2.1. Максимизация полезности при ограничении по доходу потребителя

Проходит апробацию

Допустим, что каждый из \(l\) товаров покупается данным потребителем по цене \(p_h\). На протяжении большей части нашего анализа будем полагать, что цена \(h\)-го товара едина для всех потребителей, т.е. не будем принимать во внимание, если обратное не оговорено специально, возможность ценовой дискриминации, когда разным покупателям, располагающим различным уровнем дохода, продается одинаковые блага по разным ценам, что не связано с различиями в качестве товаров и затратами на их производство. Для нас здесь существенно, что разные цены устанавливаются именно на качественно различные блага.

Пока абстрагируемся от свободных благ и будем рассматривать только экономические товары и услуги. Итак, будем считать, что ни одна из товарных цен не равна нулю, и следовательно, все координаты любого возможного вектора цен \(p = \left\{ p_{h} \right\}_{h = 1}^{l}\) положительны \(({p_{h} \gt 0},{h = 1},\ldots,l).\) Другими словами, множество \(P\) векторов цен \(p\) является подмножеством \(R_{l}^{+ {\{ 0\}}:}\) \({P = \left\{ {{p = \left\{ p_{h} \right\}_{h = 1}^{l}}|{p_{h} \gt 0}} \right\}}.\) Будем использовать даже еще более сильное предположение о том, что у множества ценовых векторов \(P\) существует положительная нижняя граница – так называемая «цена спичек» \(\underline{p}.\) Все компоненты любого вектора из множества цен \(P\) должны быть по крайней мере не меньше \(\underline{p}:\)

\(\exists\underline{p}\in R_{+ :\forall{\{ p_{h}\}}_{h = 1}^{l},{p_{h} \gt 0},p_{h}\geq\underline{p},{h = 1},\ldots,l.(2.1)}\)

Итак, ценовое множество \(P\) – это произвольное множество из \(R_{l}^{+}\), отделенное от нуля \(\left(\overline {P} \in \operatorname{int} {R}_{l}^{+} , где P=\left( p \in {R}_{l}^{+} \right) \right).\)

Кроме физических ограничений, на множество потребительских корзин \(X\) накладывается экономическое, или бюджетное, ограничение. Оно заключается в том, что потребитель не может израсходовать на покупки количество денег, превышающее его доход \(M\in R_{+}\). Будем предполагать, что доход предоставляется потребителю изначально и бесплатно, например, в качестве наследства. Итак, стоимость покупаемых товаров должна быть не больше дохода потребителя, т.е. должно выполняться нестрогое неравенство:

\({\sum\limits_{j = 1}^{l}{p_{j}x_{j}}}\leq M.(2.2)\)

Обозначим через \(E\) выражение расходов покупателя:

\(E\equiv{\sum\limits_{j = 1}^{l}{p_{j}x_{j}}}.(2.3)\)

Граница финансового условия (2.2), на которой расходы покупателя совпадают с его доходом:

\({{\sum\limits_{j = 1}^{l}{p_{j}x_{j}}} = M},(2.4)\)

в трехмерном пространстве, т.е. в случае двухпродуктовых корзин товаров \(({l = 2})\), представляет собой вертикальную плоскость (рис. 2.1).

Рисунок 2.1. Бюджетное ограничение потребителя

Действительно, выражение (2.4) в трехмерном пространстве означает пересечение плоскости расходов (2.3) и горизонтальной плоскости фиксированного дохода \(E = M\). Расходы покупателя (2.3) являются однородными первой степени (1.42) по ценам потребляемых продуктов. При увеличении цен в \(\alpha\) раз плоскость расходов поворачивается вверх вокруг прямой, проходящей через начало координат. При этом для каждой данной комбинации потребляемых благ в \(\alpha\) раз возрастает величина расходов по отношению к их первоначальной величине, равной доходу \(M\):

\({{\sum\limits_{j = 1}^{l = 2}{\left( {\alpha p_{j}} \right)x_{j}}} = \alpha}{{\sum\limits_{j = 1}^{l = 2}{p_{j}x_{j}}} = \alpha}E{\left( {p_{1},p_{2}} \right) = \mathit{\alpha M}}.(2.5)\)

Это значит, что теперь граница финансового условия (2.4) будет соответствовать пересечению новой плоскости расходов с горизонтальной плоскостью, проведенной на уровне \(\mathit{\alpha M}\). Очевидно, что прямая, по которой пересекутся эти плоскости, будет соответствовать тому же множеству товарных наборов, что и предыдущая линия пересечения плоскости расходов (2.3) и горизонтальной плоскости фиксированного дохода \(M\). Обе эти прямые проецируются на одну и ту же линию на горизонтальной координатной плоскости \(X\)₁0\(X\)₂, т.е. лежат в одной и той же вертикальной плоскости. Варьируя масштабирующий множитель \(\alpha\in R_{+}\) в соотношении (2.5), получим бесконечное множество линий пересечения плоскостей расходов с произвольным наклоном и горизонтальных плоскостей дохода \(\mathit{\alpha M}\), которое образует вертикальную плоскость – границу бюджетного ограничения (2.2) в трехмерном пространстве (рис. 2.1).

Покажем, что множество физически и экономически доступных для потребителя корзин товаров, которое мы обозначим через \(S\equiv{}\), является замкнутым и ограниченным, следовательно, компактным. Потребительское множество \(X\) представляет собой неотрицательный ортант \(R_{l}^{+}\). Следовательно, оно замкнуто. Ограничение по доходу (2.2) представляет собой полупространство, включающее границу – гиперплоскость (2.4). Поэтому оно является замкнутым множеством. Поскольку \(S\) является пересечением замкнутого множества физически доступных для потребителя корзин товаров \(X\) и замкнутого экономического, или бюджетного, ограничения (2.2), постольку допустимое потребительское множество \(S\) само является замкнутым.

Покажем ограниченность множества \(S\). Каждый вектор \(x\) из \(S\) должен удовлетворять бюджетному ограничению (2.2). Выделим из всей потребительской корзины товар под номером \(h\). Тогда неравенство (2.2) переписывается в следующем виде: \(p_{h}x_{h}\leq{M - {\sum\limits_{{k = 1},k\neq h}^{l}{p_{k}x_{k}}}}\). Его можно ослабить: поскольку \(x_{k}\geq 0\), постольку можно заменить все \(x_{k}\) нулями: \(p_{h}x_{h}\leq M\), или \(x_{h}\leq\frac{M}{p_{h}}\). Деление здесь на \(p_{h}\) было возможным, и при этом сохранился знак неравенства, поскольку мы исключаем из рассмотрения свободные блага (2.1).

