В настоящий момент существует две основные модели равновесного ценообразования – модель САРМ и модель АРТ. Каждая из них описывает доходность актива при рыночном равновесии, однако они предполагают разные способы прихода рынка к равновесию. Отметим, что обе модели довольно старые – 1964 и 1976 год соответственно, хотя до сих пор активно используются в практике.
3.5.1 Модель САРМ
Данную модель практически в одно и то же время разработали У.Шарп, Я.Моссин и Д.Линтнер. Здесь мы изложим модель САРМ (capital asset pricing model) в современной трактовке, с авторскими выводами модели можно ознакомиться, прочитав первоисточники.
Авторы модели исходили из того, что если рынок находится в равновесии, то любой актив должен обеспечивать одно и то же вознаграждение за единицу своего риска. Кроме того, данное вознаграждение должно относиться только к риску актива, который нельзя убрать с помощью диверсификации. Таким образом, риск отдельного актива всегда можно представить в виде двух слагаемых – риск систематический и риск уникальный.
В диверсифицированном портфеле уникальные риски активов отсутствует. Самый диверсифицированный из всех возможных портфелей – рыночный портфель, в который входят все торгуемые и неторгуемые активы с весами, пропорциональными их капитализации по отношению к капитализации рынка в целом. Поскольку рыночный портфель максимально диверсифицирован, то он содержит исключительно систематический риск, который нельзя устранить диверсификацией. Следовательно, рынок вознаграждает только за систематический риск, который берет на себя инвестор. Если инвестор по тем или иным причинам не стремится вместо одного актива купить много разных (создав диверсифицированный портфель), то рынок за взятый на себя инвестором уникальный риск вознаграждать не будет.
Как же определить, какую часть общего риска актива, измеряемого дисперсией или стандартным отклонением, занимает систематический риск? Допустим, что старый рыночный портфель состоял из \(n\) активов и имел риск, равный \(\sigma_{M}^{0}\). Теперь предположим, что появился еще один актив, и новый рыночный портфель состоит из \(n + 1\) активов, а его риск равен \(\sigma_{M}^{1}\). Очевидно, что добавление еще одного актива в диверсифицированный портфель может вызвать увеличение его систематического риска только за счет собственного систематического риска. Другими словами, \({\mathrm{\Delta}{\sigma_{M} = \sigma}}_{M}^{1} - \sigma_{M}^{0}\) это и есть систематический риск \(n + 1\) актива. Данный прирост риска рыночного портфеля можно измерить с помощью производной, которая показывает, насколько изменится функция, если аргумент вырастет на единицу.
Запишем риск рыночного портфеля как:
\(\sigma_{M} = \sqrt{❑}\)
Тогда, первая производная \(\sigma_{M}\) по \(w_{i}\) (так как добавление i-го актива в портфель эквивалентно увеличению веса данного актива с нуля до \(w_{i}\)) будет равна:
\(\frac{d\sigma_{M}}{dw_{i}} = d\)
\({}{2w_{i}\mathit{Var}{{(r_{i})} + 2}\frac{\sum\limits_{{j = 1},j\neq i}^{n}{w_{j}\mathit{Cov}{{({r_{i},r_{j}})} =}}}{❑}}\)
\({}{w_{i}\mathit{Var}{{(r_{i})} + \frac{\sum\limits_{{j = 1},j\neq i}^{n}{w_{j}\mathit{Cov}{{({r_{i},r_{j}})} = \frac{\sum\limits_{j = 1}^{n}{w_{j}\mathit{Cov}{{({r_{i},r_{j}})} =}}}{❑}}}}{❑}}}\)
\({}\mathit{Cov}\)
Тогда, используя (5.16) получаем, что ожидаемая доходность i-го актива должна удовлетворять следующему уравнению:
\(E{\left( r_{i} \right) = {r_{f} + {\frac{E{\left( r_{M} \right) - r_{f}}}{\sigma_{M}}{\underbrace{}}}_{\mathit{цена}\mathit{единицы}\mathit{систематического}\mathit{риска}\mathit{на}\mathit{рынке}}}}\times{\frac{\mathit{Cov}{({r_{i},r_{M}})}}{\sigma_{M}}{\underbrace{}}}_{\mathit{систематический}\mathit{риск}{i - \mathit{го}}\mathit{актива}}.\) (5.17)
Таким образом, уравнение (5.17) может быть проинтерпретировано как: доходность i-го актива в состоянии равновесия должна складываться из двух компонент – платы за отложенное потребление \(\left( r_{f} \right)\) и рыночного вознаграждения за взятый на себя систематический риск i-го актива. Однако, уравнение (5.17) чаще записывают в форме (5.17а):
\(E{\left( r_{i} \right) = {r_{f} + \left( {E{\left( r_{M} \right) - r_{f}}} \right)}}\times\beta_{i},\) (5.17а)
где \(\beta_{i} = \frac{\mathit{Cov}{({r_{i},r_{M}})}}{\mathit{Var}{(r_{M})}}\) – коэффициент бета i-го актива.
