Итак, мы обсудили такие понятия, как финансовое событие, денежные поток, теоретическая временная шкала, проценты и процентные пункты, а также принципы округления. Мы неоднократно упоминали, что в финансах имеем дело с разнесенными во времени платежами, причем по ряду причин денежные суммы, относящиеся к разным моментам времени, имеют разную ценность.
Вернемся к примеру с размещением на депозите 5000 рублей 01.03.2026 и их снятием 31.03.2026 (см. Рис. 6).
Рисунок 6. Иллюстрация схемы простого начисления процентов.
Процентная ставка — это относительная величина, указанная в процентном выражении к сумме первоначальной суммы, которую начисляют по условиям финансовой сделки за определённый период времени (как правило, процентные ставки формулируются «в годовых»). Если процентная ставка, предлагаемая банком по данному депозиту, составляла 10%, и банк начисляет проценты один раз в конце месяца исходя суммы на депозите и фактического количества дней между датами ACT/ACT, то величина начисленных процентов будет равна:
\(\frac{5000 \ast 0,1 \ast 30}{365} = 41,10\) рублей.
Финансовый смысл это операции заключается в том, что за каждый день начисляется 1/365 процентной ставки, следовательно, за 30 дней начисляется \(\frac{0,1 \ast 30}{365}\) на первоначальную сумму депозита в размере 5000 рублей.
Следовательно, вкладчик 31.03.2026 снимет сумму, равную:
\({5000 + \frac{5000 \ast 0,1 \ast 30}{365}} = {5000 \ast \left( {1 + \frac{0,1 \ast 30}{365}} \right)} = 5041,10\) рублей.
Если вкладчик соглашается на размещение депозита на таких условиях, то мы также можем сказать, что в рамках этого депозита для него 5000 рублей на 01.03.2026 эквивалентны 5041,10 рублей на 31.03.2026.
При заданных процентных ставках начисление процентов не зависит от масштаба суммы, а также депозитного или кредитного характера операции. Например, если у компании в течение всего февраля 2026 года была задолженность по кредиту в размере 5 млрд рублей, а процентная ставка по кредиту составляла 20%, то банк начислит проценты по кредиту в размере:
\(5000000{\frac{000 \ast 0,2 \ast 28}{365} = 76}712328,77\) рублей.
При этом мы можем сказать, что в рамках такого кредитного соглашения 5 млрд рублей на конец января 2026 года эквивалентны 5 076 712 328,77 рублей на конец февраля 2026 года.
В такой трактовке эквивалентности денежная сумма на начало периода часто обозначается как PV (present value; приведенная, дисконтированная или текущая стоимость), а денежная сумма в конечный момент времени обозначается как FV (future value; будущая стоимость).
Обратите внимание, что в обоих примерах банк рассчитывал проценты исходя из простой схемы начисления, которая не предусматривает капитализацию, т.е. начисление процентов на проценты.
В целом, выделяют три схемы начисления процентов:
- простое начисление процентов,
- сложное начисление процентов,
- непрерывное начисление процентов.
При простой схеме начисления процентов между приведенной стоимостью и будущей стоимостью устанавливается взаимно однозначное соответствие:
\({\mathit{FV} = {\mathit{PV} \ast (}}{1 + {i \ast n}})\),
где i – процентная ставка за 1 период (обычно подразумевается, что 1 период равен 1 году), \(n\) - количество периодов.
Обратите внимание, что FV можно разделить на PV и сумму начисленных процентов:
\(\mathit{FV} = {\mathit{PV} + {\mathit{PV} \ast i \ast n}}\).
Из этой формулы можно увидеть, что сумма начисленных процентов \(\mathit{PV} \ast i \ast n\) растет с таким же темпом, как и \(n\), что характеризует тот факт, что проценты начисляются только величину изначальной суммы (PV), проценты на проценты не начисляются. Внутри отдельного процентного периода применяется простая схема начисления процентов.
Однако на длинных периодах времени, а также в ряде случаев и на коротких периодах времени, особенно важным становится именно компонент «процентов, начисленных на проценты», что учитывается в сложной схеме начисления процентов. При сложной схеме начисления процентов между приведенной стоимостью и будущей стоимостью устанавливается взаимно однозначное соответствие:
\(\mathit{FV} = {\mathit{PV} \ast {({1 + i})}^{n}}\).
