Инвестиционным портфелем (investment portfolio) называется совокупность реальных или финансовых вложений инвестора (частного лица или компании). Однако, в разговорной речи часто говорят просто портфель, мы также будем говорить «портфель», имея ввиду инвестиционный портфель. Рассмотрим сначала вариант построения портфеля из двух рисковых активов, поскольку это позволит обсудить важные характеристики портфелей и процесса его построения без излишней сложности.
Как уже было показано, цена и доходность отдельного актива зависят от того, какой сценарий развития события реализовался. А как рассчитать цену и доходность портфеля активов? Допустим, что инвестор вложил 1000 рублей в акции (стал владельцем инвестиционного портфеля), точнее 400 рублей в акции А, а 600 рублей вложил в акции Б. Акции А через период подорожали на 10% (\(r_{A} = 0,1\)), а акции Б подорожали на 6% \(\left( r_{Б} = 0,06 \right)\). Стоимость портфеля инвестора выросла на 76 рублей (40 рублей от акций А и 36 рублей от акций Б), что может быть найдено как:
\(76 = {400 \times 0,1\underbrace{}}_{40} + {600 \times 0,06\underbrace{}}_{36}.\)
Таким образом, доходность портфеля составила 7,6%:
\(\frac{76}{1000} = \frac{400 \times 0,1}{1000} + \frac{600 \times 0,06}{1000} = \ \frac{400}{1000} \times 0,1 + \frac{600}{1000} \times 0,06,\)
или в буквенных обозначениях:
\(r_{\text{port}} = \ w_{A} \times r_{A} + w_{Б} \times r_{Б}, \qquad \text{(xx)}\)
где \(w_{i}\) — вес i-го актива (отношение средств, вложенных в \(i\)-ый актив по отношению к общей величине вложенных средств).
Следовательно, для каждого реализованного сценария доходность портфеля равна средневзвешенной доходности каждого из активов, входящих в портфель, где вес актива определяется как отношение денег, затраченных на покупку актива, к общей сумме собственных средств, на которые были приобретены все активы портфеля.
3.2.1 Допустимое множество и эффективная граница
Начнем с определения ожидаемой доходности портфеля. Известно, что доходность любого портфеля в любом i-ом состоянии мира описывается формулой (хх):
\(r_{i}^{\text{port}} = w_{A}r_{i}^{A} + w_{B}r_{i}^{B}. \qquad \text{(xx)}\)
где \(r_{i}^{\text{port}}\) — доходность портфеля в \(i\)-ом состоянии мира, \(r_{i}^{A}\) — доходность актива А в \(i\)-ом состоянии мира, \(r_{i}^{B}\) — доходность актива B в \(i\)-ом состоянии мира, \(w_{j}\) — вес в портфеле \(j\)-го актива.
Ожидаемая доходность актива рассчитывается как математическое ожидание его доходности:
\(E\left( r_{\text{port}} \right) = h_{i}r_{i}^{\text{port}}, \qquad \text{(xx)}\)
где \(h_{i}\) – вероятность наступления i-го состояния мира, остальное — как прежде.
