Почти во всех темах этого учебника мы имеем дело с разнесенным во времени движением денежных средства. Учет временной стоимости денег важен, поскольку по ряду причин, например, 1 млн рублей сегодня не равен 1 млн рублей через год. Эта же логика относится и к потреблению товаров и услуг – в большинстве случаев потребление сейчас более ценно, чем потребление того же объема товаров или услуг через год. Поэтому, как обсуждалось в предыдущей главе, чтобы сравнивать между собой платежи (а также товары и услуги в их денежном эквиваленте), относящиеся к различным моментам времени, нужно использовать финансовые методы, способные учитывать изменение стоимости денег во времени: дисконтирование или, наоборот, наращение, и, таким образом, сопоставлять денежные суммы соизмеримых величинах (то есть приведенные к одному и тому же моменту времени). Чтобы проводить такие сопоставления необходимо учитывать не только значения процентных ставок, характеризующие изменение стоимости денег во времени, но и схемы начисления процентов, так как применение разных схем начисления процентов к одним и тем же процентным ставками приведет к различным финансовым результатам. Поэтому начнем наше рассмотрение с понятий эффективной и эквивалентной процентных ставок.
Эффективной ставкой для схемы сложных процентов, где \(i\)- ставка процента, а \(m\)- частота начисления процентов, называется такая ставка \(i_{\mathit{eff}}\), для которой выполняется равенство:
\({1 + i_{\mathit{eff}}} = {({1 + \frac{i}{m}})}^{m}\).
Эффективной для непрерывной схемы начисления с силой роста \(\delta\) называется такая ставка \(i_{\mathit{eff}}\), для которой:
\({1 + i_{\mathit{eff}}} = e^{\delta}\).
Аналогичным образом можно ввести понятие эффективной ставки \(i_{\mathit{eff}}\) и для простой схемы начисления процентов, если выполняется равенство (обратим внимание, что в отличие от эффективных ставок для сложных и непрерывных схем начисления процентов, эффективная ставка для простой схемы начисления процентов зависит от длины инвестиционного горизонт \(n\)):
\({({1 + i_{\mathit{eff}}})}^{n} = {1 + \mathit{in}}\).
Эффективные ставки отражают годовую доходность сделки с учетом схемы начисления процентов в год. Сравнив эффективные ставки, мы можем сделать вывод относительно доходности инвестиционных вложений, и, например, выбрать наиболее доходную среди нескольких альтернатив. Далее обратимся к понятию эквивалентности.
Эквивалентными являются ставки, применяемые в рамках различных схем начисления процентов, для которых эффективные ставки равны. Например, 20% для \(m = 2\) эквивалентна 19,5235% для \(m = 4\), так как их эффективные ставки равны 21%:
\({{{({1 + \frac{0,2}{2}})}^{2} - 1} = 21}\text{%},и{{\left( {1 + \frac{0,195235}{4}} \right)^{4} - 1} = 21}\text{%}\).
Финансовый смысл равенства эквивалентных ставок заключается в том, что эти схемы начисления процентов по итогу сделки дают нам одинаковые результаты.
На основе эффективных ставок можно сравнивать различные альтернативы. Если речь идет о доходности, то следует выбирать ту альтернативу, у которой, при прочих равных условиях, более высокая эффективная ставка. Если речь идет о привлечении финансирования, то следует выбирать ту альтернативу, у которой, при прочих равных условиях, эффективная ставка ниже.
Как было отмечено ранее, как правило, в финансах процентные ставки формулируются в терминах «годовых». Однако для определения доходности сделки на практике не всегда следует приводить полученные результаты к годовым значениям, т.е. аннуализировать реализованную доходность за неполный год. Это связано как с тем, что во многих случаях некорректна предпосылка о том, что доходность за некоторый период может использоваться как прогноз для будущей доходности, так и с некоторыми математическими особенностями расчета накопленной доходности.
Например, если инвестор потерял за один день 10% (то есть получил убыток), то при 250 торговых днях в году по простым процентам можно спрогнозировать, что доходность за год будет равна \({- 10}{{\text{%} \ast 250} = {- 2500}}\text{%}\). Такой прогноз, вероятно, является чрезмерно пессимистичным, а если убытки инвестора ограничены его первоначальными вложениями, то такой прогноз является нереалистичным.
