8.2.3. Самоидентификация и самоотбор. Скрининг (фильтрация)

8.2.3.1. Модель Саланье

Модель неблагоприятного отбора со скринингом (или фильтрацией) для случая локального монополиста на рынке товара рассмотрим, следуя логике Бернара Саланье (2005), представившего ее в парадигме теории контрактов¹, где производитель взаимодействует с искушенными и неискушенными покупателями его товара, которых он не может идентифицировать по наблюдаемым признакам. В модели Саланье в качестве объекта рыночных сделок рассматривается вино. Им также мог бы быть мед, кофе или любой иной товар, в отношении изысканных сортов которого искушенные потребители – гурманы – проявляют более высокую готовность платить, а неискушенные потребители готовы платить меньше за менее престижные его разновидности. Отсюда – ключ к решению проблемы неблагоприятного отбора, в основе которого лежит сегментация рынка: продажа товара высокого качества по высокой цене искушенным потребителям и товара низкого качества по низкой цене - неискушенным потребителям. Однако для этого монополист должен предложить покупателям такие контракты, чтобы произошла их самоиднетификация по ненаблюдаемому признаку и самоотбор по соответствующим сегментам рынка.

Условия модели

Производитель:

• Несет издержки производства единицы товара качества q, равные с(q), причем c’(q)≥0, c’’(q)≥0, c’(0)=0 и c’(∞)=∞;
• Может производить товар любого качества: qє[0;∞];
• Максимизирует прибыль: π(q,р)=р-c(q), где р – цена единицы товара.

Потребители:

• За рассматриваемый период каждый потребитель планирует купить одну единицу товара;
• Каждый потребитель имеет функцию полезности: u(q,р)=\(\theta\)∙q-р, где \(\theta\) – степень его искушенности;
• За одинаковый прирост качества товара искушенные потребители готовы заплатить больше, чем неискушенные, т.е.:

\(\forall\theta^{'} \gt \theta,u\left( {q,\theta^{'}} \right)\text{-}u\left( {q,\theta} \right)\) – возрастает по q;

• Степень искушенности может принимать одно из двух значений: \(\theta\)є{\(\theta\)₁, \(\theta\)₂}, где 0<\(\theta\)₁<\(\theta\)₂, \(\theta\)₁ – у неискушенных потребителей, \(\theta\)₂ – у искушенных потребителей;
• β – доля неискушенных потребителей, т.е. вероятность ρ(\(\theta\)=\(\theta\)₁)=β.

Модель

Случай 1: симметричная информация – Парето-оптимальные контракты

Если бы информация о степени искушенности потребителей была распределена симметрично, производитель мог бы выявить тип потребителя \(\theta\)_i до заключения сделок. Тогда оптимальные контракты определяются из решения задачи:

\(\left\{ \begin{matrix} {\mathit{\max}_{q_{i}p_{i}}\left( {p_{i}\text{-}c\left( q_{i} \right)} \right),} \\ {\theta_{i}\bullet q_{i}\text{-}p_{i}\geq 0.} \\ \end{matrix} \right.\)

Итоговые контракты приводят к следующим результатам:

• потребителю \(\theta\)_i предложен товар качества q_i=q_i* по цене р*=\(\theta\)_i∙q_i;
• монополист присваивает весь потребительский излишек;
• получаемая потребителем полезность: u(q_i,р_i)=0.

На рис. 8.8 проиллюстрировано равновесие модели для Случая 1:

- линии \(u_{0}^{1}\) и \(u_{0}^{2}\) – кривые безразличия потребителей, получающих нулевую полезность: \(p\text{=}\theta_{1}q\) и \(p\text{=}\theta_{2}q\);

- кривые \(\pi_{1}\) и \(\pi_{2}\) – изопрофиты;

• q₁* и q₂* - эффективные уровни качества товара;
• так как \(\theta\)₁<\(\theta\)₂ и с(q) – возрастающая функция, искушенный потребитель покупает товар более высокого качества, т.е. q₂^*>q₁^*;
• (q₁*,р₁*) и (q₂*,р₂*) – оптимальные контракты.

Рисунок 8.8. Равновесие при симметричной информации и Парето-оптимальных контрактах

Очевидно, что параметры сложившегося равновесия соответствуют ценовой дискриминации первой степени. При этом Саланье подчеркивает: «Этот тип дискриминации, называемый ценовой дискриминацией первой степени, как правило, запрещен законом, в соответствии с которым продажи должны быть анонимными: вы не можете отказать одному потребителю в точно такой же сделке, которую вы приготовили для другого потребителя. Однако для нас представляет интерес тот кейс, когда продавец не может непосредственно установить тип потребителя. В таком случае совершенная дискриминация невозможна вне зависимости от ее легального статуса»².