Ценовое множество \(P\), по предположению, является ограниченным снизу (2.1). Заменим в последнем неравенстве \(p_{h}\) на его нижнюю границу \(\underline{p}\): \(x_{h}\leq\frac{M}{\underline{p}}.\)

Число \(\frac{M}{\underline{p}}\) является верхней границей множества \(X\) для данного потребителя, поскольку любой его элемент по крайней мере не больше, чем \(\frac{M}{\underline{p}}\). Кроме того, \(x_{h}\geqslant 0\). В итоге получаем двойное неравенство \(0\leq x_{h}\leq\frac{M}{\underline{p}}\), в котором \(M\) и \(\underline{p}\) – это абсолютные, не зависящие от \(h\) константы. Выбор элемента \(x_{h}\) был произвольным, и полученное неравенство справедливо для любого \(h\). Итак, множество \(S\) ограничено: для него существуют нижняя и верхняя границы.

Таким образом, допустимое потребительское множество \(S\) замкнуто и ограничено, а значит, компактно.

Кроме того, допустимое для потребителя множество \(S\) является выпуклым. Некоторое множество называется выпуклым, если любой вектор \(x\), лежащий на отрезке, соединяющем произвольные векторы \(x_{1}\) и \(x_{2}\) из этого множества, \({x = \alpha}{x_{1} + (}{1 - \alpha})x_{2}\), \(\alpha\in{\lbrack{0,1}\rbrack}\), также принадлежит данному множеству. Потребительское множество \(X\) является выпуклым как неотрицательный ортант действительных чисел.

Действительно, если взять два товарных набора \(\widehat{x}\geq 0\), \(\check{x}\geq 0\), т.е. векторы с неотрицательными координатами \({\widehat{x}}_{h}\geq 0\), \({\check{x}}_{h}\geq 0\), \({h = 1},\ldots,l\), то любая корзина товаров, расположенная на соединяющем их отрезке, также будет иметь неотрицательные координаты: \({x_{h} = \lambda}{{\widehat{x}}_{h} + (}{1 - \lambda}){\check{x}}_{h}\geq 0\), \({h = 1},\ldots,l\), ведь \(\lambda\geq 0\) и \({1 - \lambda}\geq 0\).

Бюджетное ограничение (2.2) является полупространством, ограниченным гиперплоскостью \({\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}x_{h}}} = M\), а значит, оно также выпуклое множество. Действительно, если взять два товарных набора \(\check{x}\) и \(\widehat{x}\), удовлетворяющих бюджетному ограничению: \({\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}{\check{x}}_{h}}}\leq M\), \({\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}{\widehat{x}}_{h}}}\leq M\), то любая корзина товаров, расположенная на соединяющем их отрезке: \({x = \lambda}{\check{x} + (}{1 - \lambda})\widehat{x}\), что подразумевает выполнение покоординатных равенств \({x_{h} = \lambda}{{\check{x}}_{h} + (}{1 - \lambda}){\widehat{x}}_{h}\), \({h = 1},\ldots,l\), будет принадлежать бюджетному полупространству

\({{\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}x_{h}}} = {\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}\left( {\lambda{{\check{x}}_{h} + \left( {1 - \lambda} \right)}{\widehat{x}}_{h}} \right)}} = \lambda}{{\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}{\check{x}}_{h}}} + \left( {1 - \lambda} \right)}{\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}{\widehat{x}}_{h}}}\leqslant{\mathit{\lambda M} + \left( {1 - \lambda} \right)}{M = M}.\)

Таким образом, множество \(S\) как пересечение выпуклых множеств – бюджетного ограничения (2.2) и потребительского множества \(X\) – само является выпуклым.

Потребительский выбор представляет собой максимизацию полезности в условиях ограниченных денежных ресурсов:

\(\begin{matrix} {\underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\max}}{U\left( {x_{1},x_{2}} \right)}:} \\ {p_{1}{x_{1} + p_{2}}x_{2}\leq M,x_{1}\geq 0,x_{2}\geq 0.} \\ \end{matrix}(2.6)\)

Докажем, что в силу непрерывности функции полезности и компактности допустимого по физическим и экономическим соображениям для потребителя множества \(S\) решение данной задачи связанной максимизации полезности – оптимальный потребительский набор \(x\) – существует. По доказанному, допустимое множество \(S\) в данной задаче потребительского выбора – компакт. Поэтому по теореме Вейерштрасса¹ непрерывная (по предположению) функция полезности \(U:x\longmapsto U(x)\), \(x\in S\) достигает максимума на допустимом множестве \(S\). Таким образом, задача связанной максимизации полезности имеет решение, т.е. оптимальный потребительский набор \(x\) существует.

Рис. 2.2 и 2.3 иллюстрируют соответственно в пространстве и на плоскости решение задачи потребительского выбора (I.1). E – это точка в трехмерном пространстве, соответствующая максимальному уровню полезности при выполнении бюджетного ограничения, который достигается при выборе оптимальной корзины товаров \(\left( {x_{1}^{},x_{2}^{}} \right)\). E_\(x\) – это проекция точки E на плоскость \(X\)₁0\(X\)₂.

Решение задачи связанной максимизации полезности – оптимальный потребительский набор \(x^{} = \left\{ x_{h}^{} \right\}_{h = 1}^{l}\) – обладает таким свойством, что бюджетное ограничение на нем выполняется в виде равенства (2.4): \({\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}x_{h}^{}}} = M.\)

Покажем это, пользуясь методом доказательства от противного. Предположим, что данное утверждение неверно: \({\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}x_{h}^{}}} \lt M\). Поскольку вся совокупность потребительских корзин совпадает с множеством неотрицательных действительных чисел, она не ограничена сверху, т.е. для каждого индивидуума потенциально физически доступны произвольно большие объемы потребительских товаров; в этом случае найдется потребительский вектор \(\overset{\sim}{x} = \left\{ {\overset{\sim}{x}}_{h} \right\}_{h = 1}^{l}\), такой, что \({{\overset{\sim}{x}}_{h} = x_{h}^{}},{h = \left\{ {1,\ldots,l} \right\}},h\neq k;{{\overset{\sim}{x}}_{k} = {x_{k}^{} + \varepsilon}},{\varepsilon \gt 0},k\in\left\{ {1,\ldots,l} \right\}\) и \({\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}{\overset{\sim}{x}}_{h}}}\leq M\), поскольку линейная функция, в данном случае \(\sum\limits_{h = 1}^{l}{p_{h}x_{h}^{}}\), является непрерывной². В теории традиционно предполагается, что потребление индивидуума обладает свойством ненасыщаемости. Другими словами, вектор \(\overset{\sim}{x}\), содержащий каждого товара не меньше, а k-го товара – больше, чем набор \(x^{}\), должен быть более предпочтителен для потребителя: \(U{\left( \overset{\sim}{x} \right) \gt U}\left( x^{} \right)\). Значит, потребительский набор \(x^{}\), лежащий во внутренности бюджетного ограничения, не является оптимальным. Полученное противоречие показывает, что выдвинутая гипотеза неверна, и бюджетное ограничение при решении задачи связанной максимизации полезности выполняется как равенство (2.4).