С другой стороны, если доходность инвестиционного фонда составила 20% за месяц, то на основе простой схемы начисления процентов можно предположить, за год доходность будет равна \({{0,2 \ast 12} = 240}\text{%}\). На основе сложной системы начисления процентов можно было бы предположить, за год доходность будет равна \({{1,2^{12} - 1} = 792}\text{%}\). Однако оба прогноза чрезмерно оптимистичны, так как нет гарантии, что в последующие месяцы инвестиционные результаты будут столь же успешными.
Перейдем к рассмотрению потоков платежей. Как мы отметили ранее, 1 000 рублей сегодня эквивалентна 1 100 рублей через год, если выполняется равенство:
\(1000 = \frac{1100}{1 + i}\), где \(i\) – ставка дисконтирования.
Стоит отметить, что, когда мы сопоставляем денежные потоки, относящиеся к разным моментам времени, можно выделить несколько явлений, имеющих разный экономический смысл. Переформулируем исходное условие: инвестор готов сегодня вложить 1 000, но на условиях, что через год он получит 1100. В этом случае можно сказать, что требуемая доходность равна 10%. Именно понимание ставки дисконтирования как требуемой доходности лежит в основе оценки стоимости активов и финансовых инструментов, в частности, акций и облигаций, о которых более подробно мы поговорим в последующих главах.
Представим, что инвестор проявил деловую смекалку, и на переговорах сказал, что, готов вкладывать 1 000, только если получит 1 200 рублей через год. Вторая сторона согласилась. То есть наш инвестор согласился бы на 10% (это его требуемая доходность), но договорился на более выгодных условиях, и тогда ожидаемая доходность составит:
\({{\frac{1200}{1000} - 1} = 20}\text{%}\).
Такой расчет ожидаемой доходности справедлив, только если вероятность получения этих денег в будущем равна 1. Отметим субъективный характер ожиданий: инвестор может не рассматривать кредитные или другие риски и считать, что ожидаемая доходность равна 20%. Это не означает, что таких рисков нет.
Однако допустим, что инвестор все же предположил, что с вероятностью 5% он не получит ничего взамен своих вложений. Тогда ожидаемую доходность можно рассчитать следующим образом:
\({{\frac{0,95 \ast 1200}{1000} + \frac{0,05 \ast 0}{1000} - 1} = 14}\text{%}\).
Если через год реализовался хороший сценарий (инвестор получил 1200), то в этом случае реализованная (фактическая, историческая) доходность равна:
\({\frac{1200 - 1000}{1000} = 20}\text{%}\).
Если через год реализовался плохой сценарий (инвестор не получил ничего), то в этом случае реализованная (фактическая, историческая) доходность равна:
\({\frac{0 - 1000}{1000} = {- 100}}\text{%}\).
Итак, мы разобрались с такими понятиями, как ставка дисконтирования, требуемая доходность, ожидаемая доходность, реализованная (фактическая, историческая) доходность. Требуемая и ожидаемая доходности имеют характер ex ante (т.е. на момент заключения сделки). Реализованная доходность имеет характер ex post (т.е. по факту реализации сделки).
Важно отметить, что каждая из этих доходностей зачастую складывается из двух компонент - на практике активы часто приносят и текущий доход, и доход от прироста капитала. Например, акция может приносить дивиденды (текущий доход) и при этом вырасти в цене (доход от прироста капитала).
Допустим, инвестор приобрел актив за 100 рублей. К концу года он получил по нему в соответствии с условиями сделки доход в размере 10 рублей, и еще цена этого актива выросла до 105 рублей. В этом случае текущая доходность составила 10%. Доходность от прироста капитала (capital gain, price appreciation) составила 5%. Полная доходность (TR, total return) составила 15%
Или, например, инвестор приобрел квартиру за 20 млн рублей. За год он получил доходы от аренды в размере 1 млн рублей, а цена квартиры выросла до 23 млн рублей. Для простоты предположим, что доходы от аренды получены в конце года, а расходы и налоги отсутствуют. В этом случае текущая доходность составила 5%. Доходность от прироста стоимости инвестиций (capital gain, price appreciation) составила 15%. Полная доходность (TR, total return) оказалась равна 20%. Часто как синоним полной доходности используется доходность за период владения (HPR, holding period return). Для инвестиций сроком 1 год она считается как:
\(\mathit{HPR} = {\frac{\mathit{CY}}{P_{0}} + \frac{P_{t} - P_{0}}{P_{0}}}\), где \(P_{0}\)- цена актива в начале периода, \(P_{t}\)- цена актива в конце периода, \(\mathit{CY}\) – совокупный текущий доход за период.
