6.7. Равновесие в условиях олигополии

Проходит апробацию

В условиях олигополии в отрасли действуют всего несколько фирм, которые обладают значительными долями рыночных продаж¹. При этом наблюдается взаимная зависимость поведения конкурентов². Спрос же, как правило, представлен множеством покупателей.

Продукт, поставляемый на олигопольный рынок, может быть как стандартизированным, так и дифференцированным. Главной причиной формирования олигопольного рынка является существенная экономия от масштаба производства, приводящая к возникновению значительных барьеров входа-выхода и, следовательно, положительной прибыли экономических агентов в долгосрочном периоде.

Принимая решения относительно своих действий, фирмы в условиях олигополии должны учитывать возможную реакцию конкурентов. Учет ответных действий конкурентов в условиях стратегического взаимодействия фирм на олигопольных рынках описывается с помощью инструментария, разработанного в рамках теории игр.

Элементами каждой игры являются игроки, их стратегии и выигрыши, обычно трактуемые как полезность или прибыль участников игры.

Классификация игровых моделей олигополии может осуществляться по:

• числу игроков (классическая оптимизация – это модель с одним игроком);
• числу стратегий: конечные и бесконечные;
• свойствам функций выигрыша: с нулевой суммой (антагонистические), с ненулевой суммой, с постоянной разностью (и выигрыши, и проигрыши одновременно);
• возможностям предварительных переговоров и взаимодействия игроков в ходе игры (кооперативные и некооперативные);
• принципам принятия решений (одновременные и последовательные);
• повторяемости взаимодействия (однократные и с многократным взаимодействием).

Рассмотрим сначала игры с одновременными ходами участников – так называемые игры в нормальной форме. В таких играх каждый из участников принимает решение независимо, не зная о действиях, предпринятых другими игроками, после чего определяются фактические выигрыши всех сторон. Предполагается, что игроки располагают полной информацией о возможных действиях других участников и возникающих при этом выигрышах. Матрица выигрышей, или платежная матрица, демонстрирует соотношение между потенциальными выигрышами игроков при любом сочетании выбранных ими стратегий.

Одним из важнейших понятий, характеризующих решения некооперативных игр, является равновесие по Нэшу³. Равновесие по Нэшу – это такое сочетание стратегий конкурентов, когда никому из них невыгодно отклониться от своей стратегии в одиночку, при условии, что остальные игроки придерживаются своих равновесных стратегий.

Одним из простейших типов игр являются игры с доминирующими стратегиями участников. В теории игр доминирующей является такая стратегия, которая приносит более предпочтительный результат независимо от стратегии, использованной партнером. Если оба игрока имеют доминирующие стратегии, то равновесным решением игры будет одновременное применение их каждым из игроков.

Так называемая игра “Дилемма заключенных” представляет собой один из наиболее известных примеров игр с доминирующими стратегиями. Предположим, что двое заключенных подозреваются в совершении какого-то преступления. При невозможности заключения договоренности между ними каждый сталкивается с альтернативой: признаться или не признаваться в содеянном. Судебный орган проводит политику, нацеленную на получение признательных показаний подозреваемых. Если один из них соглашается дать показания о вине другого, который при этом не сознается, то признавшемуся гарантируется смягчение наказания, скажем, полный отказ от судебного преследования; тогда как другого ожидает самая суровая кара (c). Если оба преступника идут на сотрудничество со следствием, давая показания друг на друга, то каждого из них ожидает менее жесткое наказание (b). Если же не сознается ни один из подозреваемых, то следствие, не располагающее прямыми доказательствами их вины, не может обвинить их обоснованно, и их ждет еще более мягкое наказание (a). Платежная матрица в данной игре содержит информацию о потенциальных потерях сторон (табл. 6.1). В каждой из ячеек здесь наказание игрока под номером один приводится первым. В соответствии с предпосылками игры, потери сторон в “дилемме заключенных” связаны между собой неравенством: \(a \lt b \lt c\).

Схема решения игры с одновременными ходами участников такова: для каждого из игроков следует определить наилучший ответ на любое действие другого. Если стратегия i для первого игрока является наилучшим ответом на стратегию j второго, и одновременно стратегия j второго участника игры представляет собой наилучший ответ на стратегию i первого, то такая пара стратегий будет составлять равновесие по Нэшу.

Будем подчеркивать выигрыш, соответствующий наилучшему ответу каждого из игроков на данную стратегию другого, в матрице выигрышей “дилеммы заключенных”. В данной игре каждый из участников имеет доминирующую стратегию – “признание”: при этом проигрыш каждого игрока является наименьшим при любой стратегии – “признания” или “непризнания” другого игрока. Ячейка, расположенная на пересечении доминирующих стратегий игроков, соответствует равновесию по Нэшу.

Достижение этого равновесного состояния можно проиллюстрировать по-другому. Допустим, изначально игрок 1 рассчитывает на стратегию “непризнание”. Если при этом такую же стратегию выбирает второй игрок, то наилучшим ответом первого будет изменить стратегию на “признание”. Это иллюстрирует стрелка, ориентированная из левой верхней ячейки вправо. В свою очередь оптимальным ответом второго игрока на “признание” первого будет переход к такой же стратегии. Это показывает стрелка, направленная вниз из верхней правой ячейки. В итоге игроки оказываются в правой нижней ячейке, и первому игроку уже не нужно менять свою стратегию в ответ на выбор второго, поскольку любое отклонение от стратегии “признания” ухудшит его положение.

Аналогично, если исходно игрок №2 рассчитывает на стратегию “непризнания”, и если эту же стратегию выбирает игрок №1, то второму лучше сменить стратегию на “признание” (стрелка, направленная вниз из левого верхнего угла платежной матрицы). При этом наилучшим ответом перового будет также признаться (стрелка вправо из левой нижней ячейки), и игроки оказываются в правом нижнем углу матрицы выигрышей, когда второму уже не нужно корректировать свои действия в ответ на решения первого, поскольку любое отклонение от стратегии “признания” будет означать для него увеличение потерь. Таким образом, сочетание стратегий “признания” двух участников представляет собой равновесие по Нэшу в игре “дилемма заключенных”.

Таблица 6.1. Платежная матрица “дилеммы заключенных”

		Игрок 2
		Непризнание	Признание
Игрок 1	Непризнание	→ ↓ a,a	c,0 ↓
	Признание	0,c →	b,b

Тем не менее, равновесие по Нэшу может не соответствовать максимальному выигрышу каждого из игроков. Соответствующая ему пара стратегий будет равновесной при некооперативном взаимодействии между игроками. Но если бы игроки имели возможность договариваться о совместных действиях, то, в частности, в “дилемме заключенных” они предпочли бы одновременно придерживаться стратегии “непризнания”, ведь комбинация выигрышей (a,a) означает снижение наказания для каждого из участников, по сравнению с наказаниями в условиях равновесия по Нэшу (b,b).

“Дилемма заключенных” имеет важные экономические приложения. В частности, как будет показано ниже, она может служить иллюстрацией взаимодействия фирм в условиях олигополии.

