8.5. Где взять подходящие инструменты?

2МНК является панацеей для многих проблем с эндогенностью при условии, что у вас есть валидные инструменты. При этом, однако, остается вопрос о том, где их взять.

К сожалению, единого готового алгоритма, позволяющего автоматически получать инструментальные переменные для заданной модели, не существует. Поэтому использование двухшагового МНК требует не только владения эконометрической техникой, но и хорошего содержательного понимания исследуемой проблемы.

Именно опираясь на это понимание, следует выбирать потенциальных кандидатов в инструменты — переменные, не коррелированные со случайными ошибками модели и при этом коррелированные с регрессором. От того, насколько убедительно вы объясните читателю, почему предлагаемый вами инструмент должен быть валиден, зависит, будет ли ваша работа вызывать доверие или нет.

Чтобы продемонстрировать, какой способ думать об инструментах может помочь найти их, мы приведем в этом параграфе три истории. Каждая из них опирается на реальные исследования, собравшие большое количество цитирований. Я советую вам не ограничиваться чтением учебника, но и посмотреть сами эти статьи.

История 1. Влияет ли образование на доход?

В главе 7 (параграф 7.1) мы уже обсудили, что в регрессии дохода индивида на его уровень образования (количество лет обучения) регрессор будет эндогенным из-за пропуска ненаблюдаемой существенной переменной — уровня таланта и мотивации индивида. Действительно, более талантливые люди в среднем чаще продолжают обучение в университете, чем менее талантливые. В результате положительная корреляция между числом лет обучения индивида и его доходом может быть обусловлена не пользой от окончания вуза, а тем, что более талантливые люди одновременно и больше учились, и больше зарабатывают теперь.

Для устранения этой эндогенности нам нужно подобрать инструмент, который будет коррелирован с числом лет обучения (релевантен), но при этом не коррелирован с уровнем таланта (экзогенен).

В работе Card (1995)¹ в качестве такого инструмента используется расстояние от места жительства индивида до ближайшего колледжа. Речь идет о том месте, где жил индивид в момент принятия решения о продолжении обучения после школы. На первый взгляд эта переменная выглядит довольно экзотичной, однако в действительности она отвечает всем требованиям:

переменная релевантна: хотя расстояние до ближайшего учебного заведения вряд ли является главным фактором принятия решения о продолжении обучения, однако если от дома до колледжа совсем близко, это несколько увеличивает шансы на то, что индивид примет решение продолжить обучение. Поэтому в данных наблюдается положительная корреляция между близостью к колледжу и числом лет обучения.
переменная экзогенна: тот факт, что ваш дом расположен рядом с колледжем, сам по себе не делает вас более талантливым. А значит, близость к колледжу не должна быть коррелирована с уровнем таланта индивида.

Расчеты, проделанные Кардом, выявляют устойчивое значимое позитивное влияние образования на уровень дохода. Вы сможете воспроизвести их, разобрав одно из заданий для самостоятельного решения в конце главы.

Альтернативными инструментами, используемыми в моделях отдачи от образования, являются продолжительность обучения отца и продолжительность обучения матери индивида. Логика здесь такая: наличие у родителей ученой степени само по себе не делает их детей более талантливыми (экзогенность), однако увеличивает вероятность того, что ребёнок под их влиянием сам решит получить хорошее образование (релевантность).

История 2. Влияет ли телевидение на результаты выборов?

В работе (Enikolopov, Petrova, Zhuravskaya, 2011)², которую мы упоминали в заданиях для самостоятельной работы (см. главу 7), анализируется эффект воздействия телевидения на результаты выборов в российскую Думу в 1999 году.

В ходе предвыборной кампании партия «Единство» пользовалась поддержкой федеральных телеканалов ОРТ и РТР. В свою очередь, партия ОВР («Отечество — Вся Россия») была поддержана телекомпанией НТВ. При этом телеканалы ОРТ и РТР были доступны на всей территории России, а сигнал НТВ покрывал только часть территории страны.