Случай 2: асимметричная информация – контракты «второго лучшего»

Если в условиях асимметрии информации производитель не может отличить потребителей по степени их искушенности и по-прежнему предложит контракты (q₁*,р₁*) и (q₂*,р₂*), оба типа потребителей могут выбрать контракт (q₁*,р₁*), т.к.:

\(\theta_{2}\bullet q_{1}^{\text{*}}\text{-}p_{1}^{\text{*}} \gt 0\text{=}\theta_{2}\bullet q_{2}^{\text{*}}\text{-}p_{2}^{\text{*}}.\)

Это будет означать падение прибыли производителя.

Как показано на рис. 8.9, производитель может получить более высокую прибыль, предложив контракт (q₁*,р₁*) и контракт А, который выберут только искушенные потребители (этот контракт будет расположен на более высокой изопрофите, чем π¹, и более высокой кривой безразличия³, чем U₀²).

Рисунок 8.9. Возможные контракты «второго лучшего» при асимметричной информации

Для нахождения «второй лучшей» пары контрактов производитель решает задачу максимизации прибыли:

\(\mathit{\max}_{p_{1},q_{1},p_{2},q_{2}}\left\{ {\beta\bullet\left\lbrack {p_{1}\text{-}c\left( q_{1} \right)} \right\rbrack\text{+}(1\text{-}\beta)\bullet\left\lbrack {p_{2}\text{-}c(q_{2})} \right\rbrack} \right\}\)

при ограничениях:

\(\theta_{1}\bullet q_{1}\text{-}p_{1}\geq\theta_{1}\bullet q_{2}\text{-}p_{2}\) (IC₁)

\(\theta_{2}\bullet q_{2}\text{-}p_{2}\geq\theta_{2}\bullet q_{1}\text{-}p_{1}\) (IC₂)

\(\theta_{1}\bullet q_{1}\text{-}p_{1}\geq 0\) (IR₁)

\(\theta_{2}\bullet q_{2}\text{-}p_{2}\geq 0\) (IR₂)

где:

• (IC_i), i=1,2 – «ограничения самоотбора» (self-selection constraints) или «ограничения совместимости стимулов» (incentive compatibility constraints);
• (IR_i), i=1,2 – «ограничения участия» (participation constraints) или «ограничения индивидуальной рациональности» (individual rationality constraints).

Для того чтобы решение задачи было найдено, по одному из ограничений в каждой паре должны выполняться как равенства. Исходя из условий модели, в равенства превращаются ограничения (IR₁) и (IC₂).

Таким образом, в оптимуме выполняются следующие условия:

1. (IR₁) превращается в равенство: р₁=\(\theta\)₁∙q₁.
2. (IC₂) превращается в равенство, откуда: р₂-р₁=\(\theta\)₂∙(q₂-q₁).
3. Сложив (IC₁) и (IC₂) и приняв во внимание, что \(\theta\)₁<\(\theta\)₂, получаем: q₂≥q₁.
4. Можно пренебречь (IR₂) и (IC₁).
5. Искушенные потребители приобретают товар эффективного качества, т.е. q₂=q₂*.

С помощью условий (1), (2) и (5) получаем:

\(\left\{ \begin{matrix} {q_{2}\text{=}q_{2}^{\text{*}},} \\ {p_{1}\text{=}\theta_{1}\bullet q_{1},} \\ {p_{2}\text{=}\theta_{1}\bullet q_{1}\text{+}\theta_{2}\bullet\left( {q_{2}^{\text{*}}\text{-}q_{1}} \right).} \\ \end{matrix} \right.\)

Подставим найденные выражения в функцию прибыли производителя:

\(\mathit{\max}_{q_{1}}\left\{ {\left\lbrack {\theta_{1}q_{1}\text{-}c\left( q_{1} \right)} \right\rbrack\text{+}\frac{(1\text{-}\beta)}{\beta}\left\lbrack {\theta_{1}q_{1}\text{+}\theta_{2}q_{2}^{\text{*}}\text{-}\theta_{2}q_{1}\text{-}c(q_{2}^{\text{*}})} \right\rbrack} \right\}\).

Из условия 1-го порядка:

\(c^{'}\left( q_{1} \right)\text{=}\theta_{1}\text{-}\frac{\left( {1\text{-}\beta} \right)}{\beta}\left( {\theta_{2}\text{-}\theta_{1}} \right).\)

Отсюда: \(c'(q_{1}) \lt \theta_{1}\).

Следовательно, качество товара, предлагаемого неискушенным потребителям, ниже эффективного.

Как показано на рис. 8.10, оптимальный контракт (q₁, p₁) лежит на кривой безразличия неискушенного потребителя, соответствующей нулевой полезности, а оптимальный контракт (q₂, p₂) – это точка касания изопрофиты продавца \(\pi^{2}\) и кривой безразличия искушенного потребителя, проходящей через точку (q₁, p₁). При этом q₂=q₂*, а q₁<q₁*.