Возможна ситуация множественности равновесий по Нэшу. Например, в игре ниже (табл. 6.2) присутствуют два таких равновесия. В платежной матрице здесь выигрыши игрока 1 стоят слева, а игрока 2 – справа в каждой ячейке. Как видно, в данной игре у сторон отсутствуют доминирующие стратегии. Используя данную матрицу выигрышей, можно определить состояния равновесия по Нэшу в чистых стратегиях в игре с одновременными ходами. Это будут наборы стратегий точки \((\alpha, \beta)\) и \((\beta, \alpha)\).

Таблица 6.2. Пример множественности равновесий по Нэшу

		Игрок 2
		Стратегия \(\alpha\)	Стратегия \(\beta\)
Игрок 1	Стратегия \(\alpha\)	3,3	2,4
	Стратегия \(\beta\)	4,2	1,1

Игру нормальной формы можно преобразовать в две игры развернутой формы (с последовательным взаимодействием между участниками), когда игрок 1 получает право на ход первым либо первым действует игрок 2. Применительно к игре, рассмотренной выше (табл. 6.2, рис. 6.33), в первом случае равновесие по Нэшу – это профиль стратегий \((\beta, \alpha)\), в во втором – \((\alpha, \beta)\).

Рисунок 6.33. Два дерева игры в развернутой форме

Методом решения игр с последовательным взаимодействием сторон является так называемая “обратная индукция”. Она предполагает анализ принятия решений участниками начиная с последнего узла дерева игры с последовательным возвращением к корневому узлу.

Рассмотрим теперь принципы максимизации прибыли фирмами с учетом возможного стратегического взаимодействия между ними в условиях несовершенной конкуренции.

Одним из критериев классификации олигополистических рыночных структур может служить стратегическая переменная, по которой осуществляется взаимодействие между конкурентами: цена либо объем производства. Будем рассматривать конкурирующие между собой фирмы, которые максимизируют прибыль с точки зрения определения оптимального объема выпускаемой продукции.

Если рынок не полностью монополизирован одним производителем, то для каждой из крупных конкурирующих фирм функция прибыли записывается в следующем виде:

\(\mathit{PR}_{i}\text{=}p(Q)q_{i}\text{-}\mathit{TC}_{i}\left( q_{i} \right),\)

где \(q_{i}\) – это объем производства каждой, i-й фирмы; \(Q\text{=}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}q_{i}}\) – совокупный выпуск продукции в отрасли.

Здесь предполагается, что продукция является стандартизованной, недифференцированной, а значит, на рынке существует единый уровень цены, по которой продают продукцию все фирмы.

Необходимым условием максимума прибыли является равенство нулю первой производной по количеству выпускаемой продукции:

\(\frac{\partial\mathit{PR}_{i}}{\partial q_{i}}\text{=}\frac{\partial\left( {p(Q)q_{i}} \right)}{\partial q_{i}}\text{-}\frac{\partial\mathit{TC}_{i}}{\partial q_{i}}\text{=}p(Q)\text{+}\frac{\partial p(Q)}{\partial Q}\frac{\partial Q}{\partial q_{i}}q_{i}\text{-}\mathit{MC}_{i}\text{=}p(Q)\text{+}\frac{\partial p(Q)}{\partial Q}\left( {1\text{+}\frac{\partial Q_{i}}{\partial q_{i}}} \right)q_{i}\text{-}\mathit{MC}_{i}\text{=}p(Q)\text{+}\frac{\partial p(Q)}{\partial Q}\left( {1\text{+}\lambda_{i}} \right)q_{i}\text{-}\mathit{MC}_{i}\text{=}p\left( {\rho_{i}\left( {1\text{+}\lambda_{i}} \right)E_{q}^{d}\text{+}1} \right)\text{-}\mathit{MC}_{i}\text{=}p(Q)\left( {\frac{\rho_{i}\left( {1\text{+}\lambda_{i}} \right)}{E_{p}^{d}}\text{+}1} \right)\text{-}\mathit{MC}_{i}\text{=}0,\)

т.е.

\(p(Q)\left( {\frac{\rho_{i}\left( {1\text{+}\lambda_{i}} \right)}{E_{p}^{d}}\text{+}1} \right)\text{=}\mathit{MC}_{i}.(6.84)\)

Здесь \(Q_{i}\text{=}{\sum\limits_{j\text{=}1,j\neq i}^{n}q_{j}}\text{=}Q\text{-}q_{i}\) – объем производства всех фирм на рынке за исключением i-го производителя, \(n\) – общее количество фирм в отрасли, \(\rho_{i}\text{=}\frac{q_{i}}{Q}\) – доля выпуска i-ой фирмы в общеотраслевом объеме производства, \(\lambda_{i}\text{=}\frac{\partial Q_{i}}{\partial q_{i}}\) – предположительная вариация для i-го производителя, или показатель интенсивности ответной реакции остальных участников рынка на изменение объема производства со стороны данной фирмы.

Ситуации абсолютной монополии соответствует значение \(\lambda_{i}\text{=}0\) при \(\rho_{i}\text{=}1\). При этом условие максимизации прибыли несовершенного конкурента редуцируется к тривиальному условию равновесия фирмы – абсолютной монополии, которое, таким образом, является следствием более общей теории несовершенной конкуренции, учитывающей взаимодействие между фирмами и их ответные реакции на действия соперников.

Значение коэффициента предположительной вариации \(\lambda_{i}\text{=}\text{-}1\) соответствует ситуации совершенной конкуренции. В этом случае наблюдается так называемое компенсирующее поведение фирм на рынке, когда ответная реакция остальных производителей полностью нейтрализует действия, предпринимаемые данной фирмой, которая в результате этого оказывается не в силах повлиять на рыночную цену производимого продукта. Это приводит к тому, что цена в отрасли устанавливается на уровне предельных издержек, поскольку предельная выручка в данном случае совпадает с рыночной ценой продукции \(\left( {p\text{=}\mathit{MR}_{i}\text{=}\mathit{MC}_{i}} \right)\).

Концентрация производства и капитала в отрасли приводит к тому, что фирмы приобретают значительную рыночную власть, то есть возможность влиять на параметры, характеризующие функционирование отрасли, а именно цену продукции, объем отраслевого производства, количество фирм в отрасли и остроту конкуренции, норму прибыли и т.д. При наличии нескольких фирм, работающих в условиях несовершенной конкуренции, в силу условия максимизации прибыли (6.84), формула для расчета индекса Лернера, характеризующего степень рыночной власти, приобретает вид⁴:

\(L_{i}\text{=}\frac{p(Q)\text{-}\mathit{MC}_{i}}{p(Q)}\text{=}\text{-}\frac{\rho_{i}}{E_{p}^{d}}\left( {1\text{+}\lambda_{i}} \right).(6.85)\)

На практике обычно значение индекса Лернера, то есть уровень монополизации отрасли, лежит между нулем и единицей. Нулевое значение соответствует ситуации совершенной конкуренции, когда p=MC и рыночная власть фирм отсутствует.

Рассмотрим элементарные теоретические модели, которые могут служить инструментарием анализа взаимодействия фирм на олигопольных рынках.