Результаты выборов сильно различались в зависимости от того, смотрели ли избиратели в данном регионе НТВ или нет. Это приводит к гипотезе о том, что телеканал НТВ, предлагая зрителям альтернативную точку зрения, повлиял на их предпочтения. Именно эту гипотезу и тестируют авторы.

Таким образом, в этой работе регрессор \((x)\) — бинарная переменная, которая фиксирует, смотрел ли данный индивид НТВ. Объясняемая переменная \((y)\) — решение индивида голосовать или не голосовать за ту или иную партию.

Сложность получения состоятельной оценки воздействия переменной \(x\)на переменную \(y\)состоит в том, что регрессор эндогенен:

Данные о регрессоре получены на основе опроса, а значит, могут быть подвержены сильной ошибке измерения.
Возможна обратная причинно-следственная связь (\(y \rightarrow x\)): не телезритель полюбил партию ОВР потому, что НТВ её похвалил,
а наоборот: телезритель, который уже давно любит партию ОВР, с большей вероятностью решит смотреть НТВ, где про его любимую партию говорят хорошее (и аналогично сторонник «Единства» вряд ли захочет смотреть НТВ).

Для устранения эндогенности авторам нужен инструмент, который коррелирован с решением смотреть НТВ (\(x\)), но который не коррелирован с политическими предпочтениями (\(y\)).

Этим требованиям соответствует переменная доступность телеканала НТВ в данном регионе. Значение этой переменной определяется силой сигнала передатчиков НТВ.

Доступность НТВ релевантна: там, где телевизоры плохо ловят данный телеканал, его вряд ли будут смотреть.
Доступность НТВ экзогенна, так как она определяется не политическими предпочтениями зрителей, а техническими возможностями: передатчики сигнала унаследованы НТВ от советского образовательного телеканала, и устанавливались явно не из соображений соответствия современным политическим пристрастиям.

Авторы выявили значимое и довольно заметное влияние НТВ на результаты выборов. В соответствии с предсказанием модели, партии, поддержанные НТВ и получившие в сумме 25% голосов избирателей, при полном отсутствии НТВ набрали бы всего 9% голосов. «Единство» без критики НТВ получило бы, по оценкам авторов, примерно в полтора раза больше голосов, по сравнению с тем, что оно имело в действительности.

Важно отметить, что при оценке параметров модели обычным МНК без использования инструментальных переменных значимость соответствующих эффектов на индивидуальных данных исчезает. Иными словами, инструменты играют решающую роль в получении корректных выводов в рассматриваемой работе.

История 3. Влияет ли защита прав собственности на экономический рост?

На момент написания этих строк статья (Acemoglu, Robinson, 2001)³ имеет около двух тысяч цитирований и занимает 8 место в списке самых цитируемых статей из топ-5 научных экономических журналов в мире (речь о работах, опубликованных с 1990 года по настоящее время)⁴.

Авторы исследования проверяют гипотезу о том, что качество институтов имеет значение для обеспечения высоких темпов экономического роста. Точнее, о том, что страны, в которых права собственности защищены хорошо, имеют преимущество в накоплении капитала, что в конечном счете обеспечивает более высокий долгосрочный ВВП на душу населения по сравнению со странами, которые не уделяют внимания защите прав собственности.

Вы можете реплицировать (повторить) расчёты авторов, используя файл Acemoglu, который доступен среди прочих наборов данных для этого учебника. Там содержится информация о следующих переменных:

countryn — название страны;
shortnam — краткий код страны;
prot — мера защиты прав собственности в данной стране (мера устроена так, что более высокие значения соответствуют более хорошей защите прав собственности). Это переменная интереса в анализируемой работе;
lgdp — логарифм ВВП на душу населения в 1995 году. Это зависимая переменная;
logmort — логарифм уровня смертности колонистов (см. детали далее);
latitude — широта, на которой расположена столица данной страны (измерена как расстояние от экватора и нормирована таким образом, чтобы изменяться в пределах от нуля до единицы);
euro — доля населения европейского происхождения в данной стране по состоянию на 1975 год.

