Ранее мы исходили из того, что значение процентных ставок не зависит от длины инвестиционного горизонта инвестора или срока инвестиций. На практике это, как правило, не так. Например, в 2025 году коммерческие банки предлагали по депозитам срочностью около 3 месяцев более высокие процентные ставки, чем по депозитам срочностью 1 год. Это было связано с тем, что ожидалось постепенное снижение процентных ставок на фоне замедления инфляционных процессов. В нормальных условиях обычно ставки по депозитам срочностью 1 год, наоборот, более высокие, чем ставки по 3-х месячным депозитам.
В целом, функциональную зависимость между требуемой доходностью финансовых инструментов и сроком их погашения показывает кривая процентных ставок (zero-coupon yield curve). Также зачастую такая зависимость называется временной структурой процентных ставок (term structure of interest rates). Как правило, временная структура процентных ставок оценивается для безрисковых активов с различными сроками погашения, однако также временную структуру можно оценивать и для различных премий за риск. Это важный инструмент анализа денежно-кредитной политики, состояния рынка и ожиданий инвесторов по поводу будущих экономических условий на рынке капитала.
Для иллюстрации временной структуры процентных ставок теперь представим, что на рынке продаются три финансовых инструмента A, B, C. По каждому из них есть только одна выплата в размере 1000, через 1, 2 и 3 года соответственно. Текущий доход они не приносят, риски у финансовых инструментов одинаковые.
Таблица 1.
Пример цен финансовых инструментов с разными сроками погашения
| Финансовый инструмент | Лет до выплаты | Будущий денежный поток | Цена (Price) |
|---|---|---|---|
| A | 1 | 1000 | 909 |
| B | 2 | 1000 | 819 |
| C | 3 | 1000 | 735 |
Исходя из цен финансовых инструментов можно сделать выводы: 909 сегодня соответствует 1000 через год; 819 сегодня соответствует 1000 два года; 735 сегодня соответствует 1000 три года.
Обычно мы обозначаем процентные ставки за \(i\). Однако, когда рассматривается временная структура процентных ставок, используется иное обозначение и наименование. Ставка, которая устанавливает соответствие между денежным потоком через год и его текущей стоимостью, называется 1-летней спот-ставкой (бескупонной доходностью) и обозначается \(s_{1}\). Ставка, которая устанавливает соответствие между денежным потоком через 2 года и его текущей стоимостью, называется 2-летней спот-ставкой (бескупонной доходностью) и обозначается \(s_{2}\). В целом, ставка, которая устанавливает соответствие между денежным потоком через \(k\) лет и его текущей стоимостью, называется \(k\)-летней спот-ставкой (бескупонной доходностью) и обозначается \(s_{k}\). В нашем примере \(s_{1}\), \(s_{2}\), \(s_{3}\) различаются.
Исходя из:
\(\left\{ \begin{matrix} {{909 = \frac{1000}{({1 + s_{1}})}};} \\ {{819 = \frac{1000}{{({1 + s_{2}})}^{2}}};} \\ {{735 = \frac{1000}{{({1 + s_{3}})}^{3}}}.} \\ \end{matrix} \right.\)
Можно вычислить:
\(\left\{ \begin{matrix} {{s_{1} = 10}\text{%};} \\ {{s_{2} = 10,5}\text{%};} \\ {{s_{3} = 10,8}\text{%}.} \\ \end{matrix} \right.\)
Таким образом, спот-ставки показывают, соотношение между текущей стоимостью и будущими денежными потоками. Спот-ставки – это частный случай, так как в общем случае можно говорить о ставках, которые показывают соотношение между платежами, относящимся к произвольным моментам времени. Такие ставки называются форвардными и обозначаются как \(f_{k;l}\). Так, \(f_{k;l}\) – это процентная ставка, которая фиксируется сегодня, начинает действовать в момент времени \(k\) и действует до момента времени \(l\) (то есть в течение времени \(l - k\)). При \(k = 0\) форвардные ставки становятся спот-ставками. А, например, при \(k = 1\), \(l = 2\) мы имеем дело с \(f_{1;2}\) – форвардной ставкой, под которую можно инвестировать (или занять) деньги через год сроком на один год при условии фиксации значения этой ставки сегодня.
