Пусть:
- \(s_i\) – доля расходов \(i\)-го индивида на общественное благо;
- все индивиды имеют квазилинейные функции полезности и \(U_i = u_{i}(G) + x_i\) – функция полезности \(i\)-го индивида;
- \(G\) – предоставляемый объем общественного блага;
- \(u_{i}(G) – s_{i}G\) – полезность, получаемая \(i\)-м индивидом;
- если \(u^{'}_{i}(G) \gt s_i\), то \(i\)-й избиратель отдаст свой голос;
- из \(n+1\) избирателей \(m\) – медианный избиратель, т.е. \(n/2\) избирателей предпочитают меньший, чем он, объем общественного блага и столько же избирателей – больший.
Тогда для установленного путем голосования равновесного объема общественного блага \(G_v\) выполняется условие:
\(u_{m}^{'}\left( G_{v} \right)\text{=}s_{m}.\)
Это условие носит название равновесия Боуэна1.
Ховард Боуэн, сформулировавший в 1943 г. условие определения равновесного объема общественного блага путем голосования, проиллюстрировал его на примере.
Предположим, сообщество граждан решает, сколько публичных школ должно быть доступно для получения образования. Кто-то в этом сообществе не видит в них необходимости, другие считают правильным наличие нескольких школ, но есть и те, кто заинтересован в большом количестве школ для наилучшего охвата населения образованием. Пусть предпочтения каждой группы индивидов отражает кривая предельной готовности платить за появление дополнительной школы (рис. 10.15). Наклон каждой кривой (\(MS_a\), \(MS_b\), \(MS_c\)) показывает предельную норму замещения денег на школу, характерную для соответствующей группы индивидов. Кривая совокупной предельной готовности платить (\(TMS\)) показывает совокупную предельную норму замещения денег на школу, отражающую мнение сообщества о достаточном количестве школ. Оптимальное количество школ (\(Q\)) будет определено точкой пересечения кривой совокупной предельной готовности платить (\(TMS\)) и кривой предельных издержек строительства школы (\(МС\)).
Рисунок 10.15. Установление оптимального объема общественного блага путем голосования: равновесие Боуэна
Покажем, что равновесие Боуэна соотносится с уравнением Самуэльсона.
Если \(MC_G = 1\) и все индивиды имеют квазилинейные функции полезности, эффективный объем общественного блага будет удовлетворять условию:
\(\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}{u_{i}^{'}\left( G_{e} \right)\text{=}1}\)
или
\(\frac{1}{n}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}{u_{i}^{'}\left( G_{e} \right)\text{=}\frac{1}{n}}}.\)
Это условие означает, что при эффективном объеме общественного блага (рис. 10.16) средняя совокупная предельная готовность платить за него (\(TMS/N\)) равна средним предельным издержкам его производства (\(MC/N\)).
Таким образом, если средний потребитель предпочитает иметь такой же объем общественного блага, что и медианный избиратель, то с помощью голосования будет определен эффективный объем предоставления общественного блага.
Рисунок 10.16. Установление оптимального объема общественного блага путем голосования: равновесие медианного избирателя
Bowen H.R. The Interpretation of Voting in the Allocation of Resources. Quarterly Journal of Economics, 1943, Vol. 58, рр. 27-48.↩︎