Задание 1.
Ваш фонд управляет портфелем акций с ожидаемой доходностью 17% и стандартным отклонением 27%. Ставка доходности казначейских векселей равна 7%. Ваш клиент принял решение инвестировать 70% своих средств в Ваш портфель и 30% – в фонд денежного рынка (векселя). Допустим Ваш портфель состоит из трех акций в следующих пропорциях: акции А 27%, акции В – 33%, акции С – 40%. Укажите инвестиционные пропорции портфеля Вашего клиента, включая позицию в векселя. Каков коэффициент вариации для портфеля Вашего фонда и портфеля Вашего клиента? Постройте линию распределения капитала (CAL) Вашего портфеля в осях «доходность – стандартное отклонение» и укажите на нем позицию Вашего клиента.
Решение:
Пусть Р – это портфель фонда, а Z – портфель инвестора. Тогда доходность портфеля Z находится из равенства \({{r_{Z} = 0},{7 \cdot \text{17}}{\text{%} + 0},{3 \cdot 7}{\text{%} = \text{14}}\text{%}}{}\). Стандартное отклонение портфеля инвестора равно \({{\sigma_{Z} = {x \times \sigma_{P}} = 0},{{7 \times \text{27}} = \text{18}},9\text{%}}{}\).
Структура портфеля Z находится очень просто \({W_{Z} = \begin{pmatrix} w_{A} \\ w_{B} \\ w_{C} \\ w_{r_{f}} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {0,{7 \times 0},\text{27}} \\ {0,{7 \times 0},\text{33}} \\ {0,{7 \times 0},4} \\ {0,3} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {0,\text{189}} \\ {0,\text{231}} \\ {0,\text{280}} \\ {0,\text{300}} \\ \end{pmatrix}}{}\).
Теперь рассчитаем коэффициент вариации для портфелей Р и Z: \({{\mathit{\text{CV}_{\mathrm{P}}} = \frac{\text{27}\text{%}}{\text{17}\text{%}} = 1},\text{588}}{}\); \({{\mathit{\text{CV}_{\mathrm{Z}}} = \frac{\text{18},9\text{%}}{\text{14}\text{%}} = 1},\text{350}}{}\). Таким образом, портфель инвестора менее рискованный в относительном плане.
Задание 2.
Предположим, на рынке есть n ценных бумаг с одинаковой доходностью \(\left( {r_{i} = {\overline{r}}_{A}} \right){}\), что средняя дисперсия доходности отдельной ценной бумаги равна 50, т.е. \({\sigma_{i}^{2} = \overline{\sigma^{\mspace{9mu} 2}} = \text{50}}{}\), а средняя ковариация между доходностями любых двух бумаг равна 10, т.е. \({\text{cov}{\left( {i,j} \right) = \overline{\text{cov}(i,j)} = \text{10}}}{}\). Какова средняя дисперсия доходности портфеля, составленного из 5, 10, 20, 50 и 100 ценных бумаг? Сколько ценных бумаг требуется ввести в портфель, чтобы его риск (дисперсия) в среднем оказался не более, чем на 10% больше минимально возможной величины?