Модель Курно представляет собой простейший вариант описания конкуренции между олигополистами, в которой основной переменной, на которую ориентируются фирмы при принятии решений, является объем выпускаемой продукции. В базовой модели дуополии Курно⁵ фирмы, присутствующие на рынке однородного продукта, считаются идентичными. Допустим для простоты, что функции издержек и рыночного спроса являются линейными: \(\mathit{TC}_{i}\text{=}cq_{i},i\text{=}(1,2)\), \(P\text{=}a\text{-}\mathit{bQ}\), где \(Q\text{=}q_{1}\text{+}q_{2}\) – рыночный объем продаж; a, b, с – положительные константы. Следовательно, предельные издержки фирм постоянны и равны между собой: \(\mathit{MC}\text{=}c\).

Рассмотрим сначала одновременное взаимодействие конкурентов. Распишем функции прибылей олигополистов:

\(\mathit{PR}_{1}\text{=}\mathit{TR}_{1}\text{-}\mathit{TC}_{1}\text{=}\left( {a\text{-}b\left( {q_{1}\text{+}q_{2}} \right)} \right)q_{1}\text{-}cq_{1}\text{=}\text{-}bq_{1}^{2}\text{-}bq_{1}q_{2}\text{+}\left( {a\text{-}c} \right)q_{1};\)

\(\mathit{PR}_{2}\text{=}\mathit{TR}_{2}\text{-}\mathit{TC}_{2}\text{=}\left( {a\text{-}b\left( {q_{1}\text{+}q_{2}} \right)} \right)q_{2}\text{-}cq_{2}\text{=}\text{-}bq_{2}^{2}\text{-}bq_{1}q_{2}\text{+}\left( {a\text{-}c} \right)q_{2}.\)

В модели Курно предполагается, что каждый из максимизирующих прибыль олигополистов при определении своего оптимального объема производства рассматривает выпуск соперника как величину заданную, неизменную, то есть считает, что конкурент никак не отреагирует на его действия. Поэтому при дифференцировании функций прибыли каждого из дуополистов объем производства его соперника в качестве константы выносится за знак производной. В условиях равновесия по Нэшу в дуополии Курно производные прибыли каждого из олигополистов должны одновременно равняться нулю:

\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{\partial\mathit{PR}_{1}}{\partial q_{1}}\text{=}a\text{-}c\text{-}2bq_{1}\text{-}bq_{2}\text{=}0,} \\ {\frac{\partial\mathit{PR}_{2}}{\partial q_{2}}\text{=}a\text{-}c\text{-}2bq_{2}\text{-}bq_{1}\text{=}0.} \\ \end{matrix} \right.(6.86)\)

Следовательно, функции реакции дуополистов будут иметь следующий вид:

\(q_{i}\text{=}\frac{a\text{-}c}{2b}\text{-}\frac{q_{j}}{2},i,j\text{=}\{ 1,2\}.(6.87)\)

Функции реакции показывают, как будет меняться объем производства каждой из фирм в ответ на вариацию выпуска конкурента. Решая данную систему, находим оптимальный объем производства каждого из делящих рынок поровну дуополистов Курно с одинаковыми и постоянными предельными издержками (рис. 6.34):

\(q_{i}^{\text{*}}\text{=}\frac{a\text{-}c}{3b},i\text{=}\{ 1,2\}.(6.88)\)

Прибыли дуополистов в состоянии равновесия по Курно-Нэшу составят:

\(\mathit{PR}_{1}\text{=}\mathit{PR}_{2}\text{=}\frac{\left( {a\text{-}c} \right)^{2}}{9b}.\)

Конкуренции фирм по Курно соответствуют нулевые предположительные вариации для каждой из фирм: \(\lambda_{i}\text{=}0,i\text{=}\{ 1,2\}\). Это означает именно то, что предполагается в данной модели: при определении оптимального объема производства каждая из фирм считает выпуск соперника неизменным, установленным на уровне текущей величины. Если предположить, что функции издержек олигополистов и функция спроса являются линейными: \(\mathit{TC}_{i}\text{=}cq_{i},i\text{=}\{ 1,2\}\), \(P\text{=}a\text{-}\mathit{bQ}\), функции реакции дуополистов Курно согласно общему условию максимизации прибыли несовершенного конкурента (6.84) будут иметь тот вид, который был нами получен только что выше.

Проанализируем теперь последовательное, итеративное взаимодействие между дуополистами Курно в дискретном времени. Вначале одна из фирм, полагая себя единственным производителем в отрасли, будет вести себя подобно монополии, максимизирующей прибыль:

\(\mathit{MR}_{1}\text{=}a\text{-}2bQ_{1}\text{=}\mathit{MC}\text{=}c.\)

Очевидно, что оптимальным для нее будет монопольный объем производства (рис. 6.35):

\(Q_{1}\text{=}\frac{a\text{-}c}{2b}.\)

Далее, вторая фирма будет действовать, принимая во внимание объем выпуска первой \(\left( {P_{2}\text{=}a\text{-}bQ_{1}\text{-}bQ_{2}} \right)\), но при этом предполагая его постоянной величиной:

\(\mathit{MR}_{2}\text{=}a\text{-}bQ_{1}\text{-}2bQ_{2}\text{=}\mathit{MC}\text{=}c.\)

Отсюда получаем:

\(Q_{2}\text{=}\frac{a\text{-}c}{2b}\text{-}\frac{Q_{1}}{2}\text{=}\frac{a\text{-}c}{2b}\text{-}\frac{a\text{-}c}{4b}\text{=}\frac{a\text{-}c}{4b}.\)

На третьей итерации первая фирма так же будет уже учитывать остаточный спрос на свою продукцию: \(P_{3}\text{=}a\text{-}bQ_{2}\text{-}bQ_{3}\), а значит,

\(\mathit{MR}_{3}\text{=}a\text{-}bQ_{2}\text{-}2bQ_{3}\text{=}c,\)

т.е.

\(Q_{3}\text{=}\frac{a\text{-}c}{2b}\text{-}\frac{Q_{2}}{2}\text{=}\frac{a\text{-}c}{2b}\text{-}\frac{a\text{-}c}{4b}\text{+}\frac{a\text{-}c}{8b}\text{=}\frac{a\text{-}c}{4b}\text{+}\frac{a\text{-}c}{8b}\text{=}\frac{3\left( {a\text{-}c} \right)}{8b}.\)

Очевидно, что оптимальный ответ каждого из дуополистов на заданный объем производства конкурента будет иметь вид (6.87). Таким образом, n-ая итерация даст:

\(Q_{n}\text{=}\frac{a\text{-}c}{2b}\text{-}\frac{Q_{n\text{-}1}}{2}\text{=}\frac{a\text{-}c}{2b}\text{-}\frac{a\text{-}c}{4b}\text{+}\frac{a\text{-}c}{8b}\text{-}\cdots\text{+}{(\text{-}1)}^{n\text{-}1}\frac{(a\text{-}c)}{2^{n}b}.(6.89)\)

Суммируя геометрическую прогрессию в правой части данного выражения, получаем:

\(Q_{n}\text{=}\frac{(a\text{-}c)}{3b}\left( {1\text{-}\left( {\text{-}\frac{1}{2}} \right)^{n}} \right),\)

