Альтернативным подходом к моделированию на панельных данных является модель со случайными эффектами.
Предпосылки модели со случайными эффектами:
-
Модель линейна по параметрам:
\(y_{\text{it}} = \beta_{1}x_{\text{it}}^{(1)} + \beta_{2}x_{\text{it}}^{(2)} + \ldots + \beta_{k}x_{\text{it}}^{(k)} + \mu_{i} + \varepsilon_{\text{it}},\)
\(i = 1,2,\ldots,\ n,\ \ t = 1,2,\ldots,T.\)
-
Наблюдения
\(\left\{ \left( x_{i1}^{\left( \mathbf{1} \right)},x_{i2}^{\left( \mathbf{1} \right)},\ \ldots,x_{\text{iT}}^{\left( \mathbf{1} \right)},x_{i1}^{\left( \mathbf{2} \right)},x_{i2}^{\left( \mathbf{2} \right)},\ldots,x_{\text{iT}}^{\left( \mathbf{2} \right)},\ldots,x_{i1}^{\left( \mathbf{k} \right)},x_{i2}^{\left( \mathbf{k} \right)},\ \ldots,x_{\text{iT}}^{\left( \mathbf{k} \right)},\ \varepsilon_{i1},\ \varepsilon_{i2},\ldots,\varepsilon_{\text{iT}} \right),\ \ i = 1,2,\ldots,\ n,\ \ t = 1,2,\ldots,T \right\}\) независимы и одинаково распределены. -
\(x_{\text{it}}^{(1)},x_{\text{it}}^{(2)},\ldots,x_{\text{it}}^{(k)}\) и \(\varepsilon_{\text{it}}\) имеют ненулевые конечные четвертые моменты.
-
Случайные ошибки имеют нулевое условное матожидание:
\(E\left( \varepsilon_{\text{it}} \middle| x_{i1}^{\left( \mathbf{1} \right)},x_{i2}^{\left( \mathbf{1} \right)},\ \ldots,x_{\text{iT}}^{\left( \mathbf{1} \right)},x_{i1}^{\left( \mathbf{2} \right)},x_{i2}^{\left( \mathbf{2} \right)},\ldots,x_{\text{iT}}^{\left( \mathbf{2} \right)},\ldots,x_{i1}^{\left( \mathbf{k} \right)},x_{i2}^{\left( \mathbf{k} \right)},\ \ldots,x_{\text{iT}}^{\left( \mathbf{k} \right)},\mu_{i} \right) = 0.\)
-
С вероятностью единица в модели отсутствует чистая мультиколлинеарность.
-
\(E\left( \mu_{i} \middle| x_{i1}^{\left( \mathbf{1} \right)},\ x_{i2}^{\left( \mathbf{1} \right)},\ \ldots,x_{\text{iT}}^{\left( \mathbf{1} \right)},x_{i1}^{\left( \mathbf{2} \right)},\ldots,x_{\text{iT}}^{\left( \mathbf{2} \right)},\ldots,x_{i1}^{\left( \mathbf{k} \right)},\ \ldots,x_{\text{iT}}^{\left( \mathbf{k} \right)} \right) = E\left( \mu_{i} \right) = 0\)
Сравнив данный набор условий с предпосылками модели с фиксированными эффектами, легко видеть, что эта модель отличается всего одним дополнительным пунктом: №6 (остальные предпосылки в точности совпадают). Из него следует, что регрессоры не должны быть коррелированы с ненаблюдаемыми эффектами \(\mu_{i}\).
Таким образом, называя величины \(\mu_{i}\) случайными эффектами, в прикладных исследованиях предполагают их некоррелированность с регрессорами.
Обозначим \(v_{\text{it}} = \mu_{i} + \varepsilon_{\text{it}}.\) В этом случае исходное уравнение можно переписать следующим образом:
\(y_{\text{it}} = \beta_{1}x_{\text{it}}^{(1)} + \beta_{2}x_{\text{it}}^{(2)} + \ldots + \beta_{k}x_{\text{it}}^{(k)} + v_{\text{it}}.\)
В этом уравнении регрессоры экзогенны, так как они не коррелированы ни с одной из компонент \(v_{\text{it}}\).
Так как регрессоры в модели со случайными эффектами экзогенны, параметры этой модели могут быть состоятельно оценены обычным МНК. Однако, как правило, на практике для этого используется не обычный МНК, а доступный обобщенный МНК. Дело в том, что МНК-оценки в этой модели будут хоть и состоятельными, но неэффективными. Поэтому применение доступного обобщенного МНК позволяет получить более точные результаты.
Читателя, заинтересованного в технических деталях получения оценки доступного ОМНК, мы приглашаем обратиться к параграфу 9.6. Здесь же мы отметим несколько важных с прикладной точки зрения соображений о модели со случайными эффектами:
-
Преимуществом модели со случайными эффектами является возможность идентификации коэффициентов при переменных, которые не меняются во времени. Как вы помните, для модели с фиксированными эффектами это было невозможно.
-
Недостатком же являются более жесткие предпосылки: требование некоррелированности регрессоров и случайных эффектов. Выполнение этой предпосылки можно тестировать (см. параграф 9.7).
-
Так как параметры модели оцениваются не обычным МНК, а доступным ОМНК, то R-квадрат для этой модели не определён.
Пример 9.3. Отдача от посещения лекций (продолжение)
Вернемся к нашему примеру с оценкой пользы от посещения лекций (см. примеры 9.1 и 9.2). Оценим теперь интересующий нас параметр при помощи модели со случайными эффектами. Соответствующие результаты представлены ниже.
Модель 1: Случайные эффекты (GLS), использовано наблюдений - 600
Включено 300 пространственных объектов
Длина временного ряда = 2
Зависимая переменная: performance
Коэффициент Ст. ошибка z P-значение
---------------------------------------------------------
const 40,5705 0,871857 46,53 0,0000 ***
attendance 1,07664 0,0371079 29,01 4,40e-185 ***
Как и в случае использования модели с фиксированными эффектами, мы можем заключить, что посещение лекций полезно для овладения курсом. В соответствии с полученной оценкой, посещение одной дополнительной лекции увеличивает результат по курсу примерно на 1,08 балла.
Добавим фиктивную переменную временного периода для учета возможных временных эффектов. Результаты для соответствующей спецификации представлены ниже. Легко видеть, что соответствующая переменная не является статистически значимой. К тому же её добавление не оказывает существенного влияния на оценку коэффициента при интересующей нас переменной attendance. Поэтому в нашем случае нет необходимости в учете временных эффектов.
Модель 2: Случайные эффекты (GLS), использовано наблюдений - 600
Включено 300 пространственных объектов
Длина временного ряда = 2
Зависимая переменная: performance
Коэффициент Ст. ошибка z P-значение
----------------------------------------------------------
const 40,6545 0,882711 46,06 0,0000 ***
attendance 1,07293 0,0376277 28,51 7,75e-179 ***
dt_2 −0,0886003 0,146151 −0,6062 0,5444