Уравнение (5.17а) называют линией рынка ценных бумаг (security market line, SML), так как она описывает связь между доходностью и систематическим риском i-го актива в состоянии рыночного равновесия.
Если линия CML важна для определения состава рыночного портфеля и оптимального портфеля для инвестора, то линия SML важна для поиска неверно оцененных активов.
Как уже говорилось, активы, оцененные верно, должны лежать на линии SML. Активы, которые оценены неверно, будут лежать либо выше, либо ниже линии SML (см. рис. 5.11).
Рис.5.11. Использование линии рынка ценных бумаг
Можно математически доказать, что любой актив, входящий в рыночный портфель с ненулевым весом, будет лежать на прямой SML, если рынок находится в состоянии равновесия. Однако, не все активы оценены верно в конкретный момент времени, поэтому активы могут находиться выше или ниже линии SML. Так, актив S (см. рис. 5.11) должен иметь доходность \(r_{S}\), но фактически имеет доходность \(Фr_{S}\). Так как \(Ф{r_{S} > r_{S}}\), то цена актива S сейчас ниже, чем должна быть в состоянии равновесия, т.е. этот актив сейчас недооценен. Разница между фактической доходностью актива и доходностью актива в состоянии равновесия называется коэффициентом альфа актива \({\alpha_{i} = Ф}{r_{i} - r_{i}}\), и используется для управления портфелем (на его основе выясняют, какой актив следует исключить из портфеля, какой включить).
Таким образом, все активы, лежащие выше линии SML (с положительной альфой), представляют собой недооцененные активы, цена которых в ближайшее время будет повышаться. Активы, которые лежат ниже линии SML (с отрицательной альфой), являются переоцененными, и их цена будет снижаться.
Таким образом, если актив не лежит на линии SML, то его цена в ближайшее время будет меняться, и в зависимости от этого, его следует покупать или продавать. Если актив лежит на линии SML, то считается, что его цена находится в равновесии и меняться не будет.
Однако, из-за наличия налогов и комиссионных брокеру при совершении сделок не со всеми активами имеет смысл проводить сделки. Так, на рис. 5.11, с активами G и V не следует осуществлять сделок, так как их цена отличается от равновесной цены на величину меньшую, чем будет уплачено комиссий и налогов. Закрашенная область показывает зону, в которой не стоит с активами проводить сделки, даже если их цена отличается от равновесной.
Возникновение однофакторной модели восходит к попытке упростить модель Марковица, так как для ее решения требуется оценить \(n^{2}\) параметров (найти ковариационную матрицу), что в те годы ограничивало работу с большим количеством активов. Поэтому исследователи были заняты попыткой найти более простой путь для расчетов.
И решение было предложено Уильямом Шарпом в рыночной однофакторной модели, идеи которой были положены в основу модели оценки доходности долгосрочных активов (САРМ). Рыночная однофакторная модель основывается на следующих предпосылках:
- 1. В произвольный момент времени \(t\) доходность каждого актива связана с доходностью рыночного индекса зависимостью, которую можно записать в виде \({r_{t} = {A + B}}{r_{\mathit{Mt}} + \varepsilon_{t}}\).
