Часто в финансовых документах и расчётах можно встретить понятия доход и доходность. При этом эти понятия близки, но не тождественны. Кроме того, все финансовые расчёты, призванные помочь в принятии решений, основываются на нескольких важных принципах (аспектах), о каждом из которых мы поговорим, прежде чем перейдем к проведению финансовых расчётов.
2.1.1 Доход и доходность
Под доходом понимается абсолютная величина денежных средств, которые были заработаны сверх первоначальных вложений в ходе проведения сделки. При этом по доходу нельзя однозначно сказать, была ли успешная сделка или нет. Например, в результате вложения денег в альтернативу А вы заработали (доход) 10 000 денежных единиц, а от вложения в альтернативу Б получили (доход) 15 000 денежных единиц. Можно ли на основе данной информации утверждать, что \(Б\succ А\) (Б предпочитается А)?
Строго говоря, нет, такой ответ дать нельзя. Ведь мы не знаем, какие суммы были вложены в эти альтернативы. Так, если для получения соответствующих доходов в альтернативу А было вложено 10 000 денежных единиц, а в альтернативу Б — 200 000 денежных единиц, то вряд ли альтернатива Б лучше альтернативы А. Да, в итоге доход от альтернативы Б оказался больше в полтора раза, только вот чтобы его заработать изначально было вложено в 20 раз больше средств.
С точки зрения сравнения эффективности альтернатив доходность — скорость приращения первоначально вложенных средств — оказывается более подходящей, ведь она является относительной величиной, т. е. уже нивелирует возможную разницу в исходных вложениях. Также, как мы увидим чуть далее, доходность также легко нормировать по времени, что позволяет получить метрику для сравнения альтернатив, различающихся не только по первоначальным вложениям, но и по времени действия сделки и ряду других характеристик.
Таким образом, отличие доходности от дохода в том, что она показывает скорость, с которой инвестор (человек или компания) зарабатывает доход.
2.1.2 Учёт альтернативных затрат (издержек)
Денежные средства являются редким ресурсом для инвестора, которые надо вкладывать в сделки (инвестиционные альтернативы) грамотно, ведь если деньги вложены в одну альтернативу, то уже в другие альтернативы их не вложить.
Допустим у инвестора есть следующий набор инвестиционных альтернатив, которые характеризуются следующими доходностями:
| Альтернатива | A | B | C | D | E | G |
| Доходность \(r_{i}\), % годовых | 18% | 20% | 30% | 10% | 15% | 25% |
Видно, что все рассматриваемые альтернативы неплохи, поскольку доходности положительны и каждая альтернатива приводит к росту благосостояния инвестора. Но как понять, вложение в альтернативу G — хорошая идея или нет? Поскольку мы вложили средства в альтернативу G, то мы отказались от возможности вкладывать в другую альтернативу. Таким образом, получив \({r_{G} = 25}\text{%},\) мы отказались от возможности получить рост благосостояния на \(\mathit{\max}{{\left\{ {r_{A},r_{B},r_{C},r_{D},r_{E}} \right\} = r_{C} = 30}\text{%}}\). Поскольку 30% больше 25%, то фактически мы выбрали неудачную альтернативу, так как рост благосостояния по ней оказался меньше потенциально возможного.
Чтобы наилучшим способом разместить свои средства инвестору необходимо проводить расчёт эффективности вложения в рассматриваемую альтернативу с учётом максимальной доходности отвергаемых альтернатив. Если при указанных условиях рассматриваемая сделка покажет большую доходность, то альтернатива хорошая, а вот если нет, то лучше не вкладывать средства в эту альтернативу, и поискать более подходящую. Но все изложенные выше рассуждения касаются только рационально подхода к принятию решения, если начать учитывать все возможные ограничения, то изложенная нами логика может не приниматься в расчёт.
