Пусть:
- в экономике существуют два индивида (\(i = 1,2\)) и производятся два блага: \(x\) – частное благо и \(G\) – общественное благо;
- \(G = f(g_1 + g_2\)), где \(g_1\) и \(g_2\) – затраты индивидов на общественное благо;
- \(w_i\) – начальный запас частного блага у \(i\)-го индивида;
- \(x_i\) – объем потребления частного блага \(i\)-м индивидом.
Тогда, если индивид 1 полагает, что индивид 2 тратит на общественное благо \(g_2\), то его задача максимизации полезности имеет вид:
\(\underset{g_{1}}{\mathit{\max}}{u_{1}\left( {g_{1}\text{+}g_{2},w_{1}\text{-}g_{1}} \right),}\)
\(g_{1}\geq 0.\)
Условие первого порядка Куна-Таккера:
\(\frac{\partial u_{1}(g_{1}\text{+}g_{2},x_{1})}{\partial G}\text{-}\frac{\partial u_{1}(g_{1}\text{+}g_{2},x_{1})}{\partial x_{1}}\leq 0\)
или
\(\frac{\frac{\partial u_{1}(g_{1}\text{+}g_{2},x_{1})}{\partial G}}{\frac{\partial u_{1}(g_{1}\text{+}g_{2},x_{1})}{\partial x_{1}}}\leq 1.\)
Условие Куна-Таккера превращается в равенство при \(g_1 \gt 0\).
Когда индивид 1 вносит положительный вклад в производство общественного блага, его \(MRS^1_{G_x} = 1\) (рис. 10.14.(a)). Если \(MRS^1_{G_x} \lt 1\), то он не вносит вклад в производство общественного блага (рис. 10.14.(б)).
Набор (\(g_1^{*}\), \(g_2^{*}\)), в котором каждый из индивидов вносит оптимальный вклад при заданном вкладе другого, будет равновесием по Нэшу в данной игре, условие которого:
\(\frac{\frac{\partial u_{1}\left( {G^{\text{*}},x_{1}^{\text{*}}} \right)}{\partial G^{\text{*}}}}{\frac{\partial u_{1}\left( {G^{\text{*}},x_{1}^{\text{*}}} \right)}{\partial x_{1}}}\leq 1,\)
\(\frac{\frac{\partial u_{2}\left( {G^{\text{*}},x_{2}^{\text{*}}} \right)}{\partial G^{\text{*}}}}{\frac{\partial u_{2}\left( {G^{\text{*}},x_{2}^{\text{*}}} \right)}{\partial x_{2}}}\leq 1.\)
Если предоставляется положительный объем общественного блага \(G\), то по крайней мере одно из этих неравенств должно выполняться как равенство.
Выведем функцию реакции индивида, показывающую его вклад в производство общественного блага как функцию вклада другого индивида. Для этого запишем задачу максимизации полезности индивида 1:
\(\underset{g_{1},x_{1}}{\mathit{\max}}{u_{1}\left( {g_{1}\text{+}g_{2},x_{1}} \right),}\)
\(g_{1}\text{+}x_{1}\text{=}w_{1},\)
\(g_{1}\geq 0.\)
С учетом \(G = g_1 + g_2\) эту задачу можно переписать в виде:
\(\underset{G,x_{1}}{\mathit{\max}}{u_{1}\left( {G,x_{1}} \right),}\)
\(G\text{+}x_{1}\text{=}w_{1}\text{+}g_{2},\)
\(G\geq g_{2}.\)
Заметим, что бюджетное ограничение в задаче означает, что максимальная стоимость потребительского набора индивида 1 равна стоимости его «начального запаса», составляющей \(w_1 + g_2\).
Пусть \(f(w)\) – функция спроса индивида 1 на общественное благо как функция его богатства, тогда \(G\), являющееся решением задачи максимизации полезности, равно:
\(G\text{=}\mathit{\max}\left\{ {f_{1}\left( {w_{1}\text{+}g_{2}} \right),g_{2}} \right\}.\)
Вычитая \(g_2\) из обеих частей равенства, получим функцию реакции индивида 1, показывающую его оптимальный вклад в создание общественного блага как функцию вклада другого индивида:
\(g_{1}\text{=}\mathit{\max}\left\{ {f_{1}\left( {w_{1}\text{+}g_{2}} \right)\text{-}g_{2},0} \right\}.\)
Аналогично будет выглядеть функция реакции индивида 2:
\(g_{2}\text{=}\mathit{\max}\left\{ {f_{2}\left( {w_{2}\text{+}g_{1}} \right)\text{-}g_{1},0} \right\}.\)
Равновесие по Нэшу – это такой набор вкладов, при котором:
\(g_{1}^{\text{*}}\text{=}\mathit{\max}\left\{ {f_{1}\left( {w_{1}\text{+}g_{2}^{\text{*}}} \right)\text{-}g_{2}^{\text{*}},0} \right\},\)
\(g_{2}^{\text{*}}\text{=}\mathit{\max}\left\{ {f_{2}\left( {w_{2}\text{+}g_{1}^{\text{*}}} \right)\text{-}g_{1}^{\text{*}},0} \right\}.\)
Пусть индивидуальная функция полезности квазилинейна, что представляет собой условие, гарантирующее единственность оптимального количества общественного блага (однако при низком уровне дохода оно может стать невыполнимым):
\(U_i = u_{i}(G) + x_i\).
Тогда спрос на общественное благо независим от дохода, т.е. \(f_{i}(w)\equiv{\overline{g}}_{i}\).
Следовательно:
\(g_{1}^{\text{*}}\text{=}\mathit{\max}\left\{ {{\overline{g}}_{1}\text{-}g_{2}^{\text{*}},0} \right\},\)
\(g_{2}^{\text{*}}\text{=}\mathit{\max}\left\{ {{\overline{g}}_{2}\text{-}g_{1}^{\text{*}},0} \right\}.\)
Таким образом, к примеру, если \({\overline{g}}_{1} \gt {\overline{g}}_{2}\), то \(g_{1}^{\text{*}}\text{=}{\overline{g}}_{1}\) и \(g_{2}^{\text{*}}\text{=}0\). В этом случае индивид 2 становится «безбилетником».
Полученный вывод обнаруживает фундаментальную «проблему безбилетника», возникающую вследствие свойств чистого общественного блага: при произведенном объеме такого блага предельные издержки его предоставления дополнительному потребителю равны нулю, и даже не заплатившего индивида нельзя лишить возможности быть его потребителем.