В предыдущем параграфе мы выяснили, что дисперсия оценки \(\widehat {\beta _2}\) равна:
\begin{equation*} \mathit{var}\left(\widehat {\beta _2}\right)=\frac{\sigma ^2}{\Sigma \left(x_i-\overline x\right)^2}. \end{equation*}
Это полезная информация, так как дисперсия \(\widehat {\beta _2}\) характеризует точность результатов оценивания соответствующего параметра (чем меньше дисперсия, тем точнее наша оценка). Проблема в том, что непосредственно величину \(\mathit{var}\left(\widehat {\beta _2}\right)\) мы вычислить не можем: хотя мы наблюдаем значения \(x_i,\) \(i=1,2,{\dots},n\), но мы не наблюдаем величину \(\sigma ^2\). Этот параметр является неизвестным параметром классической линейной модели подобно величинам \(\beta _1\) и \(\beta _2\). Впрочем, как и в случае с \(\beta _1\) и \(\beta _2\), мы можем получить оценку неизвестного параметра \(\sigma ^2\). Несмещенная оценка дисперсии случайной ошибки \(\sigma ^2\) имеет вид:
\begin{equation*} S^2=\frac 1{n-2}{\ast}\sum _{i=1}^ne_i^2 \end{equation*}
Чтобы доказать её несмещенность, достаточно осуществить выкладки, аналогичные преобразованиям из предыдущего параграфа, и убедиться, что \(E\left(S^2\right)=\sigma ^2\).
Если в формуле для \(\mathit{var}\left(\widehat {\beta _2}\right)\) вместо дисперсии случайной ошибки \(\sigma ^2\) подставить её оценку \(S^2\), мы получим несмещенную оценку дисперсии МНК-оценки \(\widehat {\beta _2}\), которая будет иметь вид:
\begin{equation*} \widehat {\mathit{var}}\left(\widehat {\beta _2}\right)=\frac{S^2}{\Sigma \left(x_i-\overline x\right)^2} \end{equation*}
Корень из этой величины называется стандартной ошибкой оценки коэффициента \(\widehat {\beta _2}\):
\begin{equation*} \mathit{se}\left(\widehat {\beta _2}\right)=\sqrt{\widehat {\mathit{var}}\left(\widehat {\beta _2}\right)}=\sqrt{\frac{S^2}{\Sigma \left(x_i-\overline x\right)^2}} \end{equation*}
Аналогичным образом вычисляется стандартная ошибка оценки коэффициента \(\widehat {\beta _1}\) (здесь мы опираемся на равенство 2.4, заменяя в нем дисперсию случайной ошибки её оценкой).
\begin{equation*} \mathit{se}\left(\widehat {\beta _1}\right)=\sqrt{\widehat {\mathit{var}}\left(\widehat {\beta _1}\right)}=\sqrt{\frac{\frac{S^2} n{\ast}\sum x_i^2}{\sum \left(x_i-\overline x\right)^2}} \end{equation*}
Стандартные ошибки оценок коэффициентов пригодятся нам для тестирования гипотез.
Представим, что мы хотим выяснить, влияет ли уровень образования (переменная x) на заработную плату работника в некоторой отрасли (переменная y)? Ответы на такого сорта вопросы, как мы обсудили в первой главе, и есть одна из главных задач эконометрики.
Представим также, что все предпосылки классической линейной модели парной регрессии выполнены. Тогда в терминах нашей модели вопрос «Верно ли, что образование не влияет на заработную плату?» эквивалентен вопросу «Верно ли, что в регрессии \(y_i=\beta _1+\beta _2x_i+\varepsilon _i\) коэффициент \(\beta _2\) равен нулю?».
Как мы могли бы ответить на этот вопрос?
Естественная идея состоит в том, чтобы посмотреть оценки коэффициентов \(\widehat {\beta _1}\) и \(\widehat {\beta _2}\) и увидеть, равен ли коэффициент \(\widehat {\beta _2}\) нулю. Однако при этом возникает следующая проблема: \(\widehat {\beta _1}\) и \(\widehat {\beta _2}\) — оценки, полученные при помощи МНК на основе случайной выборки. Следовательно, они сами являются случайными величинами, которые могут принимать значения лишь «приблизительно» равные истинным. Поэтому, даже если истинное значение коэффициента \(\beta _2\) равно нулю, его оценка \(\widehat {\beta _2}\), скорее всего, будет отклоняться от нуля.
