Представим для начала, что в нашем распоряжении есть данные только за два периода времени \(t = 1,2\). В этом случае модель (9.1) можно записать для каждого из них:
\(y_{i1} = \beta x_{i1} + \mu_{i} + \varepsilon_{i1}\)
\(y_{i2} = \beta x_{i2} + \mu_{i} + \varepsilon_{i2}\)
Вычтем из второго уравнения первое:
\(y_{i2} - y_{i1} = \beta\left( x_{i2} - x_{i1} \right) + \left( \varepsilon_{i2} - \varepsilon_{i1} \right)\)
Обозначим \(\mathrm{\Delta}y_{i} = y_{i2} - y_{i1}\), \(\mathrm{\Delta}x_{i} = x_{i2} - x_{i1}\), \(u_{i} = \varepsilon_{i2} - \varepsilon_{i1}\). С учетом этих обозначений наше новое уравнение примет вид:
\(\mathrm{\Delta}y_{i} = \beta\mathrm{\Delta}x_{i} + u_{i}\)
Обратите внимание, что в результате трюка с переходом к первым разностям мы снова устранили фиксированные эффекты из модели. В этом и есть основная идея модели в первых разностях.
Следовательно, в новой модели состоятельную оценку коэффициента при переменной можно получить при помощи МНК. Её формула будет соответствовать обычной МНК-оценке в парной регрессии без константы:
\(\widehat{\beta_{\text{FD}}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{\mathrm{\Delta}x_{i}\mathrm{\Delta}y_{i}}}{\sum_{i = 1}^{n}\left( \mathrm{\Delta}x_{i} \right)^{2}}.\)
Для преобразованной модели в первых разностях оказываются выполненными все предпосылки модели со стохастическими регрессорами из главы 6, что гарантирует состоятельность и асимптотическую нормальность оценки \(\widehat{\beta_{\text{FD}}}\). Проверим путем непосредственных вычислений, что эта оценка действительно является состоятельной:
\(\widehat{\beta_{\text{FD}}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{\mathrm{\Delta}x_{i}\mathrm{\Delta}y_{i}}}{\sum_{i = 1}^{n}\left( \mathrm{\Delta}x_{i} \right)^{2}} = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{\mathrm{\Delta}x_{i}\mathrm{\Delta}y_{i}}}{\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\left( \mathrm{\Delta}x_{i} \right)^{2}}\overset{p}{\rightarrow}\frac{E\mathrm{\Delta}x_{i}\mathrm{\Delta}y_{i}}{{E\left( \mathrm{\Delta}x_{i} \right)}^{2}} =\)
\(= \frac{E\mathrm{\Delta}x_{i}\left( \beta\mathrm{\Delta}x_{i} + u_{i} \right)}{{E\left( \mathrm{\Delta}x_{i} \right)}^{2}} = \frac{\beta{E\left( \mathrm{\Delta}x_{i} \right)}^{2} + E\mathrm{\Delta}x_{i}u_{i}}{{E\left( \mathrm{\Delta}x_{i} \right)}^{2}} = \beta + \frac{E\mathrm{\Delta}x_{i}u_{i}}{{E\left( \mathrm{\Delta}x_{i} \right)}^{2}} = \beta\)
В последнем переходе мы используем тот факт, что \(E\mathrm{\Delta}x_{i}u_{i} = 0\) в силу предпосылки об экзогенности регрессора.
В рамках этого подхода тоже невозможно оценить коэффициент при переменной, которая не меняется во времени. Действительно, представьте, что для наблюдений выполнено равенство: \(x_{i2} = x_{i1}\). Тогда для всех наблюдений \(\mathrm{\Delta}x_{i} = 0\). Следовательно, в этом случае \(\sum_{i = 1}^{n}\left( \mathrm{\Delta}x_{i} \right)^{2} = 0\) и вычислить \(\widehat{\beta_{\text{FD}}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{\mathrm{\Delta}x_{i}\mathrm{\Delta}y_{i}}}{\sum_{i = 1}^{n}\left( \mathrm{\Delta}x_{i} \right)^{2}}\) просто не получится.
Поэтому для работоспособности модели с первыми разностями требуется, чтобы хотя бы для некоторых наблюдений значение регрессора менялось во времени. В нашем примере с законом о ношении оружия это означает, что хотя бы для некоторых регионов в первом периоде закон должен отсутствовать, а во втором периоде он должен быть принят в них же.
Разумеется, вовсе не обязательно ограничиваться моделью с единственной объясняющей переменной и всего с двумя периодами. Рассмотренный нами подход может быть обобщен и на случай множественной регрессии, и на произвольное число временных периодов. Для этого рассмотрим модель множественной регрессии с фиксированными эффектами:
\(y_{\text{it}} = \sum_{j = 1}^{k}{\beta_{j}*x_{\text{it}}^{(j)}} + \mu_{i} + \varepsilon_{\text{it}},\ \ i = 1,2,\ldots,n,\ t = 1,2,\ldots,T\)
Вычтем из уравнения для периода \(t\) уравнение для периода \(t - 1\):
\(\mathrm{\Delta}y_{\text{it}} = \sum_{j = 1}^{k}{\beta_{j}*\mathrm{\Delta}x_{\text{it}}^{(j)}} + u_{\text{it}},\ \ i = 1,2,\ldots,n,\ t = 2,3,\ldots,T\)
Здесь \(\mathrm{\Delta}y_{\text{it}} = y_{\text{it}} - y_{\text{it} - 1}\), \(\mathrm{\Delta}x_{\text{it}} = x_{\text{it}} - x_{\text{it} - 1}\), \(u_{\text{it}} = \varepsilon_{\text{it}} - \varepsilon_{\text{it} - 1}\). В преобразованной модели снова устранены ненаблюдаемые фиксированные эффекты, что решает проблему, описанную в самом начале данной главы. Следовательно, параметры в преобразованной модели можно состоятельно оценить при помощи МНК.
Если в вашем распоряжении имеются данные только за два временных периода (\(T = 2\)), то оценка модели в первых разностях численно равна within-оценке. В случае большего числа периодов эти оценки могут не совпадать.