2.1.3 Стоимость денег во времени
Частой ситуацией в жизни бывает такая, когда мы сегодня заключаем договор о выполнении какой-либо работы или оказанию услуги, а деньги за её выполнение получаем в будущем. Или мы строим завод, от деятельности которого в будущем на протяжении нескольких лет планируем получать прибыль. В связи с этим возникает закономерный вопрос, а одинаковую ли ценность (стоимость) имеют 1 денежная единица, полученная сейчас, и 1 денежная единица, которая будет получена через какое-то время в будущем?
Общий ответ на данный вопрос в условиях нормального функционирования экономики (при неотрицательных процентных ставках в ней) — нет, деньги имеют стоимость во времени, при этом чем позже будет получена денежная единица, тем меньшую стоимость сейчас она имеет. Но как же определить, сколько именно стоит будущая денежная единица сейчас?
Во-первых, будущее всегда неопределённо: чтобы сделка состоялась все стороны сделки должны к этому моменту существовать и иметь возможность выполнить свои обязательства; вся инфраструктура рынка также должна работать в полной мере, обеспечивая проведение транзакции.
Во-вторых, при нормальном режиме работы экономики существует небольшая инфляция, которая снижает покупательную способность денег (на одну и ту же сумму денег в будущем можно приобрести меньшее количество товаров и услуг по сравнению с количеством сейчас).
Если мы хотим посмотреть на числах, как это работает, то нам как раз понадобятся доходности и альтернативные затраты, рассмотренные ранее.
| Альтернатива | A | B | C | D | E | G |
| доступны Николаю | ||||||
| Доходность \(r_{i}\), % годовых | 18% | 20% | 30% | 10% | 15% | 25% |
| доступны Дарье | ||||||
Допустим, что инвестору Николаю (вместо физического лица может быть компания) доступны инвестиционные альтернативы A-D, а инвестору Дарье доступны только альтернативы D-G. В целом такое предположение ничего не нарушает, ведь действительно у каждого инвестора есть свои доступные альтернативы в силу разных причин.
Для Николая максимально возможный рост его благосостояния равен 30%, так как среди всех альтернатив \(\mathit{\max}{{\left\{ {r_{A},r_{B},r_{C},r_{D}} \right\} = r_{C} = 30}\text{%}}\), а вот для Дарьи максимально возможный рост её благосостояния равен \(\mathit{\max}{{\left\{ {r_{D},r_{E},r_{G}} \right\} = r_{G} = 25}\text{%}}\). Допустим и у Николая, и у Дарьи есть контракт, по которому они ровно через год получают 200 денежных единиц. Выясним, какое минимальное количество денег потребуется Николаю и Дарье сейчас, чтобы самостоятельно обеспечить себе через год поступление в размере 200 денежных единиц.
| для Николая: | для Дарьи: |
| \({\frac{200}{1,3} = 153},85.\) | \({\frac{200}{1,25} = 160},00.\) |
Стоимость 200 денежных единиц через год для Николая оказалась ниже стоимости той же суммы для Дарьи потому, что у Николая скорость по увеличению благосостояния оказалась выше: 30% против 25%. Именно эта оценка даёт представление о текущей стоимости 200 денежных единиц через год для разных инвесторов.
Допустим, Василий предлагает Николаю и Дарье купить их контракты на получение 200 денежных единиц через год за 155 денежную единицу прямо сейчас. Что скажет Николай, и что скажет Дарья?
Дарья откажется от предложения, так как вырученная сумма меньше 160 денежных единиц, необходимых для самостоятельной репликации будущего денежного потока в 200 денежных единиц. Другими словами, согласившись продать контракт за 155 денежных единиц, Дарья потеряет 5 денежных единиц в текущих деньгах.
Николай же согласится с предложением о продаже за 155 денежных единиц. Получив их, он немедленно вложит в альтернативу C 153,85 денежных единиц, тем самым обеспечив себе приток 200 денежных единиц через год. Но при этом у него останутся 1,15 денежных единиц, которые он сможет потратить по своему усмотрению.