Следовательно, нужно уметь определять, достаточно ли сильно \(\widehat {\beta _2}\) отличается от нуля для того, чтобы можно было с уверенностью утверждать, что и истинное значение коэффициента \(\beta _2\) также не равно нулю. Опишем процедуру, которая позволяет это сделать.
Процедура тестирования незначимости коэффициента:
Формулируем тестируемую гипотезу \(H_0:\beta _2=0\) («переменная x не влияет на переменную y») и альтернативную гипотезу \(H_1:\beta _2{\neq}0\) («переменная x влияет на переменную y»)
Находим расчетное значение тестовой статистки по формуле
\(\frac{\widehat {\beta _2}}{\mathit{se}\left(\widehat {\beta }_2\right)}.\)
Выбираем уровень значимости \(\alpha \). Уровнем значимости в математической статистике называется вероятность ошибки первого рода, то есть вероятность отклонить тестируемую гипотезу при условии, что в действительности эта гипотеза верна. Разумеется, нам хотелось бы ошибаться не слишком часто, поэтому данную вероятность обычно выбирают маленькой. Чаще всего в эконометрике используются уровни значимости 1% и 5%.
Из таблиц распределения Стьюдента находим критическое значение тестовой статистки \(t_{n-2}^{\alpha }\) для выбранного уровня значимости и так называемого числа степеней свободы, которое в нашем случае равно \(\left(n-2\right)\).
Если \(\left|\frac{\widehat {\beta _2}}{\mathit{se}\left(\widehat {\beta }_2\right)}\right|>t_{n-2}^{\alpha }\), то есть \(\widehat {\beta _2}\) достаточно велик по абсолютной величине, следует отвергнуть гипотезу \(H_0:\beta _2=0\) и сделать вывод в пользу альтернативной гипотезы, то есть заключить, что переменная x влияет на переменную y. В этом случае переменную x называют статистически значимой при уровне значимости \(\alpha \). В противном случае, соответственно, гипотеза \(H_0\) не может быть отвергнута, и переменную x называют статистически незначимой при уровне значимости \(\alpha \).
Здесь и далее во всех тестах, если явно не указано иное, мы подразумеваем альтернативную гипотезу "\(\beta _2\) не равно c" , а не \(\beta _2<c\) или \(\beta _2>c\). Поэтому под критическими значениями из таблиц распределения Стьюдента по умолчанию подразумеваются критические значения для двусторонних (а не односторонних) тестов. Все стандартные эконометрические пакеты используют такой же подход.}
Замечание 1. В этой процедуре мы опираемся на тот факт, что тестовая статистика имеет t-распределение Стьюдента. Чтобы это было верно, как раз и нужна предпосылка №6 КЛМПР, которую мы до этого никак не использовали.
В соответствии с этой предпосылкой случайные ошибки имеют нормальное распределение. Мы показали (см. равенство (2.2)), что \(\widehat {\beta _2}\) — это линейная комбинация случайных ошибок, то есть независимых, одинаково и нормально распределенных случайных величин.
Из математической статистики известно, что отсюда следуют два утверждения:
Во-первых, \(\widehat {\beta _2}\) имеет нормальное распределение (так как линейная комбинация нормальных случайных величин является нормальной случайной величиной), дисперсию и математическое ожидание которого мы вычислили в предыдущем параграфе. Иными словами \(\widehat {\beta _2}\) имеет вот такое распределение:
\begin{equation*} N\left(\beta _2,\frac{\sigma ^2}{\Sigma \left(x_i-\overline x\right)^2}\right) \end{equation*}
Во-вторых, случайная величина \(\frac{\widehat {\beta _2}-\beta _2}{\mathit{se}\left(\widehat {\beta _2}\right)}\) имеет t-распределение Стьюдента. В нашем случае это будет распределение с \(n-2\) степенями свободы: \(\frac{\widehat {\beta _2}-\beta _2}{\mathit{se}\left(\widehat {\beta _2}\right)}\)~\(t_{n-2}\)
В частности, если верна сформулированная нами гипотеза \(\beta _2=0\), то распределение Стьюдента имеет дробь \(\frac{\widehat {\beta }_2}{\mathit{se}\left(\widehat {\beta }_2\right)}\), которую мы используем в нашей процедуре. В этом случае критическое значение определяется из вот такого условия (его геометрическая интерпретация представлена в примере 2.3):
\begin{equation*} P\left(\left|\frac{\widehat {\beta }_2}{\mathit{se}\left(\widehat {\beta }_2\right)}\right|<t_{n-2}^{\alpha }\right)=1-\alpha . \end{equation*}
Замечание 2. Аналогичным образом можно тестировать гипотезу \(H_0:\beta _2=c\) (против альтернативной гипотезы \(H_0:\beta _2{\neq}c\)), где c — это некоторая константа. В этом случае процедура тестирования остается такой же с одним исключением: расчетное значение тестовой статистики будет иметь вид \(\frac{\widehat {\beta }_2-c}{\mathit{se}\left(\widehat {\beta }_2\right)}\).