- 2. На \(r_{t}\) влияют события двух типов: макро- и микро-события. К макрособытиям относятся такие события, которые оказывают воздействие на всю экономику в целом, например, решение ЦБ об изменении ставки рефинансирования или изменение темпа инфляции. К микрособытиям относят такие, которые оказывают влияние на конкретную компанию и в целом не оказывают влияния на остальные компании.
- 3. Выполняются следующие условия:
- \(\mathit{Cov}{\left( {\varepsilon_{i},\varepsilon_{j}} \right) = 0.}\) Это равенство показывает, что остаточные члены уравнения не коррелируют друг с другом, что является следствием того, что микрособытия влияют только на одну компанию и не влияют на другие.
- \(E{\left( \varepsilon_{i} \right) = 0.}\) Это равенство показывает, что в конкретном моменте времени отклонение может быть как положительным, так и отрицательным, однако, в среднем оно равно нулю.
- \(\mathit{Cov}{\left( {\varepsilon_{i},r_{M}} \right) = 0.}\) Это равенство показывает, что остатки не имеют тенденции повышаться на растущем рынке и уменьшаться на падающем рынке.
В результате выполнения этих предпосылок, ковариацию между доходностью двух акций можно записать \(\mathit{Cov}{\left( {r_{i},r_{j}} \right) = \beta_{i}}\times\beta_{j}\times\sigma_{M}^{2}\). Таким образом, чтобы найти ковариационную матрицу требуется оценить всего \(n + 1\) параметр, что существенно меньше, чем было в исходной модели Марковица. Собственно говоря, именно это соотношение и есть существенное упрощение модели Марковица, так как позволяет найти решение модели Марковица при меньшем количестве оцениваемых переменных.
По сути, эта модель задает простую однофакторную линейную регрессию или характеристическую линию ценной бумаги (characteristic line) – графическое представление зависимости «ожидаемой доходности ценной бумаги от ее коэффициента бета» на плоскости «доходность рынка – доходность бумаги» (см. рис.5.12).
Рис.5.12. Характеристическая линия ценной бумаги
На рис. 5.12 представлены две характеристические линии – для актива А и для актива В. Обратим внимание, что все характеристические линии пересекаются в одной точке, где рыночная доходность равна безрисковой ставке.
Коэффициент бета для рынка в целом равен единице, так как по определению \(\beta_{M} = \frac{\mathit{Cov}{({r_{M},r_{M}})}}{\sigma_{M}^{2}} = \frac{\sigma_{M}^{2}}{\sigma_{M}^{2}} = 1\). Используя определение коэффициента бета и свойства ковариации, можно получить еще одно выражение для рыночного коэффициента бета:
\(\beta_{M} = \frac{\mathit{Cov}{({r_{M},r_{M}})}}{\sigma_{M}^{2}} = \mathit{Cov}\)
Таким образом, рыночный коэффициент бета равен средневзвешенной сумме коэффициентов бета отдельных активов, составляющих рыночный портфель. Или средневзвешенная сумма коэффициентов бета отдельных активов, составляющих рыночный портфель равна единице.
Выполнение всех предпосылок рыночной модели позволяет представить риск отдельного актива в виде (5.18а), а риск портфеля – в виде (5.18б). Для вывода этих равенств используются определение дисперсии актива, определение дисперсии портфеля и предпосылки рыночной модели. Приведем эти формулы без вывода, чтобы не усложнять восприятие материала.