а значит,

\({\lim\limits_{n\rightarrow\infty}Q_{n}}\text{=}\frac{(a\text{-}c)}{3b}.(6.90)\)

Покажем теперь, как к тем же результатам приводит взаимодействие дуополистов Курно в непрерывном времени. Исходное уравнение в конечных разностях вытекает из анализа модели Курно в дискретном времени. Вычитая \(Q_{n\text{-}1}\) из левой и правой частей первого равенства в формуле (6.89), получаем:

\(Q_{n}\text{-}Q_{n\text{-}1}\text{=}\frac{a\text{-}c}{2b}\text{-}\frac{3}{2}Q_{n\text{-}1}.\)

Этому конечно-разностному – соответствует дифференциальное уравнение:

\(\frac{\mathit{dQ}(t)}{\mathit{dt}}\text{=}\frac{a\text{-}c}{2b}\text{-}\frac{3}{2}Q(t),\mathit{или}\frac{\mathit{dQ}(t)}{\mathit{dt}}\text{+}\frac{3}{2}Q(t)\text{=}\frac{a\text{-}c}{2b}.(6.91)\)

Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (6.91) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного. Поэтому для решения данного уравнения необходимо вначале решить соответствующее однородное уравнение:

\(\frac{\mathit{dQ}}{\mathit{dt}}\text{=}\text{-}\frac{3}{2}Q.\)

Разделяя переменные, интегрируем данное уравнение:

\({\int{d\ln|Q|}}\text{=}\text{-}\frac{3}{2}{\int\mathit{dt}}\text{+}\ln c_{1},\)

или

\(\ln|Q|\text{=}\text{-}\frac{3}{2}t\text{+}\ln c_{1}.\)

Потенцируя, получаем общее решение анализируемого однородного уравнения:

\(Q(t)\text{=}c_{1}e^{\text{-}\frac{3}{2}t}.\)

Для решения исходного неоднородного уравнения (6.91) применяем метод вариации постоянной:

\(Q(t)\text{=}c_{1}(t)e^{\text{-}\frac{3}{2}t}.\)

Подставляем данное выражение в (6.91):

\(\frac{dc_{1}(t)}{\mathit{dt}}e^{\text{-}\frac{3}{2}t}\text{-}\frac{3}{2}c_{1}(t)e^{\text{-}\frac{3}{2}t}\text{=}\frac{a\text{-}c}{2b}\text{-}\frac{3}{2}c_{1}(t)e^{\text{-}\frac{3}{2}t}.\)

Проводя очевидные упрощения и разделяя переменные, получаем:

\(dc_{1}(t)\text{=}\frac{(a\text{-}c)}{2b}e^{\frac{3}{2}t}\mathit{dt}\text{=}\frac{(a\text{-}c)}{3b}de^{\frac{3}{2}t}.\)

Интегрируя, находим множитель

\(c_{1}(t)\text{=}\frac{(a\text{-}c)}{3b}e^{\frac{3}{2}t}\text{+}c_{2}.\)

Следовательно, решение неоднородного уравнения (6.91) имеет вид:

\(Q(t)\text{=}c_{1}e^{\text{-}\frac{3}{2}t}\text{+}\frac{a\text{-}c}{3b}.\)

где

\(c_{1}\text{=}Q(0)\text{-}\frac{a\text{-}c}{3b}.\)

т.е.

\(Q(t)\text{=}\frac{a\text{-}c}{3b}\text{+}\left( {Q(0)\text{-}\frac{a\text{-}c}{3b}} \right)e^{\text{-}\frac{3}{2}t}.\)

В пределе аналогично (6.90) получаем оптимальный объем производства каждого из дуополистов Курно (6.88):

\({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{Q(t)}}\text{=}\frac{(a\text{-}c)}{3b}.\)

Возможно обобщение модели дуополии Курно на ситуацию с \(n\) фирмами, взаимодействующими в отрасли, когда рыночная цена при предположении о линейности рыночного спроса будет определяться соотношением:

\(P\text{=}a\text{-}b{\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}q_{i}}.\)

Будем предполагать, как и ранее, постоянство предельных издержек: \(\mathit{MC}\text{=}c\).

Тогда максимизация прибыли каждой из фирм-олигополистов задает систему уравнений реакции:

\(\left\{ \begin{matrix} {a\text{-}\mathit{bQ}\text{-}q_{1}b\text{=}c,} \\ {a\text{-}\mathit{bQ}\text{-}q_{2}b\text{=}c,} \\ \cdots \\ {a\text{-}\mathit{bQ}\text{-}q_{n}b\text{=}c.} \\ \end{matrix} \right.\)

Суммируя построчно равенства в данной системе, получаем: \(\mathit{na}\text{-}(n\text{+}1)\mathit{bQ}\text{=}\mathit{nc}\), т.е. объем производства отрасли в целом составит:

\(Q\text{=}\frac{n(a\text{-}c)}{(n\text{+}1)b}.\)

Объем производства каждой из фирм в отдельности будет определяться соответствующим уравнением реакции в системе выше:

\(q_{i}\text{=}\frac{a\text{-}c}{b}\text{-}Q\text{=}\frac{a\text{-}c}{\left( {n\text{+}1} \right)b}\text{=}\frac{Q}{n}.(6.92)\)

Обратим внимание на то, что в условиях конкурентного равновесия спрос равняется предложению – предельным издержкам c: \(Q_{c}\text{=}\frac{a\text{-}c}{b}\). Выпуск каждого из олигополистов Курно (6.92), равный \(\frac{1}{n\text{+}1}\) объема производства конкурентной отрасли, при большом числе производителей на рынке незначительно отличается от количества продукции конкурентной фирмы \(q_{i}^{c}\text{=}\frac{Q_{c}}{n}\text{=}\frac{a\text{-}c}{\mathit{nb}}\).

Таким образом, с ростом количества фирм равновесие в модели олигополии Курно приближается к конкурентному, когда спрос равняется предложению – предельным издержкам⁶:

\(Q_{c}\text{=}\frac{a\text{-}c}{b}.\)

Действительно, в условиях олигополии Курно, когда предположительные вариации равны нулю \(\left( {\lambda_{i}\text{=}0} \right)\), условие максимизации прибыли фирмой – несовершенным конкурентом (6.84) принимает вид:

\(p(Q)\left( {\frac{\rho_{i}}{\epsilon_{p}^{d}}\text{+}1} \right)\text{-}\mathit{MC}_{i}\text{=}0.\)

При неограниченном увеличении числа фирм их рыночные доли будут стремиться к нулю, и условие максимизации прибыли в пределе будет совпадать с правилом для совершенно конкурентной фирмы (2.142).

Возможно развитие модели Курно, когда один из конкурентов выступает в роли фирмы-лидера. Рассмотрим простейшую ситуацию, когда на рынке присутствуют только две фирмы – лидер и последователь. Фирма-последователь, принимая решение об оптимальной для себя величине выпуска, воспринимает объем производства лидера как величину заданную, фиксированную, т.е. ведет себя подобно конкуренту по Курно. Фирма-лидер знает о таком стиле поведения последователя и учитывает это при принятии решения об оптимальном объеме производства. Это поведение фирм описывает модель дуополии Штакельберга⁷.