Если оценить параметры модели парной регрессии подушевого ВВП на защиту прав собственности, мы обнаружим положительную корреляцию между этими переменными. См. таблицу 8.1 и рисунок 8.1.

Таблица 8.1. Зависимость логарифма подушевого ВВП (lgdp) от переменной качества институтов (prot). Обычный МНК

Зависимая переменная: lgdp

Робастные оценки стандартных ошибок (с поправкой на гетероскедастичность),
вариант HC1

	Коэффициент	Ст. ошибка	t-статистика	P-значение
const	4,66038	0,320131	14,56	<0,0001	***
prot	0,522107	0,0499225	10,46	<0,0001	***

Среднее зав. перемен	8,062237	Ст. откл. зав. перемен	1,043359
Сумма кв. остатков	31,53971	Ст. ошибка модели	0,713236
R-квадрат	0,540115	Испр. R-квадрат	0,532697
F(1, 62)	109,3770	Р-значение (F)	2,57e-15
Лог. правдоподобие	−68,16772	Крит. Акаике	140,3354
Крит. Шварца	144,6532	Крит. Хеннана-Куинна	142,0364

Рисунок 8.1. Зависимость логарифма подушевого ВВП (lgdp) от переменной качества институтов (prot)

Полученные результаты не стоит интерпретировать как причинно-следственную связь по трём причинам:

Регрессор может быть эндогенен из-за пропущенных существенных переменных. На подушевой ВВП могут влиять другие факторы помимо качества институтов;
Регрессор может быть эндогенен из-за двусторонней причинно-следственной связи. Возможно, дело не в том, что страны с лучшими институтами становятся богаче, а, наоборот, богатые страны могут позволить себе более хорошие институты.
Наконец, регрессор наверняка эндогенен из-за ошибок его измерения. Действительно, вряд ли используемый индекс (равно как и любой другой) может идеально охарактеризовать такое сложное понятие, как защита прав собственности.

Если первая проблема может быть решена при помощи включения в модель контрольных переменных, то для преодоления двух других трудностей требуется инструмент.

При выборе инструмента авторы останавливаются на смертности поселенцев во время колонизации данной страны. Разумеется, такой подход требует ограничить выборку только странами, которые являются бывшими колониями, что авторы и делают. Этот инструмент отрицательно коррелирован с качеством институтов: в колониях, где смертность завоевателей была высока из-за скверных условий жизни (например, из-за климата и специфических заболеваний), они не были заинтересованы в создании институтов, направленных на защиту прав собственности, так как их интересовало только извлечение ресурсов из подконтрольных территорий, а жить там сами они не собирались. Это дает надежду на релевантность инструмента. Далее мы проверим это предположение на данных.

Также ясно, что этот инструмент экзогенен, потому что никакие шоки, связанные с текущим экономическим ростом, явно не влияют на смертность колонистов несколько веков назад.

В соответствии с логикой авторов статьи, увеличение смертности поселенцев должно негативно влиять на качество институтов, а снижение качества институтов, в свою очередь, должно сдерживать рост экономики. Следовательно, если предположения авторов верны, между смертностью поселенцев в прошлом и ВВП сегодня должна быть отрицательная корреляция. Именно такой характер связи мы и наблюдаем в уравнении в таблице 8.2 (коэффициент при переменной logmort значимый и отрицательный) и на рисунке 8.2 (который соответствует графику 1 в статье). Уравнение, в котором зависимая переменная регрессируется непосредственно на инструмент (а не на эндогенный регрессор), называется уравнением приведенной формы.

