10.1. Меры риска и склонность к риску

До этого момента мы использовали понятие риска по большей части основываясь на интуитивном понимании. Пришло время формализовать понятия и специфицировать меры риска.

В экономической литературе есть разные подходы к трактовке понятий риска и неопределенности. Под риском понимается ситуация, при которой фактическое значение показателя может отличаться от ожидаемого, причем обычно (но не всегда) подразумевается как неблагоприятное, так и благоприятное отклонение. Также выделяются полная неопределенность и частичная неопределенность. И полная, и частичная неопределенность предполагают, что нам известны все возможные исходы (будущие состояния мира). При этом полная неопределенность предполагает принципиальную невозможность оценить вероятность того, что некоторый прогноз окажется верным. Частичная неопределенность предполагает, что достоверно предсказать события невозможно, но для каждого прогнозного значения может быть определена его вероятность.

Предпосылка именно о частичной неопределенности позволяет квантифицировать меры риска, чем успешно пользуются финансисты. Если мы моделируем будущую доходность, то нам известны все возможные исходы - например, арифметическая доходности лежит в промежутке от [-1;+∞), а логарифмическая доходность (-∞;+∞). На всем пространстве возможных исходов можно определить функцию распределения – то есть для каждого значения или интервала доходности определить вероятность, с которой такая доходность будет наблюдаться. В частности, поэтому при моделировании доходности и ряда других измеримых показателей возможно использовать предпосылку о частичной неопределенности. В этом учебнике, говоря про риск и неопределенность, мы будем, если не указано иное, подразумевать ситуацию частичной неопределенности. При этом не следует забывать, что на уровне качественного анализа полезно учитывать, что полной картине мира может быть свойственна полная неопределенность. Кроме того, при анализе рисков следует помнить и том, что на самом деле на всем пространстве возможных сценариев есть и «черные лебеди» —события, которые принципиально не прогнозируемы, но при этом в случае наступления оказывают критическое влияние на целевые показатели.

Одна из величин, будущее значение которой мы почти не знаем, если речь идет о рисковых инвестициях – это реализованная доходность инвестиций. Как мы уже обсуждали в предыдущих глава учебника, не склонный к риску экономический агент выберет из двух инвестиционных возможностей с одинаковой ожидаемой доходностью ту, которая менее рискованная. Все меры риска мы будем демонстрировать на примере ожидаемой доходности, но они также применимы и для других показателей. Как правило, в финансах исходят из предпосылки о мышлении экономических агентов в терминах матожидания и ожидаемого стандартного отклонения (mean-standard deviation). Это означает, что инвесторы в качестве меры риска принимают ожидаемое стандартное отклонение (а в качестве доходности – ее математическое ожидание). Альтернатива с более высоким стандартным отклонением считается более рискованной.

Однако в ряде случае могут рассматриваться и другие меры риска. В частности, стандартное отклонение, рассчитанное на основе полудисперсии для неблагоприятных значений величины:

\(\sigma_{r\mathit{down}} = \sqrt{\sum\limits_{i}^{N}{p_{i} \ast a_{i}^{2}}}\), где \(a_{i} = \left\{ \begin{matrix} {{r_{i} - \overline{r}},r_{i}\geq r_{\mathit{threshold}}} \\ {0,{r_{i} \lt r_{\mathit{threshold}}}} \\ \end{matrix} \right.\)

\(\sigma_{r -}\) - стандартное отклонение, определенное на основе полудисперсии доходности (для плохих сценариев), \(i\) - номер исхода, \(N\) – количество исходов, \(p_{i}\)- вероятность исхода, \(r_{i}\)- доходность, \(\overline{r},\) - матожидание доходности, \(r_{\mathit{threshold}}\) - уровень доходности, ниже которого результат считается неблагоприятным.

Например, для околонулевых значений \(r_{\mathit{threshold}}\) стандартное отклонение, определенное на основе левосторонней полудисперсии, показывает, насколько сильно волатилен актив, при условии, что он падает в цене. Как мера риска этот показатель имеет преимущество, так как в его контексте риск рассматривается не как любое отклонение от ожидаемого результата, а именно как негативное (нежелательное для инвестора) отклонение. В то же время этот показатель не является идеальным, так как при его расчете используется меньший объем информации, чем при традиционном расчете стандартного отклонения. Кроме этого, в ряде случаев инвесторы занимают не только длинные позиции по финансовым инструментам, но и короткие, в этом случае для них рост цена актива является риском.

Отметим, что стандартное отклонение – это момент 2 порядка функции распределения. В качестве меры риска могут использоваться моменты более высоких порядков, в частности, скошенность. В ряде исследований показано¹, что экономические агенты предпочитают положительную скошенность в распределении доходностей. При проведении опросов экономические агенты при чаще выбирают из двух альтернатив с одинаковым средним и дисперсией, но разной скошенностью те, у которых скошенность была положительной и более высокой. Также в качестве меры риска можно использовать куртозис, который показывает «толщину хвостов» функции распределения и, таким образом, ожидаемую частоту резко негативных событий.

В качестве примера, иллюстрирующего важность скошенности и толстых хвостов для индивида, можно привести страхование автомобиля от угона. Владелец ежедневно пользуется автомобилем, что означает регулярное получение небольшой пользы. Угон автомобиля является маловероятным, но резко негативным событием. Приобретение страховки от угона означает, что владелец автомобиля хочет трансформировать функцию распределения доходности в менее скошенную и с более тонкими хвостами, убрав маловероятное резко негативное событие. При этом обычно можно сконцентрироваться не на более общих показателях скошенности и куртозиса, а непосредственно на измерении ожидаемой «толщины» хвостов.

Такими мерами толщины хвостов, в частности, являются используемые в финансах показатели стоимость под риском (Value at Risk, VaR) и ожидаемый убыток (Expected Shortfall, ES). На практике эти показатели часто используются применительно к денежным величинам, но их корректно применять также к функциям распределения доходности и других величин. VaR показывает, ниже какого значения доходность не опустится с заданной вероятностью. Например, если ожидается, что с вероятностью 95% доходность будет не ниже -12%, то про левый хвост функции распределения говорят, что 5% VaR (пятипроцентный VaR) равен -12%. ES показывает, чему равна ожидаемая доходность, если реализуются α% самых плохих сценариев. Например, если в нашем случае условное математическое ожидание для 5% самых плохих сценариев равна -30%, то говорят, что 5% ES (пятипроцентный ES) равен -30%. Разумеется, для левого хвоста функции распределения α% ES всегда больше α% VaR в абсолютном выражении.

Если измерять риск, основываясь на стандартном отклонении, то при предпосылке о нормальном распределении и предпосылке о величине ожидаемой доходности можно точно оценить значения VaR и ES на основе функции плотности нормального распределения. Однако такой подход не рекомендуется, так как наблюдения за исторической динамикой доходности на рынках капитала всегда говорят о том, что, в частности, распределение доходности акций имеет толстые (или тяжелые) хвосты. То есть, в частности, высокая негативная доходность наблюдается чаще, чем это предсказывают расчеты для нормального распределения при равных матожидании и дисперсии. Это еще одна из причин, почему показатели VaR и ES не определяются значением стандартного отклонения, а являются хорошими дополнением к нему как к мере риска.

Далее в этом учебнике мы в первую очередь будем отталкиваться от ожидаемого стандартного отклонения как меры риска, в связи с тем, что это наиболее конвенциональная мера, которая используется в большинстве моделей в рамках портфельной теории. В ряде случаем мы будем отдельно рассматривать и другие подходы к квантификации рисков. При этом на практике также полезно помнить о множественности подходов к оценке риска.