Подставляя (хх) в (хх), получаем следующее:
\(E\left( r_{\text{port}} \right) = h_{i}r_{i}^{\text{port}} = h_{i}\left( w_{A}r_{i}^{A} + w_{B}r_{i}^{B} \right)=\)
\(=w_{A}h_{i}r_{i}^{A} + w_{B}h_{i}r_{i}^{B} =\)
\(= w_{A}E\left( r_{A} \right) + w_{B}E\left( r_{B} \right).\)
Обобщая, ожидаемая доходность портфеля из n активов будет равна средневзвешенной из ожидаемых доходностей активов, входящих в состав этого портфеля (хх):
\(E\left( r_{\text{port}} \right) = w_{i}E\left( r_{i} \right). \qquad \text{(хх)}\)
Статистическое определение дисперсии портфеля описывается равенством (хх):
\(\text{Var}\left( r_{\text{port}} \right) = h_{i}\left( r_{i}^{\text{port}} - E\left( r_{\text{port}} \right) \right)^{2}. \qquad \text{(хх)}\)
Подставив в (хх) равенства (хх) и (хх), получаем:
\(\text{Var}\left( r_{\text{port}} \right) = h_{i}\left( r_{i}^{\text{port}} - E\left( r_{\text{port}} \right) \right)^{2} =\)
\(=h_{i}\left( w_{A}r_{i}^{A} + w_{B}r_{i}^{B} - w_{A}E\left( r_{A} \right) - w_{B}E\left( r_{B} \right) \right)^{2} =\)
\(= h_{i}\left( {w_{A}\left( r_{i}^{A} - E\left( r_{A} \right) \right)\underbrace{}}_{слагаемое\ 1} + {w_{B}\left( r_{i}^{B} - E\left( r_{B} \right) \right)\underbrace{}}_{слагаемое\ 2} \right)^{2} =\)
\(=\left\{ перемножаем\ слагаемые\ 1\ и\ 2\ \right\} =\)
\(= w_{A}^{2}h_{i}\left( r_{i}^{A} - E\left( r_{A} \right) \right)^{2} + w_{B}^{2}h_{i}\left( r_{i}^{B} - E\left( r_{B} \right) \right)^{2} + 2w_{A}w_{B}h_{i}\left( r_{i}^{A} - E\left( r_{A} \right) \right)\left( r_{i}^{B} - E\left( r_{B} \right) \right).\)
В результате, можно заметить, что множители в первых двух слагаемых, стоящие под знаком суммы, представляют собой дисперсии отдельных активов, а множитель в третьем слагаемом под знаком суммы – их ковариацию. Таким образом, для портфеля из двух активов формула дисперсии портфеля примет вид (хх):
\(\text{Var}\left( r_{\text{port}} \right) = w_{A}^{2} \times \text{Var}\left( r_{A} \right) + w_{B}^{2} \times \text{Var}\left( r_{B} \right) + 2 \times w_{A} \times w_{B} \times Cov(r_{A},r_{B}). \qquad \text{(хх)}\)
Рассмотрим следующие портфели из активов А и В, параметры портфелей рассчитаны по формулам (хх), (хх).
| Портфель | \(w_{A}\) | \(w_{B}\) | \(E\left( r_{\text{port}} \right)\),% | \(\text{Var}\left( r_{\text{port}} \right),\%^{2}\) | \(\sigma_{r_{\text{port}}}\), % |
|---|---|---|---|---|---|
| С | 1,5 | -0,5 | 13 | 81 | 9 |
| A | 1 | 0 | 10 | 25 | 5 |
| E | 0,75 | 0,25 | 8,5 | 20,25 | 4,5 |
| B | 0 | 1 | 5 | 100 | 10 |
| D | -0,5 | 1,5 | 1 | 231,04 | 15,2 |
При формировании портфеля из активов возможны две ситуации: формирование ведется только на собственные деньги или формирование ведется с помощью коротких продаж и собственных денег. Так, на рис. 5.5 на участке АВ находятся портфели, сформированные только на собственные деньги, на участке BD и ниже находятся портфели, сформированные с помощью короткой продажи актива А, а на участке AC и выше находятся портфели, сформированные с помощью короткой продажи актива В.
Продажей без покрытия или короткой продажей (short selling) называется продажа активов, которыми торговец на момент продажи не владеет. Такая сделка возможна, но только, если условия контракта предусматривают его исполнение через некоторое время. Этот механизм обеспечивает возможность получать прибыль при снижении цены на проданный «вкороткую» актив.
Например, аналитики компании ожидают, что обыкновенные акции компании А подешевеют в течение недели с нынешних 100 рублей за акцию до 75 рублей за акцию. Тогда выгодно заключить контракт на продажу акций компании А по существующей сейчас цене, но с поставкой акций через неделю или более. Если цена акций действительно упадет, то, купив акции (сделка с немедленной поставкой) после падения цены по 75 рублей за штуку, получаем прибыль в размере 100-75=25 рублей с одной акции, закрывая первую сделку за счет приобретенных акций по второй сделке. Однако, операция короткой продажи жестко регулируется в части активов, которые можно продавать по этой схеме, а также в части участников рынка, которым эти операции доступны.
С точки зрения математики отсутствие коротких продаж при формировании портфеля означает, что веса любого актива в составе портфеля неотрицательны, т. е. \(w_{i} \geq 0\). Если же короткие продажи возможны, то веса могут быть любыми, в том числе и отрицательными. Отрицательный вес означает продажу данного актива вкороткую.