Жесткость бюджетного ограничения можно доказать также, используя аппарат маржинального анализа.

В случае дифференцируемости функции полезности для решения задачи (2.6) следует составить функцию Лагранжа:

\({L = \lambda_{0}}U{\left( {x_{1},x_{2}} \right) - \lambda_{1}}\left( {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} - M}} \right),(2.7)\)

где \(\left( {\lambda_{0},\lambda_{1}} \right)\) – вектор множителей Лагранжа³. Здесь мы предполагаем существование внутреннего оптимума, т.е. нежесткость ограничений по неотрицательности объемов потребляемых благ: \({x_{1} \gt 0},{x_{2} \gt 0}.\)

Необходимыми для достижения экстремума являются условия:

стационарности данной функции по объемам потребления товаров:

\(\left\{ \begin{matrix} {\lambda_{0}{\mathit{MU}_{1} = \lambda_{1}}p_{1},} \\ {\lambda_{0}{\mathit{MU}_{2} = \lambda_{1}}p_{2};} \\ \end{matrix} \right.\)

дополняющей нежесткости:

\(\lambda_{1}{\left( {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} - M}} \right) = 0},p_{1}{x_{1} + p_{2}}x_{2}\leq M;\)

а также неотрицательности множителей Лагранжа:

\(\lambda_{0}\geq 0,\lambda_{1}\geq 0.\)

При этом вектор множителей Лагранжа должен быть ненулевым.

С одной стороны, предположив, что \(\lambda_{1} = 0\), при предпосылке о ненасыщаемости потребления (1.2) из условий стационарности функции Лагранжа по количествам товаров в силу того, что предметом анализа выступают экономические блага \(({p_{i} \gt 0})\), получаем, что и \(\lambda_{0} = 0\), чего во внутреннем оптимуме не может быть, поскольку по необходимому условию экстремума вектор множителей Лагранжа является ненулевым. Тогда из условия дополняющей нежесткости следует, что бюджетное ограничение в точке оптимума выполняется в виде равенства (2.4), т.е. является активным⁴.

С другой стороны, из условий стационарности функции Лагранжа по объемам экономических \(({p_{i} \gt 0})\) благ с учетом ненасыщаемости потребления (1.2) при \(\lambda_{0} = 0\) оказывается и \(\lambda_{1} = 0\), чего во внутреннем оптимуме не может быть, поскольку по необходимому условию экстремума вектор множителей Лагранжа является ненулевым. Таким образом, \(\lambda_{0}\neq 0\), и без ограничения общности его можно положить равным единице, или, что эквивалентно, поделить на него функцию (2.7), пронормировав тем самым вектор множителей Лагранжа⁵:

\({L = U}{\left( {x_{1},x_{2}} \right) - \lambda}\left( {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} - M}} \right),(2.8)\)

где \(\lambda = \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{0}}\), причем, по доказанному, \(\lambda \gt 0\).

Тогда необходимыми для максимизации полезности с учетом жесткого бюджетного ограничения (2.4) будут являться следующие условия стационарности функции Лагранжа по объемам потребления благ:

\(\left\{ \begin{matrix} {{\mathit{MU}_{1} = \lambda}p_{1},} \\ {{\mathit{MU}_{2} = \lambda}p_{2}.} \\ \end{matrix} \right.(2.9)\)

Разделив в системе (2.9) первое равенство на второе, получаем, что потребитель оптимизирует свое поведение, когда отношение предельных полезностей товаров равняется отношению цен. Таким образом, с учетом выражения для предельной нормы замещения товаров (1.6) можно выписать обобщающее условие максимизации индивидуальной полезности⁶:

\({\mathit{MRS}_{12} = \left. \frac{- {dx_{2}}}{dx_{1}} \right|_{U = \mathit{const}} = \frac{\mathit{MU}_{1}}{\mathit{MU}_{2}} = \frac{p_{1}}{p_{2}}}.(2.10)\)

Абсолютное значение углового коэффициента бюджетного ограничения – отношение цен \(\left( {p_{1}/p_{2}} \right)\) – характеризует предельную норму замещения благ в обмене. Тангенс угла наклона касательной к кривой безразличия по модулю – это предельная норма замещения благ в потреблении. Она равна отношению предельных полезностей благ (1.6). Равенство предельных норм замещения в потреблении и обмене, когда отношения предельных полезностей товаров равняется отношению их цен (2.10), с учетом жесткого бюджетного ограничения (2.4) означает касание бюджетного ограничения и кривой безразличия в точке оптимума потребителя (рис. 2.3).

Если предположить строгую квазивогнутость функции полезности, то решение задачи условной максимизации полезности, т.е. оптимальный потребительский набор \(x\), является единственным. Будем доказывать единственность оптимального потребительского набора от противного. Пусть найдется другой, не равный полученной нами потребительской корзине \(x\) набор благ \(x'\), который также является решением данной задачи. По доказанному, допустимое множество \(S\) является выпуклым. Поэтому весь интервал, соединяющий точки \(x\) и \(x'\) и состоящий из точек вида \({\mathit{\alpha x} + (}{1 - \alpha})x'\), \(\alpha\in(0,1)\), содержится в \(S\). Поскольку функция полезности является строго квазивогнутой, постольку \(U{\left( {{\mathit{\alpha x} + \left( {1 - \alpha} \right)}x^{'}} \right) \gt U}{(x) = U}(x^{'})\). Но данное неравенство противоречит условию, гласящему, что \(x\) и \(x'\) – решения задачи связанной максимизации полезности, т.е. оптимальные потребительские наборы. Полученное противоречие показывает, что гипотеза о неединственности оптимального потребительского набора является ложной. Следовательно, оптимальный потребительский набор \(x\) является единственным решением данной задачи.

Итак, доказав единственность оптимального потребительского набора, мы показали, что локальный максимум в задаче связанной максимизации полезности совпадает с глобальным.

Если функция полезности не является строго квазивогнутой, то возможна неединственность оптимального потребительского набора. На линии уровня нестрого квазивогнутой функции полезности могут существовать прямые участки. Касание бюджетного ограничения с таким участком будет давать множественность оптимального потребительского набора товаров (рис. 2.4).

Решение задачи потребительского выбора может быть неединственным также в случае невыпуклости бюджетного ограничения, в частности, в случае снижения цены при достижении определенного, порогового уровня продаж (рис. 2.5).

Пример неединственности оптимальной корзины товаров при нестрогой квазивогнутости функции полезности дает потребительский выбор между товарами-субститутами, когда индивидуальные предпочтения имеют вид (1.31). Для линейной функции полезности угловой коэффициент касательной к кривой безразличия по модулю равен отношению констант \(\alpha\) и \(\beta\) (1.32). Возможны три случая, в каждом из которых будет свой объем спроса на продукты.