Пусть в дуополии Штакельберга рыночный спрос описан линейной функцией, а предельные издержки постоянны и равны для фирм, из которых первая является лидером. В соответствии с предположением модели, поведение последователя характеризуется уравнением реакции, которое известно лидеру и учитывается им при построении своей функции прибыли

\(\mathit{PR}_{1}\text{=}\mathit{TR}_{1}\text{-}\mathit{TC}_{1}\text{=}\left( {a\text{-}b\left( {q_{1}\text{+}q_{2}} \right)} \right)q_{1}\text{-}cq_{1}\text{=}\left( {a\text{-}b\left( {q_{1}\text{+}\frac{a\text{-}c}{2b}\text{-}\frac{q_{1}}{2}} \right)} \right)q_{1}\text{-}cq_{1}\text{=}\frac{(a\text{-}c)}{2}q_{1}\text{-}\frac{b}{2}q_{1}^{2}\)

и определении оптимального объема производства

\(\frac{\partial\mathit{PR}_{1}}{\partial q_{1}}\text{=}\frac{a\text{-}c}{2}\text{-}bq_{1}\text{=}0.\)

Следовательно,

\(q_{1}\text{=}\frac{a\text{-}c}{2b},q_{2}\text{=}\frac{a\text{-}c}{4b}.\)

Максимизируя прибыль, фирма-лидер переходит на самую низкую изопрофиту, которая имеет хотя бы одну общую точку с линией реакции последователя (рис. 6.36).

Рисунок 6.36. Равновесие в дуополии с лидерством в объемах производства по Штакельбергу

Графически равновесие в модели лидера-последователя по объему выпускаемой продукции можно проиллюстрировать точкой касания изопрофиты лидера

\(q_{2}\text{=}\frac{a\text{-}c}{b}\text{-}q_{1}\text{-}\frac{{\overline{\mathit{PR}}}_{1}}{bq_{1}},\)

то есть линии равной прибыли, которая имеет перевернутый U-образный вид, и линии реакции последователя⁸.

Так же, как и дуополия Курно, равновесие в модели Штакельберга может быть проанализировано с помощью общего правила максимизации прибыли фирмой-несовершенным конкурентом (6.84). Поскольку в модели количественного лидерства Штакельберга последователь (с номером i=2) действует как дуополист Курно при \(\lambda_{2}\text{=}0\), постольку, при линейных функциях издержек олигополистов и функции спроса: \(\mathit{TC}_{i}\text{=}cq_{i},i\text{=}\{ 1,2\}\), \(P\text{=}a\text{-}\mathit{bQ}\), предположительная вариация лидера \(\lambda_{1}\text{=}\frac{\partial q_{2}}{\partial q_{1}}\text{=}\text{-}\frac{1}{2}\).

Возможен также анализ видоизмененной модели Штакельберга, когда обе фирмы претендуют на роль лидеров. В этом случае при линейных издержках и спросе данная величина предположительной вариации будет характеризовать поведение каждой из фирм: \(\lambda_{1}\text{=}\lambda_{2}\text{=}\text{-}½\).

Рассмотрим теперь обобщение модели олигополии Штакельберга на ситуацию, когда на рынке присутствует \(n\) фирм, в том числе одна фирма-лидер и \(n\text{-}1\) фирм-последователей. Допустим, что рыночный спрос имеет вид \(P\text{=}a\text{-}\mathit{bQ}\), а предельные издержки постоянны: \(\mathit{MC}\text{=}c\).

Максимизация прибыли каждой из \(n\text{-}1\) фирм-последователей задает систему:

\(\left\{ \begin{matrix} {a\text{-}\mathit{bQ}\text{-}q_{1}b\text{=}c,} \\ {a\text{-}\mathit{bQ}\text{-}q_{2}b\text{=}c,} \\ \cdots \\ {a\text{-}\mathit{bQ}\text{-}q_{n\text{-}1}b\text{=}c.} \\ \end{matrix} \right.\)

Суммируя построчно равенства в данной системе:

\(\left( {n\text{-}1} \right)a\text{-}\left( {n\text{-}1} \right)b\left( {Q_{L}\text{+}q_{L}} \right)\text{-}bQ_{L}\text{=}\left( {n\text{-}1} \right)c,\)

можно получить зависимость между совокупным выпуском всех фирм-последователей \(\left( Q_{L} \right)\) и выпуском лидера \(\left( q_{L} \right)\):

\(Q_{L}\text{=}\frac{(n\text{-}1)(a\text{-}c)}{\mathit{nb}}\text{-}\frac{\left( {n\text{-}1} \right)}{n}q_{L}.\)

Учитывая данное соотношение в своей функции прибыли:

\(\mathit{PR}_{L}\text{=}\left( {a\text{-}\mathit{bQ}} \right)q_{L}\text{-}cq_{L}\text{=}\left( {a\text{-}c} \right)q_{L}\text{-}bQ_{L}q_{L}\text{-}bq_{L}^{2}\text{=}\frac{\left( {a\text{-}c} \right)}{n}q_{L}\text{-}\frac{b}{n}q_{L}^{2},\)

фирма-лидер в соответствии с необходимым условием ее максимума рассчитывает оптимальный объем производства:

\(q_{L}\text{=}\frac{a\text{-}c}{2b}.\)

Следовательно, выпуск последователей составит:

\(Q_{L}\text{=}\frac{(n\text{-}1)(a\text{-}c)}{2\mathit{nb}},q_{j}\text{=}\frac{a\text{-}c}{2\mathit{nb}}.\)

Обратим внимание на то, что независимо от числа фирм-последователей, выпуск лидера равен половине отраслевого выпуска в условиях совершенной конкуренции.

Полярными рыночными структурами являются совершенная конкуренция и монополия. Олигопольные структуры можно различать в соответствии с тем, к какому из этих полюсов они тяготеют. Соответственно, можно выделять модели олигополии с конкурентным либо с монопольным исходом.

Принципы принятия решений доминирующей фирмой во многом похожи на логику действий монополиста. Доминирующий рыночный субъект зачастую является результатом кооперативных взаимодействий предприятий. Одним из типов таких взаимодействий является формирование картельных образований. Картель – это объединение нескольких (или всех) продавцов (покупателей) – олиголистов на рынке данного товара, которое создается с целью максимизации отраслевой прибыли посредством проведения единой политики на данном рынке, в частности назначения единой цены всеми продавцами (покупателями) и/или согласованное ее изменение, квотирования объемов выпуска (закупок) участников данной организации, а также для централизованного управления условиями производства.

