F-тест из предыдущего параграфа можно использовать для тестирования гипотез не только о том, что группа коэффициентов одновременно равна нулю. Его можно обобщить для случая тестирования произвольного набора линейных ограничений на параметры модели.
Чтобы это сделать, удобно использовать матричную форму записи из параграфа 3.3.
Пусть тестируемая гипотеза имеет вид \(\mathit{H\beta }=r\). Здесь \(\beta \) — по-прежнему обозначает вектор коэффициентов модели. \(H\) — матрица размера q на k, \(r\) — вектор-столбец длины q. q — количество тестируемых ограничений, то есть количество уравнений в системе ограничений, k — число коэффициентов в модели.
Например, если вы анализируете модель с тремя ( \(k=3\)) коэффициентами \(y_i=\beta _1+\beta _2 \ast x_i^{\left(2\right)}+\beta _3 \ast x_i^{\left(3\right)}+\varepsilon _i\) и хотите проверить одновременное выполнение двух (\(q=2\)) вот таких ограничений:
\(H_0:\beta _2=9\beta _3\text{ и }\beta _1+\beta _2+\beta _3=5,\) то матрица H и вектор r будут иметь следующий вид:
\begin{equation*} H=\left(\begin{matrix}0&1&-9\\1&1&1\end{matrix}\right),r=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right) \end{equation*}
Расчетное значение тестовой статистики для тестирования гипотезы \(\mathit{H\beta }=r\) имеет вид:
\begin{equation*} F_{\mathit{\text{р}\text{а}\text{с}\text{ч}}}=\frac{\left(H\widehat {\beta }-r\right)'\left(H\left(X'X\right)^{-1}H'\right)^{-1}\left(H\widehat {\beta }-r\right)/q}{\sum _{i=1}^ne_i^2/\left(n-k\right)} \end{equation*}
Если верна тестируемая гипотеза, то эта величина снова имеет распределение Фишера с q и \(\left(n-k\right)\) степенями свободы.