Таким образом, поскольку у каждого инвестора свой набор доступных альтернатив для инвестирования, у каждого инвестора есть свой ориентир на скорость приращения богатства, на которую он ориентируется при принятии инвестиционных решений. При этом одна и та же цена может оказаться для кого-то слишком высокой, чтобы купить, или слишком низкой, чтобы продать, а для другого эта же цена может оказаться привлекательной, чтобы сделать операцию купили-продажи.
Без ограничения общности можно сказать, максимальная доходность из доступных инвестору альтернатив является минимальной требуемой доходностью (required rate of return, RRR), которую должна обеспечивать рассматриваемая альтернатива, чтобы рациональный инвестор принял решение об инвестиции в неё.
Другими словами, если при использовании этой доходности в качестве измерения стоимости денег во времени рассматриваемая альтернатива приносит доход (текущая величина будущих доходов больше сделанных расходов), то она хорошая возможность для вложения средств, а если нет (текущая величина будущих доходов не покрывает сделанных расходов), то в эту альтернативу не стоит вкладываться.
2.1.4 Обычная сделка и её доходность
Рассмотрим стандартную сделку: под этим мы будем подразумевать самую простую структуру, но с элементами, необходимыми для правильного алгоритма вычислений для неё. Схема такой сделки приведена на рисунке Х.
Рисунок Х. Схема стандартной сделки
Когда мы находимся в \(t = n\), мы знаем \(W_{0}\) и \(W_{n}\), т. е. сколько у нас было денежных средств изначально и сколько их стало в конце. Это позволяет оценить, насколько мы стали богаче (насколько сильно выросло наше богатство), используя формулу:
\({R_{n} = \frac{W_{n} - W_{0}}{W_{0}}}.\)
Это выражение помогает нам понять, насколько было удачным наше решение об участии в сделке, насколько была успешной проведенная сделка, т. е. мы легко оцениваем эффективность (успешность) завершенной сделки. Такая доходность называется «фактической» или «реализованной» доходностью, иногда можно встретить название «историческая» доходность.
Но если нам требуется принять решение о будущей сделке, то очевидно, что мы не знаем точного значения \(W_{n}\). Используя статистические и экономико-математические методы и подходы, мы может найти ожидаемое значение этого показателя, т. е. \(E\left( W_{n} \right).\) Следовательно, мы можем в момент принятия решения \(t = 0\) посчитать только ожидаемую доходность сделки по формуле:
\(E{\left( R_{n} \right) = \frac{E{\left( W_{n} \right) - W_{0}}}{W_{0}}}.\)
Именно на эту доходность инвесторы ориентируются, когда принимают решение об участии в конкретной инвестиционной сделке (например, покупка ценных бумаг, приобретение другой компании, участие в инвестиционном проекте и т. д.).
Показатели доходности, рассчитанные выше обладают одним существенным недостатком: если сделки, для которых они были рассчитаны, имеют разную длительность, то напрямую использовать эти доходности для сравнения инвестиционных альтернатив нельзя. Поэтому все участники рынка пришли к соглашению о том, что все доходности необходимо приводить к одному временному базису: процентов годовых.
