Мы обсудили три подхода к оцениванию на панельных данных: регрессия пула, модель с фиксированными эффектами и модель со случайными эффектами. Следовательно, в каждом конкретном случае важно уметь выбирать наилучший подход. Для этого достаточно научиться попарно сравнивать между собой три доступных варианта.
Мы уже умеем выбирать между регрессией пула и моделью с фиксированными эффектами. Для этого используется специальная версия теста на сравнение «короткой» и «длинной» регрессий, которую мы рассмотрели в параграфе 9.2.
Теперь нам нужно научиться делать выбор между моделями со случайными эффектами и с фиксированными эффектами, а также между моделью со случайными эффектами и регрессией пула.
Для первого из указанных выборов используется тест Хаусмана, уже знакомый нам по теме «Инструментальные переменные». Он позволяет проверить выполнение предположения №6 модели со случайными эффектами (так как именно это предположение отличает её от модели с фиксированными эффектами). В рамках теста сравниваются оценки модели с фиксированными эффектами, полученные при помощи внутригруппового преобразования, и оценки модели со случайными эффектами, полученные при помощи доступного ОМНК. Нулевая гипотеза теста Хаусмана в данном случае состоит в том, что оценки доступного ОМНК являются состоятельными. Альтернативная гипотеза — в том, что они несостоятельны.
Тестовая статистика теста Хаусмана имеет вид:
\(\left( \widehat{\beta_{\text{FE}}} - \widehat{\beta_{\text{RE}}} \right)^{'}\left( \widehat{V}\left( \widehat{\beta_{\text{FE}}} \right) - \widehat{V}\left( \widehat{\beta_{\text{RE}}} \right) \right)^{- 1}\left( \widehat{\beta_{\text{FE}}} - \widehat{\beta_{\text{RE}}} \right)\)
\(\widehat{\beta_{\text{FE}}}\) — вектор оценок коэффициентов для модели с фиксированными эффектами, \(\widehat{V}\left( \widehat{\beta_{\text{FE}}} \right)\) — оценка ковариационной матрицы этого вектора. Аналогичные величины с индексом RE соответствуют модели со случайными эффектами. Если нулевая гипотеза верна, то данная статистика имеет распределение Хи-квадрат с k степенями свободы.
Если нулевая гипотеза отвергается, то следует заключить, что оценки доступного ОМНК несостоятельны, и сделать выбор в пользу модели с фиксированными эффектами. В противном случае предпочтительной является модель со случайными эффектами.
Тест Бреуша — Пагана позволяет сделать выбор между моделью со случайными эффектами и обычной регрессией пула, которая не учитывает никаких индивидуальных эффектов. Нулевая гипотеза этого теста состоит в том, что дисперсия случайных эффектов \(\sigma_{\mu}^{2}\) равна нулю (то есть в том, что все объекты однородны). Если это так, то в применении доступного ОМНК нет необходимости, и можно ограничиться обычным МНК без учета случайных эффектов. Тестовая статистика для этого теста имеет вид:
\(\frac{\text{nT}}{2(T - 1)}\left( \frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( \sum_{t = 1}^{T}e_{\text{it}} \right)^{2}}{\sum_{i = 1}^{n}\left( \sum_{t = 1}^{T}e_{\text{it}}^{2} \right)} - 1 \right)^{2}.\)
Здесь \(e_{\text{it}}\) — остатки регрессии, оцененной обычным МНК. Если верна нулевая гипотеза, то эта статистика имеет распределение Хи-квадрат с одной степенью свободы. Отвержение нулевой гипотезы говорит в пользу модели со случайными эффектами. Не отвержение — в пользу обычной регрессии пула.
Посмотрим, как работают эти тесты в нашем примере про результаты по курсу математического анализа.
Пример 9.4. Отдача от посещения лекций (окончание)
В таблице 9.2 представлены итоги оценивания отдачи от посещения лекции тремя способами: при помощи обычного МНК (регрессия пула), при помощи внутригруппового преобразования (модель с фиксированными эффектами) и при помощи доступного ОМНК (модель со случайными эффектами). Мы получили эти результаты в ходе решения примеров 9.1-9.3 в предыдущих параграфах.
Таблица 9.2. Сводные результаты оценивания отдачи от посещения лекций
| Метод оценивания |
МНК | Фиксированные эффекты | Случайные эффекты |
|---|---|---|---|
| Коэффициент при переменной attendance |
–0,989*** (0,219) |
1,119*** (0,036) |
1,073*** (0,037) |
Примечание: в скобках под оценками коэффициентов указаны стандартные ошибки. В первом случае использованы состоятельные в условиях гетероскедастичности стандартные ошибки, во втором случае — стандартные ошибки в форме Ареллано. Символ «***» обозначает значимость на однопроцентном уровне.
Из таблицы легко видеть, что оценки отдачи от посещения при использовании разных подходов могут заметно отличаться друг от друга. Следовательно, важно осуществить спецификационные тесты для выбора подходящей модели.
МНК против фиксированных эффектов:
Расчетное значение F-статистики для проверки гипотезы об отсутствии фиксированных эффектов равно 138,5, что значительно больше критического значения F (299, 299) при однопроцентном уровне значимости. Поэтому и соответствующее P-значение меньше 0,01. Следовательно, нулевая гипотеза отвергается при уровне значимости 1%, и мы делаем выбор в пользу модели с фиксированными эффектами.
МНК против случайных эффектов:
Расчетное значение статистики Хи-квадрат (1) составляет 191,1, что заметно больше критического значения из таблиц распределения Хи-квадрат для одной степени свободы и уровня значимости 1%. Соответственно, и P-значение для проверки гипотезы о том, что дисперсия случайных эффектов равна нулю, заметно меньше, чем 0,01. Таким образом, мы отвергаем нулевую гипотезу и делаем выбор в пользу модели со случайными эффектами.
Случайные эффекты против фиксированных эффектов:
Расчетное значение тестовой статистики для проверки гипотезы о состоятельности ОМНК-оценок равно 136,8. Это тоже больше критического значения из таблиц распределения Хи-квадрат для одной степени свободы (в этом тесте число степеней свободы равно количеству регрессоров в модели, в нашем случае это как раз единица) и уровня значимости 1%. Соответственно, и P-значение для данной гипотезы меньше, чем 0,01. Мы должны заключить, что оценки модели со случайными эффектами несостоятельны, и сделать выбор в пользу модели с фиксированными эффектами.
Подводя итоги всех тестов, мы можем утверждать, что наилучшим выбором является модель с фиксированными эффектами. Таким образом, посещение лекций положительно влияет на сумму баллов по курсу математического анализа.
***
В заключение отметим, что, если результаты спецификационных тестов противоречивы, следует отдавать предпочтение модели с фиксированными эффектами. Это объясняется тем, что её предпосылки являются наиболее слабыми. Следовательно, она будет давать состоятельные результаты в большем числе случаев, чем альтернативные модели.