Замечание 3. Раньше для определения величины критического значения \(t_{n-2}^{\alpha }\) было необходимо использовать таблицы распределения Стьюдента. Сейчас этот способ тоже доступен (например, соответствующая таблица представлена в Приложении 3.А в конце третьей главы), однако теперь это значение можно рассчитать непосредственно в эконометрическом пакете или, например, в MS Excel (см. пример ниже).
Альтернативным способом является использование для тестирования гипотезы так называемого p-значения. P-значением называют такой уровень значимости, при котором тестируемая гипотеза находится на грани между отвержением и принятием.
Поэтому использовать p-значение при принятии решения очень просто: если оно меньше заранее выбранного уровня значимости \(\alpha \), то тестируемая гипотеза отвергается при уровне значимости \(\alpha \). Например, если при тестировании незначимости коэффициента вы используете пятипроцентный уровень значимости ( \(\alpha =0,05\)), а p-значение оказалось равно 0,0002, следует заключить, что соответствующий коэффициент является значимым. Удобство использования p-значения состоит в том, что эта величина автоматически рассчитывается всеми стандартными эконометрическими пакетами, поэтому для принятия решения о значимости или незначимости того или иного коэффициента (а также для проведения любых других тестов, которые мы обсудим далее) вам не требуется никаких таблиц распределения и никаких дополнительных расчетов.
Рассмотрим для большей наглядности еще один пример.
Пример 2.3. Тестирование незначимости коэффициента и графическая иллюстрация
Представим, что у нас 10 наблюдений ( \(n=10\)), оценка коэффициента оказалась равна \(\widehat {\beta _2}\)= 8,0, а ее стандартная ошибка \(\mathit{se}\left(\widehat {\beta }_2\right)\)= 4,0. Если использовать подход, связанный с критическими значениями, нужно открыть таблицу распределения Стьюдента (см. Приложение 3.А), и найти критическое значение для пятипроцентного уровня значимости и \(\left(n-2\right)=8\) степеней свободы2. Это критическое значение \(t_{\mathit{\text{к}\text{р}}}=t_8^{0,05}{\approx}2,3\). Расчетное значение t-статистики здесь тоже посчитать несложно
\begin{equation*} t_{\mathit{\text{р}\text{а}\text{с}\text{ч}}}=\frac{\widehat {\beta }_2}{\mathit{se}\left(\widehat {\beta }_2\right)}=\frac 8 4=2 \end{equation*}
Если мы нанесем все указанные значения на картинку, у нас получится рисунок 2.4а. Критическое значение отсекает по 2,5% слева и справа (всего 5%). Следовательно, вероятность попасть между \(-t_{\mathit{\text{к}\text{р}}}\) и \(t_{\mathit{\text{к}\text{р}}}\) будет 95%. Нанесем также \(-t_{\mathit{\text{р}\text{а}\text{с}\text{ч}}}\) и \(t_{\mathit{\text{р}\text{а}\text{с}\text{ч}}}\). Эти значения отсекают по 3% справа и слева, как это показано на рисунке 2.4б.
Обозначим \(\xi \) — случайную величину, имеющую распредление стьюдента с \(\left(n-2\right)=8\) степенями свободы. Тогда формально P-значение в нашем случае — это вот такая вероятность:
p-значение \(P\left(\left|\xi \right|>2\right)\).