Таблица 8.2. Приведенная форма модели: зависимость логарифма подушевого ВВП (lgdp) от логарифма смертности колонистов (logmort). Обычный МНК

Приведенная форма: МНК, использованы наблюдения 1-64

Зависимая переменная: lgdp

Робастные оценки стандартных ошибок (с поправкой на гетероскедастичность), вариант HC1

	Коэффициент	Ст. ошибка	t-статистика	P-значение
const	10,7076	0,383628	27,91	<0,0001	***
logmort	−0,569798	0,0730481	−7,800	<0,0001	***

Среднее зав. перемен	8,062237	Ст. откл. зав. перемен	1,043359
Сумма кв. остатков	36,86476	Ст. ошибка модели	0,771099
R-квадрат	0,462470	Испр. R-квадрат	0,453800
F(1, 62)	60,84495	Р-значение (F)	8,79e-11
Лог. правдоподобие	−73,16000	Крит. Акаике	150,3200
Крит. Шварца	154,6378	Крит. Хеннана-Куинна	152,0210

Рисунок 8.2. Приведенная форма модели: зависимость логарифма подушевого ВВП (lgdp) от логарифма смертности колонистов (logmort). Обычный МНК

Высказанные соображения приводят нас к использованию двухшагового МНК: на первом шаге следует оценить регрессию переменной prot на инструмент logmort. На втором шаге следует оценить регрессию зависимой переменной lgdp на предсказанные значения переменной интереса, полученные в результате оценки регрессии первого шага.

Результаты оценки регрессии первого шага представлены в таблице 8.3 и изображены графически на рисунке 8.3.

Как видно из таблицы и диаграммы ниже, смертность колонистов отрицательно коррелирует с качеством институтов, что соответствует рассуждениям авторов. F-статистика для теста на незначимость инструмента (в данном случае она же является F-статистикой для теста на незначимость уравнения) равна 23,8, что больше 10. Можно заключить, что инструмент является релевантным.

Рисунок 8.3. Регрессия первого шага двухшагового МНК: зависимость качества институтов (prot) от логарифма смертности колонистов (logmort). Обычный МНК

Таблица 8.3. Регрессия первого шага двухшагового МНК: зависимость качества институтов (prot) от логарифма смертности колонистов (logmort). Обычный МНК

first stage: МНК, использованы наблюдения 1-64

Зависимая переменная: prot

	Коэффициент	Ст. ошибка	t-статистика	P-значение
const	9,40017	0,611645	15,37	<0,0001	***
logmort	−0,621318	0,127315	−4,880	<0,0001	***

Среднее зав. перемен	6,515625	Ст. откл. зав. перемен	1,468647
Сумма кв. остатков	98,17445	Ст. ошибка модели	1,258356
R-квадрат	0,277525	Испр. R-квадрат	0,265872
F(1, 62)	23,81609	Р-значение (F)	7,76e-06
Лог. правдоподобие	−104,5037	Крит. Акаике	213,0074
Крит. Шварца	217,3251	Крит. Хеннана-Куинна	214,7083

Результаты оценивания регрессии второго шага представлены в таблице 8.4. Эффект воздействия качества институтов на реальный ВВП оказывается позитивным, значимым и довольно сильным. Стоит отметить, что его оценка увеличилась почти в два раза по сравнению с оценкой обычного МНК: с 0,52 до 0,92. Тест Хаусмана указывает на несостоятельность оценок обычного МНК и, следовательно, целесообразность использования двухшагового МНК.

Обратите внимание: в данном случае (в отличие от предыдущего пункта, с регрессией первого шага) использовались робастные стандартные ошибки. Это привело к некоторому изменению значения F-статистики, проверяющей релевантность инструмента. Однако эта F-статистика тоже больше 10, так что вывод о релевантности инструмента сохраняется вне зависимости от отсутствия или наличия поправки на гетероскедастичность.

Важно отметить, что 2МНК-оценка оказалась значительно больше по абсолютной величине, чем МНК-оценка. Это означает, что, скорее всего, преобладающей причиной эндогенности регрессора были ошибки измерения. Мы знаем, что в условиях ошибок измерения регрессора МНК смещает оценки коэффициента при этом регрессоре к нулю. 2МНК устранил эту проблему, и в результате оценка коэффициента оказалась больше.