Рисунок 8.10. Равновесие при асимметричной информации: контракты «второго наилучшего»

Подводя итоги рассмотрения контрактов «второго наилучшего», Саланье обращает внимание на то, что «информационная рента – это центральная концепция моделей неблагоприятного отбора»⁴. Информационная рента – это потребительский излишек, который получает агент второго типа (искушенный потребитель), т.к. он всегда может выдать себя за агента первого типа (неискушенного потребителя) и, купив товар качества q₁, получить положительную полезность \(\theta\)₂∙q₁-p₁. Агент первого типа информационной ренты не получает (если он выдаст себя за агента второго типа, то получит отрицательную полезность \(\theta\)₁∙q₂-p₂).

Если на рынке существуют n типов агентов, таких, что а₁<…<a_n, то будут выполняться выделенные Саланье базовые свойства оптимального набора контрактов, характерные для моделей дискретного типа:

1. агенты с максимальным рангом (наиболее искушенные потребители) приобретают товары с эффективным уровнем качества;
2. агенты всех типов, кроме агентов с минимальным рангом (т.е. наименее искушенных потребителей), безразличны в выборе своего контракта и контракта агента со следующим меньшим рангом;
3. агенты каждого типа а₂,…a_n будут получать информационную ренту, причем она будет возрастать от а₂ к a_n, а самый низший тип а₁ не получит ренты;
4. агенты всех рангов, кроме максимального, приобретают товары с неэффективным уровнем качества;
5. агенты с минимальным рангом получают нулевой излишек.

8.2.3.2. Модель скрининга: обобщение

Сформулируем задачу скрининга (фильтрации) покупателей в общем виде, а затем приведем числовой пример.

Допустим, что предельные издержки постоянны, т.е. что производитель работает в условиях постоянной отдачи от масштаба \(\left( {\mathit{MC}\text{=}\mathit{AC}\text{=}c\text{=}\mathit{const}} \right)\) и продает количество \(q\geq 0\) потребителю за общую плату в размере \(F\text{=}F(q)\). Потребители могут быть двух типов: с высокой и с низкой оценкой товара. В модели обычно предполагается квазилинейность функций полезности покупателей. Предполагается, что они получают полезность в размере \(U_{i}\text{=}\theta_{i}V(q)\text{+}M_{i}\text{-}F_{i}\), i=1,2; где \(M_{i}\) – доход потребителя, \(V(q)\) – это валовой потребительский излишек, связанный с потреблением данного товара; причем \(V(\bullet)\) известен всем, но информацией о \(\theta_{i}\) располагает только потребитель. Будем предполагать для определенности, что \(\theta_{2} \gt \theta_{1}\).

В интересах производителя разработать контракты \(\left( {q_{i},F_{i}} \right)\) таким образом, чтобы максимизировать ожидаемую прибыль: \(\mathit{EPR}\text{=}\rho_{1}\left( {F_{1}\text{-}cq_{1}} \right)\text{+}\rho_{2}\left( {F_{2}\text{-}cq_{2}} \right)\).

Чтобы разработать стимулирующие контракты, максимизирующие прибыль в условиях неполной информации, монополист должен принимать во внимание «ограничения участия», или ограничения по гарантированному, резервному уровню полезности, для каждой группы покупателей:

\(\theta_{i}V\left( q_{i} \right)\text{+}M_{i}\text{-}F_{i}\geq\theta_{i}V(0)\text{+}M_{i},\)

или

\(\theta_{i}V\left( q_{i} \right)\geq F_{i}\text{+}\theta_{i}V(0),i\text{=}\left\{ 1,2 \right\};\)

а также «ограничения самоотбора» или «ограничения совместимости стимулов»:

\(\theta_{i}V\left( q_{i} \right)\text{+}M_{i}\text{-}F_{i}\geq\theta_{i}V\left( q_{j} \right)\text{+}M_{i}\text{-}F_{j},\)

т.е.

\(\theta_{i}V\left( q_{i} \right)\text{-}F_{i}\geq\theta_{i}V\left( q_{j} \right)\text{-}F_{j};i,j\text{=}\left\{ 1,2 \right\},i\neq j.\)

Поскольку должно выполняться «ограничение участия» для первой группы покупателей, постольку пассивным будет ограничение \(\left( {\theta_{2} \gt \theta_{1}} \right)\):

\(\theta_{2}V\left( q_{2} \right)\text{-}F_{2}\geq\theta_{2}V\left( q_{1} \right)\text{-}F_{1} \gt \theta_{1}V\left( q_{1} \right)\text{-}F_{1}\geq 0.\)

Итак, задача дискриминирующего монополиста принимает вид:

\(\begin{matrix} {\underset{q_{1},q_{2},F_{1},F_{2}}{\mathit{\max}}\mathit{EPR}\text{=}\underset{q_{1},q_{2},F_{1},F_{2}}{\mathit{\max}}\left( {\rho_{1}\left( {F_{1}\text{-}\mathit{TC}_{1}\left( q_{1} \right)} \right)\text{+}\left( {1\text{-}\rho_{1}} \right)\left( {F_{2}\text{-}\mathit{TC}_{2}\left( q_{2} \right)} \right)} \right):} \\ {\theta_{1}V\left( q_{1} \right)\text{-}F_{1}\geq\theta_{1}V(0),} \\ {\theta_{1}V\left( q_{1} \right)\text{-}F_{1}\geq\theta_{1}V\left( q_{2} \right)\text{-}F_{2},} \\ {\theta_{2}V\left( q_{2} \right)\text{-}F_{2}\geq\theta_{2}V\left( q_{1} \right)\text{-}F_{1}.} \\ \end{matrix}\)

Для решения данной задачи выписываем функцию Лагранжа:

\({L = \rho_{1}}\left( {F_{1}\text{-}cq_{1}} \right)\text{+}\left( {1\text{-}\rho_{1}} \right)\left( {F_{2}\text{-}cq_{2}} \right)\text{+}\lambda\left( {\theta_{1}V\left( q_{1} \right)\text{-}F_{1}\text{-}\theta_{1}V(0)} \right)\text{+}\mu\left( {\theta_{1}V\left( q_{1} \right)\text{-}F_{1}\text{-}\theta_{1}V\left( q_{2} \right)\text{+}F_{2}} \right)\text{+}\nu\left( {\theta_{2}V\left( q_{2} \right)\text{-}F_{2}\text{-}\theta_{2}V\left( q_{1} \right)\text{+}F_{1}} \right).\)

Оптимальность деятельности монополиста предполагает равенство нулю производных лагранжиана по искомым переменным:

\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{\partial L}{\partial q_{1}}\text{=}\text{-}c\rho_{1}\text{+}\left( {\left( {\lambda\text{+}\mu} \right)\theta_{1}\text{-}\nu\theta_{2}} \right)\frac{\partial V\left( q_{1} \right)}{\partial q_{1}}\text{=}0} \\ {\frac{\partial L}{\partial q_{2}}\text{=}\text{-}c\left( {1\text{-}\rho_{1}} \right)\text{+}\left( {\nu\theta_{2}\text{-}\mu\theta_{1}} \right)\frac{\partial V\left( q_{2} \right)}{\partial q_{2}}\text{=}0,} \\ {\frac{\partial L}{\partial F_{1}}\text{=}\rho_{1}\text{-}\lambda\text{-}\mu\text{+}\nu\text{=}0,} \\ {\frac{\partial L}{\partial F_{2}}\text{=}1\text{-}\rho_{1}\text{+}\mu\text{-}\nu\text{=}0,} \\ \end{matrix} \right.\)

т.е.

\(\left\{ \begin{matrix} {\left( {\left( {\lambda\text{+}\mu} \right)\theta_{1}\text{-}\nu\theta_{2}} \right)\frac{\partial V\left( q_{1} \right)}{\partial q_{1}}\text{=}c\rho_{1},} \\ {\left( {\nu\theta_{2}\text{-}\mu\theta_{1}} \right)\frac{\partial V\left( q_{2} \right)}{\partial q_{2}}\text{=}c\left( {1\text{-}\rho_{1}} \right),} \\ {\lambda\text{+}\mu\text{-}\nu\text{=}\rho_{1},} \\ {\nu\text{-}\mu\text{=}1\text{-}\rho_{1},} \\ \end{matrix} \right.\)

а также условиями дополняющей нежесткости:

\(\left\{ \begin{matrix} {\lambda\left( {\theta_{1}V\left( q_{1} \right)\text{-}F_{1}\text{-}\theta_{1}V(0)} \right)\text{=}0,\lambda\geq 0,\theta_{1}V\left( q_{1} \right)\geq F_{1}\text{+}\theta_{1}V(0),} \\ {\mu\left( {\theta_{1}V\left( q_{1} \right)\text{-}F_{1}\text{-}\theta_{1}V\left( q_{2} \right)\text{+}F_{2}} \right)\text{=}0,\mu\geq 0,\theta_{1}V\left( q_{1} \right)\text{-}F_{1}\geq\theta_{1}V\left( q_{2} \right)\text{-}F_{2},} \\ {\nu\left( {\theta_{2}V\left( q_{2} \right)\text{-}F_{2}\text{-}\theta_{2}V\left( q_{1} \right)\text{+}F_{1}} \right)\text{=}0,\nu\geq 0,\theta_{2}V\left( q_{2} \right)\text{-}F_{2}\geq\theta_{2}V\left( q_{1} \right)\text{-}F_{1}.} \\ \end{matrix} \right.\)

Из первых двух равенств в предпоследней системе имеем эквимаржинальное условие оптимальности контракта:

\(\frac{\frac{\partial V\left( q_{1} \right)}{\partial q_{1}}}{\frac{\partial V\left( q_{2} \right)}{\partial q_{2}}}\text{=}\frac{\rho_{1}}{\left( {1\text{-}\rho_{1}} \right)}\bullet\frac{\left( {\nu\theta_{2}\text{-}\mu\theta_{1}} \right)}{\left( {\left( {\lambda\text{+}\mu} \right)\theta_{1}\text{-}\nu\theta_{2}} \right)}.\)