То есть в нашем примере p-значение — это вероятность такого события, что случайная величина, имеющая t-распределение Стьюдента с 8 степенями свободы, по модулю превысит \(t_{\mathit{\text{р}\text{а}\text{с}\text{ч}}}=2\). Как видно из рисунка, в нашем случае эта вероятность равна 0,03+0,03=0,06.
Рисунок 2.4а. Расчетное и критическое значения тестовой статистики для примера 2.3.
Рисунок 2.4б. P-значение для примера 2.3.
Как видно из нашего примера, P-значение больше заранее выбранного уровня значимости только тогда, когда \(\left|t_{\mathit{\text{р}\text{а}\text{с}\text{ч}}}\right|<t_{\mathit{\text{к}\text{р}}}\), что подтверждает сформулированное нами правило принятия решения при помощи P-значения: если P-значение больше уровня значимости, то нулевая гипотеза не отвергается. Если P-значение меньше уровня значимости, то нулевая гипотеза отвергается.
***
Решив неравенство \(\left|\frac{\widehat {\beta }_2-\beta _2}{\mathit{se}\left(\widehat {\beta }_2\right)}\right|<t_{n-2}^{\alpha }\) относительно \(\beta _2\), получим:
\begin{equation*} \widehat {\beta }_2-\mathit{se}\left(\widehat {\beta }_2\right){\ast}t_{n-2}^{\alpha }<\beta _2<\widehat {\beta }_2+\mathit{se}\left(\widehat {\beta }_2\right){\ast}t_{n-2}^{\alpha } \end{equation*}
Иными словами, с вероятностью \(1-\alpha \) интервал \(\left(\widehat {\beta }_2-\mathit{se}\left(\widehat {\beta }_2\right){\ast}t_{n-2}^{\alpha },\widehat {\beta }_2+\mathit{se}\left(\widehat {\beta }_2\right){\ast}t_{n-2}^{\alpha }\right)\) содержит истинное значение оцениваемого параметра. Например, если \(\alpha =0,05\) и, следовательно, \(1-\alpha =0,95\), этот интервал и называют 95-процентным доверительным интервалом для параметра \(\beta _2\).
Возможность построения доверительных интервалов важна с практической точки зрения. Дело в том, что, так как \(\widehat {\beta }_2\) является лишь приблизительной оценкой параметра \(\beta _2\), эта точечная оценка сама по себе несет гораздо меньше информации, чем интервал. Ведь без доверительного интервала невозможно понять, насколько эта оценка на самом деле (не)точная. Например, утверждение « \(\widehat {\beta }_2\) равно 23,4» куда менее информативно, чем утверждение «истинное значение оцениваемого параметра с вероятностью 95 процентов содержится в пределах от 23,1 до 23,7».
Завершим раздел еще двумя примерами. В первом из них все расчеты проделаны вручную, чтобы, проследив их, можно было еще раз разобраться во взаимосвязях между введенными нами понятиями. Во втором примере используется эконометрический пакет, что позволяет продемонстрировать, как подобные вычисления осуществляются в реальных прикладных исследованиях.
Пример 2.4. Доходы индивидов и потребление риса
Исследователь анализирует зависимость потребления риса от уровня дохода (кривую Энгеля) для однородной группы из 20 потребителей. Все потребители из этой группы сталкиваются с одинаковыми ценами на рис и другие товары, и только уровни дохода у них различны, поэтому исследователь использует модель парной регрессии.
Обозначим:
\(x_i\) — ежемесячный располагаемый доход i-го потребителя (в тысячах денежных единиц),
\(y_i\) — ежемесячное потребление риса i-м потребителем (в килограммах).
Имеются следующие данные о переменных x и y:
\begin{equation*} \sum _{i=1}^{20}x_i=20,\sum _{i=1}^{20}x_i^2=40,\sum _{i=1}^{20}y_i=42,\sum _{i=1}^{20}y_i^2=108, \end{equation*}
\begin{equation*} \sum _{i=1}^{20}x_i{\ast}y_i=60 \end{equation*}
(а) Вычислите МНК-оценки коэффициентов в регрессии
\begin{equation*} y_i=\beta _1+\beta _2{\ast}x_i+\varepsilon _i. \end{equation*}
Выпишите полученное уравнение регрессии и коэффициент \(R^2\).