Решение:
Рассмотрим формулу \({\sigma_{p}^{2} = {\sum\limits_{i = 1}^{n}{\sum\limits_{j = 1}^{n}{w_{i}w_{j}\text{cov}(i,j)}}}}{}\), переписав ее в виде двух слагаемых – главной диагонали и все, что не лежит на главной диагонали ковариационной матрицы:
\(\underset{n}{{\sigma_{p}^{2} = {n \times w_{i}^{2}}}\text{cov}(i,i{) + \sum\limits_{}^{n}}}{}{}\). (1)
Если доля каждого из n активов будет одинакова в составе портфеля, т.е. \({w_{k} = \frac{1}{n}}{}\), то будет наблюдаться наибольший эффект от диверсификации. Поскольку и ковариация доходностей двух любых активов одинакова, и дисперсия их также одинакова, но при этом мы еще и знаем, чему они равны, то подставляя в формулу (1) имеющуюся информацию, получаем:
\({\sigma_{p}^{2} = {\frac{n \times \overline{\sigma^{\mspace{9mu} 2}}}{n^{2}} + {\frac{{n \times \mspace{9mu}}\left( {n - 1} \right)}{n^{2}} \times \overline{\text{cov}(i,j)}}}}{}\), (2)
или после упрощения
\({\sigma_{p}^{2} = {\frac{\overline{\sigma^{\mspace{9mu} 2}}}{n} + {\frac{\left( {n - 1} \right)}{n} \times \overline{\text{cov}(i,j)}}}}{}\). (3)
Теперь находим ответы на вопросы задачи:
\({\sigma_{5}^{2} = {\frac{\text{50}}{5} + {\frac{5 - 1}{5} \times \text{10}}} = {\text{10} + 8} = \text{18}}{}\) \({{\sigma_{5} = \sqrt{\text{18}} \approx 4},\text{24}}{}\);
\({\sigma_{\text{10}}^{2} = {\frac{\text{50}}{\text{10}} + {\frac{\text{10} - 1}{\text{10}} \times \text{10}}} = {5 + 9} = \text{14}}{}\) \({{\sigma_{\text{10}} = \sqrt{\text{14}} \approx 3},\text{74}}{}\);
\({{\sigma_{\text{20}}^{2} = {\frac{\text{50}}{\text{20}} + {\frac{\text{20} - 1}{\text{20}} \times \text{10}}} = 2},{5 + 9},{5 = \text{12}}}{}\) \({{\sigma_{\text{20}} = \sqrt{\text{12}} \approx 3},\text{46}}{}\);
\({{\sigma_{\text{50}}^{2} = {\frac{\text{50}}{\text{50}} + {\frac{\text{50} - 1}{\text{50}} \times \text{10}}} = {1 + 9}},{8 = \text{10}},8}{}\) \({{\sigma_{\text{50}} = \sqrt{\text{10},8} \approx 3},\text{28}}{}\);
\({{\sigma_{\text{100}}^{2} = {\frac{\text{50}}{\text{100}} + {\frac{\text{100} - 1}{\text{100}} \times \text{10}}} = 0},{5 + 9},{9 = \text{10}},4}{}\) \({{\sigma_{\text{100}} = \sqrt{\text{10},4} \approx 3},\text{22}}{}\);
Обратим внимание, что минимальная возможная дисперсия доходности портфеля равна средней ковариации на рынке между доходностями двух активов:
\({{\left( \sigma^{2} \right)_{\text{min}} = \underset{n\rightarrow\infty}{\text{lim}}}\mspace{9mu}{\left( {\frac{\overline{\sigma^{\mspace{9mu} 2}}}{n} + {\frac{\left( {n - 1} \right)}{n} \cdot \overline{\text{cov}(i,j)}}} \right) = }}\)
\({ = \underset{n\rightarrow\infty}{\text{lim}}}\mspace{9mu}{\left( \frac{\overline{\sigma^{\mspace{9mu} 2}}}{n} \right) + \underset{n\rightarrow\infty}{\text{lim}}}\mspace{9mu}{\left( {\frac{\left( {n - 1} \right)}{n} \cdot \overline{\text{cov}(i,j)}} \right) = }\)
\({ = {0 + {1 \cdot \overline{\text{cov}(i,j)}}} = \overline{\text{cov}(i,j)}}\)Соответственно, минимальное стандартное отклонение равно \({\sigma_{\text{min}} = \sqrt{\overline{\text{cov}(i,j)}}}{}\).
Поскольку для ответа на вопрос, сколько ценных бумаг требуется ввести в портфель, чтобы его риск оказался не более, чем на 10% больше минимальной возможной величины, не понятно, что подразумевается под риском: дисперсия или стандартное отклонение, то рассчитаем оба варианта. Пусть \({z\in N}{}\) минимальное число ценных бумаг в портфеле, тогда:
\({1,{{1 \times \left( \sigma^{2} \right)_{\text{min}}} \geq {\frac{\overline{\sigma^{\mspace{9mu} 2}}}{z_{1}} + {\frac{z_{1} - 1}{z_{1}} \times \overline{\text{cov}(i,j)}}}}}{}\) для риска, представленного в виде дисперсии, и \({\left( {1,{1 \times \sigma_{\text{min}}}} \right)^{2} \geq {\frac{\overline{\sigma^{\mspace{9mu} 2}}}{z_{2}} + {\frac{z_{2} - 1}{z_{2}} \times \overline{\text{cov}(i,j)}}}}{}\) для риска, представленного в виде стандартного отклонения. Подставляя данные задачи, и решая соответствующие неравенства, получаем:
\({1,{{1 \times \text{10}} \geq {\frac{\text{50}}{z_{1}} + {\frac{z_{1} - 1}{z_{1}} \times \text{10}}}}}{}\); \({\left( {1,{1 \times \sqrt{\text{10}}}} \right)^{2} \geq {\frac{\text{50}}{z_{2}} + {\frac{z_{2} - 1}{z_{2}} \times \text{10}}}}{}\);
\({1,{1 \times \text{10}}{z_{1} \geq {\text{50} + {\left( {z_{1} - 1} \right) \times \text{10}}}}}{}\); \({1,{\text{21} \times \text{10}}{z_{2} \geq {\text{50} + {\left( {z_{2} - 1} \right) \times \text{10}}}}}{}\);
\({z_{1} \geq \frac{\text{40}}{1}}{}\); \({{z_{2} \geq \frac{\text{40}}{2,1} \approx \text{19}},\text{05}}{}\);
\({z_{1} \geq \text{40}}{}\). \({z_{2} \geq \text{20}}{}\).