\({\sigma_{i}^{2} = \beta_{i}^{2}}{\sigma_{M}^{2} + \sigma_{\varepsilon}^{2}}.\) (5.18а)
\(\sigma_{\mathit{port}}^{2} = {\left( {\sum\limits_{j = 1}^{n}{w_{j}\beta_{j}}} \right){\sigma_{M}^{2} + {\sum\limits_{j = 1}^{n}{w_{j}^{2}\sigma_{\varepsilon_{j}}^{2}.}}}}^{❑}\) (5.18б)
Модель САРМ (Capital asset pricing model, Си-эй-пи-эм, Ка-ПМ)
\({R = {R_{F} + \beta}}{\left( {R_{M} - R_{F}} \right) + b_{s}}{\mathit{SMB} + b_{v}}{\mathit{HML} + \varepsilon}.\)
К самой модели САРМ в настоящий момент довольно много нареканий: некоторые несущественны и могут быть легко устранены, а другие — существенные и неустранимы. Давайте попробуем обсудить эти недостатки, чтобы понимать, почему так много модификаций у модели САРМ, и почему, несмотря на все эти недостатки, она по-прежнему сейчас самая востребованная.
Во-первых, модель использует исторические данные для предсказания будущего, а на финансовом рынке давно сложилось понимание, что история не гарантирует повторения. При этом коэффициент бета, который отождествляется с систематическим риском, является константой, хотя разные риски приводят к тому, что трансформация рынков однозначно должна вести к изменению рыночного риска. Сразу скажем, что в этом направлении сейчас многие исследователей и работают: обработка больших данных, коррекция коэффициентов «на лету».
Во-вторых, мерой измерения риска в модели подразумевается дисперсия, которая двусторонняя, обычно нормально распределенная. Тем не менее на рынке полно инвесторов, которые совершенно по-разному воспринимают потери и доходы, и, для которых симметричные нормальные распределения на самом деле не работают. (отсылка к поведенческим финансам). Таким образом, и сама природа риска не всегда симметрична, и метрики, которыми мы измеряем риск не должны быть симметричными. На протяжении всего периода существования модели существуют научные работы, тестирующие предсказательную силу этой модели, и приходящие к выводам, что модель САРМ в чистом виде имеет систематические отклонения от реальных значений, следовательно, она явно не учитывает возможный спектр дополнительных факторов, объясняющих величину доходности (цену) актива.
В-третьих, одной из предпосылок модели является одинаковый доступ ко всей информации, причем как физический, так и семантический, т.е. любой инвестор не только может физически прочитать что-то, но и правильно понять то, что прочитал и сделать правильные выводы. Всё это подразумевает гомогенность ожиданий инвесторов, но это очевидно не так: все имеют разный уровень доступа к информации, не все способные одинаково хорошо и полно её понять, не все могут (да и не должны) сделать правильные выводы из неё. Более того, разным инвесторам для разных целей могут быть интересны разные метрики актива, а не только риск и доходность. Более того, у каждого инвестора свой горизонт планирования: у кого-то год, у кого-то десять лет — это означает, что эти инвесторы как минимум будут иметь разные ставки безрисковой доходности, закладываемых в модели.
В-четвертых, предпосылка о совершенных рынках капитала на деле — явное упрощение: существуют налоги, пошлины, комиссии за операции, по активам бывают промежуточные выплаты (например, дивиденды). Бесконечная делимость активов — тоже под вопросом, хотя с появлением ETF-ов это стало легко решаемой проблемой.
В-пятых, рыночный портфель состоит из всех активов, взвешенных по их рыночной капитализации, хотя очевидно включение или невключение активов в портфель часто может быть продиктовано функцией инвестора, которую он пытается максимизировать в рамках мышления «доходность — риск». А с учетом отдельных новомодных тенденций про социальное инвестирование — ещё и профилем компании-эмитента, сферой её деятельности, поступками её руководства.
В-шестых, рыночный портфель должен в теории состоять из всех возможных активов, которые можно купить и продать: акции, облигации, деривативы, недвижимость, предметы роскоши, биржевые товары и многое другое. При этом, очевидно, этот показатель ненаблюдаем, хотя специалисты вместо рыночного портфеля используют прокси: индексы с рынка акций. На рисунке 1 можно примерно сравнить «весь рыночный портфель» и то прокси, которое вместо него используют. Согласитесь, что очень странное прокси, не покрывающее практически ничего, кроме части рынка акций — не самый большой кусок рыночного портфеля.