Это формула предусматривает, что, например, при \(n = 3\) происходит следующее. В момент времени 0 сумма в размере \(\mathit{PV}\) инвестируется под ставку \(i\). В момент времени t=1 инвестору возвращают сумму в размере \({\mathit{PV} \ast (}{1 + i})\), и инвестор снова инвестирует ее под ставку \(i\). Обратите внимание, что при сложной схеме начисления в периоде времени t=1 предполагается инвестирование всей суммы \({\mathit{PV} \ast (}{1 + i})\), тогда как простая схема предполагала бы, что будет инвестироваться только \(\mathit{PV}\), а сумма ранее начисленных процентов не реинвестируется. В момент времени t=2 инвестору возвращают сумму в размере \(\mathit{PV} \ast {({1 + i})}^{2}\), и он сразу реинвестирует всю эту сумму под ставку \(i\). В момент времени 3 инвестору возвращают сумму в размере \(\mathit{PV} \ast {({1 + i})}^{3}\), что соответствует указанной выше формуле для \(n = 3\). Для периода более года (а в общем случае – более одного процентного периода) и положительных процентных ставок сумма начисленных сложных процентов выше, чем при простой схеме начисления аналогичной ставки процента, что объясняется механизмом начисления «процентов на проценты».
Однако это еще не все, что следует знать про сложную схему начисления процентов. Возвращаясь к понятию процентный период (период времени, в рамках которого не начисляются проценты на проценты), введем понятие количества начислений процентов за 1 год и обозначим этот показатель как \(m\). Например, при годовой процентной ставке \({i = 10}\text{%},\mathit{где}\) \(m = 2\) проценты начисляются 2 раза в год. В данном случае процентный период будет равен ½ года, т.е. каждые полгода на инвестированные денежные средства будет начисляться \({\frac{i}{m} = \frac{10\text{%}}{2} = 5}\text{%}\).
Что такая схема означает для инвестора с инвестиционным горизонтом 1 год? Если вложить 1 000 сегодня, то через полгода сумма инвестиций составит \({1000 \ast (}{1 + 0,05}{) = 1050}\), а еще через полгода сумма инвестиций составит \({1050 \ast (}{1 + 0,05}{) = 1102,50}\).
Таким образом, при сложной схеме начисления процентов для произвольного \(m\) между PV и FV устанавливается взаимно однозначное соответствие:
\(\mathit{FV} = {\mathit{PV} \ast {({1 + \frac{i}{m}})}^{m \ast n}}\)
Интересным является вопрос, как правильно начислять проценты и находить соответствие между PV и FV, когда \(n\) включает в себя дробное число процентных периодов. Например, для простоты, рассмотрим случай \(m = 1\) и \(n = 2,5\). Действительно, за рамками целого количества процентных периодов следует сделать выбор между применением сложных и простых процентов. Тут мы снова вспомним понятие процентного периода. В случае \(m = 1\) и \(n = 2,5\) процентный период будет равен 1 году, тогда как длительность сделки будет равна 2,5 годам (см. рисунок 7):
Рисунок 7. Схема начисления процентов для ситуации, когда длительность сделки не кратна частоте начисления процентов.
Математически эта схема начисления процентов может быть представлена следующим образом:
\({\mathit{FV} = {\mathit{PV} \ast \left( {1 + i} \right)^{2} \ast (}}{1 + {i \ast 0,5}})\)
Строго говоря такой расчет является корректным, там как соответствует понятию процентного периода. В частности, при расчете итоговой суммы по депозиту сроком 2,5 года с ежегодной капитализацией процентов будет применяться такой подход.
Однако для финансовых вычислений в ряде случаев применяется более лаконичный подход (в частности, такой подход применим, если речь идет не о начислении процентов банком, а о нахождении PV при известном FV или о нахождении FV при известном PV):
\(\mathit{FV} = {\mathit{PV} \ast \left( {1 + i} \right)^{2,5}}\).
Таким образом, мы рассмотрели сложную схему начисления процентов. Отметим, количество начислений процентов в год \(m\) может принимать различные значения. Например, \(m = 4\) соответствует ежеквартальному начислению процентов, \(m = 12\) соответствует ежемесячному начислению процентов. Иногда, например, при высокочастотных сделках на финансовом рынке, \(m\) принимает очень высокие значения (порядка сотен или выше). При такой частоте начисления \(m\) процентный доход будет стремиться к значению, полученному при непрерывном начислении процентов.
При непрерывной схеме начисления процентов мы предполагаем, что \(m{\rightarrow + \infty}\), и тогда между PV и FV устанавливается взаимно однозначное соответствие (это равенство следует из второго замечательного предела):
\(\mathit{FV} = {\mathit{PV} \ast e^{i \ast n}}\).
Это равенство следует из второго замечательного предела. При непрерывном начислении процентов ставка идентифицируется как «сила роста», и далее, не теряя изложенного смысла, мы будем записывать соотношение следующим образом:
\(\mathit{FV} = {\mathit{PV} \ast e^{\delta \ast n}}\),
где \(\delta\) - сила роста.