Рынки картельного типа бывают нескольких видов. Во-первых – это собственно картель, то есть объединение экономически и юридически самостоятельных предприятий, ограничивающее между ними конкуренцию. Можно выделить картели по объему (квотовый) и характеристикам производства (специализации), а также картели по ценам и связанным с ними характеристикам (минимальным границам цен, скидкам, ценовому поведению в ходе тендеров и по противодействию иностранным конкурентам и т.п.). Во-вторых – это синдикат, то есть объединение предприятий, теряющих сбытовую самостоятельность, причем образуется сбытовая контора синдиката и предприятия выходят на рынок только через эту контору. И, наконец, в-третьих – это трест, то есть объединение предприятий, теряющих производственную и сбытовую самостоятельность. Предприятия в этом случае объединяются в единую фирму. Перечисленные выше формы ограничений конкуренции можно рассматривать в качестве последовательных ступеней горизонтальной интеграции предприятий, то есть процесса концентрации капитала. Объединения картельного типа в экономике России все больше приобретают ярко выраженный трестовый характер, проявляющийся в функционировании финансово-промышленных групп.

Формально функционирование картеля может быть описано следующим образом. Пусть в картель объединяются \(n\) предприятий. Предположим, что картель является полным, то есть все фирмы в отрасли заключают сговор о разделе рынка, формируя тем самым общеотраслевую монополию с производством, сосредоточенным на \(n\) отдельных предприятиях. Ключевым элементом картельного соглашения является установление квот \(\left( \rho_{i} \right)\) на выпуск для каждого из его участников как долей в совокупном объеме производства: \(\rho_{i}\text{=}\frac{q_{i}}{Q}\).

Каждая фирма – член картеля располагает своей функцией издержек, которая определяется ее производственной функцией, задаваемой технологией производства на данном предприятии. Как правило, предприятия, входящие в картель, технологически обособлены друг от друга, т.е. издержки производства каждого предприятия \(\left( \mathit{TC}_{j} \right)\) напрямую не зависят от объемов производства \(\left( q_{i} \right)\) других участников картельного сговора: \(\frac{\partial\mathit{TC}_{j}}{\partial q_{i}}\text{=}0,i,j\in\left\{ {1,\ldots,n} \right\},i\neq j\).

Руководство картеля будет стремиться решить задачу оптимизации размещения производства на входящих в него предприятиях с целью максимизации совокупной прибыли картеля:

\(\underset{q_{i},i\text{=}1,\ldots,n}{\mathit{\max}}\mathit{PR}\text{=}\underset{q_{i},i\text{=}1,\ldots,n}{\mathit{\max}}\left\{ {\mathit{pQ}\text{-}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}\mathit{TC}_{i}}} \right\},\)

где \(Q\text{=}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}q_{i}}\) – совокупный выпуск участников картельного сговора, в силу предложения о его полноте совпадающий с общеотраслевым объемом производства.

Необходимым условием максимума прибыли картеля является равенство нулю частных производных его функции прибыли по объемам выпусков подразделений данного монополиста. Картель, максимизирующий совокупную прибыль своих членов, будет распределять квоты между участниками сговора аналогично многозаводской монополии, оптимизирующей распределение наиболее выгодного для себя совокупного выпуска между своими подразделениями:

\(\frac{\partial\mathit{PR}}{\partial q_{i}}\text{=}\frac{\partial\mathit{TR}}{\partial q_{i}}\text{-}\frac{\partial\mathit{TC}}{\partial q_{i}}\text{=}\frac{\partial\mathit{TR}}{\partial Q}\bullet\frac{\partial Q}{\partial q_{i}}\text{-}{\sum\limits_{j\text{=}1}^{n}\frac{\partial\mathit{TC}_{j}}{\partial q_{i}}}\text{=}0,i\text{=}1,\ldots,n.\)

Максимизация совокупной прибыли будет достигаться при установлении таких квот для участников картельного сговора, которые уравнивали бы значения предельных издержек каждого из них в отдельности с величиной предельного дохода картеля в целом при оптимальном объеме производства.

Если соглашение о разделе рынка достигнуто и если все фирмы придерживаются своих квот, то объем производства каждой i-й фирмы будет пропорционален выпуску всех остальных членов картеля: \(Q_{i}\text{=}Q\text{-}q_{i}\text{=}\frac{q_{i}}{\rho_{i}}\text{-}q_{i}\text{=}q_{i}\left( {\frac{1}{\rho_{i}}\text{-}1} \right)\). В таких условиях величина предположительной вариации для каждой из фирм будет определяться исходя из соотношения суммарной квоты ее партнеров по сговору и ее собственной квоты: \(\lambda_{i}\text{=}\frac{\partial Q_{i}}{\partial q_{i}}\text{=}\frac{1\text{-}\rho_{i}}{\rho_{i}}\). Здесь налицо так называемое параллельное поведение фирм, заключивших монопольный сговор.

При этом максимизация индивидуальной прибыли каждым членом картеля как несовершенным конкурентом с учетом ответной реакции партнеров по разделу рынка, характеризуемой величиной предположительной вариации \(\lambda_{i}\text{=}\frac{\partial Q_{i}}{\partial q_{i}}\text{=}\frac{1\text{-}\rho_{i}}{\rho_{i}}\) (6.84), будет идентична максимизации прибыли картеля в целом:

\(\mathit{MR}\text{=}p(Q)\left( {\frac{1}{E_{p}^{d}}\text{+}1} \right)\text{=}\mathit{MC}_{i},i\text{=}1,\ldots,n.\)

Картель является неустойчивой рыночной структурой. С одной стороны, экономические силы участников картеля, как правило, не равны, поэтому у сильных участников картеля есть стимул подавить более слабых. С другой стороны, у каждого (i-го) участника картеля есть мотив в виде более высокой прибыли к превышению своей квоты в общем выпуске картеля⁹. Если остальные участники картеля (с номерами \(j\neq i,j\text{=}1,\ldots,n\)) соблюдают соглашение о квотах, то их суммарный выпуск будет составлять \(Q_{i}\text{=}{\sum\limits_{j\text{=}1,j\neq i}^{n}q_{j}}\text{=}{\sum\limits_{j\text{=}1,j\neq i}^{n}{\rho_{j}Q}}\text{=}Q{\sum\limits_{j\text{=}1,j\neq i}^{n}\rho_{j}}\). Тогда i-й член картеля столкнется с остаточным спросом в размере \(q_{\mathit{res}}^{i}\text{=}Q\text{-}Q{\sum\limits_{j\text{=}1,j\neq i}^{n}\rho_{j}}\), где \(Q{\sum\limits_{j\text{=}1,j\neq i}^{n}\rho_{j}}\) – постоянная величина. Оптимальной конкурентной стратегией для данной фирмы будет уклонение от условий картельного соглашения и максимизация индивидуальной прибыли на остаточном спросе в соответствии с реакцией по Курно. Это значит, что фирма-нарушитель будет руководствоваться общим правилом максимизации прибыли для несовершенного конкурента (6.84) при нулевом коэффициенте предположительной вариации \((\lambda_{i}\text{=}0)\), когда отраслевой выпуск будет иметь следующее выражение: \(Q\text{=}q_{\mathit{res}}^{i}\text{+}Q{\sum\limits_{j\text{=}1,j\neq i}^{n}\rho_{j}}\). Такая логика будет подталкивать фирму к превышению индивидуальной квоты на выпуск, назначенной ей в рамках картеля. При этом рыночная цена на данный продукт окажется ниже монопольного уровня, что будет негативно сказываться на прибыли остальных участников картельного сговора.

