В предыдущем параграфе мы разобрали подходы к дисконтированию и наращению – операциям, которые позволяют найти приведенные и будущие эквивалентные стоимости для заданных платежей. На практике часто существует необходимость найти приведенную стоимость (PVA, present value of annuities) или будущую стоимость (FVA, future value of annuities) ренты, то есть целого набора платежей.
Понятие рента близко к понятию денежного потока как набора платежей. Рента в финансах характеризуется рядом показателей: R – годовой рентный платеж, p – количество платежей в год (например, при p=2 осуществляется два платежа в год в размере R/2 каждый), n – количество лет, в течение которых ожидается получение или выплата рентных платежей. Например, рента с R = 1 000, p = 1, n = 10 представляет собой 10 ежегодных платежей в размере 1 000. Для нахождения приведенной или будущей стоимости ренты необходимо знать применимую ставку процента и схему начисления процентов.
Отметим, что в качестве частного случая можно выделить бесконечную ренту, у которой \(n{\rightarrow + \infty}\). Обычно по умолчанию предполагается, что первый рентный платеж осуществляется в точке на теоретической временной шкале, равной t=1/p, в частности, при p=1 первый рентный платеж осуществляется в t=1, такие ренты также называются постнумерандо (postnumerando). Выделяются также ренты пренумерандо (prenumerando), по которым первый платеж осуществляется в t=0. В общем случае рентные платежи могут меняться со временем, например, в ряде практических случаев рассматривается ежегодный прирост рентного платежа с постоянным темпом \(g\), то есть \({R_{t} = {R_{t - 1} \ast (}}{1 + g})\). Также выделяют верную ренту, по которой каждый рентный платеж выплачивается с вероятностью 1, и условную ренту, размер и сам факт осуществления платежей по которой зависит от реализации конкретного сценария.
Зная указанные характеристики ренты можно найти и приведенную, и будущую стоимость ренты.
Рассмотрим стандартный случай нахождения приведенной стоимости ренты (верная рента, p=1). Приведенная стоимость первого рентного платежа равна \(\frac{R}{1 + i}\). Приведенная стоимость каждого последующего рентного платежей меньше в \(\frac{1}{1 + i}\) раз. Последовательность дисконтированных рентных платежей образует геометрическую прогрессию. Несложно показать, что сумма \(n\) рентных платежей равна:
\(\mathit{PVA} = \frac{{\frac{R}{1 + i} \ast (}{1 - {(\frac{1}{1 + i})}^{- n}})}{1 - \frac{1}{1 + i}}\).
Преобразуя, получим:
\({\mathit{PVA} = R}\frac{{{1 - (}{1 + i})}^{- n}}{i}\).
Интересный случай имеем при положительных процентных ставках и \(n{\rightarrow + \infty}\), значение \({({1 + i})}^{- n}\) становится бесконечно малым и в этом случае приведенная стоимость ренты равна:
\(\mathit{PVA} = \frac{R}{i}\).
В более общем случае с количеством рентных платежей в год, равным p, и числом начисления процентов в год, равным m, через сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно показать, что приведенная стоимость ренты равна:
\(PVA = \left(\frac{R}{p}\right) \times \frac{1 - \left(1 + \frac{i}{m}\right)^{-mn}}{\left({1 + \frac{i}{m}}\right)^{\frac{m}{p}} - 1}\),
где R – рентный/аннуитетный платеж,
p – частота осуществления рентных платежей,
n – длительность сделки или срок ренты,
i – номинальная годовая процентная ставка,
m – количество начислений процентов в год.
Для конечных \(n\) также легко найти будущую стоимость ренты (FVA, future value of annuities):
\({\mathit{FVA} = R}\frac{{({1 + i})}^{n} - 1}{i}\).
В обобщенное случае будущая стоимость ренты равна:
\({\mathit{FVA} = \left( \frac{R}{p} \right)}\times\frac{\left( {1 + \frac{i}{m}} \right)^{\mathit{mn}} - 1}{\left( {1 + \frac{i}{m}} \right)^{\frac{m}{p}} - 1}\).
Экономический смысл PVA, в частности, заключается в том, что PVA представляет собой текущую сумму денег, на которую мы готовы обменять входящий поток рентных платежей. Экономический смысл FVA, в частности, заключается в том, что FVA представляет собой сумму, которую мы получим, если будем ежегодно инвестировать определенную сумму (и реинвестировать все доходы) с доходностью \(i\).
Также расчет PVA важен для принятия решений о конверсии рент. Например, одна сторона должны выплатить другой 3 ежегодных платежей в размере 1 млн рублей, ставка дисконтирования равна 20%. Стороны хотят достигнуть соглашения, по которому количество платежей будет увеличено до 5. Какой в этом случае должна быть величина нового ежегодного (рентного) платежа? Основной принцип решения подобных задач (и основной принцип справедливости при принятии подобных решений) заключается в том, что приведенные стоимости двух таких рент должны быть равны. Равенство приведенных стоимостей рент \(\mathit{PVA}_{\mathit{new}} = \mathit{PVA}_{\mathit{old}}\) отражает справедливость в финансовых расчетах – обе стороны будут считать справедливой конверсию потока платежей, только если приведенные стоимости этих потоков платежей равны. В противном случае одна из сторон получает необоснованную выгоду, так как менее ценную в терминах приведенной стоимости ренту обменивает на более ценную, а вторая – убыток, так как более ценную ренту обменивает на менее ценную.
Итак, приведенная стоимость «старой» ренты с тремя платежами равна:
\({\mathit{PVA}_{\mathit{old}} = 1}000000{\frac{{{1 - (}{1 + 0,2})}^{- 3}}{0,2} = 2}106481,48\).
Исходя из принципа справедливости при конверсии рент приведенная стоимость «новой» ренты с пятью платежами должна быть также равна \(\mathit{PVA}_{\mathit{new}} = \mathit{PVA}_{\mathit{old}}\), или \({\mathit{PVA}_{\mathit{new}} = 2}106481,48\).
Таким образом, значение нового рентного платежа можно рассчитать исходя из:
\(R_{\mathit{new}}{\frac{{{1 - (}{1 + 0,2})}^{- 5}}{0,2} = 2}106481,48\).
Решив это уравнение с одним неизвестным можно найти \({R_{\mathit{new}} = 704}364,65\).
Таким образом, исходя из равенства PVA двух рент мы установили, что 3 ежегодных платежа в размере 1 млн рублей при ставке дисконтирования 20% справедливо (или равнозначно) заменить на 5 ежегодных платежей в размере 704 364,65 рублей.
В завершение главы отметим, что, как правило, простая схема начисления процентов используется для расчета начисленных процентов внутри процентного периода, а также в ряде случаев для дисконтирования и наращения внутри процентного периода.
Сложная и ее предельный случай – непрерывная схема начисления проценты обычно используются для дисконтирования и наращения, то есть когда имеется необходимость сопоставить денежные потоки, относящиеся к разным моментам времени. Именно благодаря дисконтированию для нас есть возможность проводить простые арифметические операции с денежными потоками, относящимися к разным моментам времени, а это в свою очередь открывает возможности для анализа и оценки различных финансовых инструментов, в том числе акций и облигаций, инвестиционных проектов, составления схем погашения кредитов. Все эти подходы будут подробно разобраны в следующих главах настоящего учебника.