Таким образом любое упоминание о доходностях, ставках доходностях по умолчанию необходимо воспринимать как «процентов годовых». Так, если банк предлагает открыть трёхмесячный депозит под 9%, то надо понимать, что 9% вкладчик получит за целый год, а раз вклад меньше года, то вознаграждение вкладчика будет меньше пропорционально сроку вклада. Более строго, если сделка длилась \(N\) дней, за которые мы заработали \(W_{n}\) от начальных \(W_{0}\), а в году было \(N_{\mathit{year}}\) дней, то:
\(R,\text{%}{\mathit{годовых} = \left( {\frac{W_{n}}{W_{0}} - 1} \right)}\times\frac{N_{\mathit{year}}}{N}.\)
\(E{(R)},\text{%}{\mathit{годовых} = \left( {\frac{E{(W_{n})}}{W_{0}} - 1} \right)}\times\frac{N_{\mathit{year}}}{N}.\)
Эта доходность приведена к годовому периоду, что делает возможным сравнение с другими альтернативами, доходность которых также выражена в виде процентов годовых. Для сделок длительностью более года формулы для расчёта доходностей годовых будут немного иными (тут используются сложные проценты):
\(R,\text{%}{\mathit{годовых} = {\sqrt[n]{\frac{W_{n}}{W_{0}}} - 1}}.\)
\(E\left( R_{n} \right),\text{%}{\mathit{годовых} = {\sqrt[n]{\frac{E\left( W_{n} \right)}{W_{0}}} - 1}}.\)
Теперь пришло время поговорить о видах процентных ставок, которые мы используем в расчётах. В рамках этого ученика мы не рассказывает обо всех видах процентных ставок, которые используются в финансовых расчётах: некоторые из них рассчитываются через те ставки, которые мы рассмотрим, а другие имеют слишком узкое применение и необходимы специалистам.
2.1.4 Простая и сложная процентная ставка
Принципиальная разница между простой и сложной процентной ставками заключается в том, на какую величину начисляются проценты, выраженные этой ставкой. Когда речь идёт о простой процентной ставке, то она начисляется каждый раз на первоначальную сумму денежных средств. Полученный процентный доход в данном случае изымается и потребляется.
При сложной процентной ставке проценты, полученные в раннем периоде, немедленно присоединяются к первоначальной величине (капитализируются), и таким образом, последующее начисление процентов действует как на первоначальную величину, так и на величину накопленных к этому моменту процентных платежей ранних периодов.
Покажем работу простой и сложной процентной ставки на примере депозита. Пусть инвестор открывает депозит в размере 1 000 рублей под 15% годовых. По депозиту не предусмотрено дополнительных взносов, а его длительность составляет пять лет. Проценты начисляются один раз в конце года.
Составим две таблицы: таблица 1 с изъятием начисленных процентов, а таблица 2 — с их капитализацией (т. е. присоединением к основной сумме вклада).
Таблица 1. Динамика вклада при простой процентной ставке
| период | величина вклада на начало периода |
% за период | снятие процентов | величина вклада на конец периода |
| (1) | (2) | (3) | (4) | (5) |
| 0 | 1 000,00 | |||
| 1 | 1 000,00 | 150,00 | −150,00 | 1 000,00 |
| 2 | 1 000,00 | 150,00 | −150,00 | 1 000,00 |
| 3 | 1 000,00 | 150,00 | −150,00 | 1 000,00 |
| 4 | 1 000,00 | 150,00 | −150,00 | 1 000,00 |
| 5 | 1 000,00 | 150,00 | −150,00 | 1 000,00 |
| ВСЕГО: | 750,00 | |||
Обратим внимание, что значение в столбце (5) является для следующего периода значением в столбце (2). Значение в столбце (3) рассчитывается как произведение значения для текущего периода в столбце (2) и 15%. По условию для простой процентной ставки инвестор сразу же снимает начисленные проценты, что отражается в столбце (4) со знаком минус. Значение в столбце (5) рассчитывается как сумма значений в столбцах (2), (3) и (4). Аналогично построена таблица 2 за исключением изъятия начисленных процентов: столбец (4) в таблице 2 — пустой.