Случай 1. Если \(\frac{\alpha}{\beta} \lt \frac{p_{1}}{p_{2}},\) или же, другими словами, \(\frac{p_{2}}{\beta} \lt \frac{p_{1}}{\alpha},\) то угловой коэффициент кривой безразличия по абсолютному значению меньше углового коэффициента бюджетного ограничения, поэтому наблюдается угловое равновесие. В этом случае \(x_{1} = 0\), \(x_{2} = \frac{M}{p_{2}}\) (рис. 2.6).

Случай 2. При \(\frac{\alpha}{\beta} \gt \frac{p_{1}}{p_{2}}\), т.е. \(\frac{p_{2}}{\beta} \gt \frac{p_{1}}{\alpha}\), угловой коэффициент кривой безразличия по абсолютному значению больше углового коэффициента бюджетного ограничения, поэтому также наблюдается угловое равновесие. При этом \(x_{1} = \frac{M}{p_{1}}\), \(x_{2} = 0\) (рис. 2.7).

Случай 3. Если \(\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p_{1}}{p_{2}}\), или же, в другой записи, \(\frac{p_{2}}{\beta} = \frac{p_{1}}{\alpha}\), то угловой коэффициент кривой безразличия совпадает по абсолютному значению с угловым коэффициентом бюджетного ограничения, поэтому наблюдается неединственность равновесия (рис. 2.8), когда точки оптимума «заметают» все бюджетное ограничение.

Очевидно, что при анализе потребительского выбора между совершенными субститутами предпосылка о наличии внутреннего оптимума в общем случае является нерелевантной. Поэтому оптимизационная задача (2.6), соответствующая взаимозаменяемым благам

\(\begin{matrix} {\underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\max}}{U = \underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\max}}}\left( {\alpha{x_{1} + \beta}x_{2}} \right):} \\ {p_{1}{x_{1} + p_{2}}x_{2}\leq M,x_{1}\geq 0,x_{2}\geq 0.} \\ \end{matrix}(2.11)\)

требует отдельного, более детального анализа⁷.

Перепишем задачи в канонической постановке, когда целевая функция минимизируется:

\(\begin{matrix} {\underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\min}}{{{( - U})} = \underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\min}}}\left( {{- \alpha}{x_{1} - \beta}x_{2}} \right):} \\ {p_{1}{x_{1} + p_{2}}x_{2}\leq M,x_{1}\geq 0,x_{2}\geq 0.} \\ \end{matrix}(2.12)\)

Функция Лагранжа будет выглядеть так:

\({L = {- \lambda_{0}}}{\left( {\alpha{x_{1} + \beta}x_{2}} \right) + \lambda_{1}}{\left( {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} - M}} \right) - \lambda_{2}}{x_{1} - \lambda_{3}}x_{2}.(2.13)\)

Необходимые условия связанного минимума в задаче (2.12), или условного максимума полезности (2.11), включают:

– стационарность функции Лагранжа (2.13) по искомым переменным – объемам потребления товаров:

\(\left\{ \begin{matrix} {{\frac{\partial L}{\partial x_{1}} = {- \lambda_{0}}}{\alpha + \lambda_{1}}{{p_{1} - \lambda_{2}} = 0},} \\ {{\frac{\partial L}{\partial x_{2}} = {- \lambda_{0}}}{\beta + \lambda_{1}}{{p_{2} - \lambda_{3}} = 0};} \\ \end{matrix} \right.(2.14)\)

– условия дополняющей нежесткости:

\(\left\{ \begin{matrix} {\lambda_{1}{\left( {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} - M}} \right) = 0},} \\ {\lambda_{2}{x_{1} = 0},} \\ {\lambda_{3}{x_{2} = 0};} \\ \end{matrix} \right.(2.15)\)

– неотрицательность множителей Лагранжа: \(\lambda_{i}\geq 0,{i = 0,1,2,3};\) причем вектор множителей Лагранжа должен быть ненулевым: \(\left( {\lambda_{0},\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}} \right)\neq 0.\)

Пусть \(\lambda_{0} = 0\), тогда в силу (2.14):

\(\left\{ \begin{matrix} {\lambda_{1}{p_{1} = \lambda_{2}},} \\ {\lambda_{1}{p_{2} = \lambda_{3}};} \\ \end{matrix} \right.\)

а значит, по условиям дополняющей нежесткости (2.15):

\(\left\{ \begin{matrix} {\lambda_{1}{\left( {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} - M}} \right) = 0},} \\ {\lambda_{1}p_{1}{x_{1} = 0},} \\ {\lambda_{1}p_{2}{x_{2} = 0};} \\ \end{matrix} \right.\)

или

\(\left\{ \begin{matrix} {\lambda_{1}{\left( {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} - M}} \right) = 0},} \\ {\lambda_{1}{\left( {p_{1}{x_{1} + p_{2}}x_{2}} \right) = 0.}} \\ \end{matrix} \right.\)

Если \(\lambda_{1} = 0\), то и \(\lambda_{2} = \lambda_{3} = \lambda_{0} = 0\), чего не может.

Если же

\(\left\{ \begin{matrix} {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{{x_{2} - M} = 0},} \\ {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} = 0},} \\ \end{matrix} \right.\)

то \(M = 0\), чего также не может быть \(({M = 0}).\)

Следовательно, \(\lambda_{0}\neq 0\), и без ограничения общности можно положить \(\lambda_{0} = 1\). Тогда (2.14) принимает вид:

\(\left\{ \begin{matrix} {{{- \alpha} + \lambda_{1}}{{p_{1} - \lambda_{2}} = 0},} \\ {{{- \beta} + \lambda_{1}}{{p_{2} - \lambda_{3}} = 0.}} \\ \end{matrix} \right.(2.16)\)

Пусть \(\lambda_{1} = \lambda_{2} = \lambda_{3} = 0\); тогда \(\alpha = \beta = 0\), что невозможно по условиям задачи. Если \(\lambda_{1} = \lambda_{2} = 0\), \(\lambda_{3} \gt 0\), то \(x_{2} = 0\) и \(\alpha = 0\), чего не может быть. При \(\lambda_{1} = \lambda_{3} = 0\), \(\lambda_{2} \gt 0\), оказывается, что \(x_{1} = 0\) и \(\beta = 0\), что также исключается. В случае \(\lambda_{1} = 0\), \(\lambda_{2} \gt 0\), \(\lambda_{3} \gt 0\), система (2.16) вырождается:

\(\left\{ \begin{matrix} {{\lambda_{2} = {- \alpha}},} \\ {{\lambda_{3} = {- \beta}}.} \\ \end{matrix} \right.\)

Но это подразумевает \(\lambda_{2}\geq 0\) и \(\lambda_{3}\geq 0\), что противоречит гипотезе, высказанной выше. Таким образом, рассуждения, проделанные выше, показывают, что \(\lambda_{1} \gt 0.\)

Случай положительности всех множителей Лагранжа (\(\lambda_{1} \gt 0\), \(\lambda_{2} \gt 0\), \(\lambda_{3} \gt 0\)) приводит к противоречию:

\(\left\{ \begin{matrix} {{x_{1} = x_{2} = 0},} \\ {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} = M};} \\ \end{matrix} \right.\)

и тем самым исключается.

