Портфелем мы называет набор различных инвестиционных инструментов, характеристики которого рассматриваются целостно. Основными такими характеристиками являются ожидаемая доходность и ожидаемый риск, также принимаются во внимание, в частности, ликвидность (то есть способность в любой момент закрыть позицию по рыночной цене, без существенных расходов – как комиссий, так и затрат, связанных, например, с негативным влиянием продажи актива на его рыночную цену и, следовательно, на реализованную цену продажи). Также существенной характеристикой является условная доходность при наступлении конкретных событий – например, какой будет доходность портфеля в случае роста цены нефти на 20%.
Формальное определение в целях изложения дальнейших концепций: портфель – это набор из \(N\) активов (целесообразно рассматривать случаи \(N\geq 2\), \(N\) - целое число). Для каждого актива \(i\) (принимает целые значения от 1 до \(N\)) может быть определена его доля (вес) в портфеле \(w_{i}\), ожидаемая доходность \(r_{i}\) и показатель риска (как отмечалось выше, обычно используется ожидаемое стандартное отклонение доходности \(\sigma_{i}\)). Как увидим далее, также важнейшими характеристиками являются парные корреляции ожидаемых доходностей \({\mathit{corr}(r}_{i};r_{j}\)) для всех пар активов.
У портфеля есть общая стоимость \(W\), соответственно доля каждого актива \(i\) может быть рассчитана как инвестиции в этот актив\(W_{i}\), деленные на общую стоимость портфеля: \(w_{i} = \frac{W_{i}}{W}\). В общем случае и инвестиции в актив, и каждый отдельный вес могут быть произвольными \(W_{i}\in\left( {{- \infty}{; + \infty}} \right)\), \(w_{i}\in\left( {{- \infty}{; + \infty}} \right)\), но сумма всех весов строго равна единице \({\sum\limits_{i = 1}^{N}w_{i}} = 1\). И отрицательная величина инвестиций в актив, и отрицательная доля актива в портфеле означают, что у инвестора короткая позиция по этому активу, то есть он одолжил этот актив, продал его, полученные деньги инвестировал в другие активы (с положительными весами\()\), но в будущем инвестор должен купить и вернуть этот актив. Отрицательная позиция и, соответственно, доля по безрисковому активу может означать как непосредственно короткую позицию, например, по государственной облигации, так и займ или кредит.
В редких случаях представленный расчет весов активов в портфеле нуждается в модификации в связи с тем, что иногда рассматриваются портфели с нулевой стоимостью (когда по одному из активов занята короткая позиция и на все вырученные средства приобретается другой актив). Также используемое определение имеет ограничения, так как оно создает сложности для учета открытых позиций в финансовых инструментах, не имеющих внутренней стоимости. Однако для введения в портфельную теорию в рамках настоящего учебника, приведенного выше определения и подхода к расчету долей актива в портфеле достаточно.
Ожидаемая доходность портфеля равна взвешенной доходности входящих в него активов \(r_{p} = {\sum\limits_{i = 1}^{N}{w_{i}r_{i}}}\).
Пример: портфель инвестора состоит из 10 акций компании A, цена каждой акции составляет 100 рублей и из 50 акций компании B, цена каждой акции составляет 20 рублей. Инвестиции в компанию A составляют \(W_{A} = 1000\) рублей, инвестиции в компанию В составляют \(W_{В} = 1000\) рублей, общий размер портфеля равен \(W = 2000\) рублей. Доля акций A в портфеле равна \({w_{A} = \frac{10 \ast 100}{2000} = 50}\text{%}\), доля акций B в портфеле равна \({w_{B} = \frac{50 \ast 20}{2000} = 50}\text{%}\). Если ожидаемая доходность акций A равна \({r_{A} = 20}\text{%}\), а ожидаемая доходность акций B равна \({r_{B} = 30}\text{%}\), то ожидаемая доходность портфеля равна
\({r_{p} = {\sum\limits_{i = 1}^{N}{w_{i}{r_{i} = w_{A}}}}}{r_{A} + w_{B}}{r_{B} = {{0,5 \ast 0,2} + {0,5 \ast 0,3}} = 25}\text{%}\).
Если при расчете использовалась арифметическая доходность входящих в состав портфеля активов, то мы получим арифметическую доходность портфеля. Если использовалась логарифмическая доходность входящих в состав портфеля активов, то, соответственно, получим логарифмическую доходность портфеля
Ожидаемое стандартное отклонение портфеля рассчитать немного сложнее, но именно в нем проявляется эффект диверсификации. Начнем с простого объяснения.
Поскольку мы рассматриваем инвестиционные характеристики всего портфеля в целом, то нам важны не только инвестиционные характеристики отдельных активов, которые входят в этот портфель, но и созависимость, или коррелированность, этих доходностей.