Таблица 2. Динамика вклада при сложной процентной ставке
| период | величина вклада на начало периода |
% за период | снятие процентов | величина вклада на конец периода |
| (1) | (2) | (3) | (4) | (5) |
| 0 | 1 000,00 | |||
| 1 | 1 000,00 | 150,00 | — | 1 150,00 |
| 2 | 1 150,00 | 172,50 | — | 1 322,50 |
| 3 | 1 322,50 | 198,38 | — | 1 520,88 |
| 4 | 1 520,88 | 228,13 | — | 1 749,01 |
| 5 | 1 749,01 | 262,35 | — | 2 011,36 |
| ВСЕГО: | 1 011,36 | |||
Видим, что результат оказывается совершенно разным: для простой ставки инвестор за пять лет получит по вкладу 750 рублей в виде процентных платежей, а для сложной ставки — 1 011,36 рублей, что гораздо больше. Эти дополнительные 261,36 рублей образовались от начисления процентов на ранее начисленные процентные платежи.
Формально действие простой и сложной процентной ставок может быть описано следующим образом (\(\mathit{FV}\) — величина вклада на момент окончания, денежных единиц; \(\mathit{PV}\) — начальная величина вклада, денежных единиц; \(i\) — процентная ставка по вкладу, % годовых; \(n\) — срок действия вклада, годы):
\({\mathit{FV} = \mathit{PV}}\left( {1 +} \right).\)
\({\mathit{FV} = \mathit{PV}}\left( {1 + i} \right)^{n}.\)
Обычно считается, что простые процентные ставки используются, когда нет капитализации процентов и/или сделка длится меньше года, во всех остальных случаях используют сложную процентную ставку. Более того, это правило согласуется с применением понятия альтернативных издержек, ведь при длительности менее года при одной и той же процентной ставке скорость прироста первоначальной суммы при простой процентной ставке оказывается выше, чем для сложной процентной ставке:
\({{1 +} > \left( {1 + i} \right)^{n}},{0 < n < 1}.\)
2.1.5 Эффективная и эквивалентная ставки
Часто инвестиционные альтернативы различаются между собой по срокам, по способу начисления процентов, что приводит к невозможности простого и быстрого сравнения этих альтернатив по метрике доходности. Также нередки ситуации, когда меняются условия сделки, в рамках чего меняется подход к начислению процентов: как понять, какую ставку необходимо назначить в новых условиях, чтобы эффективность сделки не изменилась? Все эти ситуации приводят к необходимости введения понятия эффективной ставки и эквивалентной ставки.
Эффективной ставкой называется ставка сложных процентов, начисляемая в конце года (сделки), приводящая за тот же срок к такому же финансовому результату, что и действительные условия сделки.
Например, банк А по депозиту начисляет 12% годовых с полугодовым начислением, а банк Б начисляет 11,6% годовых, но с квартальным начислением, оба банка капитализируют проценты. Какой депозит выгоднее, если мы планируем вложить деньги на год? Казалось бы, если сравнить просто ставки по вкладу, то выгоднее вклад в банке А, так как 12% больше 11,6% годовых. Но если посчитать, как реально измениться величина вклада, то результат может быть не таким очевидным.
Для банка А из нашего примера реальный результат будет следующим:
\({{\left( {1 + \frac{12\text{%}}{2}} \right)^{2} - 1} = 1.}{{06^{2} - 1} = 12},36\text{%},\)
а для банка Б из нашего примера результат будет следующим:
\({{\left( {1 + \frac{11.6\text{%}}{4}} \right)^{4} - 1} = 1.}{{029^{4} - 1} = 12},11\text{%}.\)
Таким образом, эффективная ставка для банка А по вкладу равна 12,36%, а для банка Б — всего лишь 12,11%. Видно, что эффективная ставка для каждого банка оказалась выше, чем та, которая формально была озвучена в виде цифры. Теперь мы можем точно сделать вывод о том, вклад в каком из банков лучше, если сравним эффективные ставки, которые уже учитывают разные схемы начисления процентов и показывают реальный прирост богатства.