Напомним свойства ковариации, которые активно используются в портфельной теории и в расчётах, связанными с портфелями. Допустим, А, В, С — случайные величины, \(\omega\) — константа, тогда выполняются следующие равенства:
- \(\text{Cov}(A,B) = Cov(B,A).\)
- \(\text{Cov}(A \pm B,C) = Cov(A,C) \pm Cov(B,C).\)
- \(\text{Cov}(\omega A,B) = \omega Cov(B,A).\)
- \(\text{Cov}(\omega,A) = 0.\)
- \(\text{Cov}(A,A) = Var(A).\)
- \(\text{Cov}(A,B) = Corr(A,B) \times \sigma_{A} \times \sigma_{B}.\)
- \(\text{Cov}(A,B) = - \times = \frac{1}{n}A_{i}B_{i} - \times .\)
Последнее свойство, по сути, иная формула расчета ковариации, когда величины выборки равновероятны, что как раз характерно для биржевой информации.
3.2.2 Факторы эффективности диверсификации
Диверсификацией (diversification) применительно к портфельной теории называется уменьшение риска путем формирования портфеля активов или, что тоже самое, распределение средств в несколько разных активов. Наиболее точно смысл диверсификации передает русская пословица «Не кладите все яйца в одну корзину».
Распределяя денежные средства между различными активами разных классов, отраслей и т. д., инвестор может существенно сократить свои риски. Рассмотрим диверсификацию применительно к портфелю из двух активов (см. рис. 5.6).
рисунок Х. Кривые безразличия инвестора (перерисовать в левом столбце сделать кривые безразличия, а в правом градиент и величину требуемой доходности)
С точки зрения функции плотности симметричного распределения, чем больше риск актива, тем сильнее функция плотности будет «распластана» вокруг своего среднего значения. На рис. 5.6 представлены функции плотности для портфелей D, E, C. При переходе от портфеля D к Е среднее значение доходности портфеля растет (для портфеля D среднее значение было 1%, а для портфеля Е среднее значение уже равно 7%), при этом мы видим, что функция плотности в большей степени концентрируется вокруг среднего значения, т.к. она сильнее вытянута в районе среднего значения. При движении от портфеля Е к портфелю С среднее значение растет (с 7% до 13%), но при этом растет и риск, а функция плотности становится более растянутой вдоль горизонтальной оси.
Если рассматривать диверсификацию не с позиции распределения, то диверсификация – это возможность инвестора попасть в область левее прямой, являющейся перпендикуляром к горизонтальной оси из точки, соответствующей чистому активу с меньшей дисперсией. На рис. 5.6 это возможность попасть левее перпендикуляра, опущенного из точки А (в этой области находится портфель Е).
От чего зависит степень диверсификации портфеля? Для этого перепишем формулу (5.10б) в следующем виде (с учетом свойства 6 ковариации):
\(\sigma_{r_{\text{port}}}^{2} = w_{A}^{2}\sigma_{r_{A}}^{2} + \left( 1 - w_{A} \right)^{2}\sigma_{r_{B}}^{2} + 2w_{A}\left( 1 - w_{A} \right)\sigma_{r_{A}}\sigma_{r_{B}}Corr(r_{A},r_{B}). \qquad \text{(5.11)}\)
Как видно, дисперсия портфеля зависит от веса актива А в портфеле и от корреляции между доходностями активов А и В, так как все остальные переменные в (5.11) определены. Но если вес актива А влияет на положение портфеля на кривой CD (см. рис. 5.7), то корреляция между доходностями активов отвечает за степень диверсификации портфеля.