Предположим, что \(\lambda_{1} \gt 0\), \(\lambda_{2} = \lambda_{3} = 0\). Тогда:

\(\left\{ \begin{matrix} {{\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p_{1}}{p_{2}}},} \\ {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} = M},x_{1}\geq 0,x_{2}\geq 0.} \\ \end{matrix} \right.\)

Следовательно, если угловые коэффициенты линии безразличия и бюджетного ограничения совпадают по абсолютному значению, например, при \(p_{2} = p_{2}^{1}\), как показано на рис. 2.8, то наблюдается неединственность равновесия. В этом случае величины спроса на \(x\)₁ и \(x\)₂ задаются уравнением бюджетного ограничения. При этом \(x\)₂ может принимать любые значения между 0 и \(\frac{M}{p_{2}^{1}}\), тогда как \({x_{1} = {\frac{M}{p_{1}} - \frac{p_{2}^{1}}{p_{1}}}}x_{2}\) (случай 3).

В случае, когда \(\lambda_{1} \gt 0\), \(\lambda_{2} = 0\), \(\lambda_{3} \gt 0\), из условий дополняющей нежесткости (2.15) следует \(x_{2} = 0\) и выполнение в виде равенства бюджетного ограничения, а значит, \(x_{1} = \frac{M}{p_{1}}\) (случай 2). Возникает краевой оптимум, когда угловой коэффициент линии безразличия по абсолютному значению больше тангенса угла наклона бюджетного ограничения \(\left( {\frac{\alpha}{\beta} \gt \frac{p_{1}}{p_{2}}} \right.\), или \(\left. {\frac{p_{2}}{\beta} \gt \frac{p_{1}}{\alpha}} \right)\). Например, при \(p_{2} = p_{2}^{2}\) это будет точка \(E_1\) (рис. 2.7).

Если \(\lambda_{1} \gt 0\), \(\lambda_{2} \gt 0\), \(\lambda_{3} = 0\), то из условий дополняющей нежесткости (2.15) получается, что \(x_{1} = 0\), и, поскольку в данном случае бюджетное ограничение становится равенством, \(x_{2} = \frac{M}{p_{2}}\) (случай 1). Наблюдается краевой оптимум, когда угловой коэффициент линии безразличия по абсолютному значению меньше тангенса угла наклона бюджетного ограничения \(\left( {\frac{\alpha}{\beta} \lt \frac{p_{1}}{p_{2}}} \right.\), или \(\left. {\frac{p_{2}}{\beta} \lt \frac{p_{1}}{\alpha}} \right)\). Например, при \(p_{2} = p_{2}^{3}\) это будет точка \(E_2\) (рис. 2.6).

Вариациями решения задачи (2.6) потребительского выбора по параметрам цен и дохода являются функции спроса на товары по Маршаллу:

\({x_{j}^{m} = x_{j}}\left( {p_{1},p_{2},M} \right),{j = 1},2.(2.17)\)

Получение функций спроса (в узком смысле) и Энгеля как зависимостей оптимальной корзины товаров соответственно от цен и дохода покупателя может быть проиллюстрировано с помощью графиков «цена–потребление» (рис. 2.9) и «доход–потребление» (рис. 2.10).

Рис. 2.9 объединяет иллюстрации выведения функции спроса на некоторое благо (в данном случае – №2) и построение зависимости спроса на другой товар (в данном случае – №1) как функции дополняющего блага. Здесь для удобства иллюстрации зависимости индивидуального спроса на оба блага одновременно от цены второго товара (как и на рис. 2.10) график потребительского выбора симметрично отражен относительно вертикальной оси (второго блага), т.е. объемы потребления первого товара возрастают влево от начала координат. При снижении цены второго товара бюджетное ограничение поворачивается против часовой стрелки на рис. 1.25 из положения 1 в положение 2 вокруг точки пересечения с осью первого блага. Вариация цены приводит к перемещению оптимальной потребительской корзины товаров из точки \(E_1\) в точку \(E_2\). Совокупность всех таких оптимальных наборов в координатах потребляемых благ (\(x_{1}\) и \(x_{2}\)), соответствующих всевозможным уровням цены второго блага при фиксированной цене первого задает линию «цена–потребление». В координатах цены \(p_{2}\) и объема потребления товара \(x_{2}\) с ней сопряжен график функции спроса на второе благо, который образуют всевозможные сочетания между величиной спроса, зафиксированной кривой «цена-потребление», и соответствующим ей уровнем рыночной цены на данный товар. Построенная таким образом на смежном, по отношению к линии «цена-потребление», графике кривая индивидуального маршаллианского спроса, как правило, отражает действие т.н. «закона спроса» – убывающую зависимость объема потребление товара от уровня рыночной цены, когда потребитель покупает большее количество товара по низкой цене и меньшее количество товара по высокой цене при прочих равных условиях.

Биссектриса вспомогательного правого нижнего квадранта в верхней части рис. 2.9 призвана показать, что одно и то же изменение цены второго блага служит аргументом в функции спроса и на данный, и на другой товар. При снижении цены второго товара спрос и на данное благо, и на первый товар снижается, т.е. эти блага являются взаимодополняющими в потреблении. Если рассматривать спрос на первый товар как зависимость от его цены, то в координатах «\(p_{1}\)–\(x_{1}\)» цена второго блага является фактором сдвига графика спроса на первый товар. При неизменной цене первого блага объемы его потребления растут со снижением цены товара-комплемента, а значит, график спроса сдвигается дальше от начала координат. На рис. 2.9 система координат «p–\(x\)₁», в которой отображается спрос на первый товар, транспонирована, т.е. ось цены направлена вниз, а ось количества товара – влево, а значит, соответствующий сдвиг линии спроса происходит в направлении влево-вниз.

Рисунок 2.9. Графики “цена-потребление” и функции спроса по Маршаллу

Вариация, в частности увеличение, дохода потребителя, или пропорциональное изменение цен всех товаров, отражается на графике в виде параллельного сдвига бюджетного ограничения. Например, чем больше доход потребителя, тем выше и правее располагается его бюджетная линия. При увеличении дохода потребителя она сдвигается в положение 2 и занимает положение, параллельное первоначальному (под номером 1 на рис. 2.10). Это приводит к изменению оптимальной потребительской корзины товаров (из точки \(E_1\) в точку \(E_2\)). Множество соответствующих оптимальных наборов в координатах потребляемых благ \((x_{1}\) и \(x_{2})\) задает линию «доход–потребление». В координатах дохода \(M\) и объема потребления товара ей соответствует график функции Энгеля.