В общем виде для сделки длительностью \(n\) лет, с начальной стоимостью \(\mathit{PV}\) и конечной стоимостью \(\mathit{FV}\), эффективная ставка \(i_{\mathit{eff}}\) может быть рассчитана из уравнения:
\({\left( {1 + i_{\mathit{eff}}} \right)^{n} = \frac{\mathit{FV}}{\mathit{PV}}}.\)
При этом варианты расчёта \(\mathit{FV}\) из \(\mathit{PV}\) за \(n\) лет могут быть любыми: могут быть различное количество начислений процентов внутри года, могут быть использованы любые виды ставок процента (простая, сложная, непрерывная), внутри сделки могут быть периоды с разными условиями.
Частым вариантом расчёта эффективной ставки при неоднократном (\(m\) раз в год) начислении процентов (\(i\)) внутри года с их капитализацией может служить формула:
\({i_{\mathit{eff}} = {\left( {1 + \frac{i}{m}} \right)^{m} - 1}}.\)
Две ставки (с соответствующими условиями их начисления) называются эквивалентными, если их эффективные ставки равны. Необходимость расчёта подобных ставок может возникнуть, когда вы получаете денежные потоки по полугодиям, а процентная ставка, которая вам известна — годовая с однократным начислением. В этом случае необходимо найти эквивалентную ставку для полугодового начисления, чтобы можно было дисконтировать денежные потоки.
Так, например, если годовая ставка процента равна 12%, то полугодовой платёж нельзя дисконтировать по ставке 6%, поскольку это приведет к эффективной годовой ставке 12,36% (см. пример выше). Правильным в данном случае будет нахождение такой ставки процента \(i_{\mathit{eqv}}\) с полугодовым начислением, которая за год даёт прирост ровно в 12%. Другими словами, надо решить уравнение:
\({\left( {1 + \frac{i_{\mathit{eqv}}}{2}} \right)^{2} = 1},12,\)
откуда \({i_{\mathit{eqv}} = 11},66\text{%}\).
В более общем случае необходимо в левой части такого уравнения записать процесс наращения, который нам необходим (новые условия), а в правой финансовый результат по имеющемуся процессу (старые условия).
2.1.6 Спот и форвардные ставки
Ставки, которые начинают работать с текущего момента, называются спот-ставками (spot rates). И хотя это не совсем формальное определение, но для нас сейчас важно, что это ставки, по которым вы можете немедленно начать инвестицию на определенный срок.
При этом многих инвесторов беспокоит вопрос, а как будут меняться процентные ставки? Например, если инвестор планирует инвестиции на два года, то он может сделать инвестицию сразу на два года, а можем попробовать сделать вложение на год, а потом ещё на год. Однако, спот ставки не показывают, какой будет ставка на год через год, а в зависимости от её величины выбор варианта инвестирования может поменяться.
Рассмотрим обозначенные ранее две стратегии подробнее, сведя информацию по ним и их денежным потокам в таблицу (здесь и далее \(r_{t}\) — спот ставка на \(t\) лет, \(f_{k,n}\) — ставка, которая начинает действовать в год \(k\) и действует до года \(n\)):
| \(t = 0\) | \(t = 1\) | \(t = 2\) | |
| Стратегия А | \(- X_{0}\) | \(X_{0}\left( {1 + r_{2}} \right)^{2}\) | |
| Стратегия Б | \(- X_{0}\) | \(X_{0}\left( {1 + r_{1}} \right)\) | |
| \({- X}_{0}\left( {1 + r_{1}} \right)\) | \(X_{0}\left( {1 + r_{1}} \right)\left( {1 + f_{1,2}} \right)\) |
В данном случае знак минус перед денежной суммой означает, что инвестор в \(t = 0\) вкладывает деньги в некотором размере, а по окончанию срока инвестиции инвестор получает отдачу (знак плюс перед денежной суммой). Как видим, что при стратегии Б (инвестировать на год, потом сразу ещё на год), отдачу, которую инвестор получил в первый год, он сразу инвестирует ещё на год. Очевидно, что ему будет безразлично, какую стратегию выиграть: А (инвестировать сразу на два года) или Б (инвестировать на год, а потом ещё на год), если будет выполнено равенство:
\(X_{0}{\left( {1 + r_{2}} \right)^{2} = X_{0}}\left( {1 + r_{1}} \right)\left( {1 + f_{1,2}} \right).\)
В этом равенстве мы наблюдаем важный момент: слева и справа стоят разные стратегии (активы), которые требуют одинакового вложения средств, и дают одинаковую отдачу (иначе инвестор явно предпочёл бы одну стратегию другой). Важный принцип в финансах: активы, дающие одинаковый денежный поток и имеющие сопоставимый уровень риска должны стоить одинаково (no arbitrage condition). В рассматриваемом случае инвестиции в одну из стратегий могут рассматриваться как её стоимость, которую нужно заплатить, чтобы войти в неё.
