5.2. Состоятельные в условиях гетероскедастичности стандартные ошибки

Так как гетероскедастичность не приводит к смещению оценок коэффициентов, можно по-прежнему использовать МНК. Смещены и несостоятельны оказываются не сами оценки коэффициентов, а их стандартные ошибки, поэтому формула для расчета стандартных ошибок в условиях гомоскедастичности не подходит для случая гетероскедастичности.

Естественной идеей в этой ситуации является корректировка формулы расчета стандартных ошибок, чтобы она давала «правильный» (состоятельный) результат. Тогда можно снова будет корректно проводить тесты, проверяющие, например, незначимость коэффициентов, и строить доверительные интервалы. Соответствующие «правильные» стандартные ошибки называются состоятельными в условиях гетероскедастичности стандартными ошибками (heteroskedasticity consistent (heteroskedasticity robust) standard errors)¹. Первоначальная формула для их расчета была предложена Уайтом, поэтому иногда их также называют стандартными ошибками в форме Уайта (White standard errors). Предложенная Уайтом состоятельная оценка ковариационной матрицы вектора оценок коэффициентов имеет вид:

\(\widehat{V}{\left( \widehat{\beta} \right) = n}\left( {X^{'}X} \right)^{- 1}\left( {\frac{1}{n}{\sum\limits_{s = 1}^{n}e_{s}^{2}}x_{s}x_{s}^{'}} \right)\left( {X^{'}X} \right)^{- 1},\)

где \(x_{s}\) – это s-я строка матрицы регрессоров X. Легко видеть, что эта формула более громоздка, чем формула \(\widehat{V}{\left( \widehat{\beta} \right) = \left( {X^{'}X} \right)^{- 1}}S^{2}\), которую мы вывели в третьей главе для случая гомоскедастичности. К счастью, на практике соответствующие вычисления не представляют сложности, так как возможность автоматически рассчитывать стандартные ошибки в форме Уайта реализована во всех современных эконометрических пакетах. Общепринятое обозначение для этой версии стандартных ошибок: «HC0». В работах (MacKinnon, White,1985) и (Davidson, MacKinnon, 2004) были предложены и альтернативные версии, которые обычно обозначаются в эконометрических пакетах «HC1», «HC2» и «HC3». Их расчетные формулы несколько отличаются, однако суть остается прежней: они позволяют состоятельно оценивать стандартные отклонения МНК-оценок коэффициентов в условиях гетероскедастичности.

Для случая парной регрессии состоятельная в условиях гетероскедастичности стандартная ошибка оценки коэффициента при регрессоре имеет вид:

\(\mathit{se}{\left( \widehat{\beta_{2}} \right) = \sqrt{\frac{1}{n}\frac{\frac{1}{n - 2}{\sum\limits_{i = 1}^{n}{\left( {x_{i} - \overline{x}} \right)^{2}e_{i}^{2}}}}{\widehat{\mathit{var}}(x)^{2}}.}}\)

Формальное доказательство состоятельности будет приведено в следующей главе. Пока же обсудим пример, иллюстрирующий важность использования робастных стандартных ошибок.

Пример 5.1. Оценка эффективности использования удобрений

В файле Agriculture в материалах к этому учебнику содержатся следующие данные 2010 года об урожайности яровой и озимой пшеницы в Спасском районе Пензенской области:

PRODP - урожайность в денежном выражении, в тысячах рублей с 1 га,

SIZE – размер пахотного поля, га,

LABOUR – трудозатраты, руб. на 1 га,

FUNG1 – фунгициды, протравители семян, расходы на удобрение в руб. на 1 га,

FUNG2 – фунгициды, во время роста, расходы на удобрение в руб. на 1 га,

GIRB – гербициды, расходы на удобрение в руб. на 1 га,

INSEC – инсектициды, расходы на удобрение в руб. на 1 га,

YDOB1 – аммофос, во время сева, расходы на удобрение в руб. на 1 га,

YDOB2 – аммиачная селитра, во время роста, расходы на удобрение в руб. на 1 га.

Представим, что вас интересует ответ на вопрос: влияет ли использование фунгицидов на урожайность поля?

(а) Оцените зависимость урожайности в денежном выражении от константы и переменных FUNG1, FUNG2, YDOB1, YDOB2, GIRB, INSEC, LABOUR. Запишите уравнение регрессии в стандартной форме, указав коэффициент детерминации и (в скобках под соответствующими коэффициентами) стандартные ошибки для случая гомоскедастичности. Какие из переменных значимы на 5-процентном уровне значимости?

(б) Решите предыдущий пункт заново, используя теперь состоятельные в условиях гетероскедастичности стандартные ошибки. Сопоставьте выводы по поводу значимости (при пятипроцентном уровне) переменных, характеризующих использование фунгицидов.

