Все вышеизложенные рассуждения останутся верны, если активов для создания портфеля будет не два, а больше. Более того, внимательный читатель уже заметил, что в предыдущем параграфе все необходимые формулы для портфеля из двух активов выводились из формул для портфеля из n активов. Для расчета параметров портфеля, состоящего из n активов, используют формулы (5.4в) и (5.7).
Построим возможные портфели из четырех активов, корреляция между доходностями которых равна нулю, а остальные параметры приведены ниже:
Для портфеля из n активов формула (5.6) упрощается до вида (5.7):
\(\text{Var}\left( r_{\text{port}} \right) = w_{i}w_{j}Cov(r_{i},r_{j}). \qquad \text{(5.7)} \)
Для n активов можно составить ковариационную матрицу (5.8),
| Акция | 1 | 2 | … | n | ||
| 1 | \(Cov(r_{1},r_{1})\) | \(Cov(r_{1},r_{2})\) | … | \(Cov(r_{1},r_{n})\) | ||
| 2 | \(Cov(r_{2},r_{1})\) | \(Cov(r_{2},r_{2})\) | … | \(Cov(r_{2},r_{n})\) | (5.8) | |
| … | … | … | … | … | ||
| n | \(Cov(r_{n},r_{1})\) | \(Cov(r_{n},r_{2})\) | … | \(Cov(r_{n},r_{n})\) |
Ковариационная матрица (5.8) обладает следующими свойствами:
- на главной диагонали матрицы находятся дисперсии активов (свойство 5 ковариации);
- матрица симметрична (свойство 1 ковариации) относительно главной диагонали, т. е. для того, чтобы полностью найти ковариационную матрицу достаточно оценить только \(\frac{n^{2} + n}{2}\) показателей, а не \(n^{2}.\)
Если к ковариационной матрице (5.8) добавить строку и столбец с весами соответствующих активов в портфеле, то получится расширенная ковариационная матрица (5.9):
| \(w_{1}\) | \(w_{2}\) | … | \(w_{n}\) | |||
| \(w_{1}\) | \(Var(r_{1})\) | \(Cov(r_{1},r_{2})\) | … | \(Cov(r_{1},r_{n})\) | ||
| \(w_{2}\) | \(Cov(r_{2},r_{1})\) | \(Var(r_{2})\) | … | \(Cov(r_{2},r_{n})\) | ||
| … | … | … | … | … | (5.9) | |
| \(w_{n}\) | \(Cov(r_{n},r_{1})\) | \(Cov(r_{n},r_{2})\) | … | \(Var(r_{n})\) |
В итоге формула (5.7) становится понятной: необходимо просуммировать все произведения, представляющие собой элемент \(\left\{ c_{\text{ij}} \right\}\) ковариационной матрицы (5.9), умноженный на веса соответствующей строки и столбца матрицы (5.9).
Рассмотрим два актива со следующими характеристиками: актив А с ожидаемой доходностью 10% и стандартным отклонением 5%, актив В с ожидаемой доходностью 4% и стандартным отклонением 10%. Сформируем из этих активов портфель, параметры которого будут удовлетворять следующей системе (5.10) при \(n = 2\):
\( \begin{cases} w_{i} = 1; \\ E\left( r_{\text{port}} \right) = w_{i}E\left( r_{i} \right); \\ \text{Var}\left( r_{\text{port}} \right) = w_{i}w_{j}Cov(r_{i},r_{j}) \end{cases}. \qquad \text{(5.10)} \)
Выразим из первого уравнения системы (5.10), например, \(w_{A} = 1 - w_{B}\), и подставим это во второе и третье уравнение этой же системы. Для случая двух активов в результате получатся уравнения (5.10а) и (5.10б):
\(E\left( r_{\text{port}} \right) = w_{A}E\left( r_{A} \right) + \left( 1 - w_{А} \right)E\left( r_{B} \right). \qquad \text{(5.10а)}\)
\(\text{Var}\left( r_{\text{port}} \right) = w_{A}^{2}\text{Var}\left( r_{A} \right) + \left( 1 - w_{A} \right)^{2}\text{Var}\left( r_{B} \right) + 2w_{A}\left( 1 - w_{A} \right)Cov(r_{A},r_{B}). \qquad \text{(5.10б)}\)
Так, выразив \(w_{A}\) из (5.10б) и подставив полученное выражение в (5.10а), получим в явном виде зависимость \(E\left( r_{\text{port}} \right)\) от \(\text{Var}\left( r_{\text{port}} \right)\) или от \(\sigma_{\text{port}}\).