Таблица 8.4. Зависимость логарифма подушевого ВВП (lgdp) от переменной качества институтов (prot). Двухшаговый МНК

Зависимая переменная: lgdp
Независимые переменные: prot 
Инструменты: const logmort 
Робастные оценки стандартных ошибок (с поправкой на гетероскедастичность), вариант HC1

             Коэффициент   Ст. ошибка   t-статистика   P-значение
  ---------------------------------------------------------------
  const       2,08689       1,12724        1,851        0,0689    *
  prot        0,917080      0,169112       5,423        1,02e-06  ***

Среднее зав. перемен    8,062237   Ст. откл. зав. перемен  1,043359
Сумма кв. остатков      52,73844   Ст. ошибка модели       0,922291
R-квадрат               0,540115   Испр. R-квадрат         0,532697
F(1, 62)                29,40812   Р-значение (F)          1,02e-06
Лог. правдоподобие     −306,4709   Крит. Акаике            616,9418
Крит. Шварца            621,2595   Крит. Хеннана-Куинна    618,6427

Тест Хаусмана (Hausman) -
  Нулевая гипотеза: МНК оценки состоятельны
  Асимптотическая тестовая статистика: Хи-квадрат(1) = 22,3
  р-значение = 2,36278e-006

Тест на слабые инструменты - 
  F-статистика для 1-го шага (1, 62) = 16,7
  Значение < 10 может указывать на слабые инструменты

Авторы статьи предполагают, что климатические условия могут влиять на экономическое развитие, поэтому важно учесть этот фактор в модели. Переменная latitude как раз является замещающей переменной для климата. В таблице 8.5 представлены результаты оценивания 2МНК-регрессии с учетом этой контрольной переменной. Обратите внимание, что её включение в модель не сказывается на выводах по поводу влияния качества институтов на экономическое развитие: коэффициент при переменной prot остается значимым и положительным, а также не слишком сильно меняется по абсолютной величине.

Таблица 8.5. Зависимость логарифма подушевого ВВП (lgdp) от переменной качества институтов (prot) в случае добавления контрольной переменной. Двухшаговый МНК

Зависимая переменная: lgdp
Независимые переменные: prot 
Инструменты: const logmort latitude 
Робастные оценки стандартных ошибок (с поправкой на гетероскедастичность), вариант HC1

             Коэффициент   Ст. ошибка   t-статистика   P-значение
  ---------------------------------------------------------------
  const        1,93582      1,37215        1,411        0,1634   
  prot         0,953286     0,228158       4,178        9,52e-05  ***
  latitude    −0,468469     1,18788       −0,3944       0,6947   

Среднее зав. перемен    8,062237   Ст. откл. зав. перемен  1,043359
Сумма кв. остатков      56,55973   Ст. ошибка модели       0,962917
R-квадрат               0,527875   Испр. R-квадрат         0,512395
F(2, 61)                14,89629   Р-значение (F)          5,40e-06
Лог. правдоподобие     −304,7061   Крит. Акаике            615,4122
Крит. Шварца            621,8889   Крит. Хеннана-Куинна    617,9637

Тест Хаусмана (Hausman) -
  Нулевая гипотеза: МНК оценки состоятельны
  Асимптотическая тестовая статистика: Хи-квадрат(1) = 17,3
  р-значение = 3,11377e-005

Тест на слабые инструменты - 
  F-статистика для 1-го шага (1, 61) = 10,0
  Значение < 10 может указывать на слабые инструменты

2МНК-оценки позволяют заключить, что улучшение защиты прав собственности позитивно влияет на экономическое развитие.

В одном из заданий для самостоятельного решения вы сможете провести дополнительные расчеты, чтобы проверить устойчивость полученных авторами статьи результатов.

В заключение отметим, что хорошим подспорьем в поиске валидных инструментов может быть формальная теоретическая модель, описывающая взаимосвязь между анализируемыми переменными. Продемонстрируем это на следующем примере.

Пример 8.3. Система одновременных уравнений

Рассмотрим простую модель закрытой экономики, заданную следующей системой одновременных уравнений в структурной форме:

\({C_{t} = {\beta_{1} + \beta_{2}}}{Y_{t} + \varepsilon_{t}}\)

\({I_{t} = {\alpha_{1} + \alpha_{2}}}{Y_{t} + u_{t}}\)

\(Y_{t} = {C_{t} + I_{t} + G_{t}}\)

\(Y_{t}\) — ВВП в году \(t\), \(C_{t}\) — совокупное потребление, \(I_{t}\) — совокупные инвестиции, \(G_{t}\) — государственные закупки.