Вид кривой «доход-потребление» позволяет сделать важные выводы относительно категории товаров, входящих в потребительский набор. Если потребитель считает товар нормальным, то с ростом дохода будет увеличиваться величина его индивидуального спроса на этот товар. Поэтому линия “доход-потребление” при наличии двух нормальных товаров в потребительской корзине представляет собой возрастающую зависимость между объемами потребления данных благ (рис. 2.10). Для удобства иллюстрации зависимости индивидуального спроса от дохода для обоих благ одновременно на рис. 2.10 график потребительского выбора симметрично отражен относительно вертикальной оси (второго товара), т.е. объемы потребления первого блага возрастают влево от начала координат. Линия, проведенная под углом в 45° в правом-нижнем, вспомогательном квадранте на рис. 2.10, позволяет использовать одну и ту же вариацию дохода в качестве аргумента функций Энгеля двух товаров. Функции Энгеля отражают возрастающую зависимость спроса от дохода, если товары являются нормальными.

Рисунок 2.10. Графики «доход–потребление» и функции Энгеля

Возможна классификация товаров на нормальные и худшие в зависимости от того, возрастает или убывает на них спрос с увеличением дохода потребителя. Товар называется нормальным, если спрос на него растет с увеличением доходов покупателей. Товар называется инфериорным, или худшим, если спрос на него снижается с ростом доходов потребителей.

В частности, линия «доход–потребление» направлена вверх-вправо, если оба товара являются нормальными. Если один из товаров в потребительской корзине является инфериорным (второй при этом обязательно должен быть нормальным), то линия “доход-потребление” будет отражать убывающую зависимость оптимального количества худшего блага от нормального при изменении дохода покупателя. При этом функция Энгеля для инфериорного товара представляет собой убывающую зависимость спроса на данное благо от дохода потребителя

Функции условного спроса по Маршаллу являются однородными нулевой степени по ценам и доходу потребителя:

\(x_{j}{\left( {\alpha p_{1},\alpha p_{2},\mathit{\alpha M}} \right) = x_{j}}{\left( {p_{1},p_{2},M} \right) = x_{j}^{m}},{j = \left\{ {1,2} \right\}}.(2.18)\)

Действительно, в силу однородности первой степени расходов потребителя (2.5), изменение цен на товары в одной и той же пропорции (в \(\alpha\) раз) вызывает равнопропорциональное изменение расходов, а значит, и дохода потребителя, оставляя, тем самым, его бюджетное ограничение без изменения. Следовательно, и решение задачи максимизации полезности, т.е. значение функции условного спроса по Маршаллу, сохранится неизменным.

Доказав единственность решения задачи потребительского выбора (2.6) при строгой квазивогнутости функции полезности, мы, тем самым, обосновали существование функции спроса по Маршаллу, поскольку в результате решения задачи условной оптимизации (2.6) каждому значению параметров – цен и располагаемого дохода \(\left( {p_{1},p_{2},M} \right)\) – ставится в соответствие своя, особая корзина товаров \(\left( {x_{1},x_{2}} \right).\)

Примеры функций маршаллианского спроса дают неоклассические предпочтения. Например, задача потребительского выбора (2.6) при функции полезности Стоуна-Джери (1.25) будет выглядеть так⁸:

\(\begin{matrix} {\underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\max}}\left( {\left( {x_{1} - a} \right)^{c}\left( {x_{2} - b} \right)^{d}} \right):} \\ {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} = M}.} \\ \end{matrix}\)

Выпишем функцию Лагранжа для данной задачи:

\({L = \left( {x_{1} - a} \right)^{c}}{\left( {x_{2} - b} \right)^{d} - \lambda}\left( {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} - M}} \right)\).

Условия равенства нулю частных производных лагранжиана по переменным \(x_{1},x_{2}\) с учетом выражения для функции полезности (1.25) можно записать так:

\({\frac{\partial L}{\partial x_{1}} = c}\left( {x_{1} - a} \right)^{c - 1}\bullet{\left( {x_{2} - b} \right)^{d} - \lambda}{p_{1} = {\frac{c\left( {x_{1} - a} \right)^{c}\bullet\left( {x_{2} - b} \right)^{d}}{x_{1} - a} - \lambda}}{p_{1} = {\frac{\mathit{cU}\left( {x_{1},x_{2}} \right)}{x_{1} - a} - \lambda}}{p_{1} = 0},\)

\({\frac{\partial L}{\partial x_{2}} = d}\left( {x_{1} - a} \right)^{c}\bullet{\left( {x_{2} - b} \right)^{d - 1} - \lambda}{p_{2} = {\frac{d\left( {x_{1} - a} \right)^{c}\bullet\left( {x_{2} - b} \right)^{d}}{x_{2} - b} - \lambda}}{p_{2} = {\frac{dU\left( {x_{1},x_{2}} \right)}{x_{2} - b} - \lambda}}{p_{2} = 0.}\)

Получаем следующие выражения для оптимальных объемов потребления товаров:

\({x_{1} = {a + \frac{\mathit{cU}\left( {x_{1},x_{2}} \right)}{\lambda p_{1}}}},{x_{2} = {b + \frac{\mathit{dU}\left( {x_{1},x_{2}} \right)}{\lambda p_{2}}}}.\)

Домножим левые и правые части последних двух равенств на цены, соответственно, первого и второго товаров и сложим почленно полученные соотношения:

\({M = p_{1}}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} = p_{1}}{a + p_{2}}{b + \frac{({c + d})U\left( {x_{1},x_{2}} \right)}{\lambda}}.\)

Выражая отношение \({U\left( {x_{1},x_{2}} \right)}/\lambda\) и подставляя его в предпоследние два равенства, приходим к искомым функциям спроса по Маршаллу для предпочтений Стоуна – Джери:

\({x_{1}^{m} = {a + \frac{c\left( {{M - p_{1}}{a - p_{2}}b} \right)}{({c + d})p_{1}}}},{x_{2}^{m} = {b + \frac{d\left( {{M - p_{1}}{a - p_{2}}b} \right)}{({c + d})p_{2}}}}.(2.19)\)

Доход и цена комплементарного товара здесь представляют собой неценовые факторы спроса.

Частным случаем функций спроса (2.19) при \(a = b = 0\) являются зависимости, соответствующие предпочтениям Кобба – Дугласа (1.26):

\({x_{1}^{m} = \frac{\mathit{cM}}{({c + d})p_{1}}},{x_{2}^{m} = \frac{\mathit{dM}}{\left( {c + d} \right)p_{2}}}.(2.20)\)

В частности, для функции полезности \(U = \sqrt{x_{1}x_{2}}\) функции маршаллианского спроса будут иметь вид:

\({x_{1}^{m} = \frac{M}{2p_{1}}},{x_{2}^{m} = \frac{M}{2p_{2}}}.(2.21)\)

Можно отметить, что реализация механизма потребительского выбора применительно к предпочтениям Кобба-Дугласа имеет своим результатом фиксированные доли расходов на каждое из благ: \(p_{1}{x_{1} = \frac{c}{({c + d})}}M,p_{2}{x_{2} = \frac{d}{\left( {c + d} \right)}}M\), что позволяет адекватно охарактеризовать потребление агрегированных групп товаров (продуктов питания, одежды, жилья, бытовой техники и т.д.).

