Прежде всего необходимо отделить понятие доход от понятия доходность. Доходом называется прирост богатства, выраженный в денежных единицах, т.е. в абсолютном выражении. Например, если вы вложили в инвестиционную возможность 1000 рублей, а получили по её окончании 1200 рублей, то ваш доход составил 200 рублей. При этом, если ваш коллега вложит 10000 рублей, а получит назад 10200 рублей, то его доход тоже составит 200 рублей. И в этот момент вы начинаете понимать, что абсолютный прирост богатства хоть и важен, но не совсем корректно отражает его ценность для обладателей разного стартового капитала. Так в нашем примере, вы получаете доходность, прирост к первоначальному капиталу, от сделки 20%, а вот ваш коллега — всего 2%. Поскольку все инвесторы обладают разным размером вкладываемого капитала, то логично для возможности корректного сравнения разных инвестиционных альтернатив (сделок) или их результатов использовать именно доходность.
Помимо доходности есть ещё одна важная характеристика любого актива — риск. Чаще всего риск интерпретируется как возможность (вероятность) не получить ту доходность, которую запланировали (ожидали). Очевидно, что чем выше подобная вероятность, тем менее привлекательным для инвестора является актив. Давайте посмотрим, как правильно работать с доходностью и её риском при принятии инвестиционных решений.
3.1.1 Измерение доходности отдельного актива
Общий подход к расчету реализованной доходности был дан в Главе Х. Но там речь велась об измерении доходности по уже совершенным сделкам либо по сделкам, где доходность будущих периодов известна (банковский депозит). Но в инвестиционных решениях реализованная доходность является не совсем подходящим инструментом. Используйте интерактивный элемент Х, который показывает, как в зависимости от выбранных точек начала и конца расчетов меняется реализованная доходность, а также, как часто результат, основанный на реализованной доходности будет совпадать с реальным.
Интерактивный элемент Х. О реализованной доходности
Интерактивный элемент Х: Измерение доходности (фиксируем дату начала сделки, выбираем один или два инструмента, и выбираем дату, на графике отображаются точки, а также она/две цифры, рассчитывающие историческую доходность.) Также возможно тут отображать точку — прогноз по реализованной доходности по сравнению с реальным рядом.
Как видно из интерактивного элемента Х, выбирая специальным образом дату начала и дату конца отчётного периода, легко манипулировать цифрами. Именно поэтому всегда надо скептически относиться к цифрам, рассчитанным не вами, чтобы не формировать у себя ложных ожиданий.
Доходность \((R)\) сделки можно посчитать по общей формуле:
\({R = \frac{P_{1}-P_{0}}{P_{0}}}, \qquad \text{(хх)}\)
где \(P_{1}\) — благосостояние на конец сделки, \(P_{0}\) — благосостояние на начало сделки.
Историческая или реализованная доходность отображает результат, который мы знаем точно, т.е. мы знаем благосостояние на начало сделки и на её конец, и данные цифры уже не будет меняться. Эта доходность показывает то, насколько эффективной в плане прироста благосостояния была проведена сделка, но никоим образом не покажет, как закончится планируемая сделка. При принятии инвестиционный решений инвестор знает только начальную величину благосостояния, и не знает, чем точно закончится сделка. Однако на основе прошлой информации всегда можно посчитать математическое ожидание конечной величины благосостояния, следовательно, можно рассчитать ожидаемую доходность, которую и следует использовать при принятии инвестиционных решений.
Ожидаемую доходность \(E(R)\) сделки можно посчитать по общей формуле:
\(E{(R) = \frac{E\left( P_{1} \right)-P_{0}}{P_{0}}}, \qquad \text{(хх)}\)
где \(E\left( P_{1} \right)\) — математическое ожидание благосостояния на конец сделки, \(P_{0}\) — благосостояние на начало сделки.