Задание 3.
Считается, что распределение доходности обыкновенных акций компании «Нетугаза» является нормальным со средним значением 12% годовых и стандартным отклонением 17%. Какова вероятность, что доходность акций не опустится ниже среднего значения? Какова вероятность, что доходность акций не опустится ниже 5% годовых? Какова вероятность того, что доходность акций будет лежать в пределах от 15% до 25% годовых?
Решение:
Обозначим за \(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\), что позволит нам перейти от распределения \(N\left( {\mu,\sigma} \right)\) к возможности использовать стандартное распределение \(N\left( {0,1} \right)\), а через \(N(z)\) значение интеграла плотности нормального распределения от минус бесконечности до z.
а) так как распределение нормальное, то ответ на этот вопрос можно дать, не считая (оно же симметричное), 0,5.
б) искомая вероятность есть \(N{\left( \frac{5 - 12}{17} \right) = {1 - \mathit{НОРМ}}}.\mathit{СТ}.\mathit{РАСП}{\left( {\frac{5 - 12}{17};\mathit{ИСТИНА}} \right) = 0,659744}\).
в) искомая вероятность есть \(N{\left( \frac{25 - 12}{17} \right) - N}{\left( \frac{15 - 12}{17} \right) = \mathit{НОРМ}}.\mathit{РАСП}{\left( {25;12;17;\mathit{ИСТИНА}} \right) - \mathit{НОРМ}}.\mathit{РАСП}{\left( {15;12;17;\mathit{ИСТИНА}} \right) = 0,207739.}\)
Задание 4.
Доходность ценной бумаги А на фондовом рынке страны за последние 6 лет была \(\left\{ {7\text{%;}{\mspace{9mu} - 2}\text{%;}\mspace{9mu} 2\text{%;}\mspace{9mu} 5\text{%;}\mspace{9mu}\text{11}\text{%;}\mspace{9mu} 8\text{%}} \right\}\), а доходность ценной бумаги М, соответственно, такой: \(\left\{ {1\text{%;}{\mspace{9mu} - 1}\text{%;}\mspace{9mu} 0\text{%;}\mspace{9mu} 2\text{%;}\mspace{9mu} 7\text{%;}{\mspace{9mu} - 2}\text{%}} \right\}\). Определить коэффициент корреляции между доходностями ценных бумаг А и М.
Решение:
Для начала находим средние доходности каждого из активов:
\({{{\overline{r}}_{A} = \frac{7{\text{%} - 2}{\text{%} + 2}{\text{%} + 5}{\text{%} + \text{11}}{\text{%} + 8}\text{%}}{6} = 5},\text{17}\text{%}}{}\); \({{{\overline{r}}_{M} = \frac{1{\text{%} - 1}{\text{%} + 0}{\text{%} + 2}{\text{%} + 7}{\text{%} - 2}\text{%}}{6} = 1},\text{17}\text{%}}{}\). Так можно делать, ибо все годы равновероятны. Дальнейшие расчеты делаем в таблице:
Исход \({r_{\mathit{\text{Ai}}} - {\overline{r}}_{A}}{}\) \(\left( {r_{\mathit{\text{Ai}}} - {\overline{r}}_{A}} \right)^{2}{}\) \({r_{\mathit{\text{Mi}}} - {\overline{r}}_{M}}{}\) \(\left( {r_{\mathit{\text{Mi}}} - {\overline{r}}_{M}} \right)^{2}{}\) Cov(A,M) 1 7-5,17=1,83 3,3489 1-1,17=-0,17 0,0289 -0,3111 2 -2-5,17=-7,17 51,4089 -1-1,17=-2,17 4,7089 15,5589 3 2-5,17=-3,17 10,0489 0-1,17=-1,17 1,3689 3,7089 4 5-5,17=-0,17 0,0289 2-1,17=0,83 0,6889 -0,1411 5 11-5,17=5,83 33,9889 7-1,17=5,83 33,9889 33,9889 6 8-5,17=2,83 8,0089 -2-1,17=-3,17 10,0489 -8,9711 \({{6 \times \sigma_{A}^{2}} =}{}\) 106,8334 \({{6 \times \sigma_{M}^{2}} =}{}\) 50,8334 6Cov(A,M)=
43,8334
Таким образом, \({{\sigma_{A}^{2} = \text{17}},\text{81}}{}\) а \({{\sigma_{M}^{2} = 8},\text{47}}{}\), и, соответственно, \({{\sigma_{A} = 4},\text{22}}{}\) а \({{\sigma_{M} = 2},\text{91}}{}\). Аналогично, \({\text{cov}(A,M{) = 7},\text{31}}{}\).