Допустим, для каждой из компаний может реализоваться хороший сценарий, либо плохой сценарий, каждый с вероятностью 50%. Предположим, что в плохом сценарии для компании A доходность ее акций составит -10%, а в хорошем сценарии доходность ее акций составит 30%; в плохом сценарии для компании В доходность ее акций составит -20%, а в хорошем сценарии доходность акций составит 60%.
Если хороший сценарий для компании A всегда соответствует хорошему сценарию для компании B, то инвестиционные характеристики портфеля будут следующими (Таблица 1).
Таблица 1.
Доходность портфеля при различных сценариях (для случая, когда хороший сценарий для компании А всегда соответствует хорошему сценарию для компании Б)
| Сценарий | 1 | 2 |
| Вероятность | 50% | 50% |
| Доходность A | -10% | 30% |
| Доходность B | -20% | 60% |
| Доходность портфеля 50%А+50%B | -15% | 45% |
Математическое ожидание доходности портфеля составляет 15%.
Если хороший сценарий для компании A всегда соответствует плохому сценарию для компании B, то инвестиционные характеристики портфеля будут следующими (Таблица 2).
Таблица 2.
Доходность портфеля при различных сценариях (для случая, когда хороший сценарий для компании А всегда соответствует плохому сценарию для компании Б)
| Сценарий | 1 | 2 |
| Вероятность | 50% | 50% |
| Доходность A | 30% | -10% |
| Доходность B | -20% | 60% |
| Доходность портфеля 50%А+50%B | 5% | 25% |
Математическое ожидание доходности портфеля также будет 15%, но легко увидеть, что во втором случае портфель намного менее рискованный – он даже в 1 сценарии демонстрирует небольшую положительная доходность, а разброс доходности для разных сценариев (от 5% до 25%) в 3 раза ниже, чем в первом случае (от -15% до 45%).
Рассчитаем значения дисперсии и стандартного отклонения для двух случаев. В первом случае (Таблица 3):
Таблица 3.
Расчет дисперсии и стандартного отклонения портфеля (для случая, когда хороший сценарий для компании А всегда соответствует хорошему сценарию для компании Б)
| Сценарий | Вероятность (p) | Доходность (r) | (r-0,15)2 | p*(r-0,15)2 |
| 1 | 0,5 | -0,15 | 0,09 | 0,045 |
| 2 | 0,5 | 0,45 | 0,09 | 0,045 |
| Дисперсия | 0,09 | |||
| Стандартное отклонение | 0,3 |
Во втором случае (Таблица 4):
Таблица 4.
Расчет дисперсии и стандартного отклонения портфеля (для случая, когда хороший сценарий для компании А всегда соответствует плохому сценарию для компании Б)
| Сценарий | Вероятность (p) | Доходность (r) | (r-0,15)2 | p*(r-0,15)2 |
| 1 | 0,5 | 0,05 | 0,01 | 0,005 |
| 2 | 0,5 | 0,25 | 0,01 | 0,005 |
| Дисперсия | 0,01 | |||
| Стандартное отклонение | 0,1 |
Таким образом, дисперсия ожидаемой доходности портфеля в первом случае равна 0,09, а стандартное отклонение равно 0,3. Дисперсия ожидаемой доходности портфеля во втором случае равна 0,01, а стандартное отклонение равно 0,1. В зависимости от предположений о будущей коррелированности доходностей активов при одной и той же ожидаемой доходности значения стандартного отклонения доходности портфеля будут существенно различаться. В частности, как мы видим из приведенного примера – при той же доходности ожидаемое стандартное отклонение снижается в три раза.
Улучшения соотношения риска и доходности портфеля за счет включения в него разных активов называется диверсификацией. Чем ниже корреляция доходностей входящих в портфель активов, тем сильнее диверсификационный эффект.
В рассмотренных примерах корреляция доходностей активов составляла либо 1, либо
-1. На практике корреляция доходностей большинства финансовых активов составляет от 0,1 (для слабо зависимых между собой активов) до 0,9 (для активов, у которых схожие факторы доходности и риска). Как мы покажем далее, в отношении стандартного отклонения эффект диверсификации всегда будет проявляться, если корреляции доходностей активов строго меньше 1, то есть на практике включение различных активов в инвестиционный портфель всегда будет влиять на снижение риска посредством эффекта диверсификации.