(б) При уровне значимости 5% проверьте значимость переменной x.
(в) Дайте содержательную интерпретацию коэффициента при переменной x.
(г) Вспомнив соответствующие определения из курса микроэкономики и вычислив необходимую эластичность, определите: является ли рис для этой группы потребителей низкокачественным товаром, товаром первой необходимости или предметом роскоши?
(д) При уровне значимости 5% проверьте гипотезу о том, что коэффициент \(\beta _2\) равен единице.
(е) Постройте 95-процентный доверительный интервал для коэффициента \(\beta _2\).
Решение:
(а) Вычислим средние значения:
\begin{equation*} \overline x=1,\overline{x^2}=2,\overline y=2,1,\overline{y^2}=5,4,\overline{\mathit{xy}}=3 \end{equation*}
Найдем оценки коэффициентов:
\begin{equation*} \widehat {\beta _2}=\frac{\overline{\mathit{xy}}-\overline x{\ast}\overline y}{\overline{x^2}-\overline x^2}=\frac{3-1{\ast}2,1}{2-1}=0,9 \end{equation*}
\begin{equation*} \widehat {\beta _1}=\overline y-\widehat {\beta _2}{\ast}\overline x=2,1-1{\ast}0,9=1,2 \end{equation*}
Таким образом, \(\widehat y_i=1,2+0,9{\ast}x_i\).
Теперь вычислим \(R^2\). Для этого воспользуемся тем, что по определению он равен отношению объясненной суммы квадратов к общей сумме квадратов:
\begin{equation*} R^2=\frac{\sum _{i=1}^{20}\left(\widehat y_i-\overline y\right)^2}{\sum _{i=1}^{20}\left(y_i-\overline y\right)^2}. \end{equation*}
Вычислим каждую из этих сумм по отдельности. Сначала найдем общую сумму квадратов:
\begin{equation*} \mathit{TSS}=\sum _{i=1}^{20}\left(y_i-\overline y\right)^2=\sum _{i=1}^{20}y_i^2-2{\ast}\sum _{i=1}^{20}y_i{\ast}\overline y+\sum _{i=1}^{20}\overline y^2= \end{equation*}
\begin{equation*} \sum _{i=1}^{20}y_i^2-2{\ast}\overline y{\ast}\sum _{i=1}^{20}y_i+20{\ast}\overline y^2=108-2{\ast}2,1{\ast}42+20{\ast}2,1^2=19,8 \end{equation*}
Теперь найдем объясненную сумму квадратов:
\begin{equation*} \sum _{i=1}^{20}\left(\widehat y_i-\overline y\right)^2=\sum _{i=1}^{20}\left(1,2+0,9{\ast}x_i-2,1\right)^2=\sum _{i=1}^{20}\left(0,9{\ast}x_i-0,9\right)^2= \end{equation*}
\begin{equation*} 0,9^2\sum _{i=1}^{20}\left(x_i-1\right)^2=0,81{\ast}\left(\sum _{i=1}^{20}x_i^2-2{\ast}\sum _{i=1}^{20}x_i+20\right)=16,2 \end{equation*}
Теперь можно вычислить коэффициент детерминации:
\begin{equation*} R^2=\frac{\sum _{i=1}^{20}\left(\widehat y_i-\overline y\right)^2}{\sum _{i=1}^{20}\left(y_i-\overline y\right)^2}=\frac{16,2}{19,8}=0,82 \end{equation*}
Ответ на пункт (а): \(\widehat y_i=1,2+0,9{\ast}x_i,R^2=0,82\)
(б) Тестируемая гипотеза \(H_0:\beta _2=0\). Альтернативная гипотеза \(H_1:\beta _2{\neq}0\).
Чтобы проверить значимость, нам понадобится стандартная ошибка оценки коэффициента. Для этого нам придется оценить сумму квадратов остатков. Воспользуемся тем фактом, что для регрессии с константой верно равенство:
\begin{equation*} \sum _{i=1}^{20}\left(y_i-\overline y\right)^2=\sum _{i=1}^{20}\left(\widehat y_i-\overline y\right)^2+\sum _{i=1}^{20}e_i^2 \end{equation*}
В этой формуле мы вычислили все элементы, кроме суммы квадратов остатков:
\begin{equation*} 19,8=16,2+\sum _{i=1}^{20}e_i^2 \end{equation*}
Следовательно, \(\sum _{i=1}^{20}e_i^2=19,8-16,2=3,6\).