Значение коэффициента корреляции находим, используя выражение:
\({\rho{\left( {A,M} \right) = \frac{\text{cov}\left( {A,M} \right)}{\sigma_{A} \times \sigma_{M}} = \frac{7,\text{31}}{4,{\text{22} \times 2},\text{91}} = 0},\text{5952}}{}\).
Задание 5.
На фондовом рынке представлены только три равные по капитализации компании А, В и С. Годовые доходности обыкновенных акций компаний А, В и С равны 15%, 5,5% и 9% соответственно. Про компании А и В известно, что \({\beta_{A} = 2}{}\), а \({{\beta_{B} = 0},3}{}\). Дополнительно известно, что акции компании А оценены верно, а у компании В \({{\alpha_{B} = {- 1}}\text{%}}{}\). Определить, переоценены, недооценены или оценены верно акции компании С (ответ обосновать расчетами).
Решение:
По компаниям А и В, составляя систему уравнений модели САРМ, находим параметры рынка (безрисковую доходность (х) и рыночную премию за риск (y)):
\(\left\{ \begin{matrix} {{\text{15} = {x + 2}}y;} \\ {5,{5 - ( - 1}{) = {x + 0}},3y\text{.}} \\ \end{matrix} \right.{}\) \(\left\{ \begin{matrix} {{x = 5};} \\ {{y = 5}\text{.}} \\ \end{matrix} \right.{}\)
Поскольку все три компании образуют рынок, то можно найти коэффициент бета третьей компании, помня, что рыночный коэффициент бета всегда равен единице.
\({{1 = {{\frac{1}{3} \times \beta_{A}} + {\frac{1}{3} \times \beta_{B}} + {\frac{1}{3} \times \beta_{C}}}} \Rightarrow {3 - 2 - 0},{3 = \beta_{C}} \Rightarrow {\beta_{C} = 0},7}{}\).
Теперь можно найти, какую доходность должны демонстрировать акции компании С: \({{r_{C} = {5 + 0}},{{7 \times 5} = 8},5}{}\). Следовательно, акции компании С являются недооцененными, так как их доходность больше доходности по модели САРМ.
Задание 6.
Эксперты оценили поведение двух ценных бумаг и одного фондового индекса в зависимости от результатов выборов президента (смотри таблицу). Доходность государственных долгосрочных облигаций, независимо от результатов выборов, составляет 1% годовых.
| Победитель | Вероятность исходов выборов |
Доходность акции А, % годовых |
Доходность акции В, % годовых |
Доходность фондового индекса, % годовых |
| Претендент 1 | 0,2 | 0 | 4 | 2 |
| Претендент 2 | 0,5 | 3 | 5 | 8 |
| Претендент 3 | 0,1 | 1 | 3 | 8 |
| Претендент 4 | 0,2 | 4 | 1 | 4 |
К вам пришел клиент, который желает вложить свои деньги в акции. На основе этих данных найдите: 1) дисперсии обеих акций и рынка; 2) бета коэффициенты обеих акций; 3) определите, какие акции переоценены, а какие недооценены; 4) дайте рекомендацию не склонному к риску инвестору относительно инвестиций в активы в составе портфеля и без портфеля
Решение:
Используем метод расчетов, как в задаче 1 с поправкой на вероятности наступления исходов, и получаем
A B Index Среднее значение 2,40 3,80 6,00 Дисперсия 2,04 2,36 6,40 Стандартное отклонение 1,43 1,54 2,53 Cov(A,M) 1,60 Cov(B,M) 2,00 Теперь находим коэффициенты бета: \({{\beta_{A} = \frac{1,6}{6,4} = 0},\text{25}}{}\) и \({{\beta_{A} = \frac{2,0}{6,4} = 0},\text{3125}}{}\).