Пусть \(X_{0}{\left( {1 + r_{2}} \right)^{2} > X_{0}}\left( {1 + r_{1}} \right)\left( {1 + f_{1,2}} \right).\) Тогда возможна ситуация, при которой у инвестора не будет обязательств, но будет получена выгода, следовательно, станет возможна ситуация арбитража. В \(t = 0\) мы занимаем деньги по стратегии Б и вкладываем полученные деньги в стратегию А:
| Год | 0 | 1 | 2 |
| Стратегия А | \(- X_{0}\) | \(X_{0}\left( {1 + r_{2}} \right)^{2}\) | |
| Стратегия Б | \(X_{0}\) | \({- X}_{0}\left( {1 + r_{1}} \right)\) | |
| \(X_{0}\left( {1 + r_{1}} \right)\) | \({- X}_{0}\left( {1 + r_{1}} \right)\left( {1 + f_{1,2}} \right)\) | ||
| СУММА: | 0 | 0 | \(\mathrm{\Delta} > 0\) |
Пусть \(X_{0}{\left( {1 + r_{2}} \right)^{2} < X_{0}}\left( {1 + r_{1}} \right)\left( {1 + f_{1,2}} \right).\) Снова возможна ситуация, при которой у инвестора не будет обязательств, но будет получена выгода, следовательно, станет возможна ситуация арбитража. В \(t = 0\) мы занимаем деньги по стратегии А и вкладываем полученные деньги в стратегию Б:
| Год | 0 | 1 | 2 |
| Стратегия А | \(X_{0}\) | \({- X_{0}}\left( {1 + r_{2}} \right)^{2}\) | |
| Стратегия Б | \(- X_{0}\) | \(X_{0}\left( {1 + r_{1}} \right)\) | |
| \({- X_{0}}\left( {1 + r_{1}} \right)\) | \(X_{0}\left( {1 + r_{1}} \right)\left( {1 + f_{1,2}} \right)\) | ||
| СУММА: | 0 | 0 | \(\mathrm{\Delta} > 0\) |
Из этих примеров следует, что выражение (хх) должно всегда выполняться в виде равенства. Фактически могут иметь место кратковременные отклонения от равенства вследствие неравномерности распространения информации или реагирования инвесторов, но современные торговые роботы эту ценовую аномалию ликвидируют за пару секунд.
\({\left( {1 + s_{n}} \right)^{n} = \left( {1 + s_{k}} \right)^{k}}\left( {1 + f_{k,n}} \right)^{n - k}\) (XX)
где \(s_{n}\) — спот ставка на \(n\) лет; \(f_{k,n}\) — форвардная ставка, начинающая действовать в момент \(k\), и заканчивающая действовать в момент \(n\).
Уравнение ХХ описывает однозначное соответствие форвардных ставок спот ставкам и наоборот. На рисунке Х показано, как осуществляется эта взаимосвязь между ставками.
Рисунок Х. Схема стандартной сделки
Поэтому расчёты, проведенные в спот ставках, должны всегда равняться расчётам, проведенным в форвардных ставках или даже в смешанном режиме, когда часть времени используются спот ставки, а другую часть — форвардные.