На рис. 5.5 приведен эскиз подобной зависимости для рассматриваемых активов А и В. На рисунке точками А и В отмечены чистые активы, т. е. когда портфель полностью состоит из одного актива.
3.3.1 Допустимое множество и эффективная граница
На рис. 5.8 видно, что принцип формирования портфелей не поменялся – между любыми двумя рисковыми активами можно сформировать портфель. Например, портфель Z состоит только из активов A и X, а портфель М может быть составлен из чистого актива G и портфеля Z. Портфель M может быть использован для формирования новых портфелей, например, портфеля J. Таким образом, допустимое множество портфелей будет представлять собой уже не линию (как для двух активов), а некую область, напоминающую по своей форме осьминога или летящую пулю с воздушными завихрениями вокруг нее (закрашенная область на рис. 5.8). Чистые активы могут располагаться где угодно: как в узлах фигуры (например, точки А, X, G, C), так и быть внутри области (например, точка М могла бы быть также отдельным активом).
Впрочем, инвестору не интересны все возможные (допустимые) портфели, некоторые из них он никогда не выберет. Различают два понятия:
Допустимое множество (feasible set) – множество портфелей, которые могут быть сформированы из начального набора активов.
Эффективное множество (effective set) – множество портфелей, которые при заданной доходности обладают наименьшим риском или при заданном риске обладают наибольшей доходностью. Часто это множество также называют множеством минимальной дисперсии (minimum variance set, MVS), подчеркивая, что все портфели из этого множества для заданной доходности имеют минимально возможный риск. Эффективное множество является подмножеством допустимого множества.
Только эффективные портфели будут выбираться инвестором. Например, портфель М никогда не будет выбран инвестором, так как у него такой же риск, как и у портфеля V, но меньше доходность. Также у портфеля М одинаковая доходность с портфелем В, но у портфеля В меньше риск. Инвестор, избегающий риска, будет предпочитать портфели V и В портфелю М.
рисунок Х. Кривые безразличия инвестора (перерисовать в левом столбце сделать кривые безразличия, а в правом градиент и величину требуемой доходности)
Вставка 5.3. Свойства эффективного множества портфелей для случая, когда короткие продажи разрешены
| Свойство 1 | Эффективное множество имеет гиперболическую форму в координатах «доходность-стандартное отклонение» и параболическую форму в координатах «доходность-дисперсия» |
| Свойство 2 | Все акции имеют ненулевые веса в большинстве портфелей эффективного множества |
| Свойство 3 | Комбинация двух и более портфелей, принадлежащих эффективному множеству, есть портфель, принадлежащий эффективному множеству |
| Свойство 4 | Если существует безрисковый актив, который можно покупать и продавать, то можно отделить проблему выбора структуры рискового портфеля от проблемы выбора количества принимаемого риска |
| Свойство 5 | Для генеральной совокупности активов взаимосвязь между коэффициентами бета активов и их ожидаемой доходностью будет линейной и статистически значимой тогда и только тогда, когда коэффициент бета рассчитывается, основываясь на индексном портфеле, принадлежащем эффективному множеству для данной совокупности активов |
| Свойство 6 | Если коэффициенты бета рассчитываются, основываясь на портфеле внутри эффективного множества для данной совокупности активов, то взаимосвязь между коэффициентами бета активов и их ожидаемой доходностью перестает быть линейной |
| Свойство 7 | Взаимосвязь между коэффициентами бета, рассчитанных на основе не принадлежащего эффективному множеству индексного портфеля, и ожидаемой доходностью любых портфелей с минимальной дисперсией является линейной и статистически значимой |
| Свойство 8 | Для любого индексного портфеля, принадлежащему эффективному множеству, существуют другие портфели с нулевой корреляцией по отношению к выбранному индексному портфелю. В координатах «доходность-стандартное отклонение» ожидаемая (средняя) доходность для всех некоррелированных портфелей, задается точкой пересечения касательной к индексному портфелю с осью доходности |
Свойства эффективного множества портфелей для случая, когда короткие продажи запрещены
| Свойство 9 | Большинство акций имеют нулевые веса в портфелях, принадлежащих эффективному множеству |
| Свойство 10 | Количество акций в портфеле из эффективного множества увеличивается по мере уменьшения дисперсий этих портфелей |
| Свойство 11 | Портфели, являющиеся комбинацией портфелей эффективного множества, могут не принадлежать эффективному множеству |
| Свойство 12 | Если в качестве индексного портфеля выбирается портфель из эффективного множества, то существует линейная статистически значимая связь между ожидаемой доходностью и коэффициентами бета для всех акций, которые имеют ненулевой вес в составе этого индексного портфеля |
Также существует только один портфель, у которого среди всех возможных портфелей из данных активов самый низкий риск. На рис. 5.8 это портфель F, такой портфель часто называют портфелем с минимальной дисперсией (global minimum variance portfolio, GMV). Как это ни странно, но такой портфель почти никогда не будет выбран для инвестирования ни одним инвестором.