Далее, сложив последние два равенства в предпоследней системе, получаем \(\lambda\text{=}1\), а значит, «ограничение участия» для первой группы покупателей является жестким:

\(F_{1}\text{=}\theta_{1}V\left( q_{1} \right)\text{-}\theta_{1}V(0).(8.2.1)\)

При этом второе из условий дополняющей нежесткости принимает вид:

\(\mu\left( {\theta_{1}V(0)\text{+}F_{2}\text{-}\theta_{1}V\left( q_{2} \right)} \right)\text{=}0,\mu\geq 0,\theta_{1}V\left( q_{2} \right)\text{-}F_{2}\leq\theta_{1}V(0),\)

а эквимаржинальное условие, в силу того что \(\mu\text{=}\nu\text{+}\rho_{1}\text{-}1\), будет выглядеть так:

\(\frac{\frac{\partial V\left( q_{1} \right)}{\partial q_{1}}}{\frac{\partial V\left( q_{2} \right)}{\partial q_{2}}}\text{=}\frac{\rho_{1}}{\left( {1\text{-}\rho_{1}} \right)}\bullet\frac{\left( {\nu\left( {\theta_{2}\text{-}\theta_{1}} \right)\text{+}\left( {1\text{-}\rho_{1}} \right)\theta_{1}} \right)}{\left( {\rho_{1}\theta_{1}\text{-}\nu\left( {\theta_{2}\text{-}\theta_{1}} \right)} \right)}\text{=}\frac{\rho_{1}}{\left( {1\text{-}\rho_{1}} \right)}\bullet\left( {\frac{\theta_{1}}{\left( {\rho_{1}\theta_{1}\text{-}\nu\left( {\theta_{2}\text{-}\theta_{1}} \right)} \right)}\text{-}1} \right).\)

Если \(\nu\text{=}0,\) то \(\mu\text{=}\rho_{1}\text{-}1 \lt 0\), что противоречит условию \(\mu\geq 0\). Следовательно, \(\nu \gt 0\) и «ограничение самоотбора» для второй группы покупателей является жестким:

\(\theta_{2}V\left( q_{2} \right)\text{-}F_{2}\text{=}\theta_{2}V\left( q_{1} \right)\text{-}F_{1}\text{=}\left( {\theta_{2}\text{-}\theta_{1}} \right)V\left( q_{1} \right)\text{+}\theta_{1}V(0),\)

т.е.

\(F_{2}\text{=}\theta_{2}V\left( q_{2} \right)\text{-}\left( {\theta_{2}\text{-}\theta_{1}} \right)V\left( q_{1} \right)\text{-}\theta_{1}V(0).(8.2.2)\)

Предположим, что модифицированное «ограничение совместимости стимулов» для первой группы покупателей с учетом ее жесткого «ограничения участия» является активным, т.е. \(\theta_{1}V\left( q_{2} \right)\text{=}F_{2}\text{+}\theta_{1}V(0)\). Тогда из жесткости «ограничения самоотбора» для второй группы следует \(\left( {\theta_{2}\text{-}\theta_{1}} \right)V\left( q_{2} \right)\text{=}\left( {\theta_{2}\text{-}\theta_{1}} \right)V\left( q_{1} \right)\), т.е. \(V\left( q_{2} \right)\text{=}V\left( q_{1} \right),\) а значит, \(q_{1}\text{=}q_{2}\) и \(\frac{\partial V\left( q_{1} \right)}{\partial q_{1}}\text{=}\frac{\partial V\left( q_{2} \right)}{\partial q_{2}}\). Тогда из эквимаржинального условия будет следовать соотношение \(\frac{\rho_{1}}{\left( {1\text{-}\rho_{1}} \right)}\bullet\left( {\frac{\theta_{1}}{\left( {\rho_{1}\theta_{1}\text{-}\nu\left( {\theta_{2}\text{-}\theta_{1}} \right)} \right)}\text{-}1} \right)\text{=}1,\) или \(\frac{\theta_{1}}{\left( {\rho_{1}\theta_{1}\text{-}\nu\left( {\theta_{2}\text{-}\theta_{1}} \right)} \right)}\text{=}\frac{1}{\rho_{1}},\) а значит, \(\text{-}\nu\left( {\theta_{2}\text{-}\theta_{1}} \right)\text{=}0,\) т.е. \(\theta_{2}\text{=}\theta_{1}\), что противоречит постановке задачи оптимизации системы контрактов. Возникшее противоречие доказывает нежесткость «ограничения самоотбора» для первой группы покупателей \(\left( {F_{2} \gt \theta_{1}V\left( q_{2} \right)\text{-}\theta_{1}V(0)} \right)\) и равенство нулю соответствующего множителя Лагранжа: \(\mu\text{=}0\). Это позволяет определить значение последнего множителя Лагранжа: \(\nu\text{=}1\text{-}\rho_{1}\), а значит, и предельные полезности для первой и второй групп покупателей, соответственно:

\(\frac{\partial V\left( q_{1} \right)}{\partial q_{1}}\text{=}\frac{c\rho_{1}}{\theta_{1}\text{-}\left( {1\text{-}\rho_{1}} \right)\theta_{2}},\frac{\partial V\left( q_{2} \right)}{\partial q_{2}}\text{=}\frac{c}{\theta_{2}}.\)

Их значения задают объемы продаваемых товаров (услуг). С учетом рассчитанной выше стоимости данных партий товаров (8.2.1-8.2.2) получаем оптимальные контракты, которые дают возможность монополисту осуществить скрининг покупателей \(\left( {q_{i},F_{i}} \right),i\text{=}\left\{ 1,2 \right\}\).

Числовой пример

Предположим, что монополист выпускает товар с постоянными предельными издержками c=¼ и продает количество q≥0 потребителю за общую плату в размере \(F\text{=}F(q)\). Потребители могут быть двух типов: с высокой и с низкой оценкой товара. Они получают полезность в размере \(U_{i}\text{=}\theta_{i}V(q)\text{+}M_{i}\text{-}F_{i}\), i=1,2; где выражение для потребительского излишка имеет вид \(V(q)\text{=}\ln\left( {q\text{+}1} \right)\), а доходы потребителей – одинаковы \(\left( {M_{1}\text{=}M_{2}\text{=}M} \right)\); причем \(V(\bullet)\) известен всем, но информацией о \(\theta_{i}\) располагает только потребитель. Продавец знает, что θ может принимать два значения \(\theta_{1}\text{=}2\) либо \(\theta_{2}\text{=}3\) с равной вероятностью \(\rho_{1}\text{=}\rho_{2}\text{=}½\). В интересах производителя разработать контракты \(\left( {q_{i},F_{i}} \right)\) таким образом, чтобы максимизировать ожидаемую прибыль: \(\mathit{EPR}\text{=}\rho_{1}\left( {F_{1}\text{-}cq_{1}} \right)\text{+}\rho_{2}\left( {F_{2}\text{-}cq_{2}} \right)\).

Разработаем вначале оптимальные контракты при полной информации, минимизирующие потери общественного благосостояния. В такой ситуации монополист будет максимизировать ожидаемую прибыль \(\mathit{EPR}\text{=}½\left( {F_{1}\text{-}¼q_{1}} \right)\text{+}½\left( {F_{2}\text{-}¼q_{2}} \right)\) при выполнении «ограничения участия» для каждой группы покупателей: \(\theta_{i}\ln\left( {q_{i}\text{+}1} \right)\geq F_{i},i\text{=}\left\{ 1,2 \right\}.\) Итак, задача монополиста имеет вид:

\(\begin{matrix} {\underset{q_{1},q_{2},F_{1},F_{2}}{\mathit{\max}}\mathit{EPR}\text{=}\underset{q_{1},q_{2},F_{1},F_{2}}{\mathit{\max}}\left( {½\left( {F_{1}\text{-}¼q_{1}} \right)\text{+}½\left( {F_{2}\text{-}¼q_{2}} \right)} \right):} \\ {2\ln\left( {q_{1}\text{+}1} \right)\geq F_{1},} \\ {3\ln\left( {q_{2}\text{+}1} \right)\geq F_{2}.} \\ \end{matrix}\)

Решая данную задачу на связанный экстремум, выписываем функцию Лагранжа:

\({L = ½}\left( {F_{1}\text{-}¼q_{1}} \right)\text{+}½\left( {F_{2}\text{-}¼q_{2}} \right)\text{+}\lambda\left( {2\ln\left( {q_{1}\text{+}1} \right)\text{-}F_{1}} \right)\text{+}\mu\left( {3\ln\left( {q_{2}\text{+}1} \right)\text{-}F_{2}} \right).\)

Оптимальность прибыли монополиста будут характеризоваться равенством нулю производных лагранжиана по искомым переменным:

\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{\partial L}{\partial q_{1}}\text{=}\text{-}\frac{1}{8}\text{+}\frac{2\lambda}{q_{1}\text{+}1}\text{=}0,} \\ {\frac{\partial L}{\partial q_{2}}\text{=}\text{-}\frac{1}{8}\text{+}\frac{3\mu}{q_{2}\text{+}1}\text{=}0,} \\ {\frac{\partial L}{\partial F_{1}}\text{=}\frac{1}{2}\text{-}\lambda\text{=}0,} \\ {\frac{\partial L}{\partial F_{2}}\text{=}\frac{1}{2}\text{-}\mu\text{=}0,} \\ \end{matrix} \right.\)

т.е.