Рисунок 1. Довести до ума рисунок
Ненаблюдаемость реального рыночного портфеля и слишком мелкое прокси в виде рыночного индекса отдельного класса активов делает невозможным тестирование модели САРМ на реальных данных.
3.5.2 Модель АРТ
Данная теория и её ключевое уравнение были предложены в 1976 году С.Россом как альтернатива модели САРМ. Основное отличие от других моделей в том, что рыночные механизмы за счёт изменения цен моментально устраняют возможности арбитража, когда одинаковые активы должны стоить одинаково. Кроме того, данная модель базируется на меньшем количестве предпосылок и ограничений, чем модель САРМ.
Теория арбитражного ценообразования (arbitrage pricing theory (APT)) является, как и модель САРМ, общей теорией ценообразования активов, исходящей из предположения, что ожидаемую доходность финансовых активов можно смоделировать в виде линейной функции различных макроэкономических факторов и рыночных индикаторов.
Рассчитанная по модели APT доходность актива используется для корректного определения цены актива — текущая цена актива должна быть равна будущей цене актива в конце ожидаемого периода, дисконтированной с использованием ставки доходности, определенной по модели APT. Если текущая цена отличается от предсказываемой цены, то механизмы арбитража должны устранить разность цен.
Данная модель с эконометрической точки зрения — модель множественной линейной регрессии, а её уравнение выглядит так:
\({R_{j} = {\alpha_{j} + \beta_{j1}}}{F_{1} + \beta_{j2}}{F_{2} + \ldots + \beta_{j{({n - 1})}}}{F_{n - 1} + \beta_{\mathit{jn}}}{F_{n} + \varepsilon_{j}},\)
где \(R_{j}\) — доходность \(j\)-го актива; \(F_{1}\) — доходность \(i\)-го фактора; \(\beta_{\mathit{ji}}\) — коэффициент чувствительности \(j\)-го актива к \(i\)-му фактору; \(\varepsilon_{j}\) — случайная ошибка для доходности \(j\)-го актива.
Основная проблема модели АРТ в том, что она никоим образом не указывает, сколько (кроме общего требования, что количество факторов не превосходит количество активов на рынке) и каких именно факторов надо включать в модель. И хотя модель АРТ позиционировалась как «убийца» модели САРМ, но в целом она даже не смогла потеснить модель САРМ.
В настоящий момент научная мысль движется в направлении, заданным теорией арбитражного ценообразования, но факторы становятся всё более сложными и часто ненаблюдаемыми.
3.5.3 Портфели, нечувствительные к отдельным факторам
Если диверсификация — это техника, направленная на уменьшение риска за счёт распределения вложений в наименее скоррелированные активы, то использование эконометрических моделей (как выше рассмотренные модели САРМ и АРТ) позволяет учесть при формировании портфелей иные факторы, которые не всегда могут быть наблюдаемы в отличие от корреляций доходностей.
С точки зрения эконометрики модель САРМ и модель АРТ — это модели линейной регрессии и множественной линейной регрессии. Со статистической точки зрения, чем больше объясняющих факторов, тем большую долю дисперсии изучаемой переменной мы можем объяснить, следовательно, чем больше факторов, тем лучше. Это направило исследователей на поиски дополнительных объясняющих переменных.
Юджин Фама и Кеннет Френч обнаружили, что если рассматривать два разных класса активов: компании с малой и с большой капитализацией и компании с высоким мультипликатором B/P (акции стоимости) и с низким (акции роста), то разница в доходностях таких компаний оказывается значимой, если её брать в качестве дополнительной объясняющей переменной в уравнении классической модели САРМ.