Вычислим оценку дисперсии случайной ошибки:
\begin{equation*} S^2=\frac{\sum _{i=1}^{20}e_i^2}{n-2}=\frac{3,6}{20-2}=0,2 \end{equation*}
Теперь вычислим стандартную ошибку оценки коэффициента:
\begin{equation*} \mathit{se}\left(\widehat {\beta _2}\right)=\sqrt{\frac{S^2}{\sum _{i=1}^{20}\left(x_i-\overline x\right)^2}}=\end{equation*}
\begin{equation*} =\sqrt{\frac{0,2}{\sum _{i=1}^{20}x_i^2-n{\ast}\left(\overline x\right)^2}}=\sqrt{\frac{0,2}{40-20}}=0,1 \end{equation*}
Расчетное значение t-статистики равно \(\frac{\widehat {\beta _2}}{\mathit{se}\left(\widehat {\beta _2}\right)}=\frac{0,9}{0,1}=9\).
Критическое значение t-статистки из таблицы распределения Стьюдента при уровне значимости 5% и (20–2)=18 степенях свободы составляет 2,101. Расчетное значение больше критического, следовательно, мы отклоняем нулевую гипотезу и делаем вывод о том, что уровень дохода индивида значимо влияет на его спрос на рис.
Ответ на пункт (б): Переменная значима.
Ответ на пункт (в): При увеличении располагаемого дохода потребителя на одну тысячу денежных единиц его спрос на рис увеличивается в среднем на 0,9 кг.
(г) Вычислим эластичность спроса на рис по доходу. По определению эластичность равна:
\begin{equation*} \frac{\frac{d\widehat y}{\mathit{dx}}{\ast}x}{\widehat y}=\frac{0,9{\ast}x}{1,2+0,9{\ast}x} \end{equation*}
Легко видеть, что при любых положительных значениях \(x\) эластичность спроса по доходу лежит между нулем и единицей, следовательно, для рассматриваемой группы потребителей рис является товаром первой необходимости. Что, в общем-то, неудивительно.
Ответ на пункт (г): Товар первой необходимости.
(д) Тестируемая гипотеза \(H_0:\beta _2=1\). Альтернативная гипотеза \(H_1:\beta _2{\neq}1\).
Для проверки значимости нам понадобится стандартная ошибка оценки коэффициента.
Расчетное значение t-статистики равно \(\frac{\widehat {\beta _2}-1}{\mathit{se}\left(\widehat {\beta _2}\right)}=\frac{0,9-1}{0,1}=-1\).
Критическое значение t-статистки из таблицы распределения Стьюдента при уровне значимости 5% и (20–2)=18 степенях свободы составляет 2,101. Расчетное значение по модулю меньше критического, следовательно, мы принимаем (не отклоняем) нулевую гипотезу.
Ответ на пункт (д): Гипотеза не отклоняется.
(е) В рамках предпосылок классической линейной модели парной регрессии доверительный интервал может быть посчитан следующим образом:
\begin{equation*} \left(\widehat {\beta _2}-\mathit{se}\left(\widehat {\beta _2}\right){\ast}t_{n-2},\widehat {\beta _2}+\mathit{se}\left(\widehat {\beta _2}\right){\ast}t_{n-2}\right) \end{equation*}
\begin{equation*} \left(0,9-0,1{\ast}2,101,0,9+0,1{\ast}2,101\right) \end{equation*}
Таким образом, c вероятностью 95% интервал \(\left(0,69,1,11\right)\) содержит истинное значение коэффициента \(\beta _2\).
Ответ на пункт (е): \(\left(0,69,1,11\right)\).