По модели САРМ находим доходности акций А и В: \({{r_{A} = {1 + 5}}{\beta_{A} = 2},\text{25}}{}\) и \({{r_{B} = {1 + 5}}{\beta_{B} = 2},\text{5625}}{}\). Отсюда видно, что обе акции являются недооцененными, поскольку текущие средние значения их доходностей (выступающие как их фактическая доходность) больше, чем доходности, посчитанные по модели. Для инвестора в состав портфеля посоветуем акцию А (у нее меньший коэффициент бета), а без портфеля – снова акцию А, так как у нее меньше стандартное отклонение. Хотя для отдельной акции можно применить коэффициент вариации, т.е. риск на единицу доходности:
\({{\mathit{\text{CV}_{\mathrm{A}}} = \frac{\sigma_{A}}{{\overline{r}}_{A}} = \frac{1,\text{43}}{2,4} \approx 0},\text{60}}{}\), а \({{\mathit{\text{CV}_{\mathrm{B}}} = \frac{\sigma_{B}}{{\overline{r}}_{B}} = \frac{1,\text{54}}{3,8} \approx 0},\text{41}}{}\).
Поэтому в виде отдельной акции возможен выбор акции В, как наименее рискованной в относительном плане, а не в абсолютном (более детальный выбор делается на основании функции полезности инвестора).
Задание 7.
Приведенные данные отражают фактические ставки доходности акций различных эмитентов A, B, C, D и их коэффициенты β. По мнению финансового аналитика, ставка доходности безрисковых вложений для данных условий – 6%, а доходность наиболее репрезентативного индекса, рассчитанного по доходности акций крупных компаний, равен 13%. Определите какие акции недооценены, переоценены или оценены верно. Каковы прогнозные тенденции изменения курсов данных акций?
| Эмитенты | Доходность (%) | β |
| А | 10,7 | 0,52 |
| В | 14,5 | 0,97 |
| С | 13,2 | 1,23 |
| D | 11,4 | 0,86 |
Решение:
Находим доходности акций по модели САРМ, делаем вывод относительно недооцененности акций и прогноз относительно изменения их курса:
\({{r_{A} = {6 + 0}},{{\text{52} \times 7} = 9},\text{64}}{}\); => акции недооценены, т.к. \({{r_{A} < \text{10}},7}{}\), рост курса.
\({{r_{B} = {6 + 0}},{{\text{97} \times 7} = \text{12}},\text{79}}{}\); => акции недооценены, т.к. \({{r_{B} < \text{14}},5}{}\), рост курса.
\({{r_{C} = {6 + 1}},{{\text{23} \times 7} = \text{14}},\text{61}}{}\); => акции переоценены, т.к. \({{r_{C} > \text{13}},2}{}\), падение курса.
\({{r_{D} = {6 + 0}},{{\text{86} \times 7} = \text{12}},\text{02}}{}\); => акции переоценены, т.к. \({{r_{D} > \text{11}},4}{}\), падение курса.
Задание 8.
Каждый инвестор в модели CAPM обладает комбинацией рыночного портфеля и безрискового актива. Предположим, стандартное отклонение доходности рыночного портфеля равно 30%, а сама ожидаемая доходность рыночного портфеля равна 15%. Какую часть своего состояния, по Вашему мнению, следует вложить указанным ниже инвесторам в рыночный портфель, а какую – в безрисковый актив? Ожидаемая доходность безрискового актива составляет 5%.
А) Инвестор А, желающий иметь портфель без стандартного отклонения.
Б) Инвестор Б, желающий иметь портфель со стандартным отклонением, равным 15%.
В) Инвестор В, желающий иметь портфель со стандартным отклонением, равным 30%.
Г) Инвестор Г, желающий иметь портфель со стандартным отклонением, равным 45%.
Д) Инвестор Д, желающий иметь портфель со средней доходностью 12%.