рисунок Х. Кривые безразличия инвестора (перерисовать в левом столбце сделать кривые безразличия, а в правом градиент и величину требуемой доходности)
Если предположить абсолютную положительную корреляцию между доходностями активов А и В \(\left( \text{Corr}\left( r_{A},r_{B} \right) = + 1 \right)\), то (5.11) можно переписать в виде:
\(\sigma_{r_{\text{port}}}^{2} = w_{A}^{2}\sigma_{r_{A}}^{2} + \left( 1 - w_{A} \right)^{2}\sigma_{r_{B}}^{2} + 2w_{A}\left( 1 - w_{A} \right)\sigma_{r_{A}}\sigma_{r_{B}} =\)
\(= \left( w_{A}\sigma_{r_{A}} + \left( 1 - w_{A} \right)\sigma_{r_{B}} \right)^{2}. \qquad \text{(5.12а)}\)
Из (5.10а) выразим \(w_{A}\), получив (5.12б):
\(w_{A} = \frac{E\left( r_{\text{port}} \right) - E\left( r_{B} \right)}{E\left( r_{А} \right) - E\left( r_{B} \right)}.\qquad \text{(5.12b)}\)
Выразив из (5.12а) \(w_{A}\) и подставив в (5.12б), получим следующее уравнение (5.13):
\(E\left( r_{\text{port}} \right) = {E\left( r_{B} \right) - \frac{\sigma_{r_{B}}}{\sigma_{r_{A}} - \sigma_{r_{B}}} \times \left( E\left( r_{А} \right) - E\left( r_{B} \right) \right)\underbrace{}}_{a} + {\frac{E\left( r_{\text{port}} \right) - E\left( r_{B} \right)}{\sigma_{r_{A}} - \sigma_{r_{B}}}\underbrace{}}_{b} \times \sigma_{r_{\text{port}}} \qquad \text{(5.13)}\)
Таким образом, видно, что все портфели в этом случае лежат на прямой вида \(E\left( r_{\text{port}} \right) = a + b\sigma_{r_{\text{port}}}\). Эта прямая пересекает ось доходности в точке F, которая имеет положительную доходность и нулевой риск. Мечта всех инвесторов оказать в точке F или очень близко к ней, однако, чтобы это было возможно, требуются абсолютная положительная корреляция между двумя активами и возможность коротких продаж.
Если предположить абсолютную отрицательную корреляцию между доходностями активов А и В \(\left( \text{Corr}\left( r_{A},r_{B} \right) = - 1 \right)\), то (5.11) можно переписать в виде:
\(\sigma_{r_{\text{port}}}^{2} = w_{A}^{2}\sigma_{r_{A}}^{2} + \left( 1 - w_{A} \right)^{2}\sigma_{r_{B}}^{2} - 2w_{A}\left( 1 - w_{A} \right)\sigma_{r_{A}}\sigma_{r_{B}} =\)
\(= \left( w_{A}\sigma_{r_{A}} - \left( 1 - w_{A} \right)\sigma_{r_{B}} \right)^{2}. \qquad \text{(5.14)}\)
В этом случае все портфели будут лежать на ломаной прямой, проходящей через точки B, G и A. В точке G находится портфель, доходность которого положительна, а риск нулевой. При этом для его получения требуется лишь абсолютная отрицательная корреляция, короткой продажи не требуется, так как этот портфель формируется только за счет собственных средств \(\left( 0 < w_{A} < 1 \right)\) .
Если предположить корреляцию между доходностями активов А и В, которая удовлетворят двойному неравенству \(- 1 < Corr\left( r_{A},r_{B} \right) < 1\), то допустимое множество уже не будет выглядеть как прямая. Оно будет представлять собой участок кривой только между точками А и В, если короткие продажи запрещены, и кривую, проходящую через точки C, D и E, если короткие продажи разрешены и неограничены. На рис. 5.7 нарисована кривая для случая некоррелированных активов, т. е. \(\text{Corr}\left( r_{A},r_{B} \right) = 0\).
Факт, огорчающий инвесторов, состоит в том, что в среднем корреляция между любой парой активов одного класса риска (акции, облигации) обычно колеблется на рынках от 0,3 до 0,6. Это не позволяет инвесторам рассчитывать на формирование портфелей из рисковых активов не только в точках F и G, но и даже вблизи них. Более того, можно доказать математически, что эффект от диверсификации в случае двух активов будет наблюдаться только, если корреляция между их доходностями будет меньше, чем минимум из их отношений стандартных отклонений. Другими словами, если \(\text{Corr}\left( r_{A},r_{B} \right) < \left( \frac{\sigma_{A}}{\sigma_{B}};\frac{\sigma_{B}}{\sigma_{A}} \right)\ \) , то будет наблюдаться эффект диверсификации, в противном случае этого эффекта не будет.