\(E\left( \varepsilon_{t} \right) = 0\), \(v\text{ar}\left( \varepsilon_{t} \right) = \sigma_{\varepsilon}^{2}\), \(E\left( u_{t} \right) = 0,\) v\(\text{ar}\left( u_{t} \right) = \sigma_{u}^{2}\), \(\text{var}\left( Y_{t} \right) = \sigma_{Y}^{2}\), \(\text{cov}\left( \varepsilon_{t},G_{t} \right) = 0\), \(\text{cov}\left( u_{t},G_{t} \right) = 0\), \(\text{cov}\left( u_{t},\varepsilon_{t} \right) = 0\), \(\beta_{2} > 0\), \(\alpha_{2} > 0\), \(\alpha_{2} + \beta_{2} < 1\).

Рассмотрите три способа оценки параметров функции потребления:

(а) обычный МНК,

(б) двухшаговый МНК, где в качестве инструмента для ВВП используются инвестиции,

(в) двухшаговый МНК, где в качестве инструмента для ВВП используются госзакупки.

Для каждого варианта вычислите предел по вероятности для оценки параметра \(\beta_{2}\) (выразите этот предел через \(\alpha_{2}\), \(\beta_{2}\),\(\sigma_{\varepsilon}^{2}\), \(\sigma_{u}^{2},\sigma_{Y}^{2}\)). Для каждого варианта укажите, будет ли оценка параметра \(\beta_{2}\) состоятельной или не состоятельной (для каждой несостоятельной оценки укажите, будет ли она завышена или занижена).

Решение:

Выразим \(Y_{i}\) через экзогенные переменные:

\(Y_{i} = \frac{\alpha_{1} + \beta_{1} + G_{i} + \varepsilon_{i} + u_{i}}{1 - \alpha_{2} - \beta_{2}}\)

Отсюда получаем, что

\(\mathit{cov}{\left( {Y_{i},\varepsilon_{i}} \right) = \mathit{cov}}{\left( {\frac{\alpha_{1} + \beta_{1} + G_{i} + \varepsilon_{i} + u_{i}}{1 - \alpha_{2} - \beta_{2}},\varepsilon_{i}} \right) = \frac{\sigma_{\varepsilon}^{2}}{1 - \alpha_{2} - \beta_{2}}}\)

Здесь мы использовали нулевые ковариации, которые даны в условии.

Отметим, что по условию \(\alpha_{2} + \beta_{2} < 1\) , поэтому \(\frac{\sigma_{\varepsilon}^{2}}{1 - \alpha_{2} - \beta_{2}} > 0\). Поэтому:

\({\widehat{\beta_{2}} = \frac{\widehat{\mathit{cov}}\left( {C,Y} \right)}{\widehat{\mathit{var}}(Y)}}\underset{\rightarrow}{P}{\frac{\mathit{cov}\left( {C_{i},Y_{i}} \right)}{\mathit{var}\left( Y_{i} \right)} = {\beta_{2} + \frac{\mathit{cov}\left( {Y_{i},\varepsilon_{i}} \right)}{\mathit{var}\left( Y_{i} \right)}} =}\)

\({}{{\beta_{2} + \frac{\frac{\sigma_{\varepsilon}^{2}}{1 - \alpha_{2} - \beta_{2}} \ast 1}{\sigma_{Y}^{2}}} > \beta_{2}}\)

Таким образом, МНК-оценка несостоятельна и завышена.