Итак, картель предполагает кооперативное взаимодействие между фирмами на олигопольном рынке. При этом фирмы могут добиться увеличения прибыли по сравнению с конкурентным равновесием по Нэшу. В частности, при линейных функциях спроса \(P\text{=}a\text{-}\mathit{bQ}\) и издержек \(\mathit{TC}_{i}\text{=}cq_{i}\) выпуск картеля в целом составит: \(Q\text{=}\frac{a\text{-}c}{2b}\). Допустим для простоты, что на рынке присутствуют только две фирмы, которые и объединились в картель. Поскольку фирмы идентичны, логично предположить, что и их квоты в рамках картеля будут равны: \(q_{i}\text{=}\frac{a\text{-}c}{4b}\), \(i\text{=}\{ 1,2\}\). Тогда они будут делить монопольную прибыль пополам: \(\mathit{PR}_{i}\text{=}\frac{\left( {a\text{-}c} \right)^{2}}{8b}\).

При этом каждая из фирм (присвоим ей индекс i) будет иметь стимул к уклонению от картельного соглашения в соответствии с функцией реакции дуополиста Курно (6.87): \(q_{i}\text{=}\frac{a\text{-}c}{2b}\text{-}\frac{q_{j}}{2}\), – при условии, что ее партнер (с номером j) будет придерживаться своей квоты в картеле, производя \(q_{j}\text{=}\frac{a\text{-}c}{4b}\). В такой ситуации выпуск нарушителя составит: \(q_{i}\text{=}\frac{3(a\text{-}c)}{8b}\), совокупный выпуск дуополистов достигнет значения \(Q\text{=}\frac{5(a\text{-}c)}{8b}\), рыночная цена установится на уровне \(P\text{=}\frac{3a\text{+}5c}{8}\), а прибыли фирм распределятся следующим образом: \(\mathit{PR}_{i}\text{=}\frac{9{(a\text{-}c)}^{2}}{64b}\), \(\mathit{PR}_{j}\text{=}\frac{3{(a\text{-}c)}^{2}}{32b}\).

Очевидно, что если бы заключение картельного соглашения было невозможно, и фирмы конкурировали бы по Курно, то они производили бы объем продукции \(q_{i}\text{=}\frac{a\text{-}c}{3b}\), а их прибыли оказались бы равны: \(\mathit{PR}_{1}\text{=}\mathit{PR}_{2}\text{=}\frac{\left( {a\text{-}c} \right)^{2}}{9b}\).

В таком случае взаимодействие фирм можно было бы представить в игровой форме, аналогичной “дилемме заключенных” (табл. 6.1). В условиях некооперативного взаимодействия между фирмами у каждой из них существует доминирующая стратегия, состоящая в том, чтобы увеличивать производство в соответствии со стратегией Курно. В итоге установится равновесие по Курно-Нэшу. При этом, если бы фирмы придерживались стратегии кооперативного, картельного взаимодействия, то они смогли бы увеличить совокупную прибыль до монопольных размеров (табл. 6.3).

Таблица 6.3. Конкуренция и кооперация в условиях дуополии

		Фирма 2
		Ограничивать выпуск картельной квотой	Увеличивать выпуск по стратегии Курно
Фирма 1	Ограничивать выпуск картельной квотой	\(\frac{\left( {a\text{-}c} \right)^{2}}{8b},\frac{\left( {a\text{-}c} \right)^{2}}{8b}\)	\(\frac{3{(a\text{-}c)}^{2}}{32b},\frac{9{(a\text{-}c)}^{2}}{64b}\)
	Увеличивать выпуск по стратегии Курно	\(\frac{9{(a\text{-}c)}^{2}}{64b},\frac{3{(a\text{-}c)}^{2}}{32b}\)	\(\frac{\left( {a\text{-}c} \right)^{2}}{9b},\frac{\left( {a\text{-}c} \right)^{2}}{9b}\)

Для того чтобы картельная организация была устойчива, посягательства на уклонение от условий сговора должны пресекаться радикальными экономическими санкциями по отношению к нарушителю. Жесткость этих мер зависит от соотношения потенциальных размеров выигрыша отдельной фирмы в случае нарушения картельного соглашения и ее гарантированной прибыли при соблюдении договоренности с партнерами.

Предположим, что изначально все фирмы, заключившие картельное соглашение, производят одинаковый объем продукции \(q_{i}^{\mathit{cart}}\). Их совокупный объем производства составляет

\(Q_{\mathit{cart}}\text{=}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}q_{i}^{\mathit{cart}}},\)

а прибыль каждого из участников картеля достигает величины

\(\mathit{PR}_{i}^{\mathit{cart}}\text{=}P\left( Q_{\mathit{cart}} \right)q_{i}^{\mathit{cart}}\text{-}\mathit{TC}_{i}^{\mathit{cart}}\left( q_{i}^{\mathit{cart}} \right),\)

где \(P(\bullet)\) – функция рыночного спроса на продукцию картеля.

Допустим, что одна из фирм нарушает картельное соглашение и превышает свою квоту, увеличивая объем выпускаемой продукции до \(q_{i}^{\mathit{dev}}\). При этом, если остальные фирмы сохранят свой объем производства, то в данный момент она получит прибыль

\(\mathit{PR}_{i}^{\mathit{dev}}\text{=}P\left( Q_{\mathit{cart}}^{\mathit{dev}} \right)q_{i}^{\mathit{dev}}\text{-}\mathit{TC}_{i}^{\mathit{dev}}\left( q_{i}^{\mathit{dev}} \right).\)

Из-за того, что совокупный объем производства в отрасли возрастет:

\(Q_{\mathit{cart}}^{\mathit{dev}}\text{=}q_{i}^{\mathit{dev}}\text{+}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{n\text{-}1}q_{i}^{\mathit{cart}}},\)

а рыночная цена \(P\left( Q_{\mathit{cart}}^{\mathit{dev}} \right)\) сократится, прибыль всех остальных участников картельного соглашения снизится до некоторого уровня

\({\check{\mathit{PR}}}_{i}^{\mathit{cart}}\text{=}P\left( Q_{\mathit{cart}}^{\mathit{dev}} \right)q_{i}^{\mathit{cart}}\text{-}\mathit{TC}_{i}^{\mathit{cart}}\left( q_{i}^{\mathit{cart}} \right).\)

Очевидно, что такое оппортунистическое поведение фирмы-нарушителя неизбежно повлечет санкции \((S)\) со стороны остальных участников картеля. Возможным ответом может стать увеличение ими объема производства до определенного уровня \({\widehat{q}}_{i}^{\mathit{cart}}\), который позволит увеличить их прибыль до уровня

\({\widehat{\mathit{PR}}}_{i}^{\mathit{cart}}\text{=}P\left( {\widehat{Q}}_{\mathit{cart}}^{\mathit{dev}} \right){\widehat{q}}_{i}^{\mathit{cart}}\text{-}\mathit{TC}_{i}^{\mathit{cart}}\left( {\widehat{q}}_{i}^{\mathit{cart}} \right)\)