Обратим внимание на то, что в функциях спроса на каждое из данных благ отсутствует зависимость от цены другого товара. Таким образом, предпочтения Кобба-Дугласа (1.26) описывают потребление так называемых «независимых» товаров. Линия “цена-потребление” на первый и второй товар при функции полезности Кобба-Дугласа в координатах \(X\)₂0\(X\)₁ будет представлять собой, соответственно, горизонтальную либо вертикальную прямую линию, проведенную на уровне потребления другого блага (рис. 2.11).

Рисунок 2.11. Графики «цена–потребление» и спроса по Маршаллу для функции полезности Кобба–Дугласа

Линия «доход-потребление» выводится лишь на основе эквимаржинального условия без привлечения бюджетного ограничения, поскольку вдоль данной линии доход потребителя является произвольной величиной: \({x_{2} = \frac{dp_{1}}{cp_{2}}}x_{1}\). Функции Энгеля, как зависимости объемов потребления товаров от дохода потребителя, заложены в функциях маршаллианского спроса (2.20). При предпочтениях Кобба-Дугласа (1.26), характеризующих потребление нормальных благ, объемы товаров – это линейные возрастающие функции дохода потребителя. Очевидно, что графики функций Энгеля в данном случае представляют собой прямые линии, исходящие из начала координат (рис. 2.12).

Рисунок 2.12. Графики «доход–потребление» и функции Энгеля для предпочтений Кобба–Дугласа

Как было показано выше, предпочтения Кобба-Дугласа являются частным случаем функции полезности CES (1.13), которая дает еще один пример широко используемых в экономической науке функций маршаллианского спроса. Выведем для данных предпочтений (1.13) при \(a = b = \gamma = 1.\) Задача максимизации полезности данного типа при бюджетном ограничении (2.6) будет иметь вид:

\(\begin{matrix} {\underset{x_{1},x_{2}}{\mathit{\max}}\left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1}{\varphi}}:} \\ {p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} = M}.} \\ \end{matrix}\)

Выпишем функцию Лагранжа для данной задачи⁹:

\({L = {\left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1}{\varphi}} + \lambda}}\left( {{M - p_{1}}{x_{1} - p_{2}}x_{2}} \right).\)

Необходимые условия максимизации данной функции полезности при бюджетном ограничении (2.9) имеют вид:

\({\frac{\partial L}{\partial x_{1}} = \frac{1}{\varphi}}\left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1 - \varphi}{\varphi}}\bullet\varphi{x_{1}^{\varphi - 1} - \lambda}{p_{1} = 0},\)

\({\frac{\partial L}{\partial x_{2}} = \frac{1}{\varphi}}\left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1 - \varphi}{\varphi}}\bullet\varphi{x_{2}^{\varphi - 1} - \lambda}{p_{2} = 0};\)

или

\(\left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1 - \varphi}{\varphi}}{x_{1}^{\varphi - 1} = \lambda}p_{1},\)

\(\left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1 - \varphi}{\varphi}}{x_{2}^{\varphi - 1} = \lambda}p_{2}.\)

С учетом выражения функции полезности условия оптимальности по \(x_{1}\) и \(x_{2}\) можно переписать так:

\({x_{1} = \left( {\lambda p_{1}} \right)^{\frac{1}{\varphi - 1}}}{\left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1}{\varphi}} = U}\bullet\lambda^{\frac{1}{\varphi - 1}}p_{1}^{\frac{1}{\varphi - 1}},\)

\({x_{2} = \left( {\lambda p_{2}} \right)^{\frac{1}{\varphi - 1}}}{\left( {x_{1}^{\varphi} + x_{2}^{\varphi}} \right)^{\frac{1}{\varphi}} = U}\bullet\lambda^{\frac{1}{\varphi - 1}}p_{2}^{\frac{1}{\varphi - 1}}.\)

Домножая на цену и суммируя по всем товарам, с учетом жесткости бюджетного ограничения (2.4) получаем выражение:

\(p_{1}{x_{1} + p_{2}}{x_{2} = U}\bullet\lambda^{\frac{1}{\varphi - 1}}{\left( {p_{1}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}} + p_{2}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}}} \right) = M},\)

т.е.

\(U\bullet{\lambda^{\frac{1}{\varphi - 1}} = \frac{M}{\left( {p_{1}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}} + p_{2}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}}} \right)}}.\)

Подставляя в условия оптимальности по \(x_{1}\) и \(x_{2}\), получаем функции спроса по Маршаллу:

\({x_{1}^{m} = \frac{M}{p_{1}^{\frac{1}{1 - \varphi}}\left( {p_{1}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}} + p_{2}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}}} \right)}},{x_{2}^{m} = \frac{M}{p_{2}^{\frac{1}{1 - \varphi}}\left( {p_{1}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}} + p_{2}^{\frac{\varphi}{\varphi - 1}}} \right)}}.(2.22)\)

Данную функцию маршаллианского спроса можно переписать, используя показатель эластичности замещения между продуктами \(\delta = \frac{1}{1 - \varphi}:\)

\({x_{1}^{m} = \frac{M}{p_{1}^{\delta}\left( {p_{1}^{1 - \delta} + p_{2}^{1 - \delta}} \right)}},{x_{2}^{m} = \frac{M}{p_{2}^{\delta}\left( {p_{1}^{1 - \delta} + p_{2}^{1 - \delta}} \right)}}.\)

Как было показано выше, в случае выбора между товарами – совершенными субститутами (1.31), когда предпочтения являются нестрого квазивогнутыми, возможна неединственность решения задачи связанной максимизации полезности, а значит, спрос по Маршаллу не будет представлять собой функциональную зависимость. Обратимся к трем случаям потребительского оптимума для совершенных субститутов. В первом случае, при \(\frac{p_{2}}{\beta} \lt \frac{p_{1}}{\alpha}\), \(x_{1} = 0\), \(x_{2} = \frac{M}{p_{2}}\) (рис. 2.6). Во втором случае, при \(\frac{p_{2}}{\beta} \gt \frac{p_{1}}{\alpha}\), \(x_{1} = \frac{M}{p_{1}}\), \(x_{2} = 0\) (рис. 2.7). Наконец, в третьем случае, при \(\frac{p_{2}}{\beta} = \frac{p_{1}}{\alpha}\), величины спроса на \(x\)₁ и \(x\)₂ задаются уравнением бюджетного ограничения (1.16). \(x_{1}\) может принимать любые значения между 0 и \(\frac{M}{p_{1}}\), тогда как \({x_{2} = {\frac{M}{p_{2}} - \frac{p_{1}}{p_{2}}}}x_{1}\).