Соответственно первый фактор они назвали SMB (Small [market capitalization] Minus Big), а второй — HML (High [book-to-market ratio] Minus Low). В 1992 они опубликовали статью, и так на свет появилась одна из самых популярных модификаций модели САРМ — трёхфакторная модель Фамы-Френча (модель 3FF), которая может быть записана как
\({R = {R_{F} + \beta}}{\left( {R_{M} - R_{F}} \right) + b_{s}}{\mathit{SMB} + b_{v}}{\mathit{HML} + \varepsilon}.\)
В 1997 году была предложена модификация 3FF модели — четырёхфакторная модель Кархарта (модель 4FFС), в которой добавлен ещё один фактор — MOM, инерционный фактор, показывающий статистически значимый факт, что если в прошлом периоде доходность акции росла на отрезке 3-12 месяцев, то она скорее всего будет и расти и дальше. Таким образом, значение фактора МОМ — это разница в средней доходности портфеля, составленного из акций, которые росли за последние 3-12 месяцев, и средней доходности портфеля, составленного из акций, которые падали за этот же период.
\({R = {R_{F} + \beta}}{\left( {R_{M} - R_{F}} \right) + b_{s}}{\mathit{SMB} + b_{v}}{\mathit{HML} + b_{m}}{\mathit{MOM} + \varepsilon}.\)
В 2015 году Юджин Фама и Кеннет Френч добавили в модель 3FF ещё два фактора, получив пятифакторную модель Фамы-Френча (модель 5FF). Им удалось выделить ещё два фактора по аналогии с фактором HML: фактор прибыльности (RMW), равный разности в доходности акций компаний с высокой (robust, high) и низкой (weak, low) операционной доходностью, а также инвестиционный фактор (CMA), показывающий разницу в доходности акций компаний, которые придерживаются консервативной (invest conservatively) и агрессивной (invest aggressively) инвестиционной политики.
\({R = {R_{F} + \beta}}{\left( {R_{M} - R_{F}} \right) + b_{s}}{\mathit{SMB} + b_{v}}{\mathit{HML} + b_{r}}{\mathit{RMW} + b_{c}}{\mathit{CMA} + \varepsilon}.\)
Имея в своём распоряжении оценённые уравнения подобного вида, инвесторы понимают, от каких факторов зависит доходность отдельных активов и могут это использовать, чтобы формировать портфели, имеющие заданную чувствительность к конкретному фактору (в том числе нулевую). Рассмотрим общий подход к формированию подобных портфелей.
Допустим, что у нас всего только два актива: обыкновенные акции компаний А и В, для доходностей которых получены оценки к двум важным факторам: инфляции (переменная INFL) и к цене на нефть (переменная OIL) в рамках модели множественной линейной регрессии методом МНК.
\( \begin{cases} {R_{A} = {\alpha_{A} + \beta_{A}}}{\mathit{INFL} + \gamma_{A}}\mathit{OIL}; \\ {R_{B} = {\alpha_{B} + \beta_{B}}}{\mathit{INFL} + \gamma_{B}}\mathit{OIL}. \end{cases} \)
При этом интерпретация коэффициентов \(\beta_{i}\) и \(\gamma_{i}\) — насколько изменится доходность \(i\)-го актива при изменении факторов на единицу. Другими словами, чем больше значения этих коэффициентов, тем сильнее меняется доходность актива, или мы можем говорить о чувствительности доходности актива к данному фактору.