(б) Перейдем теперь к 2МНК-оценке с инвестициями в качестве инструмента. Сразу обратим внимание на то, что в силу второго уравнения исходной системы инвестиции являются эндогенной переменной, а значит, вряд ли их использование в данном случае позволит получить состоятельную оценку коэффициента. Действительно:

\(\mathit{cov}{\left( {I_{i},\varepsilon_{i}} \right) = \mathit{cov}}{\left( {{\alpha_{1} + \alpha_{2}}{Y_{i} + u_{i}},\varepsilon_{i}} \right) = \alpha_{2}}\mathit{cov}{\left( {Y_{i},\varepsilon_{i}} \right) = \alpha_{2}}\frac{\sigma_{\varepsilon}^{2}}{1 - \alpha_{2} - \beta_{2}}\)

\(\mathit{cov}{\left( {I_{i},Y_{i}} \right) = \mathit{cov}}{\left( {{\alpha_{1} + \alpha_{2}}{Y_{i} + u_{i}},Y_{i}} \right) = \alpha_{2}}{\sigma_{Y}^{2} + \mathit{cov}}{\left( {u_{i},Y_{i}} \right) = \alpha_{2}}{\sigma_{Y}^{2} + \frac{\sigma_{u}^{2}}{1 - \alpha_{2} - \beta_{2}}}\)

\({\widehat{\beta_{2}} = \frac{\widehat{\mathit{cov}}\left( {C,I} \right)}{\widehat{\mathit{cov}}\left( {Y,I} \right)}}\underset{\rightarrow}{P}{\frac{\mathit{cov}\left( {C_{i},I_{i}} \right)}{\mathit{cov}\left( {Y_{i},I_{i}} \right)} = {\beta_{2} + \frac{\mathit{cov}\left( {I_{i},\varepsilon_{i}} \right)}{\mathit{cov}\left( {Y_{i},I_{i}} \right)}} =}\)

\({}{{\beta_{2} + \frac{\alpha_{2}\frac{\sigma_{\varepsilon}^{2}}{1 - \alpha_{2} - \beta_{2}}}{\alpha_{2}{\sigma_{Y}^{2} + \frac{\sigma_{u}^{2}}{1 - \alpha_{2} - \beta_{2}}}}} > \beta_{2}}\)

(в) Из условия задания и анализа исходной системы можно видеть, что госзакупки в нашем случае экзогенны, а значит, есть надежда на то, что они будут валидным инструментом:

\({\widehat{\beta_{2}} = \frac{\widehat{\mathit{cov}}\left( {C,G} \right)}{\widehat{\mathit{cov}}\left( {Y,G} \right)}}\underset{\rightarrow}{P}{\frac{\mathit{cov}\left( {C_{i},G_{i}} \right)}{\mathit{cov}\left( {Y_{i},G_{i}} \right)} = {\beta_{2} + \frac{\mathit{cov}\left( {G_{i},\varepsilon_{i}} \right)}{\mathit{cov}\left( {Y_{i},G_{i}} \right)}} = \beta_{2}}.\)

Последнее равенство верно в силу того, что, во-первых, по условию \(\text{Cov}\left( \varepsilon_{i},G_{i} \right) = 0\), а во-вторых, \(\text{cov}\left( Y_{i},G_{i} \right) \neq 0\), потому что, как мы показали в самом начале решения, \(Y_{i}\) зависит от \(G_{i}\).

2МНК-оценка, для которой государственные закупки используются в качестве инструмента, состоятельна.

Card, David (1995), "Using geographic variation in college proximity to estimate the return to schooling", in: Louis N. Christofides, E. Kenneth Grant and Robert Swidinsky, eds., Aspects of labour market behaviour: essays in honour of John Vanderkamp (University of Toronto Press, Toronto, Canada) pp. 201-222.↩︎
Enikolopov R., Petrova M., Zhuravskaya E. (2011). Media and Political Persuasion: Evidence from Russia. American Economic Review, 111(7): 3253-85↩︎
Acemoglu, Daron, Simon Johnson and James A. Robinson. The Colonial Origins of Comparative Development: An Empirical Investigation, American Economic Review, 2001, vol. 91(5)↩︎
Интересно отметить, что первое место в этом рейтинге занимает эконометрическая работа (Arellano, Bond, 1991), посвященная оценке динамических моделей на панельных данных.↩︎