\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{2\lambda}{q_{1}\text{+}1}\text{=}\frac{3\mu}{q_{2}\text{+}1}\text{=}\frac{1}{8},} \\ {\lambda\text{=}\mu\text{=}\frac{1}{2};} \\ \end{matrix} \right.\)

а также условиями дополняющей нежесткости:

\(\left\{ \begin{matrix} {\lambda\left( {2\ln\left( {q_{1}\text{+}1} \right)\text{-}F_{1}} \right)\text{=}0,\lambda\geq 0,2\ln\left( {q_{1}\text{+}1} \right)\geq F_{1},} \\ {\mu\left( {3\ln\left( {q_{2}\text{+}1} \right)\text{-}F_{2}} \right)\text{=}0,\mu\geq 0,3\ln\left( {q_{2}\text{+}1} \right)\geq F_{2}.} \\ \end{matrix} \right.\)

Из предпоследней системы следует, во-первых, что \(\frac{2}{q_{1}\text{+}1}\text{=}\frac{3}{q_{2}\text{+}1}\text{=}\frac{1}{4}\), и, во-вторых, что \(\lambda\text{=}\mu \gt 0\), а значит, в силу условий дополняющей нежесткости «ограничения участия» выполняются как равенства:

\(\left\{ \begin{matrix} {2\ln\left( {q_{1}\text{+}1} \right)\text{=}F_{1},} \\ {3\ln\left( {q_{2}\text{+}1} \right)\text{=}F_{2}.} \\ \end{matrix} \right.\)

Таким образом, оптимальные контракты для первой и второй группы покупателей в условиях полной информации будут иметь вид:

\(\left( {q_{1};F_{1}} \right)\text{=}\left( {7;2\ln 8} \right)\), \(\left( {q_{2};F_{2}} \right)\text{=}\left( {11;3\ln 12} \right)\).

Разработаем теперь стимулирующие контракты, максимизирующие прибыль монополиста в условиях неполной информации, дополнительно к «ограничениям участия» потребуются «ограничения совместимости стимулов». Поскольку «ограничение совместимости стимулов» для первой группы будет пассивным, постольку задача дискриминирующего монополиста принимает вид:

\(\begin{matrix} {\underset{q_{1},q_{2},F_{1},F_{2}}{\mathit{\max}}\mathit{EPR}\text{=}\underset{q_{1},q_{2},F_{1},F_{2}}{\mathit{\max}}\left( {½\left( {F_{1}\text{-}¼q_{1}} \right)\text{+}½\left( {F_{2}\text{-}¼q_{2}} \right)} \right):} \\ {2\ln\left( {q_{1}\text{+}1} \right)\geq F_{1},} \\ {2\ln\left( {q_{1}\text{+}1} \right)\text{-}F_{1}\geq 2\ln\left( {q_{2}\text{+}1} \right)\text{-}F_{2},} \\ {3\ln\left( {q_{2}\text{+}1} \right)\text{-}F_{2}\geq 3\ln\left( {q_{1}\text{+}1} \right)\text{-}F_{1}.} \\ \end{matrix}\)

Для решения данной задачи выписываем функцию Лагранжа:

\({L = ½}\left( {F_{1}\text{-}¼q_{1}} \right)\text{+}½\left( {F_{2}\text{-}¼q_{2}} \right)\text{+}\lambda\left( {2\ln\left( {q_{1}\text{+}1} \right)\text{-}F_{1}} \right)\text{+}\mu\left( {2\ln\left( {q_{1}\text{+}1} \right)\text{-}F_{1}\text{-}2\ln\left( {q_{2}\text{+}1} \right)\text{+}F_{2}} \right)\text{+}\nu\left( {3\ln\left( {q_{2}\text{+}1} \right)\text{-}F_{2}\text{-}3\ln\left( {q_{1}\text{+}1} \right)\text{+}F_{1}} \right).\)

Оптимальность деятельности монополиста предполагает равенство нулю производных лагранжиана по искомым переменным:

\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{\partial L}{\partial q_{1}}\text{=}\text{-}\frac{1}{8}\text{+}\frac{2\left( {\lambda\text{+}\mu} \right)\text{-}3\nu}{q_{1}\text{+}1}\text{=}0,} \\ {\frac{\partial L}{\partial q_{2}}\text{=}\text{-}\frac{1}{8}\text{+}\frac{3\nu\text{-}2\mu}{q_{2}\text{+}1}\text{=}0,} \\ {\frac{\partial L}{\partial F_{1}}\text{=}\frac{1}{2}\text{-}\lambda\text{-}\mu\text{+}\nu\text{=}0,} \\ {\frac{\partial L}{\partial F_{2}}\text{=}\frac{1}{2}\text{+}\mu\text{-}\nu\text{=}0,} \\ \end{matrix} \right.\)

т.е.