Итак, для линейной функции полезности наблюдается не функция, а отношение, или точечно-множественное отображение спроса по Маршаллу (рис. 2.13):

\({x_{1}^{m} = t}\frac{M}{p_{1}},{x_{2}^{m} = \left( {1 - t} \right)}\frac{M}{p_{2}},\mathit{где}\left\lbrack \begin{matrix} {{t = 1}\mathit{при}{\frac{p_{2}}{\beta} \gt \frac{p_{1}}{\alpha}},} \\ {{t = 0}\mathit{при}{\frac{p_{1}}{\alpha} \gt \frac{p_{2}}{\beta}},} \\ {t\in\lbrack 0,1\rbrack\mathit{при}{\frac{p_{2}}{\beta} = \frac{p_{1}}{\alpha}}.} \\ \end{matrix} \right.(2.23)\)

Рисунок 2.13. График «цена–потребление» и спрос для совершенных субститутов

Каждому из трех случаев оптимума для совершенных субститутов будет соответствовать свой график «доход – потребление». Если \(\frac{\alpha}{\beta} \lt \frac{p_{1}}{p_{2}}\) (например, при \(p_{2} = p_{2}^{3}\) на рис. 2.14), то линия «доход – потребление» совпадает с осью 0\(x\)₂. Если \(\frac{\alpha}{\beta} \gt \frac{p_{1}}{p_{2}}\) (например, при \(p_{2} = p_{2}^{2}\)), то линия «доход – потребление» – это ось 0\(x\)₁. Если же \(\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p_{1}}{p_{2}}\) (например, при \(p_{2} = p_{2}^{1}\)), то, поскольку \(x_{1}\) и \(x_{2}\) могут быть любыми числами от 0 соответственно до \(\frac{M}{p_{1}}\) и \(\frac{M}{p_{2}}\), линия «доход – потребление» «заметает» весь неотрицательный ортант \(x\)₁0\(x\)₂.

На основе зависимостей «доход – потребление» получим графики Энгеля, в частности, для второго из товаров – совершенных субститутов. Если \(\frac{\alpha}{\beta} \lt \frac{p_{1}}{p_{2}}\) (например, при \(p_{2} = p_{2}^{3}\) на рис. 2.14), линия Энгеля для второго товара представляет собой исходящий из начала координат луч \(x_{2} = \frac{M}{p_{2}}\). Если \(\frac{\alpha}{\beta} \gt \frac{p_{1}}{p_{2}}\) (например, при \(p_{2} = p_{2}^{2}\)), то линия Энгеля – это горизонтальная ось 0\(M\). Если же \(\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p_{1}}{p_{2}}\) (например, при \(p_{2} = p_{2}^{1}\)), то, поскольку \(x_{2}\) – это произвольное число от 0 до \(\frac{M}{p_{2}}\), график Энгеля – это сегмент положительного ортанта, ограниченный лучом \(x_{2} = \frac{M}{p_{2}}\) и координатной осью 0\(M\).

Рисунок 2.14. Графики «доход–потребление» и функции Энгеля для совершенных субститутов

Нефункциональный характер спроса по Маршаллу может возникать также по причине жесткости ограничений по неотрицательности объемов потребления товаров. Примером здесь могут служить квазилинейные предпочтения (1.15). Рассчитаем предельную норму замещения между товарами:

\({\mathit{MRS}_{12} = \frac{\mathit{MU}_{1}}{\mathit{MU}_{2}} = \frac{f^{'}\left( x_{1} \right)}{k} = \varphi}{\left( x_{1} \right) = \frac{p_{1}}{p_{2}}}.(2.24)\)

В данной ситуации оптимальный объем потребления первого товара при наличии внутреннего оптимума может быть определен без учета величины дохода, только лишь на основе выражения для предельной нормы замещения:

\({x_{1}^{} = \varphi^{- 1}}\left( \frac{p_{1}}{p_{2}} \right).(2.25)\)

Рис. 2.15 иллюстрирует оптимальный объем первого товара, соответствующий точкам \(E_1\), \(E_2\), E₃ и не зависящий от уровня дохода индивидуума. Величина дохода при этом имеет значение при определении объема потребления второго блага:

\({x_{2}^{} = {\frac{M}{p_{2}} - \frac{p_{1}}{p_{2}}}}{x_{1}^{} = {\frac{M}{p_{2}} - \frac{p_{1}}{p_{2}}}}\varphi^{- 1}\left( \frac{p_{1}}{p_{2}} \right).(2.26)\)

При квазилинейных предпочтениях возможно также существование краевых оптимумов. Если \({\mathit{MRS}_{12} = \varphi}{\left( x_{1} \right) \lt \frac{p_{1}}{p_{2}}}\), то \(x_{1}^{} = 0\), и весь доход потребителя расходуется только на потребление второго товара (точка E₄ на рис. 2.15). Наоборот, в ситуации, когда \({\mathit{MRS}_{12} = \varphi}{\left( x_{1} \right) \gt \frac{p_{1}}{p_{2}}}\), или, что эквивалентно, \(\varphi^{- 1}\left( \frac{p_{1}}{p_{2}} \right)\geq\frac{M}{p_{1}}\), индивидуум полностью откажется от потребления второго блага \(\left( {x_{2}^{} = 0} \right)\) и направит весь свой доход на покупку первого товара: \(x_{1}^{} = \frac{M}{p_{1}}\) (точка E₅ на рис. 2.15).

Рисунок 2.15. Внутренние и краевые оптимумы при квазилинейных предпочтениях

Таким образом, спрос по Маршаллу при квазилинейных предпочтениях (1.15) имеет вид (рис. 2.16-2.17):

\({x_{1}^{m} = \left\lbrack \begin{matrix} {0\mathit{при}\varphi{\left( x_{1} \right) \lt \frac{p_{1}}{p_{2}}},} \\ {\varphi^{- 1}\left( \frac{p_{1}}{p_{2}} \right),} \\ {\frac{M}{p_{1}}\mathit{при}\varphi{\left( x_{1} \right) \gt \frac{p_{1}}{p_{2}}};} \\ \end{matrix} \right.}{x_{2}^{m} = \left\lbrack \begin{matrix} {\frac{M}{p_{2}}\mathit{при}\varphi{\left( x_{1} \right) \lt \frac{p_{1}}{p_{2}}},} \\ {{\frac{M}{p_{2}} - \frac{p_{1}}{p_{2}}}\varphi^{- 1}\left( \frac{p_{1}}{p_{2}} \right),} \\ {0\mathit{при}\varphi{\left( x_{1} \right) \gt \frac{p_{1}}{p_{2}}}.} \\ \end{matrix} \right.}(2.27)\)