Ранее мы обсудили важные принципы и аспекты, затрагивающие методики и логику проведения финансовых расчётов, теперь можно рассмотреть непосредственно вопрос, как проводить финансовые расчёты. В корпоративных финансах вопросы, связанные с дисконтированием, возникают гораздо чаще, чем вопросы, связанные с наращением, поэтому мы в дальнейшем будет по умолчанию рассматривать только вопросы определения текущей стоимости. Внимательный читатель мог заметить, что математически процессы наращения и дисконтирования являются одним и тем же процессом: просто в одном случае мы ищем \(\mathit{PV}\) через остальные переменные, а в другом — \(\mathit{FV}\).
В целом, внутренняя стоимость (intrinsic value) любого актива, приносящего в будущем денежные потоки определяется как сумма текущих стоимостей его денежных потоков:
\(\mathit{PV}{\left( \mathit{CF} \right) = {\sum\limits_{t = 0}^{n}\frac{CF_{t}}{\left( {1 + r_{t}} \right)^{t}}}}.\)
При этом довольно интересным вопросом является следующий, а что необходимо использовать в качестве ставки дисконтирования денежного потока \(\left( r_{t} \right)\), полученного в определенный момент времени \(\left( {CF_{t}} \right)\)?
Очень часто используют единую ставку дисконтирования (например, используют требуемую норму доходности) для потоков любого года, что, конечно, позволяет упростить расчёты, но является не совсем корректным. Поскольку стоимость денег во времени меняется неоднородно, то максимально корректным будет являться использование ставок, взятых из кривой доходности (yield curve), которая является графическим отображением срока и процентной ставки, соответствующей этому сроку инвестирования.
2.3.1 Использование кривых доходностей
Кривых доходностей может быть много: всё зависит от того, по какому принципу они рассчитаны. Чаще всего считают кривую доходности по спот ставкам. Спот ставка за определённый срок равна доходности к погашению бескупонной государственной облигации, погашаемой в этот срок. Такую кривую также часто называются кривой безрисковой доходности для отечественного рынка. Не менее часто используемой является кривая доходностей, рассчитанная по тем же бумагам, но только в форме однолетних форвардных ставок.
Эти кривые предназначены для определения текущей стоимости отдельного платежа, именно поэтому они считаются по бескупонным облигациям, так как у таких облигаций всего лишь один платёж — при погашении выплачивается номинал облигации. Вид таких кривых доходностей приведён на рисунке ХХ.
Рисунок Х. Кривые доходностей по спот ставкам и по форвардным ставкам
Рассчитанные кривые доходности на базе государственных облигаций не отражают риск, присущий ценным бумагам компании, поэтому для расчёта ставки дисконтирования для компании используют надбавку (спрэд) к безрисковой доходности, которую считают финансовые агентства и биржи для разных классов активов: корпоративных облигаций, обыкновенных акций.
В теории восходящая кривая ставок является нормальным состоянием для экономики и финансовых рынков. Это отражает то, что с увеличением горизонта инвестирования увеличиваются риски.
Для случаев использования ставок без смешения, текущую стоимость любых будущих денежных потоков можно рассчитать, используя формулы (ХХ):
| для спот ставок | для форвардных ставок: | |
| \(\mathit{PV} = {\sum\limits_{t = 1}^{n}\frac{CF_{t}}{\left( {1 + s_{t}} \right)^{t}}}\) | \(\mathit{PV} = {\sum\limits_{t = 1}^{n}\frac{CF_{t}}{\prod\limits_{d = 1}^{t}\left( {1 + f_{{d - 1},d}} \right)}}\) | (XX) |
где \(f_{0,1} = s_{1}\).
Как правило в кривой доходностей имеются значения ставок до 30-50 лет с разбивкой по годам. Если такой разбивки нет, то ставки за недостающие годы обычно восстанавливают, использую линейную интерполяцию между двумя известными. Ставки для срока, большего максимального в кривой доходности считают равными ставке для максимального срока. Другими словами, если кривая доходности рассчитана до 30 года, а у компании денежные потоки по проекту рассчитаны на 40 лет, то ставки для годов 31-40 считают равными ставке для 30 года.