***
Пример 2.5. Площадь однокомнатной квартиры и её цена
В этом задании вам предлагается проанализировать взаимосвязь между площадью квартиры и ее ценой. Вам доступны следующие данные о московском рынке недвижимости в 2012 году (файл Price2012):
Price — рыночная цена однокомнатной квартиры в Москве (в тысячах руб.), выкуп которой был осуществлен с 10.01.2012 по 28.09.2012
TotalArea — общая площадь квартиры (кв. м)
(а) Оцените регрессию переменной Price на переменную TotalArea. Запишите оцененное уравнение регрессии, указав коэффициент детерминации и (в скобках под соответствующими коэффициентами) стандартные ошибки. Постройте диаграмму рассеяния с линией регрессии.
(б) Является ли коэффициент при переменной TotalArea статистически значимым при уровне значимости 1%? Дайте содержательную интерпретацию для этого коэффициента.
Решение:
(а) Ниже представлена распечатка результатов оценивания уравнения в эконометрическом пакете Gretl3. (Любой стандартный эконометрический пакет, например R, Stata или Econometric Views, выдаст аналогичную табличку. Пользуйтесь тем из них, который вам больше нравится. Ну или тем, который есть под рукой.)
Модель 1: МНК, использованы наблюдения 1-121
Зависимая переменная: Price
| Коэффициент | Ст. ошибка | t-статистика | P-значение | ||
| const | 786,456 | 583,051 | 1,349 | 0,1799 | |
| TotalArea | 135,317 | 16,5144 | 8,194 | 0,0001 | *** |
| Среднее зав. перемен | 5540,335 | Ст. откл. зав. перемен | 792,7127 | |
| Сумма кв. остатков | 48208118 | Ст. ошибка модели | 636,4827 | |
| R-квадрат | 0,360696 | Испр. R-квадрат | 0,355324 | |
| F(1, 119) | 67,14000 | Р-значение (F) | 3,30e-13 | |
| Лог. правдоподобие | $-$951,8540 | Крит. Акаике | 1907,708 | |
| Крит. Шварца | 1913,300 | Крит. Хеннана-Куинна | 1909,979 |
В столбце «Коэффициент» указаны оценки коэффициентов, а в столбце «Ст. ошибка» — их стандартные ошибки. В нижней части таблицы среди прочих показателей можно найти и коэффициент R-квадрат.
Общепринятый формат записи полученных результатов имеет следующий вид (в скобках под оценками коэффициентов указаны соответствующие стандартные ошибки):
\begin{equation*} \widehat {\mathit{Price}}_i=\underset{\left(583,051\right)}{786,456}+\underset{\left(16,514\right)}{135,317}\mathit{TotalArea}_i,R^2=0,36 \end{equation*}
Обратите внимание, что в скобках под оценками коэффициентов мы указали их стандартные ошибки. Такой формат является хорошим тоном при записи результатов эконометрического моделирования, так как позволяет читателю оценить точность ваших результатов и прикинуть доверительные интервалы для коэффициентов.
(б) В столбце «P-значение» указано, что P-значение для оценки коэффициента при переменной TotalArea меньше, чем 0,0001 (и тем более меньше, чем 0,01). Следовательно, этот коэффициент является статистически значимым при уровне значимости 1%.
Содержательная интерпретация: при увеличении общей площади квартиры на один квадратный метр ее цена в среднем при прочих равных условиях увеличивается на 135 тысяч рублей.
Отметим, что свободное слагаемое в данном случае отличается от нуля статистически незначимо, так как соответствующее P-значение равно 0,18, что больше любого разумного уровня значимости. Да и если бы даже эта константа была значима, все равно отдельно интерпретировать её смысла не было бы, ведь константа показывает значение зависимой переменной при условии, что регрессор TotalArea равен нулю (то есть при условии, что анализируемая квартира имеет нулевую площадь). Вряд ли кто-то всерьез интересуется ценой квартиры площадью 0 квадратных метров.
- Вместо использования готовых таблиц распределения можно, например, ввести в MS Excel формулу =СТЬЮДЕНТ.ОБР( 1 - 0,05 / 2; 10 - 2) ↵
- Для получения этого результата достаточно запустить Gretl; используя пункт меню «Импорт», импортировать данные из файла MS Excel (или просто мышкой «перетащить» нужный файл в рабочую область эконометрического пакета); выбрать в меню «Модель» пункт «Метод наименьших квадратов» и указать в качестве зависимой переменной переменную Price, а в качестве объясняющей — переменную TotalArea. ↵