Решение:

(а) Оценим требуемое уравнение:

Модель 1: МНК, использованы наблюдения 1-200

Зависимая переменная: PRODP

	Коэффициент	Ст. ошибка	t-статистика	P-значение
const	-38,4019	7,5273	-5,1017	<0,00001	***
FUNG1	0,0445755	0,0487615	0,9142	0,36178
FUNG2	0,103625	0,049254	2,1039	0,03669	**
GIRB	0,0776059	0,0523553	1,4823	0,13990
INSEC	0,0782521	0,0484667	1,6146	0,10805
LABOUR	0,0415064	0,00275277	15,0781	<0,00001	***
YDOB1	0,0492168	0,0233328	2,1093	0,03621	**
YDOB2	-0,0906824	0,025864	-3,5061	0,00057	***

Сумма кв. остатков	150575,6	Ст. ошибка модели	28,00443
R-квадрат	0,801958	Испр. R-квадрат	0,794738
F(7, 192)	111,0701	Р-значение (F)	5,08e-64

Переменные FUNG2, LABOUR, YDOB1 и YDOB2 значимы на пятипроцентном уровне значимости (причем LABOUR и YDOB2 — ещё и на однопроцентном).

Если представить те же самые результаты в форме уравнения, то получится вот так:

\({\widehat{\mathit{PRODP}}}_{i} = {{- \underset{(7,53)}{38,40}} + {\underset{(0,05)}{0,04} \ast {\mathit{FUNG}1}_{i}} + {\underset{(0,05)}{0,10} \ast {\mathit{FUNG}2}_{i}} +}\)

\({{+ \underset{(0,05)}{0,08}} \ast \mathit{GIRB}_{i}} + {\underset{(0,05)}{0,08} \ast \mathit{INSEC}_{i}} + {\underset{(0,003)}{0,04} \ast \mathit{LABOUR}_{i}} + {}\)

\({{{+ \underset{(0,02)}{0,05}} \ast {\mathit{YDOB}1}_{i}} - {\underset{(0,03)}{0,09} \ast {\mathit{YDOB}2}_{i}}},{R^{2} = 0,802}\)

(б) При использовании альтернативных стандартных ошибок получим следующий результат:

Модель 2: МНК, использованы наблюдения 1-200

Зависимая переменная: PRODP

Робастные оценки стандартных ошибок (с поправкой на гетероскедастичность),
вариант HC1

	Коэффициент	Ст. ошибка	t-статистика	P-значение
const	-38,4019	7,40425	-5,1865	<0,00001	***
FUNG1	0,0445755	0,0629524	0,7081	0,47975
FUNG2	0,103625	0,0624082	1,6604	0,09846	*
GIRB	0,0776059	0,0623777	1,2441	0,21497
INSEC	0,0782521	0,0536527	1,4585	0,14634
LABOUR	0,0415064	0,00300121	13,8299	<0,00001	***
YDOB1	0,0492168	0,0197491	2,4921	0,01355	**
YDOB2	-0,0906824	0,030999	-2,9253	0,00386	***

Сумма кв. остатков	150575,6	Ст. ошибка модели	28,00443
R-квадрат	0,801958	Испр. R-квадрат	0,794738
F(7, 192)	119,2263	Р-значение (F)	2,16e-66

Оценки коэффициентов по сравнению с пунктом (а) не поменялись, что естественно: мы ведь по-прежнему используем обычный МНК. Однако стандартные ошибки теперь немного другие. В некоторых случаях это меняет выводы тестов на незначимость.

Переменные LABOUR, YDOB1 и YDOB2 значимы на пятипроцентном уровне значимости (причем LABOUR и YDOB2 — ещё и на однопроцентном).

Переменная FUNG2 перестала быть значимой на пятипроцентном уровне. Таким образом, при использовании корректных стандартных ошибок следует сделать вывод о том, что соответствующий вид удобрений не важен для урожайности. Обратите внимание, что если бы мы использовали «обычные» стандартные ошибки, то мы пришли бы к противоположному заключению (см. пункт (а)).

* * *

Важно подчеркнуть, что в реальных пространственных данных гетероскедастичность в той или иной степени наблюдается практически всегда. А даже если её и нет, то состоятельные в условиях гетероскедастичности стандартные ошибки по-прежнему будут… состоятельными (и будут близки к «обычным» стандартным ошибкам, посчитанным по формулам из третьей главы). Поэтому в современных прикладных исследованиях при оценке уравнений по умолчанию используются именно робастные стандартные ошибки, а не стандартные ошибки для случая гомоскедастичности. Мы настоятельно рекомендуем читателю поступать так же². В нашем учебнике с этого момента и во всех последующих главах, если прямо не оговорено иное, для МНК-оценок параметров всегда используются состоятельные в условиях гетероскедастичности стандартные ошибки.

Поскольку довольно утомительно каждый раз произносить это название полностью в англоязычном варианте их часто называют просто robust standard errors, что на русском языке эконометристов превратилось в «робастные стандартные ошибки». Кому-то подобный англицизм, конечно, режет слух, однако в устной речи он и правда куда удобней своей длинной альтернативы.↩︎
Просто не забывайте включать соответствующую опцию в своем эконометрическом пакете.↩︎