В отличие от исторической (реализованной) доходности существует ещё обещанная доходность: когда вам обещают, что сделка обязательно принесет такой-то прирост благосостояния. В лучшем случае такие обещания привязывают к реализованной доходности по прошлым периодам, в худшем — ссылаются на мнения экспертов. Надо понимать, что вся история финансовых рынков показывает, что история не обязана повторяться, поэтому принимать решение о будущем в расчёте, что всё будет повторяться — не очень удачная мысль (если вам так не кажется, то попробуйте ещё раз интерактивный элемент Х). Но что же делать, может быть тогда вообще игнорировать прошлые данные? Конечно нет!
На основе прошлых значений мы в состоянии построить распределение доходностей, на которое можно ориентироваться при принятии решений, поскольку распределения оказываются более устойчивыми, чем наступление отдельного, конкретного события. А современные математические методы на основе распределений могут предсказать интересующие нас исходы и дать им даже вероятностную оценку.
При финансовых расчётах не следует забывать, что доходность надо перевести в % годовых, о том, как это сделать в случае, когда сделка длится меньше года и когда — больше года, смотрите подробнее в [главе 2][/CorporateFinance/chap02/].
3.1.2 Измерение риска отдельного актива
Если смотреть на доходность как на случайную величину, то её математическое ожидание — это наиболее вероятное значение, которое она принимает. Но при этом у случайной величины есть ещё одна важная характеристика — дисперсия, которая показывает возможный разброс вокруг среднего значения.
На практике встречаются активы с широким спектром риска: от активов с минимальным риском, например, небольшой вклад в крупном государственном банке до высокорисковых активов, например, венчурные проекты. А в чём же отличие? Почему один проект мы называет низкорискованным, а другой — высокорискованным? Дело в возможности точного предсказания, каким именно результатом закончится сделка. В этом учебнике под риском будет пониматься возможное отклонение реального результата от ожидаемого.
Определив, что такое риск, необходимо найти меру его измерения. Допустим, в \(t = 0\) цена некоторого актива равна \(P_{0}\) (см. рис. xx). В момент времени \(t = 1\) цена актива может стать \(P_{1}^{1}\), если ситуация будет развиваться чрезвычайно неудачно для актива. Также цена может стать \(P_{1}^{2}\), если ситуация будет развиваться лучше, чем для цены \(P_{1}^{1}\). Цена актива может и вовсе не поменяться или даже вырасти, например, до уровня \(P_{1}^{3}\), если ситуация будет развиваться благоприятным образом.
Рис. X. Цена актива и ее изменение во времени
Каждое возможное развитие ситуации (\(i\)-ое состояние мира) имеет некоторую вероятность своего наступления \(\left( h_{i} \right)\), поэтому каждому значению цены актива \(P_{t}\) в момент \(t\) при \(i\)-ом состоянии мира можно поставить в соответствие вероятность. Это позволяет рассматривать цену актива (или доходность актива) как случайную величину, имеющую распределение и функцию плотности распределения.
На рис. X представлено два ожидаемых в \(t = 0\) распределения цены актива, одно для момента \(t = 1\), а другое для момента \(t = 4\). Очевидно, что с увеличением времени, прошедшего с момента инвестиции, на цену актива могут оказать влияние все больше и больше факторов, как благоприятных, так и наоборот. Все это приводит к тому, что функция плотности ожидаемого распределения «расползается» вдоль оси, увеличивая вероятности сильных изменений в цене актива. При этом среднее значение цены может оставаться неизменным, как это нарисовано на рис. X, хотя и не обязательно.
Рис. X. Изменение цены актива во времени
На рис. X представлены распределения с симметричными функциями плотности, но вполне вероятны ситуации, когда функция плотности может быть скошена вправо (вероятность роста цены выше вероятности падения цены) или будет скошена влево (вероятность роста цены меньше вероятности падения цены).
Поскольку принятое ранее определение риска подразумевает, что отклонение в любую сторону – это плохо, то симметричные распределения подходят для использования. Отметим, что эмпирические исследования не всегда подтверждают симметричность распределений доходности активов на финансовых рынках, что заставляет исследователей искать меры риска для несимметричных распределений, например, полудисперсию. Симметричные распределения очень удобны для анализа и построения моделей, поэтому финансовые исследования чаще основываются именно на подобных распределениях.