Предположим теперь, что мы хотим сформировать портфель из акций компаний А и В, который был бы нечувствителен к изменению переменной INFL, отражающей инфляцию. Пусть в акции компании А вложено \(w_{A}\), а в акции компании В — \(w_{B}\), следовательно \({R_{P} = w_{A}}{R_{A} + w_{B}}R_{B}\), где \({w_{A} + w_{B}} = 1\). Тогда доходность сформированного портфеля \(R_{P}\) будет иметь чувствительность к переменной INLF:
\({R_{P} = w_{A}}{R_{A} + w_{B}}{R_{B} = w_{A}}{\left( {{\alpha_{A} + \beta_{A}}{\mathit{INFL} + \gamma_{A}}\mathit{OIL}} \right) + w_{B}}\left( {{\alpha_{B} + \beta_{B}}{\mathit{INFL} + \gamma_{B}}\mathit{OIL}} \right).\)
Раскроем скобки и сгруппируем коэффициенты при переменных, получим:
\({R_{P} = w_{A}}{\alpha_{A} + w_{B}}{\alpha_{B} + \left( {w_{A}{\beta_{A} + w_{B}}\beta_{B}} \right)}{\mathit{INFL} + \left( {w_{A}{\gamma_{A} + w_{B}}\mathit{\beta\gamma}_{B}} \right)}\mathit{OIL}.\)
Таким образом, коэффициент \(\left( {w_{A}{\beta_{A} + w_{B}}\beta_{B}} \right)\) при переменной INFL отвечает за чувствительность доходности портфеля к этому фактору. Если мы хотим, чтобы портфель был нечувствителен к нему, то необходимо, чтобы выполнялось равенство
\(w_{A}{\beta_{A} + w_{B}}{\beta_{B} = 0.}\)
Или с учётом, что \(w_{B} = {1 - w_{A}}\):
\(w_{A}{\beta_{A} + \beta_{B} - w_{A}}{\beta_{B} = 0},\)
\({w_{A}^{} = \frac{{- \beta}_{B}}{\beta_{A} - \beta_{B}}}.\)
Если же мы хотим, чтобы портфель был нечувствителен одновременно к обоим факторам, то необходимо одновременное выполнение условий:
\(\begin{cases} w_{A}{\beta_{A} + w_{B}}{\beta_{B} = 0}; \\ w_{A}{\gamma_{A} + w_{B}}{\gamma_{B} = 0.} \end{cases} \)
Данная система может иметь одно решение, много решений, а может и не иметь решений совсем. В последнем случае это означает, что нельзя сформировать портфель из этих двух активов, который был бы нечувствителен одновременно сразу к обоим факторам.
Разберём пример на реальных данных. Имеются оценки доходности компании Газпром и компании Норникель в зависимости от цены на нефть марки WTI (долларов США за баррель) и курса доллара США к рублю USD (рублей за один доллар США):
\(\begin{cases}{R_{\mathit{Газпром}} = 0},{5 + 1},4{\mathit{WTI} - 0},8\mathit{USD}; \\ {R_{\mathit{Норникель}} = 0},{4 - 0},8{\mathit{WTI} + 2},2\mathit{USD}. \end{cases}\)
Попробуем сформировать портфели из этих акций, нечувствительный к WTI, нечувствительный к USD, нечувствительный ни к WTI, ни к USD. Для удобства сведем это в табличку:
|
нечувствительный к WTI |
нечувствительный к USD |
Нечувствительный ни к WTI, ни к USD |
|
| Доля Газпрома в портфеле (актив А), \(w_{A}\) | 24,24% | 73,73% | Нет решений |
| Доля Норникеля в портфеле (актив В), \(w_{B}\) | 75,76% | 26,27% | Нет решений |
| Решаемое уравнение (система уравнений) при условии, что \({w_{A} + w_{B}} = 1\) | \( \begin{cases} 1,4{w_{A} - 0},8{w_{B} = 0} \\ {{w_{A} + w_{B}} = 1} \end{cases}\) | \( \begin{cases} { - 0},8{w_{A} + 2},2{w_{B} = 0} \\ {{w_{A} + w_{B}} = 1} \end{cases}\) | \( \begin{cases} {{1,4w}_{A} - 0}{{,8w}_{B} = 0} \\ {{{{- 0},8w}_{A} + {2,2w}_{B}} = 0 \\}{{w_{A} + w_{B}} = 1}\end{cases}\) |
Таким образом, из акций этих двух компаний мы можем сформировать портфели, нечувствительные к изменению в цене барреля нефти марки WTI или к курсу доллара США к рублю, но не сможем сформировать портфель, нечувствительный одновременно к обоим факторам.
В любом случае, подобная техника формирования портфеля может быть использована для защиты от неблагоприятного изменения ключевого фактора для инвестора. Более подробно о формировании портфелей, измерении их эффективности можно найти в продвинутых учебниках по портфельной теории.