Рассмотрим, как формируется стандартное отклонение портфеля. В рассматриваемом нами портфеле два актива A и B, общая стоимость портфеля равна \(W\). Инвестиции в A равны \(W_{A} = {w_{A} \ast W}\), инвестиции в B равны \(W_{B} = {w_{B} \ast W}\). Поскольку дисперсия доходности актива A равна \(\sigma_{A}^{2}\), а размер инвестиций в него равен \(W_{A},\) то дисперсия стоимости инвестиций в \(A\) равна \(W_{A}^{2}\sigma_{A}^{2}\). Поскольку дисперсия доходности актива B равна \(\sigma_{B}^{2}\), а размер инвестиций в него равен \(W_{B},\mathit{то}д\)исперсия стоимости инвестиций в \(B\) равна \(W_{B}^{2}\sigma_{B}^{2}\).
Чтобы формально вывести формулу дисперсии (и стандартного отклонения доходности) портфеля, вспомним, что дисперсия суммы двух случайных \(X\) и \(Y\) величин равна:
\({\sigma_{X + Y}^{2} = {\sigma_{X}^{2} + \sigma_{Y}^{2} + 2}}\mathit{corr}(r_{X};r_{Y})\sigma_{X}\sigma_{Y}\).
Воспользуемся этой формулой, чтобы найти дисперсию стоимости всего портфеля:
\(W_{A}^{2}{\sigma_{A}^{2} + W_{B}^{2}}{\sigma_{B}^{2} + 2}\mathit{corr}(r_{A};r_{B})W_{A}{W_{B}\sigma}_{A}\sigma_{B}\).
Если разделить на \(W_{❑}^{2}\), то мы получим дисперсию доходности портфеля:
\({\sigma_{P}^{2} = w_{A}^{2}}{\sigma_{A}^{2} + w_{B}^{2}}{\sigma_{B}^{2} + 2}\mathit{corr}(r_{A};r_{B})w_{A}{w_{B}\sigma}_{A}\sigma_{B}\).
Стандартное отклонение доходности портфеля будет равно:
\(\sigma_{P} = \sqrt{w_{A}^{2}{\sigma_{A}^{2} + w_{B}^{2}}{\sigma_{B}^{2} + 2}\mathit{corr}(r_{A};r_{B})w_{A}{w_{B}\sigma}_{A}\sigma_{B}}\).
Вообще говоря, значение корреляции лежит: \({- 1}\leq c\mathit{orr}\left( {r_{A};r_{B}} \right)\leq 1\). Но поскольку для разных активов строгая линейная зависимость доходностей \(c\mathit{orr}{\left( {r_{A};r_{B}} \right) = 1}\) на практике не встречается, то выполняется строгое неравенство \({\sigma_{P}^{2} < w_{A}^{2}}{\sigma_{A}^{2} + 2}w_{A}\sigma_{A}\sigma_{B}{w_{B} + w_{B}^{2}}\sigma_{B}^{2}\), откуда \({\sigma_{P} < w_{A}}{\sigma_{A} + w_{B}}\sigma_{B},\) то есть стандартное отклонение портфеля всегда строго меньше средневзвешенного по долям активов стандартных отклонений. Таким образом, мы снова получили подтверждение эффекта диверсификации.
Если в портфель входит несколько активов, то несложно показать, что его дисперсия будет равна сумме квадратов дисперсий и удвоенной сумме все ковариаций:
\(\sigma_{P}^{2} = {{\sum\limits_{\substack{k = 1 \\ i = j}}^{n}{w_{k}^{2}\sigma_{k}^{2}}} + {\sum\limits_{\substack{i = 1 \\ i\neq j}}^{n}{\sum\limits_{j = 1}^{n}{w_{i}w_{j}\mathit{cov}(r_{i};r_{j})}}}}\).
Диверсификация является благоприятным явлением для инвесторов, так как позволяет снизить риск портфеля. На практике следует использовать диверсификацию для улучшения характеристик инвестиционного портфеля, однако выгоды от диверсификации ограничены, при этом имеется ряд существенных ограничений для диверсификации.
Основная проблема заключается в том, что диверсификация часто не работает именно тогда, когда она больше всего нужна. Давайте разберемся, когда нам больше всего нужна диверсификация. Если часть портфеля принесла ожидаемую или более высокую доходность, то нам не нужна диверсификация, нас вполне устроит, если и остальные активы из портфеля принесли ожидаемую или более высокую доходность. Если часть портфеля принесла доходность ниже ожидаемой, но не очень низкую, например, -5%, а другие активы из портфеля принесут положительную доходность, то инвестор получит выгоды от диверсификации - несмотря на отрицательную доходность части активов весь портфель принесет положительную доходность. Но если и другие активы принесут доходность около -5%, это будет неприятно, но для большинства инвесторов не страшно, так как для портфеля, состоящего из рисковых активов, получить небольшую отрицательную доходность в отдельно взятый период – нормальная ситуация. А если часть портфеля принесла высокую отрицательную доходность, например, -50%, то именно в этом случае инвестору больше всего нужны выгоды от диверсификации. Инвестору очень важно, чтобы в таком случае другая часть портфеля принесла положительную доходность, и общий убыток портфеля был за счет этого минимизирован или даже в совокупности портфель принес положительную доходность. Но, к сожалению, сильное падение цены только одного актива на рынке капитала происходит редко, обычно наблюдается обвал цен всех активов одновременно.