Указанная доходность за период владения является доходностью за период с момента времени 0 до момента времени t. Если t измеряется в годах и t≠1, то рассчитанное значение можно привести к доходности в терминах годовых:
\(\mathit{HPR} = \frac{\left( {\frac{\mathit{CY}}{P_{0}} + \frac{P_{t} - P_{0}}{P_{0}}} \right) \ast 1}{t}\) по формуле простых процентов, обычно применяется при t<1.
\(\mathit{HPR} = {\left( {\frac{\mathit{CY}}{P_{0}} + \frac{P_{t}}{P_{0}}} \right)^{1/t} - 1}\) по формуле сложных процентов, обычно применяется при t>1.
В целом, рационального инвестора интересует, как правило, полная доходность. Когда упоминают доходность, то по умолчанию имеется ввиду полная доходность. Если не указано иное, мы также будем подразумевать, что речь идет о полной доходности, будь то ожидаемая, требуемая, фактическая или иная доходность. При этом категории ожидаемой, требуемой и фактической доходности можно использовать и применительно к компонентам полной доходности. Например, некоторую акцию можно охарактеризовать тем, что ее ожидаемая дивидендная доходность равна, скажем, 9%. В ряде случаев это важно учитывать, так как существуют категории инвесторов, для которых текущий доход предпочтительнее прироста капитала.
Арифметическая и логарифмическая доходность
Ранее в большинстве случаев мы применяли подход, который позволяет вычислить арифметическую доходность. Например, если некоторый актив стоит сегодня 1 000, а через год его цена составит 1 200, то его арифметическая доходность равна (для простоты предположим, что актив не приносит текущий доход):
\({{\frac{1200}{1000} - 1} = 20}\text{%}\).
Так, для упрощенного случая, когда актив не приносит текущий доход, а инвестиционный горизонт равен одному году, арифметическая доходность считается как отношение приростного значения стоимости актива в период времени t=1 (P1- P0) к его первоначальной стоимости P0:
\({i \ast 100}{\text{%} = \frac{P_{1} - P_{0}}{P_{0}}}\).
Логарифмическая доходность считается следующим образом:
\({i = \ln}(\frac{P_{1}}{P_{0}})\).
В нашем примере логарифмическая доходность равна:
\(18,23{\text{%} = \ln}(\frac{1200}{1000})\).
Обратите внимание, что в предыдущей главе рассматривалось непрерывное начисление процентов: \(\mathit{FV} = {\mathit{PV} \ast e^{\delta \ast n}}\), где \(\delta\) - сила роста. Отметим, что сила роста тесно связана с логарифмической доходностью, так как \({{\delta \ast n} = \ln}\left( \frac{\mathit{FV}}{\mathit{PV}} \right).\)
Использование логарифмической доходности в ряде случаев более удобно и корректно. В частности, если предположить, что будущая стоимость актива имеет логарифмически нормальное распределение, то логарифмическая доходность будет иметь нормальное распределение. Логарифмические доходности удобно использовать при высокочастотных сделках. Модели с непрерывным временем, например, часто применяемые для ценообразования производных финансовых инструментов, обычно оперируют логарифмической доходностью.
На практике при расчетах можно использовать как обычную (арифметическую), так и логарифмическую доходность, хотя в силу ряда свойств логарифмическая доходность при проведении расчетов применяется чаще. При этом важно понимать, что не всегда логарифмическая доходность принимает значения, близкие к обычной. И если арифметическая доходность в размере -100% предполагает, что инвестор полностью потерял свой капитал, то вспомнив свойства логарифмической функции несложно понять, что значения логарифмической доходности в -100% имеет мало общего со значением в -100% арифметической доходности. Так, из \({{- 1} = \ln}(\frac{P_{1}}{P_{0}})\) несложно найти, что \(\frac{P_{1}}{P_{0}} = 0,3679.\) То есть логарифмическая доходность в -100% будет соответствовать -63,21% арифметической доходности. Отметим также, что логарифмическая доходность не предусматривает возможности потери всего капитала и получения убытков выше изначальных вложений, так как при \(\ln\left( \frac{P_{1}}{P_{0}} \right){\rightarrow - \infty}\), цена актива \(P_{1}\rightarrow 0.\) На практике, однако, возможны случаи, когда инвестор не только теряет весь капитал, но также остается должен сверх суммы изначальных инвестиций – такое событие можно измерить посредством арифметической, но не логарифмической доходности.
