По определению, данному П. Самуэльсоном в 1954 г., в составе экономических благ выделяются две категории1. Первая категория – частно потребляемые блага (\(X_1, \ldots, X_n\)), или частные блага, которые распределяются по частям среди потребителей (\(1, 2, \ldots, i, \ldots s\)) так, что выполняется условие:
\(X_{j}\text{=}{\sum\limits_{1}^{s}{X_{j}^{i}.}}\)
Частными являются конкурентные и исключаемые блага.
Коллективно потребляемые блага (\(X_n + 1, \ldots, X_{n+m}\)) – это блага, которые потребляют все индивиды вместе, т.е. одновременно для каждого \(i\)-го индивида и каждого коллективного потребительского товара выполняется условие:
\(X_{n\text{+}j}\text{=}X_{n\text{+}j}^{i}.\)
Такие блага называют чистыми общественными благами [Гиперссылка на определение чистых общественных благ в параграфе 1.1 Главы 1]. Они являются неконкурентными и неисключаемыми в потреблении.
Междисциплинарный взгляд: Общественные блага и ресурсы общего доступа (Материал интерактивного цифрового учебника «Институциональная экономика»)
Пусть:
- каждый индивид имеет упорядоченные предпочтения в отношении всех потребляемых благ как частных, так и коллективных;
- предпочтения индивида описываются выпуклой функцией полезности:
\(u^{i}\text{=}u^{i}\left( {X_{1}^{i},\ldots,X_{n\text{+}m}^{i}} \right);\)
- выпуклая граница производственных возможностей задана:
\(F\text{=}F\left( {X_{1},\ldots,X_{n\text{+}m}} \right).\)
Тогда Парето-эффективное условие предоставления чистого общественного блага имеет вид:
\({\sum\limits_{i\text{=}1}^{s}\frac{u_{n\text{+}j}^{i}}{u_{r}^{i}}}\text{=}\frac{F_{n\text{+}j}}{F_{r}}.(10.3.1)\)
Условие эффективного предоставления чистого общественного блага (10.3.1) получило известность как уравнение Самуэльсона. Его экономический смысл состоит в том, что сумма предельных норм замещения частного блага общественным в потреблении (выражение в левой части равенства) в Парето-оптимальном распределении должна быть равна предельной норме трансформации частного блага в общественное в производстве (выражение в правой части равенства).
Докажем это условие на примере двух индивидов (\(i = 1,2\)) в экономике, которая производит два блага: \(x\) – частное благо и \(G\) – общественное благо.
Пусть:
- \(G = f(g_1 + g_2\)), где \(g_1\) и \(g_2\) – затраты индивидов на общественное благо;
- \(w_i\) – начальный запас частного блага у \(i\)-го индивида;
- \(x_i\) – объем потребления частного блага \(i\)-м индивидом.
Поскольку полезность, в итоге получаемая \(i\)-м индивидом, зависит от \(x_i\) и вкладов обоих индивидов в производство общественного блага, \(U_i = (G, x_i\)) или \(U_i = (g_1 + g_2, w_i - g_i\)) можно определить как \(U_i = (f(G), x_i)\) или \(U_i = (f(g_1 + g_2), w_i - g_i)\).
Предположим, что в экономике максимизируется взвешенная сумма полезностей индивидов: \(W = a_{1}U_1 + a{2}U_2\) или:
Запишем условие первого порядка для \(g_1\) и \(g_2\):
\(a_{1}\frac{\partial U_{1}(G,x_{1})}{\partial G}\text{-}a_{1}\frac{\partial U_{1}\left( {G,x_{1}} \right)}{\partial x_{1}}\text{+}a_{2}\frac{\partial U_{2}\left( {G,x_{2}} \right)}{\partial G}\text{=}0,\)
\(a_{1}\frac{\partial U_{1}(G,x_{1})}{\partial G}\text{-}a_{2}\frac{\partial U_{2}\left( {G,x_{2}} \right)}{\partial x_{2}}\text{+}a_{2}\frac{\partial U_{2}\left( {G,x_{2}} \right)}{\partial G}\text{=}0.\)
Преобразовав эти условия, получим:
\(a_{1}\frac{\partial U_{1}(G,x_{1})}{\partial G}\text{+}a_{2}\frac{\partial U_{2}(G,x_{2})}{\partial G}\text{=}a_{1}\frac{\partial U_{1}(G,x_{1})}{\partial x_{1}},(10.3.2)\)
\(a_{1}\frac{\partial U_{1}(G,x_{1})}{\partial G}\text{+}a_{2}\frac{\partial U_{2}(G,x_{2})}{\partial G}\text{=}a_{2}\frac{\partial U_{2}(G,x_{2})}{\partial x_{2}}.(10.3.3)\)
Поскольку левые части равенств (10.3.2) и (10.3.3) совпадают, равны их правые части:
\(a_{1}\frac{\partial U_{1}(G,x_{1})}{\partial x_{1}}\text{=}a_{2}\frac{\partial U_{2}(G,x_{2})}{\partial x_{2}}.(10.3.4)\)
Разделив левые части равенств (10.3.2) и (10.3.3) на правые, с учетом равенства (10.3.4) получаем:
\(\frac{\frac{\partial U_{1}(G,x_{1})}{\partial G}}{\frac{\partial U_{1}(G,x_{1})}{\partial x_{1}}}\text{+}\frac{\frac{\partial U_{2}(G,x_{2})}{\partial G}}{\frac{\partial U_{2}(G,x_{2})}{\partial x_{2}}}\text{=}1\)
или уравнение Самуэльсона для случая \(МС_G = 1\), когда общественное благо представляет собой сумму вкладов индивидов (иными словами, производство общественного блага финансируется на суммарные взносы индивидов):
\(\mathit{MRS}_{\mathit{Gx}}^{1}\text{+}\mathit{MRS}_{\mathit{Gx}}^{2}\text{=}1.\)
Samuelson P.A. The Pure Theory of Public Expenditure // The Review of Economics and Statistics. 1954. Vol. 36. No. 4 (Nov.). P. 387-389.↩︎