Строго говоря, условная корреляция доходностей активов в нормальных условиях ниже, чем условная корреляция доходностей в кризис. То есть во время кризиса возрастают корреляции доходностей активов, и поэтому диверсификация работает, но очень плохо.
В частности, в исследовании, проведенном в ЭФ МГУ, было выявлено, что в 2012-2020 гг. в кризисные периоды корреляции были выше на 0,08-0,3, чем в нормальных рыночных условиях. Например, для пары активов может быть следующая созависимость динамики цен активов.
Таблица 5.
Показатели взаимосвязи цен активов
| Корреляция доходностей | Условная корреляция доходностей, в нормальных рыночных условиях | Условная корреляции доходностей, в случае кризиса |
| 0,5 | 0,3 | 0,7 |
Инвестор, который не учитывает рост корреляции, будет иметь завышенные ожидания от диверсификационных эффектов. Инвестор может рассчитывать на корреляции в 0,5, или даже 0,3 (если историческая корреляция рассчитывалась на выборке, включающей только нормальные рыночные условия период). По факту в период кризиса окажется, что корреляция доходностей активов равна 0,7, и инвестиционные характеристики портфеля окажутся существенно хуже. Это может привести к неоптимальным решениям, но все же инвестор получит диверсификацию, хоть и более слабую, чем ожидалось.
Второй существенной проблемой для диверсификации является несколько неожиданный факт, в соответствии с которым для некоторых мер риска объединение отдельных активов в портфель может привести к увеличению рисков – то есть будет наблюдаться эффект, обратный диверсификации.
Мы уже знаем, что если в портфель входят разные активы (с неединичной корреляцией доходностей), то стандартное отклонение портфеля всегда будет ниже взвешенной суммы стандартных отклонений, входящих в него активов. Этот факт и обеспечивает диверсификацию. Это свойство стандартного отклонения также называется субаддитивностью. Стремление к диверсификации выглядит как простая и эффективная стратегия – за счет включения в портфель разных активов мы можем достигнуть снижения риска при неизменной (или даже более высокой) доходности. Однако, не все меры риска обладают свойством субаддитивности. В частности, VaR портфеля может быть выше, чем VaR каждого из активов, которые в него входят. Продемонстрируем это на примере. Допустим есть активы A и B со следующей структурой доходности. Предположим, что худший сценарий для актива A всегда наступает совместно с плохим сценарием для актива B, а худший сценарий для актива B всегда наступает совместно с плохим сценарием актива A. 20% VaR актива A равен -14%, 20% VaR актива B равен -10%.
Таблица 6.
Сценарии для активов А и В
| Сценарий | Худший | Плохой | Базовый | Хороший | Оптимальный |
| Вероятность | 20% | 20% | 20% | 20% | 20% |
| A | -40% | -14% | 20% | 40% | 55% |
| B | -28% | -10% | 15% | 30% | 50% |
Рассмотрим инвестиционные характеристики портфеля, состоящего на 50% из А и на 50% из В (для простоты – только для отрицательных доходностей).
Таблица 7.
Сценарии для портфеля из активов А и В
| Сценарий | Худший | Плохой |
| Вероятность | 20% | 20% |
| A | -40% | -14% |
| B | -30% | -10% |
| Худший A и Плохой B | Худший B и Плохой A | |
| 50% А + 50% В | -25% | -21% |
20% VaR такого портфеля равен -21%, то есть в соответствии с этой мерой портфель является более рискованным, чем любой из активов, которые в него входит. Таким образом, если для инвестора важным является показатель VaR, то простой подход по включению в портфель разных активов может привести не снижению, а к росту рисков. Для минимизации VaR нужны более продвинутые методы составления портфеля.
Еще одно ограничение диверсификации связано с тем, что предельное влияние на стандартное отклонение доходности портфеля от добавления нового актива в портфель убывает по мере увеличения количества активов в портфеле, и за счет диверсификации невозможно полностью исключить риск из портфеля. Для частного инвестора также к минусам диверсификации можно отнести и сложность управления большим количеством активов.
Таким образом, диверсификация проявляется в снижении риска (в частности, стандартного отклонения доходности) портфеля при включении в него различных активов. Как мы увидим далее, на эффекте диверсификации во многом основаны теоретические модели портфельной оптимизации и ценообразования активов. При этом на практике полезно использовать диверсификационный эффект для улучшения инвестиционных характеристик портфеля, но также важно учитывать, что диверсификационные возможности ограничены.