Номинальная и реальная доходность
До настоящего момента мы работали с категориями, которые не учитывают обесценение покупательной способности денег во времени. Однако в реальной жизни инвесторы сталкиваются с ростом общего уровня цен. Представим, что инвестор вложил 1 000 рублей, и получил через год 1 200 рублей. Этой информации недостаточно, чтобы сделать вывод о росте его благосостояния. Мы можем только рассчитать номинальную доходность (для подхода, позволяющего оценить арифметическую доходность):
\({i = \frac{1200 - 1000}{1000} = 20}\text{%}\)
Если же цены в экономике за этот год выросли на \({\pi = 8}\text{%}\), то реальная доходность \(r\) может быть рассчитана в соответствии с уравнением Фишера:
\({r = \frac{1 + i}{1 + \pi} = \frac{1 + 0,2}{1 + 0,08} = 11},(1)\text{%}\)
Иногда предлагается применять упрощенную формулу для расчета реальной доходности:
\(r\approx{{i - \pi} = {0,2 - 0,08} = 12}\text{%}\)
В нашем примере упрощение дает ошибку почти в 1 п.п. (на длительных горизонтах последствия таких ошибок дают очень сильную погрешность в вычислениях). При низких процентных ставках ошибка меньше, но такой расчет приводит к смещенным результатам, а именно - завышает абсолютное значение реальных ставок.
Именно реальная доходность имеет практичный смысл – показывает прирост благосостояния инвестора. При этом, если инвестор вложил 1 000 рублей, получил через год 1 200 рублей, а инфляция составила 8%, то мы только ориентировочно можем сказать, что благосостояние инвестора возросло на 11,1%. Так, если товары и услуги, которые покупает этот инвестор, выросли в цене на 15%, то исходя из приведенной выше формулы несложно рассчитать, что прирост его благосостояния составил только 4,35%.
Инвесторы должны учитывать инфляцию при принятии финансовых решений, но далеко не всегда они это делают. В научной литературе описана теория денежной иллюзии (money illusion), в соответствии с которой экономические агенты допускают систематические ошибки, некорректно учитывая влияние инфляции на свое благосостояние и доходы, а именно рассматривая номинальные, а не реальные величины1,2,3. Исследования, проводимые на ЭФ МГУ, показали, что разным формам денежной иллюзии подвержены от 10% до 60% инвесторов, причем более высокий уровень грамотности приводит к снижению вероятности денежной иллюзии, а необходимость выбора нестандартных финансовых инструментов повышает вероятность денежной иллюзии. Известно также, что в опросах домохозяйств регистрируются систематически смещенные вверх значения наблюдаемой и ожидаемой инфляции (относительно фактической инфляции), что также косвенно свидетельствует о денежной иллюзии4,5,6,7.
Eldar Shafir, Peter Diamond and Amos Tversky. Money Illusion. The Quarterly Journal of Economics, May, 1997, Vol. 112, No. 2, pp. 341-374 https://www.scopus.com/inward/record.uri?eid=2-s2.0-0040360985&doi=10.1162%2f003355397555208&partnerID=40&md5=7ba90f92987179060f3bf8848bb437df ↩︎
Elisa Darriet, Marianne Guille, Jean-Christophe Vergnaud, Mariko Shimizu. Money Illusion, Financial Literacy And Numeracy: Experimental Evidence. Journal of Economic Psychology, Volume 76, 2020, 102211, ISSN 0167-4870, https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0167487019300352 ↩︎
Ziano I., Li J., Tsun S.M., Lei H.C., Kamath A.A., Cheng B.L., Feldman G., “Revisiting «money illusion»: Replication and extension of Shafir, Diamond, and Tversky (1997)”, Journal of Economic Psychology, Vol. 83, March 2021↩︎
Abildgren K., Kuchler A. Revisiting the Inflation Perception Conundrum // Journal of Macroeconomics. 2021. Vol. 67. Article 103264. doi: https://doi.org/10.1016/j.jmacro.2020.103264.↩︎
Detmeister A., Lebow D., Peneva E. Inflation Perceptions and Inflation Expectations // FEDS Notes. Washington: Board of Governors of the Federal Reserve System. 2016. 8 p. doi: http://doi.org/10.17016/2380-7172.1882↩︎
Глущенко К.П. Анализ официальных и альтернативных оценок инфляции // Вестник НГУЭУ. 2015. №4. С.41-53↩︎
Гуров И.Н. Инфляция в России: различия между официальными данными и оценками населения. Вопросы статистики. 2022;29(3):100-111. https://doi.org/10.34023/2313-6383-2022-29-3-100-111