Решение:
Инвестору А очевидно придется все деньги вложить в безрисковый актив. Так как стандартное отклонение полного портфеля равно доле рискового актива, умноженной на стандартное отклонение этого рискового актива, то половину средств инвестор Б должен вложить в безрисковый актив, а половину – в рыночный. Инвестору В необходимо вложить все средства только в рыночный портфель. Инвестору Г необходимо на сумму, равную половине средств для инвестирования, «в короткую» продать безрисковый актив, и на все деньги купить рыночный портфель, обеспечивая себе таким действием стандартное отклонение полного портфеля на уровне 45%. Инвестору Д необходимо на 70% средств купить рыночный портфель, а на оставшиеся – государственные облигации.
Задание 9.
Предположим, что Вы готовитесь сформировать портфель из существующих активов. В таблице ниже представлена ежемесячная доходность двух акций и индекса S&P500:
| Месяц | Акция А (%) | Акция В (%) | Доходность индекса S&P500 (%) |
| 1 | 12,0 | -2,5 | 13,0 |
| 2 | 1,5 | 71,4 | 10,5 |
| 3 | -8,6 | 13,4 | 0,6 |
| 4 | -5,0 | 12,6 | -5,5 |
| 5 | 6,0 | 14,2 | 2,5 |
Требуется: 1) Подсчитать коэффициенты бета для акций А и В; 2) Дайте совет Вашему, не склонному к риску, инвестору по формированию инвестиционного портфеля.
Решение:
Для начала находим средние доходности каждого из активов:
\({{{\overline{r}}_{A} = \frac{\text{12}{\text{%} + 1},5{\text{%} - 8},6{\text{%} - 5}{\text{%} + 6}\text{%}}{5} = 1},\text{18}\text{%}}{}\);
\({{{\overline{r}}_{B} = \frac{{- 2},5{\text{%} + \text{71}},4{\text{%} + \text{13}},4{\text{%} + \text{12}},6{\text{%} + \text{14}},2\text{%}}{5} = \text{21}},\text{82}\text{%}}{}\);
\({{{\overline{r}}_{M} = \frac{\text{13}{\text{%} + \text{10}},5{\text{%} + 0},6{\text{%} - 5},5{\text{%} + 2},5\text{%}}{5} = 4},\text{22}\text{%}}{}\).
Так можно делать, ибо все годы равновероятны. Дальнейшие расчеты делаем в таблице:
Исход: 1 2 3 4 5 5\(\sigma_{i}^{2}\) \(\sigma_{i}^{2}\) \(\sigma_{i}\) \({r_{\mathit{\text{Ai}}} - {\overline{r}}_{A}}{}\) 0,1082 0,0032 -0,0978 -0,0618 0,0482 \(\left( {r_{\mathit{\text{Ai}}} - {\overline{r}}_{A}} \right)^{2}{}\) 0,011707 1,02E-05 0,009565 0,003819 0,002323 0,027425 0,005485 0,074061 \({r_{\mathit{\text{Bi}}} - {\overline{r}}_{B}}{}\) -0,2432 0,4958 -0,0842 -0,0922 -0,0762 \(\left( {r_{\mathit{\text{Bi}}} - {\overline{r}}_{B}} \right)^{2}{}\) 0,059146 0,245818 0,00709 0,008501 0,005806 0,326361 0,065272 0,255484 \({r_{\mathit{\text{Mi}}} - {\overline{r}}_{M}}{}\) 0,0878 0,0628 -0,0362 -0,0972 -0,0172 \(\left( {r_{\mathit{\text{Mi}}} - {\overline{r}}_{M}} \right)^{2}{}\) 0,007709 0,003944 0,00131 0,009448 0,000296 0,022707 0,004541 0,06739 cov(A,M) 0,0095 0,000201 0,00354 0,006007 -0,00083 0,018419 0,003684 cov(B,M) -0,02135 0,031136 0,003048 0,008962 0,001311 0,023107 0,004621 Рассчитываем коэффициенты бета: \({{\beta_{A} = \frac{0,\text{003684}}{0,\text{004541}} = 0},\text{811}}{}\) и \({{\beta_{B} = \frac{0,\text{004621}}{0,\text{004541}} = 1},\text{018}}{}\).
Поскольку инвестор не склонен к риску, то советуем ему вкладывать в акции А, так как они наименее рискованные в составе диверсифицированного портфеля.
Задание 10.