Рассмотрим, как происходит ценообразование форвардных ставок. Представим, что инвестор хочет вложить 1 000 на 2 года. У него есть три возможности:
- вложить сегодня 1 000 под ставку \(s_{2}\) на 2 года,
- вложить сегодня 1 000 под ставку \(s_{1}\) на 1 год, а через год снова вложить деньги под ставку \(s_{1}^{}\), которую мы не знаем заранее (так как будущие значения спот-ставок нам неизвестны),
- вложить сегодня 1 000 под ставку \(s_{1}\) на 1 год, также сегодня договориться, что через год будет вложена сумма в размере \({{1000 \ast (}{1 + s}}_{1})\) под ставку \(f_{1;2}\), и через год вложить эту сумму под \(f_{1;2}\). Ставка \(f_{1;2}\) называется форвардной ставкой с первого на второй год.
Все денежные потоки по первой возможности известные заранее. Денежный поток второго периода по второй возможности заранее не известен. Все денежные потоки по третьей возможности также известны заранее. Различие между второй и третьей возможностями заключается в том, что ставка \(s_{1}^{}\) будет известна только через год, а ставка \(f_{1;2}\) известна уже сегодня. С точки зрения соотношения риска и доходности правомерно сравнивать первую и третью возможности, так как в них заранее известны все денежные потоки.
Таблица 2.
Пример формирования форвардных ставок
| Момент времени | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| Денежные потоки возможности 1 | -1000 | 0 | \({{1000({1 + s}}_{2})}^{2}\) |
| Денежные потоки возможности 3 | -1000 | 0 = \({{- 1000}({1 + s}}_{1}{) + {1000({1 + s}}_{1}})\) | \({1000({1 + s}}_{1}){({1 + f}}_{1;2})\) |
Итак, возможности 1 и 3 имеют одинаковые начальные вложения, одинаковые (нулевые) денежные вложения в момент времени 1, одинаковый уровень риска. Поэтому денежные потоки в момент времени 2 у этих возможностей также должны быть равны:
\({{{1000({1 + s}}_{2})}^{2} = {1000({1 + s}}_{1}}){({1 + f}}_{1;2})\), откуда
\({1 + f}_{1;2} = \frac{{{({1 + s}}_{2})}^{2}}{{({1 + s}}_{1})}\).
Если бы такое равенство не выполнялось, то применительно к значениям спот и форвардных ставок оказался бы нарушен принцип безарбитражного ценообразования, в соответствии с которым невозможно составить инвестиционную стратегию, которая без изначальных затрат позволяла бы получать в будущем положительный финансовый результат при отсутствии риска потерь. Действительно, если бы это равенство не выполнялось, то имелась бы возможность без затрат построить стратегию, которая в любом состоянии мира (state contingent) приносила бы прибыль. Так, если бы \({1 + f}_{1;2} > \frac{{{({1 + s}}_{2})}^{2}}{{({1 + s}}_{1})}\), то следовало бы занимать деньги на два года под \(s_{2}\) и вкладывать их на год под \(s_{1}\) и заранее договариваться о последующем вложении денег еще на год под \(f_{1;2}\). И если такая ситуация будет наблюдаться, то, в частности, из-за возросшего спроса на 2-летнее финансирование и возросшего предложения 1-летних финансовых ресурсов, 2-летняя спот-ставка будет снижаться, а 1-летняя спот-ставка будет расти, и достаточно быстро арбитражные возможности будут исчерпаны, и будет достигнуто равенство \({1 + f}_{1;2} = \frac{{{({1 + s}}_{2})}^{2}}{{({1 + s}}_{1})}\).
Если бы \({1 + f}_{1;2} < \frac{{{({1 + s}}_{2})}^{2}}{{({1 + s}}_{1})}\), то следовало бы занимать деньги на год под \(s_{1}\) и заранее договариваться о последующем займе денег еще на год под \(f_{1;2}\), и занятые деньги следовало бы вкладывать деньги на два года под \(s_{2}\). И если такая ситуация будет наблюдаться, то, в частности, из-за возросшего спроса на 1-летнее финансирование и возросшего предложения 2-летних финансовых ресурсов, 1-летняя спот-ставка будет снижаться, а 2-летняя спот-ставка будет расти, и достаточно быстро арбитражные возможности будут исчерпаны, и будет достигнуто равенство \({1 + f}_{1;2} = \frac{{{({1 + s}}_{2})}^{2}}{{({1 + s}}_{1})}\).