Функция плотности распределения полностью характеризуется первым и вторым моментами. Первый момент соответствует среднему значению величины, а второй – разбросу значений этого среднего, т.е. дисперсии.
Поскольку в каждом состоянии мира доходность актива может быть разной, то среднее значение рассчитывается как математическое ожидание (хх) и является ожидаемой доходностью актива:
\(E{(r) = {\sum\limits_{i = 1}^{k}h_{i}}}r_{i}, \qquad \text{(хх)}\)
где \(E(r)\) — математическое ожидание доходности, \(h_{i}\) — вероятность наступления \(i\)-го состояния мира, , \(r_{i}\) — доходность в при наступлении \(i\)-го состояния мира.
Для измерения риска актива используют второй момент распределения — дисперсию, которая рассчитывается по формуле (хх):
\(\mathit{Var}{(r) = {\sum\limits_{i = 1}^{k}h_{i}}}\left( {r_{i}-E(r)} \right)^{2}, \qquad \text{(хх)}\)
где \(\mathit{Var}(r)\) — дисперсия доходности, \(E(r)\) — математическое ожидание доходности, \(h_{i}\) — вероятность наступления \(i\)-го состояния мира, , \(r_{i}\) — доходность в при наступлении \(i\)-го состояния мира.
Дисперсия подходит в качестве измерения риска, так как \(\left( {r_{i}-E(r)} \right)^{2}\geq 0\) в формуле (хх) и больший риск будет увеличивать дисперсию при отклонении от ожидаемого в любую сторону. Это полностью согласуется с принятым определением риска, так как чем больше дисперсия актива, тем больше шансов, что реальное значение будет отличаться от ожидаемого, т.е. больше риск.
Также отметим одну особенность этих параметров распределения. Цена актива измеряется в рублях, первый момент распределения — ожидаемая цена — также измеряется в рублях, а вот второй момент распределения — дисперсия цены — измеряется в \(\mathit{руб}^{2}\). Что такое \(\mathit{км}^{2}\) понимают все, но что такое \(\mathit{руб}^{2}\) вряд ли кто-то сможет объяснить. Поэтому вместо дисперсии случайной величины чаще используют стандартное отклонение, которое является квадратным корнем из дисперсии, \(\sigma_{x} = \sqrt{\sigma_{x}^{2}}\). Стандартное отклонение имеет ту же размерность, что и исходная величина, что делает его использование более распространенным вследствие легкости интерпретации.
3.1.3 Отношение инвестора к риску и доходности
Г.Марковиц предложил использовать функцию полезности, которая зависит только от ожидаемой доходности актива и его дисперсии (стандартного отклонения), и имеет вид \(U{\left( {E(r);\sigma_{r}^{2}} \right) = E}{(r) + A}\times\sigma_{r}^{2}\), где А — коэффициент неприятия риска, чем он больше, тем сильнее инвестор не приемлет (избегает) риск, а также служит калибровочной мерой между доходностью и дисперсией. При \(A > 0\) инвестор любит риск, при \(A = 0\) инвестор нейтрален к риску, а при \(A < 0\) инвестор избегает риска. Чем больше по абсолютному значению коэффициент А, тем сильнее инвестор любит рисковать или предпочитает избегать риск.
В зависимости от значения коэффициента А можно выделить три шаблона по отношению к риску. При \(A > 0\) инвестор любит риск, при \(A = 0\) инвестор нейтрален к риску, а при \(A < 0\) инвестор избегает риска. Если в плоскости «ожидаемая доходность — риск» изобразить карту кривых безразличия инвестора для каждого из случаев, то получатся следующие комбинации (см. рисунок Х)
рисунок Х. Кривые безразличия инвестора (перерисовать в левом столбце сделать кривые безразличия, а в правом градиент и величину требуемой доходности)
Как видно из рисунка Х, чем сильнее инвестор избегает риск, тем больше он будет требовать компенсации в виде доходности за риск, который он берет на себя. Далее чуть более подробно про этот рисунок и градиенты (сделать после того, как будет переделан рисунок).