3.3.2 Выбор оптимального для инвестора портфеля
Мы уже видели, что знания об ожидаемой доходности актива и ее дисперсии дают полную картину относительно актива и его риска. Таким образом, знание только этих двух параметров актива оказывается достаточным для выбора структуры инвестиционного портфеля с заданными предпочтениями по риску.
Задача выбора портфеля в модели Марковица определяется системой (5.15):
\( \begin{cases} U\left( E(r);\sigma_{r}^{2} \right) = E(r) - A \times \sigma_{r}^{2} \rightarrow max; \\ w_{i} = 1; \\ E(r) = w_{i}E\left( r_{i} \right); \\ \sigma_{r}^{2} = w_{i}w_{j}Cov(r_{i},r_{j}). \end{cases} \qquad \text{(5.15)} \)
Решением системы (5.15) будет вектор \(\left( w_{1},w_{2},\ldots,w_{n} \right)\) – вектор весов соответствующих активов в портфеле. Если задача выбора осуществляется в условиях невозможности коротких продаж, то к системе (5.15) добавляется условие \(w_{i} \geq 0\).
Пример 5.3. В двухпериодной экономике (в которой нет возможностей для коротких продаж) обращаются два актива со следующими характеристиками: ожидаемые доходности r1 = 10%, r2 = 25%, стандартные отклонения доходностей σ1 = 10%, σ2 = 20%, коэффициент корреляции между доходностями активов 1 и 2 равен нулю. Какой портфель сформирует инвестор с функцией полезности \(U = r_{P} - \frac{1}{2}\sigma_{P}^{2}\)? (Определить долю вложений в каждый из активов).
Решение. Подставляя имеющиеся данные в функцию полезности, получаем следующую задачу (\(x\) – доля первого актива в портфеле):
\(10x + 25(1 - x) - \frac{1}{2}\left\lbrack 100x^{2} + 400(1 - x)^{2} \right\rbrack \rightarrow \ \)
Приравнивая первую производную этой функции по \(x\) нулю, и решая полученное уравнение относительно \(x\), получаем:
\(x^{*} = \frac{385}{500} = 0,77.\)
Таким образом, оптимальный для инвестора портфель содержит 77% первого актива и 23% второго.
Для квадратичной функции полезности кривые безразличия в осях «доходность-стандартное отклонение» выглядят как параболы, ветви которых направлены вверх. Степень выпуклости парабол зависят от степени неприятия инвестором риска, чем он выше, тем круче параболы (см. рис. 5.9). Например, инвестор с функцией полезности U2 сильнее избегает риска, чем инвестор с функцией полезности U1.
Рис.5.9. Выбор портфеля инвестором
Инвестор выбирает тот портфель, где кривая безразличия касается допустимого множества. Также из рис. 5.9 видно, что инвестор, избегающий риска, в результате выбирает портфель (точка F) очень близкий к портфелю с минимальной дисперсией. Портфель F характеризуется невысокой доходностью и низким риском. Инвестор со средней степенью избегания риска выберет портфель V, который характеризуется более высоким риском и более высокой доходностью. Инвестору с низкой степенью избегания риска портфель F будет неинтересен, так как он лежит на кривой безразличия, соответствующей меньшему значению его функции полезности \({U''}_{1} < U_{1}\). Полезность на уровне \({U'}_{1}\) инвестором не может быть достигнута, так как отсутствуют портфели, которые он мог бы для этого использовать (другими словами нет точек пересечения между кривой безразличия и допустимым множеством портфелей).