\(\left\{ \begin{matrix} {q_{1}\text{=}16\left( {\lambda\text{+}\mu} \right)\text{-}24\nu\text{-}1,} \\ {q_{2}\text{=}24\nu\text{-}16\mu\text{-}1,} \\ {\lambda\text{+}\mu\text{-}\nu\text{=}\frac{1}{2},} \\ {\nu\text{-}\mu\text{=}\frac{1}{2},} \\ \end{matrix} \right.\)

а также условиями дополняющей нежесткости:

\(\left\{ \begin{matrix} {\lambda\left( {2\ln\left( {q_{1}\text{+}1} \right)\text{-}F_{1}} \right)\text{=}0,\lambda\geq 0,2\ln\left( {q_{1}\text{+}1} \right)\geq F_{1},} \\ {\mu\left( {2\ln\left( {q_{1}\text{+}1} \right)\text{-}F_{1}\text{-}2\ln\left( {q_{2}\text{+}1} \right)\text{+}F_{2}} \right)\text{=}0,\mu\geq 0,2\ln\left( {q_{1}\text{+}1} \right)\text{-}F_{1}\geq 2\ln\left( {q_{2}\text{+}1} \right)\text{-}F_{2},} \\ {\nu\left( {3\ln\left( {q_{2}\text{+}1} \right)\text{-}F_{2}\text{-}3\ln\left( {q_{1}\text{+}1} \right)\text{+}F_{1}} \right)\text{=}0,\nu\geq 0,3\ln\left( {q_{2}\text{+}1} \right)\text{-}F_{2}\geq 3\ln\left( {q_{1}\text{+}1} \right)\text{-}F_{1}.} \\ \end{matrix} \right.\)

Из первых двух равенств в предпоследней системе имеем эквимаржинальное условие оптимальности контракта:

\(\frac{q_{1}}{q_{2}}\text{=}\frac{16\left( {\lambda\text{+}\mu} \right)\text{-}24\nu\text{-}1}{24\nu\text{-}16\mu\text{-}1}.\)

Сложив последние два равенства в предпоследней системе, получаем \(\lambda\text{=}1\), а значит, «ограничение участия» для первой группы покупателей является жестким: \(2\ln\left( {q_{1}\text{+}1} \right)\text{=}F_{1}\).

При этом второе из условий дополняющей нежесткости принимает вид: \(\mu\left( {F_{2}\text{-}2\ln\left( {q_{2}\text{+}1} \right)} \right)\text{=}0,\mu\geq 0,2\ln\left( {q_{2}\text{+}1} \right)\text{-}F_{2}\leq 0.\)

Если \(\nu\text{=}0,\) то \(\mu\text{=}\text{-}\frac{1}{2}\), что противоречит условию \(\mu\geq 0\). Следовательно, \(\nu \gt 0\) и «ограничение самоотбора» для второй группы покупателей является жестким: \(3\ln\left( {q_{2}\text{+}1} \right)\text{-}F_{2}\text{=}3\ln\left( {q_{1}\text{+}1} \right)\text{-}F_{1}\text{=}\ln\left( {q_{1}\text{+}1} \right)\), т.е. \(F_{2}\text{=}3\ln\left( {q_{2}\text{+}1} \right)\text{-}\ln\left( {q_{1}\text{+}1} \right)\).

Предположим, что модифицированное «ограничение совместимости стимулов» для первой группы покупателей с учетом ее жесткого условия участия является активным, т.е. \(2\ln\left( {q_{2}\text{+}1} \right)\text{=}F_{2}\). Тогда из жесткости «ограничения самоотбора» для второй группы следует \(\ln\left( {q_{2}\text{+}1} \right)\text{=}\ln\left( {q_{1}\text{+}1} \right)\), а значит, \(q_{1}\text{=}q_{2}\). Тогда эквимаржинальное условия будет давать \(\nu\text{=}0,\) чего не может быть. Возникшее противоречие доказывает нежесткость «ограничения самоотбора» для первой группы покупателей \(\left( {F_{2} \gt 2\ln\left( {q_{2}\text{+}1} \right)} \right)\) и равенство нулю соответствующего множителя Лагранжа: \(\mu\text{=}0\). Это позволяет определить значение последнего множителя Лагранжа: \(\nu\text{=}\frac{1}{2}\), а значит, и величины партий товара для первой и второй групп покупателей, соответственно: \(q_{1}\text{=}3,q_{2}\text{=}11\).

Таким образом, оптимальные контракты, позволяющие монополисту осуществить скрининг покупателей, будут такими:

\(\left( {q_{1};F_{1}} \right)\text{=}\left( {3;2\ln 4} \right)\), \(\left( {q_{2};F_{2}} \right)\text{=}\left( {11;\ln 432} \right)\).

Междисциплинарный взгляд: Решение проблемы скрытых характеристик – сканирование рынка (Материал интерактивного цифрового учебника «Институциональная экономика»)

---

1. Salanié B. The Economics of Contracts: A Primer. 2^nd Ed. Cambridge: The MIT Press, 2005.↩︎

2. Ibid. P. 20-21.↩︎

3. Полезность потребителя в рассматриваемой модели возрастает при сдвиге кривой безразличия вправо-вниз.↩︎

4. Ibid. P. 26.↩︎