Как мы увидим в следующих главах, применение непрерывного начисления процентов обосновано не только в случаях, когда на практике мы сталкиваемся с настолько высоким количеством начислений процентов в год, что применение непрерывных процентов становится более удобным, чем применение сложных процентов, но также и в ряде случаев, когда такая схема начисления процентов является теоретически обоснованной и более функциональной, например, в моделях с непрерывным временем.
Таким образом, если мы знаем:
- величину процентной ставки,
- точки на теоретической временной шкале, характеризующие финансовые события (платежи),
- схему начисления процентов,
то мы можем определить две ключевые операции, позволяющие учесть изменение стоимости денег во времени: дисконтирование и наращение.
Дисконтирование – это механизм приведения стоимости будущих денежных потоков к их эквиваленту в более ранние моменты времени. В большинстве случае дисконтирование заключается в приведении будущих денежных потоков к моменту времени t=0 при заданном уровне изменения стоимости денег во времени, который измеряется ставкой дисконтирования.
Рассмотрим пример: экономический агент ожидает получить через 2 года 1 210 рублей,
ставка дисконтирования для него равна 10%. В этом случае сумма в размере 1 210 через два года эквивалентна для этого экономического агента 1 000 рублей сегодня, так как \(1000 = \frac{1210}{{({1 + 0,1})}^{2}}\). Под эквивалентностью в данном случае подразумевается, что экономическому агенту безразлично, получить 1 000 сегодня или 1 210 через 2 года. При заданной ставке дисконтирования можно было бы сформулировать это утверждение и в терминах расходов: экономическому агенту безразлично, заплатить 1 000 сегодня или 1 210 через 2 года. Таким образом, мы определили операцию дисконтирования через эквивалентность денежных потоков при определенном уровне изменения стоимости денег во времени.
Переформулируем исходное условие: инвестор готов сегодня вложить 1 000, если при этом в течение 2 лет будет получать доходность 10% Математически это можно представить следующим образом: \(1{{000 \ast \left( {1 + 0,1} \right)^{2}} = 1}210\). Таким образом, наращение – это механизм определения величины эквивалентной будущей стоимости для некоторой суммы денег при заданной доходности и с учетом длительности временного интервала. Операция наращения обратна операции дисконтирования.
На практике мы нередко сталкиваемся с изменениями процентных ставок в течение периода между t=0 и t=n, при дисконтировании и наращении это может быть легко учтено для каждой из схем начисления процентов. Резюмируя вышеизложенное, представим таблицу, иллюстрирующую соотношения приведенной стоимости (PV) и будущей стоимости (FV) и, таким образом, отражающую схемы дисконтирования и наращения (см. Табл. 1)
Таблица 1.
Операции дисконтирования и наращения для разных схем начисления процентов
| Схема начисления процентов | Соотношение PV и FV |
| Простая, неизменная ставка | \(\mathit{PV} = \frac{\mathit{FV}}{1 + {i \ast n}}\) |
| Простая, переменная ставка | \(\mathit{PV} = \frac{\mathit{FV}}{1 + {\sum\limits_{j = 1}^{k}{{{(i}_{j} \ast n_{j}})}}}\) |
| Сложная, частный случай \(m = 1\), неизменная ставка | \(\mathit{PV} = \frac{\mathit{FV}}{{({1 + i})}^{n}}\) |
| Сложная, частный случай \(m = 1\), переменная ставка | \(\mathit{PV} = \frac{\mathit{FV}}{\prod\limits_{j = 1}^{k}{({1 + i_{j}})}^{n_{j}}}\) |
| Сложная, неизменная ставка | \(\mathit{PV} = \frac{\mathit{FV}}{{({1 + \frac{i}{m}})}^{\mathit{mn}}}\) |
| Сложная, переменная ставка | \(\mathit{PV} = \frac{\mathit{FV}}{\prod\limits_{j = 1}^{k}{({1 + \frac{i_{j}}{m}})}^{mn_{j}}}\) |
| Непрерывная схема начисления процентов, неизменная сила роста | \({\mathit{PV} = \mathit{FV}}\bullet e^{- \mathit{\delta n}}\) |
| Непрерывная схема начисления процентов, переменная дискретно изменяющаяся сила роста | \({\mathit{PV} = \mathit{FV}}\bullet e^{- {\sum\limits_{j = 1}^{k}{({\delta_{j} \ast n_{j}})}}}\) |
| Непрерывная схема начисления процентов, общий случая для переменной силы роста | \({\mathit{PV} = \mathit{FV}}\bullet e^{- {\int\limits_{0}^{n}{\delta{(t)}\mathit{dt}}}}\) |