В рамках этого подхода индивидуальные особенности каждого объекта \(\mu_{i}\) рассматриваются в качестве неизвестных исследователю (и ненаблюдаемых) параметров — так называемых фиксированных эффектов.
Предпосылки модели с фиксированными эффектами (случай парной регрессии):
-
Модель линейна по параметрам:
\(y_{\text{it}} = \beta x_{\text{it}} + \mu_{i} + \varepsilon_{\text{it}},\ \ i = 1,2,\ldots,\ n,\ \ t = 1,2,\ldots,T\)
-
Наблюдения \(\left\{ \left( x_{i1},\ x_{i2},\ldots,x_{\text{iT}},\varepsilon_{i1},\ \varepsilon_{i2},\ldots,\varepsilon_{\text{iT}} \right),\ i = 1,2,\ldots,\ n,\ \ t = 1,2,\ldots,T \right\}\) независимы и одинаково распределены
-
\(x_{\text{it}}\) и \(\varepsilon_{\text{it}}\) имеют ненулевые конечные четвертые моменты распределения \(E\left( x_{\text{it}}^{4} \right) < \infty,\) \(E\left( \varepsilon_{\text{it}}^{4} \right) < \infty\)
-
Случайные ошибки имеют нулевое условное математическое ожидание: \(E\left( \varepsilon_{\text{it}} \middle| x_{i1},\ x_{i2},\ldots,x_{\text{iT}},\mu_{i} \right) = 0\)
Легко видеть, что эти предположения очень похожи на предпосылки линейной регрессионной модели со стохастическим регрессором из главы 6 с учетом добавления в уравнение ненаблюдаемых фиксированных эффектов и расширения формулировки на несколько периодов времени.
Отметим две важных детали, которые делают модель с фиксированными эффектами максимально близкой к реальности:
-
Вторая предпосылка требует, чтобы значения регрессоров, относящиеся к разным объектам, были независимы друг от друга. Однако важно подчеркнуть, что она допускает наличие зависимости между значениями регрессоров, относящимися к одному объекту, но разным моментам времени: например, она допускает, что \(x_{i3}\) может быть коррелирован с \(x_{i2}\), а тот, в свою очередь, может быть коррелирован с \(x_{i1}\). Иными словами, будущие значения регрессора для данного объекта могут зависеть от его прошлых значений. Это реалистичное предположение. Например, потребление табака в данном регионе сегодня наверняка связано с его потреблением в прошлом. Аналогично, инфляция в России сегодня, скорее всего, влияет на будущую российскую инфляцию.
-
Четвертая предпосылка требует, чтобы регрессор был экзогенен в том смысле, что он не должен быть связан со случайной ошибкой модели. Однако она допускает наличие корреляции между значением регрессора \(x_{\text{it}}\) и фиксированным эффектом \(\mu_{i}\). Это тоже реалистичная предпосылка. В рамках нашего примера про ношение оружия ясно, что культурные особенности данного региона (которые как раз и характеризуются его фиксированным эффектом) могут влиять на решение по поводу закона о ношении оружия в этом регионе (то есть на значение \(x_{\text{it}}\)).
Модель может быть сформулирована и для случая множественной регрессии. Тогда придется добавить предпосылку, требующую отсутствия чистой мультиколлинеарности. В остальном все предположения аналогичны случаю парной регрессии, только запись становится гораздо более громоздкой:
Предпосылки модели с фиксированными эффектами (случай множественной регрессии):
-
Модель линейна по параметрам:
\(y_{\text{it}} = \beta_{1}x_{\text{it}}^{(1)} + \beta_{2}x_{\text{it}}^{(2)} + \ldots + \beta_{k}x_{\text{it}}^{(k)} + \mu_{i} + \varepsilon_{\text{it}},\)
\(i = 1,2,\ldots,\ n,\ \ t = 1,2,\ldots,T.\)
-
Наблюдения
\(\left\{ \left( x_{i1}^{\left( \mathbf{1} \right)},x_{i2}^{\left( \mathbf{1} \right)},\ \ldots,x_{\text{iT}}^{\left( \mathbf{1} \right)},x_{i1}^{\left( \mathbf{2} \right)},x_{i2}^{\left( \mathbf{2} \right)},\ldots,x_{\text{iT}}^{\left( \mathbf{2} \right)},\ldots,x_{i1}^{\left( \mathbf{k} \right)},x_{i2}^{\left( \mathbf{k} \right)},\ \ldots,x_{\text{iT}}^{\left( \mathbf{k} \right)},\ \varepsilon_{i1},\ \varepsilon_{i2},\ldots,\varepsilon_{\text{iT}} \right),\ \ i = 1,2,\ldots,\ n,\ \ t = 1,2,\ldots,T \right\}\) независимы и одинаково распределены. -
\(x_{\text{it}}^{(1)},x_{\text{it}}^{(2)},\ldots,x_{\text{it}}^{(k)}\) и \(\varepsilon_{\text{it}}\) имеют ненулевые конечные четвертые моменты.
-
Случайные ошибки имеют нулевое условное матожидание:
\(E\left( \varepsilon_{\text{it}} \middle| x_{i1}^{\left( \mathbf{1} \right)},x_{i2}^{\left( \mathbf{1} \right)},\ \ldots,x_{\text{iT}}^{\left( \mathbf{1} \right)},x_{i1}^{\left( \mathbf{2} \right)},x_{i2}^{\left( \mathbf{2} \right)},\ldots,x_{\text{iT}}^{\left( \mathbf{2} \right)},\ldots,x_{i1}^{\left( \mathbf{k} \right)},x_{i2}^{\left( \mathbf{k} \right)},\ \ldots,x_{\text{iT}}^{\left( \mathbf{k} \right)},\mu_{i} \right) = 0.\)
-
С вероятностью 1 в модели отсутствует чистая мультиколлинеарность
Рассмотрим три подхода, которые позволяют получить состоятельные оценки коэффициентов при регрессорах в модели с фиксированными эффектами: модель с фиктивными переменными, внутригрупповое преобразование и модель в первых разностях.