{%}\text{+}10\text{%}\text{=}26\text{%}\)
Аналогичный ответ можно получить исходя из того, что бета рыночного индекса равна 1, откуда можно найти
\(r_{M}\text{=}16\text{%}\text{+}1\text{*}10\text{%}\)
\(r_{M}\text{=}26\text{%}\)
Чтобы рассчитать бету нужно провести следующие шаги:
- Выгрузить данные по ценам акции и значениям рыночного индекса. Желательно использовать цены закрытия. Возможно брать годовые, месячные, недельные, дневные или высокочастотные данные. При этом количество наблюдений должно составлять не менее нескольких десятков (например, не менее квартала для дневных данных, 5 лет для месячных данных).
- Желательно учесть дивиденды (добавить их к ценам акций на конец периода, в который платились дивиденды. Индекс желательно брать полной доходности.
- Следует рассчитать доходности за каждый период для акции и для рынка (можно обычные, но лучше – логарифмические).
- Далее бету можно рассчитать как частное ковариации доходностей актива и рынка и дисперсии доходности рынка (либо как коэффициент линейной регрессии, либо как корреляция доходностей умножить на СКО доходностей, делить на дисперсию рынка).
- Далее следует убедиться, что вы можете объяснить полученное значение беты с точки зрения специфики бизнес-модели и рыночного положения компании.
Задание 5.
Выгрузите данные по компаниям Норильский Никель, Лукойл, Сбербанк, Полюс-Золото, Аэрофлот, Магнит, Озон и по индексу полной доходности ММВБ за последние 5 лет, дневные данные, цены закрытия. Рассчитайте беты. Сравните значения бет с бетами компаний из соответствующих отраслей, которые опубликованы на сайте Дамодарана. На основе рыночных данных определите требуемую доходность этих акций по модели CAPM. Расчеты проведите как на основе арифметической, так и на основе логарифмической доходности.