Таким образом, формула \({1 + f}_{1;2} = \frac{{{({1 + s}}_{2})}^{2}}{{({1 + s}}_{1})}\)устанавливает взаимно однозначное соответствие между форвардной ставкой с 1 на 2 год и спот-ставками 1 и 2 года.
Используя аналогичные рассуждения, можно доказать, что
\({1 + f}_{k;l} = {(\frac{{{({1 + s}}_{l})}^{l}}{{{({1 + s}}_{k})}^{k}})}^{l - k}\)
для любых значений \(l\) и \(k\).
Как и в нашем случае, на практике для более высоких сроков процентные ставки выше. Это называется восходящей (upward-slopping) кривой процентных ставок. Такая кривая также называется нормальной кривой доходности (normal yield curve). Но также может наблюдаться плоская (flat) временная структура процентных ставок, нисходящая (downward-slopping, или же обратная, инвертированная, inverted yield curve) временная структура процентных ставок, U-образная, обратная U-образная. Также в нашем примере мы рассчитывали кривую бескупонной доходности для 3 лет, тогда как на практике она рассчитывается для 30 и более лет.
Инвертированная форма кривой часто формируется под воздействием жесткой монетарной политики центрального банка в целях снижения инфляции. Также инвертированная форма кривой процентных ставок может формироваться под воздействием текущих шоков (при условии, что инвесторы ожидают стабилизации ситуации в будущем).
В целом, существует много объяснений, почему спот-ставки для разных периодов времени не равны. В частности, чистая гипотеза ожиданий (pure expectation hypothesis), предполагает что если \(s_{2} > s_{1}\), то инвесторы ожидают, что через год \(s_{1}\) возрастет. А также гипотеза ожиданий (expectation hypothesis), в соответствии с которой инвесторы, вкладывая средства на длительный срок, несут риск изменения процентных ставок в будущем, поэтому в структуре долгосрочной доходности помимо ожидаемого компонента будущих спот-ставок есть дополнительная премия за риск. Гипотеза предпочтения ликвидности (liquidity preference hypothesis) предполагает, что при вложении средств на длительный срок инвесторы принимают на себя более высокий риск ликвидности, в связи с чем в долгосрочных ставках есть компонент премии за ликвидность. Гипотеза сегментации рынков (market segmentation hypothesis) предполагает, что рынки с краткосрочными и долгосрочными финансовыми инструментами сегментированы, и доходности на каждом из сегментов отличаются из-за того, что на них воздействуют различные специфические факторы. Отметим, что в общем случае форвардные ставки не равны ожидаемым значениям будущих спот-ставок, однако в числе прочего содержат в себе информацию об ожидаемых изменениях процентных ставок в будущем.
В ряде публикаций по финансам (как правило, практической, а не научной направленности) можно встретить понятия «длинные» и «короткие» деньги. Они означают краткосрочные и долгосрочные финансовые ресурсы соответственно. При этом сами по себе термины «длинный» (long) и «короткий» (short) в финансах обычно используются в иных значениях, о чем вы узнаете из следующих глав. Также разделение на краткосрочные и долгосрочные финансовые ресурсы носит весьма условный характер. С одной стороны, в бухгалтерском учете кредиты и займы считаются краткосрочными, если до их погашения меньше года и долгосрочными – если больше года. С другой стороны, сроки окупаемости многих капиталоемких проектов составляют 10-20 и более лет. Относительно таких сроков окупаемости даже финансирование с погашением, например, через 3 года будет краткосрочным, к среднесрочному может быть отнесено финансирование сроком 5-7 лет, а долгосрочным может считаться финансирование с погашением 10-20 или даже более лет.
На практике при оценке стоимости бизнеса и анализе инвестиционных проектов обычно применяется только одна процентная ставка. Это можно объяснить разумным упрощением, так как сокращаются расчеты и их интерпретация, при незначительной потере точности. Но в ряде случаев имеет смысл вести расчеты исходя ставок дисконтирования для каждого момента времени. Если в задачах дана временная структура процентных ставок, то следует учесть эту информацию в решении, в частности, денежный поток периода \(k\) дисконтировать по соответствующей ему спот-ставке \(s_{k}\).