2.3.2 Дисконтирование и наращение денежных потоков с определенными характеристиками
В отдельных случаях есть альтернативные формулы для расчёта наращенного или дисконтированного значения некоторого денежного потока, которые оказываются более удобными, чем расчёт по отдельным потокам.
Основной такой случай возникает в случае равенства денежных потоков. Например, возврат кредитов по аннуитетной схеме, зарплата (если вы получаете твердый оклад без бонусов), налоги на имущество (если не меняется ставка и состав и стоимость имущества) и многие другие. В таких случаях обычного говорят о финансовой ренте или просто ренте. На рисунке Х дана общая схема для расчёта текущей или наращенной стоимости ренты. На рисунке представлена четырехлетняя годовая рента. Обратите внимание, что момент для расчёта наращенной стоимости такой ренты совпадает с её последним платежом, а вот текущая стоимость такой ренты получается для момента времени ровно на один платежный период ранее момента первого платежа по ренте. Эту особенность для текущей стоимости ренты часто приходится отдельно учитывать.
Рисунок Х. Схема для расчёта текущей и наращенной стоимости ренты
При этом в подобного рода рентах проценты могут начисляться не только раз в году, а несколько (в пределе — вообще непрерывно). Годовой платеж по ренте может осуществляться ежемесячно, ежеквартально, по полугодиям: в этом случае текущий платеж кратно уменьшается.
В этом случае будет крайне полезны формулы:
| для дисконтирования: | для наращения: | |
| \({\mathit{PVA} = \frac{R}{p}}\times\frac{1 - \left( {1 + \frac{i}{m}} \right)^{- \mathit{mn}}}{\left( {1 + \frac{i}{m}} \right)^{\frac{m}{p}} - 1}\) | \({\mathit{FVA} = \frac{R}{p}}\times\frac{\left( {1 + \frac{i}{m}} \right)^{\mathit{mn}} - 1}{\left( {1 + \frac{i}{m}} \right)^{\frac{m}{p}} - 1}\) | (XX) |
где \(\mathit{PVA}\) — текущая стоимость ренты (present value of annuity), денежных единиц; \(\mathit{FVA}\) — будущая стоимость ренты (future value of annuity), денежных единиц; \(R\) — суммарная величина годовой выплаты по ренте, денежных единиц; \(p\) — количество платежей в году, разы; \(i\) — процентная ставка, % годовых; \(m\) — количество начислений процентов за год, разы; \(n\) — срок ренты в годах.
Часто на практике возникает необходимость посчитать текущую стоимость одинаковых потоков, но не всех, а лишь некоторой выборке, как представлено на рисунке Х, где требуется посчитать текущую стоимость потока платежей с номера 3 по номер 7 включительно.
Рисунок Х. Поиск текущей стоимости неполной серии платежей
Обобщим задачу, пусть нам надо посчитать текущую стоимость потоков \(R\) с номера \(k\) по номер \(z\) включительно внутри серии одинаковых платежей. Допустим, что ставка процента для платежного периода равна \(j\) (ведь платежи могут быть ежемесячными, ежеквартальными, годовыми). В этом случае формула (XX), по которой можно найти текущую стоимость, выглядит следующим образом:
\({\mathit{PV}_{t = 0} = \frac{R}{{j\times\left( {1 + j} \right)}^{k - 1}}}\times\left( {1 - \frac{1}{\left( {1 + j} \right)^{z - k + 1}}} \right)\)
(XX)
где \(\mathit{PV}_{t = 0}\) — текущая стоимость выбранного набора платежей в момент времени \(t = 0\), денежных единиц.
Например, если серия платежей состоит из равных платежей по 1000 рублей каждый, которые выплачиваются каждый год, а процентная ставка равна 5% годовых, то текущая стоимость платежей с номера 3 по номер 7 включительно равна:
\({\mathit{PV}_{t = 0} = \frac{1000}{{0,05\times 1,05}^{2}}}\times{\left( {1 - \frac{1}{{1,05}^{7 - 3 + 1}}} \right) = 3}926,96.\)