Госпожа Саган занимает должность вице-президента инвестиционного комитета фонда «L'efficacité», спонсирующего медицинские исследования в области сердечно-сосудистых заболеваний. Активы фонда составляют 95 млн. евро по состоянию на конец 2015 года. В целях ежегодной реструктуризации портфеля активов фонда г-жа Саган провела анализ рыночных данных, собранных ею в таблице 1. Основываясь на этих данных, она составила пять возможных способов реструктуризации активов фонда на 2016 год, представленных в таблице 2.
Таблица 1. Рыночные ожидания по классам активов
| Класс активов | \(E(R),\text{%}\) | \(\sigma_{R},\text{%}\) | Корреляции, доли | ||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | ||||
| 1 | Акции французских компаний | 8,6 | 20 | 1,00 | |||
| 2 | Акции зарубежных компаний | 6,7 | 15 | 0,65 | 1,00 | ||
| 3 | Облигации французских эмитентов | 4,1 | 10 | 0,34 | 0,25 | 1,00 | |
| 4 | Вложения в недвижимость | 5,0 | 12 | 0,50 | 0,35 | 0,17 | 1,00 |
Таблица 2. Способы реструктуризации активов фонда
| Способ | \(E(R),\text{%}\) | \(\sigma_{R},\text{%}\) | Коэффициент Шарпа, доли | Доля в портфеле по классам активов, % |
|||
| 1 | 2 | 3 | 4 | ||||
| A | 8,60 | 20,00 | 0,330 | 100,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 |
| B | 7,91 | 16,78 | 0,352 | 63,53 | 36,47 | 0,00 | 0,00 |
| C | * | 15,48 | 0,358 | 53,22 | 37,23 | 0,00 | 9,55 |
| D | 5,03 | * | 0,360 | 0,00 | 24,70 | 43,30 | 32,00 |
| E | 4,69 | 8,15 | 0,329 | 0,00 | 10,90 | 55,56 | 33,54 |
Ежегодно на исследования фонд перечисляет 3,5% от величины своих активов на начало года, ожидаемый уровень инфляции составляет 2,25%. Затраты на управление активами фонда составляют 43,6 базисных пункта ежегодно также от величины активов фонда на начало года. Минимальная требуемая отдача от инвестиций фонда должна покрывать отчисления фонда на исследования и расходы на управление активами в реальном выражении.
А) Рассчитайте ожидаемую доходность для способа С
Б) Каково стандартное отклонение доходности портфеля, предложенного в рамках способа D реструктуризации
В) Какой способ реструктуризации является приоритетным с учетом минимальной требуемой отдачи от инвестиций фонда и вознаграждения за риск (ответ должен быть обоснован)?
[место для решения задачи H1]:
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ H1:
А) \(E{\left( R_{C} \right) = {.5322 \ast 8.6}}{\text{%} + {.3723 \ast 6.7}}{\text{%} + {.0955 \ast 5.0}}{\text{%} = {4.5777 + 2.4944 + .4775} = 7.55}\text{%}\)
Б) \(\mathit{Var}{\left( R_{D} \right) = .247^{2}}\bullet{15^{2} + .433^{2}}\bullet{10^{2} + .32^{2}}\bullet{12^{2} + 2}\bullet.247\bullet.433\bullet.25\bullet 10\bullet{15 + 2}\bullet.247\bullet.32\bullet.35\bullet 15\bullet{12 + 2}\bullet.433\bullet.32\bullet.17\bullet 10\bullet{12 = {13.7270 + 19.6249 + 6.9696 + 8.0213 + 9.99590 + 5.6553} = 63.9571}\)
\(\sigma{\left( R_{C} \right) = \sqrt{63.9571} = 7.9973}\)
В) Сначала необходимо рассчитать требуемую норму отдачи, поскольку фонд тратит 3,5% и 0,00436% от своих фондов, причем в реальном выражении, то в номинальном выражении фонд должен получать от своих вложений не менее
\({{\mathit{required}\mathit{rate}}_{\mathit{\min}} = \left( {{1 + 3.5}{\text{%} + .436}\text{%}} \right)}{{\left( {{1 + 2.25}\text{%}} \right) - 1} = 6.27}\text{%}.\)
Поскольку выбор способа базируется на учете вознаграждения за риск, то выбор способа основывается на двух вещах: максимальный коэффициент Шарпа и доходность, большая требуемой. Таким образом, способ D нам не подходит (у него доходность меньше, хотя и максимальный Sharpe ratio), поэтому наш выбор – способ C.