и наказать нарушителя уменьшением его чистого дохода до величины

\({\check{\mathit{PR}}}_{i}^{\mathit{dev}}\text{=}P\left( {\widehat{Q}}_{\mathit{cart}}^{\mathit{dev}} \right)q_{i}^{\mathit{dev}}\text{-}\mathit{TC}_{i}^{\mathit{dev}}\left( q_{i}^{\mathit{dev}} \right).\)

Тогда, если предположить, что нарушение обнаруживается в следующем периоде после того, как оно произошло, а действие картеля распространяется на неограниченно долгое время, то дисконтированный выигрыш фирмы-нарушителя составит:

\(\mathit{PR}_{i}^{\mathit{dev}}\text{+}\frac{{\check{\mathit{PR}}}_{i}^{\mathit{dev}}}{1\text{+}r}\text{+}\cdots\text{+}\frac{{\check{\mathit{PR}}}_{i}^{\mathit{dev}}}{\left( {1\text{+}r} \right)^{n}}\text{+}\cdots\text{=}\mathit{PR}_{i}^{\mathit{dev}}\text{+}\frac{{\check{\mathit{PR}}}_{i}^{\mathit{dev}}}{r},\)

где \(r\) – банковская ставка процента.

Если потенциальный нарушитель предпочтет отказаться от посягательств на картельное соглашение, то его гарантированная дисконтированная прибыль будет такой же, как и у остальных членов картеля:

\(\mathit{PR}_{i}^{\mathit{cart}}\text{+}\frac{\mathit{PR}_{i}^{\mathit{cart}}}{1\text{+}r}\text{+}\cdots\text{+}\frac{\mathit{PR}_{i}^{\mathit{cart}}}{\left( {1\text{+}r} \right)^{n}}\text{+}\cdots\text{=}\frac{\mathit{PR}_{i}^{\mathit{cart}}\left( {1\text{+}r} \right)}{r}.\)

Для того чтобы картель был устойчивым, дисконтированный выигрыш при уклонении от выполнения его условий не должен превышать выгод от их соблюдения:

\(\frac{\mathit{PR}_{i}^{\mathit{cart}}(1\text{+}r)}{r}\text{=}\mathit{PR}_{i}^{\mathit{cart}}\text{+}\frac{\mathit{PR}_{i}^{\mathit{cart}}}{r}\geq\mathit{PR}_{i}^{\mathit{dev}}\text{+}\frac{{\check{\mathit{PR}}}_{i}^{\mathit{dev}}}{r},\)

или после преобразований:

\(S\text{=}\frac{\mathit{PR}_{i}^{\mathit{cart}}\text{-}{\check{\mathit{PR}}}_{i}^{\mathit{dev}}}{r}\geq\mathit{PR}_{i}^{\mathit{dev}}\text{-}\mathit{PR}_{i}^{\mathit{cart}}.\)

Таким образом, чистая приведенная стоимость наказания должна быть не меньше выигрыша фирмы-нарушителя по сравнению с остальными участниками картельного соглашения. Наказание \(S\) должно отвечать интересам рядовых участников картельного соглашения. Оно должно не только не наносить им самим дополнительный ущерб, но повышать их прибыль в случае появления нарушителя:

\({\widehat{\mathit{PR}}}_{i}^{\mathit{cart}}\geq{\check{\mathit{PR}}}_{i}^{\mathit{cart}}.\)

Понимая это, потенциальный нарушитель будет рассматривать в качестве достоверной угрозу такого наказания, что будет являться стимулом к соблюдению картельного соглашения, гарантируя его устойчивость.

Всем фирмам, действующим на рынке данного товара, не всегда удается договориться о заключении всеобъемлющего картельного соглашения. Часто в картель входит лишь часть фирм, присутствующих на рынке. В этом случае на рынке будет наблюдаться ситуация неполного картеля, когда за его рамками остается ряд некартелированных предприятий. В своем поведении неполный картель будет руководствоваться теми же принципами, что и единая квазимонопольная фирма – ценовой лидер. Поэтому в качестве обобщения модели картеля в его неполном случае может рассматриваться модель доминирующей фирмы по Форхаймеру, в которой в качестве фирмы-лидера будет выступать картельное объединение нескольких юридически самостоятельных фирм.

В модели лидерства в ценах по К. Форхаймеру¹⁰ предполагается, что доминирующая фирма, обладающая значительной долей общего рыночного объема продаж¹¹, максимизирует функцию прибыли и выбирает в результате этого оптимальную для себя цену. Цена, установленная лидером из индивидуальных соображений, становится единой для всех остальных фирм-аутсайдеров, которые не способны на стратегическое поведение и принимают ее как заданную рынком. Доминирующая фирма может выделяться из ряда фирм, присутствующих на рынке, преимуществом в издержках. Каждая из фирм конкурентного окружения выбирает исходя из цены, установленной лидером, оптимальный для себя объем производства, руководствуясь правилом: Р=МС.

Функция предложения \(Q_{s}\text{=}Q(p)\) фирм конкурентного окружения может быть получена путем “горизонтального” суммирования, то есть суммирования оптимальных для каждой заданной цены объемов предлагаемой продукции, полученных из условий равенства цены предельным издержкам. Полученное предложение будет покрывать часть общего рыночного спроса \((Q_{d})\). Доминирующей фирме будет оставаться лишь часть рыночного спроса за вычетом предложения конкурентного окружения \((Q_{s})\). Это так называемый остаточный спрос: \(Q_{\mathit{res}}(p)\text{=}Q_{d}\text{-}Q_{s}\).

Важнейшим показателем, характеризующим функцию спроса на продукцию фирмы-лидера, является эластичность. Равенство, аналогичное сформулированному выше определению остаточного спроса доминирующей фирмы, справедливо и для эластичностей, взятых с весами, равными соответствующим долям в выпуске отрасли:

\(E_{\mathit{res}}\rho_{L}\text{=}E_{p}^{d}\text{-}E_{s}\rho_{c},\)

где \(E_{\mathit{res}}\) – ценовая эластичность функции остаточного спроса, \(\rho_{L}\text{=}\frac{Q_{L}}{Q}\) – доля выпуска лидера в совокупном производстве отрасли, \(E_{p}^{d}\) – эластичность общеотраслевого спроса по цене, \(E_{S}\) – ценовая эластичность предложения фирм конкурентного окружения, а \(\rho_{c}\text{=}\frac{Q_{s}}{Q}\) – доля выпуска фирм-аутсайдеров в отраслевом объеме производства¹².

Данное соотношение становится очевидным, если продифференцировать тождество, определяющее остаточный спрос фирмы-лидера, по цене и домножить все компоненты равенства на отношение \(\frac{P}{Q}\) и, кроме того, домножить и разделить левую часть равенства на \(Q_{L}\), а второе слагаемое справа – на \(Q_{s}\): \(\frac{{dQ}_{\mathit{res}}}{\mathit{dP}}\frac{P}{Q}\frac{Q_{L}}{Q_{L}}\text{=}\frac{\mathit{dQ}}{\mathit{dP}}\frac{P}{Q}\text{-}\frac{\mathit{dQ}_{S}}{\mathit{dP}}\frac{P}{Q}\frac{Q_{s}}{Q_{s}},\) учитывая при этом определения