Предметом общественного выбора является: принятие решений внутри коллективных хозяйствующих субъектов – фирм и домохозяйств; выработка механизма установления равновесных цен и определение структуры общественных приоритетов в рамках функции общественного благосостояния1; урегулирование внешних, побочных эффектов хозяйственной деятельности человека.
Рассмотрим вначале характеристики функции общественного благосостояния по К.Дж. Эрроу. Будем обозначать через \(\succsim\) коллективное упорядочение социальных состояний. Отношение \(\succsim\) так же, как и индивидуальное упорядочение \(\succsim_{i}\), должно удовлетворять двум свойствам рациональности – сравнимости (1.1) и транзитивности (1.2) предпочтений.
Функция общественного благосостояния – это процесс или правило, ставящее в соответствие каждому набору индивидуальных упорядочений \(\succsim_{1},\ldots,\succsim_{n}\) альтернативных социальных состояний их коллективное упорядочение \(\succsim\). C(S) – это функция общественного благосостояния Эрроу. Данная функция общественного благосостояния должна удовлетворять пяти условиям2.
Первое условие «универсальности» предполагает следующее. Во множестве всех альтернатив имеется такое предъявление S, состоящее из трех альтернатив, что для любого набора индивидуальных упорядочений \(\succsim_{1}^{s},\ldots,\succsim_{n}^{s}\) альтернатив, входящих в S, существует такой допустимый набор индивидуальных упорядочений всех альтернатив \(\succsim_{1},\ldots,\succsim_{n}\), что для каждого индивидуума с номером i и \(x_{1}\) и \(x_{2}\) из предъявления S \(\left( {x_{1}\succsim_{i}x_{2}} \right)\leftrightarrow\left( {x_{1}\succsim_{i}^{s}x_{2}} \right)\). Другими словами, каждый логически допустимый набор индивидуальных упорядочений некоторого предъявления S, состоящего из трех альтернатив, можно получить из некоторых индивидуальных упорядочений всех альтернатив. Допустимым является набор отношений индивидуального упорядочения, для которого функция общественного благосостояния определяет соответствующее коллективное упорядочение, т.е. отношение, удовлетворяющее аксиомам сравнимости (1.01) и транзитивности (1.02).
Универсальность функции общественного благосостояния подразумевает, что она существует независимо от вида индивидуальных предпочтений: существуют по крайней мере три альтернативы, любое упорядочение которых со стороны индивидуумов позволяет сформировать коллективное упорядочение, т.е. любой набор индивидуальных предпочтений является допустимым.
Условие универсальности предназначено для исключения парадокса голосования по методу большинства голосов при попарном сравнении альтернатив (Кондорсе), который можно проиллюстрировать следующим примером.
Допустим, что структура предпочтений первого индивидуума выглядит так:
\(x_{1}\succsim_{1}x_{2}\), \(x_{2}\succsim_{1}x_{3}\), т.е. \(\succsim_{1}\text{=}\left( {x_{1}x_{2}x_{3}} \right)\).
Для второго индивидуума:
\(x_{2}\succsim_{2}x_{3}\), \(x_{3}\succsim_{2}x_{1}\), т.е. \(\succsim_{2}\text{=}\left( {x_{2}x_{3}x_{1}} \right)\);
а для третьего –
\(x_{3}\succsim_{3}x_{1}\), \(x_{1}\succsim_{3}x_{2}\), т.е. \(\succsim_{3}\text{=}\left( {x_{3}x_{1}x_{2}} \right)\).
В соответствии с механизмом голосования для большинства
\(\left( {x_{1}\succsim x_{2}} \right) \& \left( {x_{2}\succsim x_{3}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}\succsim x_{3}} \right).\)
На самом деле \(x_{2}\succsim x_{1}\).
Сформулируем теперь второе условие – приемлемости по критерию Парето. Пусть, \(\succsim_{1},\ldots,\succsim_{n}\) и \(\succsim_{1}^{'},\ldots,\succsim_{n}^{'}\) – два набора индивидуальных упорядочений; \(\succsim\) и \(\succsim^{'}\) – соответствующие коллективные упорядочения; \(\succ\) и \(\succ^{'}\) – соответствующие коллективные предпочтения. Предположим, что для каждого индивидуума с номером i два набора упорядочений связаны следующим образом: во-первых, для \(x_{1}^{'}\neq x_{1}\) и \(x_{2}^{'}\neq x_{1}\) \(\left( {x_{1}^{'}\succsim_{i}^{'}x_{2}^{'}} \right)\leftrightarrow\left( {x_{1}^{'}\succsim_{i}x_{2}^{'}} \right)\), т.е. \(x_{1}^{'}\) не хуже, чем \(x_{2}^{'}\), в новой шкале тогда и только тогда, когда такое же соотношение между данными альтернативами наблюдалось и ранее; во-вторых, для любой альтернативы \(x_{2}^{'}\) \(\left( {x_{1}\succsim_{i}x_{2}^{'}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}\succsim_{i}^{'}x_{2}^{'}} \right)\), т.е. x предпочтительнее или безразлична в новой шкале по отношению к любой альтернативе, в сравнении с которой x была предпочтительнее или безразлична ранее; в-третьих, для любой альтернативы \(x_{2}^{'}\) \(\left( {x_{1}\succ_{i}x_{2}^{'}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}\succ_{i}^{'}x_{2}^{'}} \right)\), т.е. в новой шкале \(x_{1}\) предпочтительнее любой альтернативы, предпочтительнее которой была и ранее. Тогда \(\left( {x_{1}\succ x_{2}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}\succ^{'}x_{2}} \right)\).
Другими словами, существует положительная связь индивидуальных и коллективных оценок: если одно из альтернативных социальных состояний \(\left( x_{1} \right)\) повышает ранг или остается неизменным в оценках каждого индивидуума при отсутствии других изменений в упорядочении, то это социальное состояние по крайней мере не убывает в коллективном упорядочении.
Третье условие «независимости от посторонних альтернатив» утверждает следующее. Пусть, существуют два альтернативных профиля индивидуальных предпочтений \(\succsim_{1},\ldots,\succsim_{n}\) и \(\succsim_{1}^{'},\ldots,\succsim_{n}^{'}\), а C(S) и C′(S) – соответствующие функции коллективного выбора. Пусть для каждого индивидуума с номером i и любых альтернатив \(x_{1}\) и \(x_{2}\) из множества S индивидуальные предпочтения одинаковы: \(\left( {x_{1}\succsim_{i}x_{2}} \right)\leftrightarrow\left( {x_{1}\succsim_{i}^{'}x_{1}} \right)\). В таком случае можно утверждать, что и общественные предпочтения должны быть одними и теми же относительно обоих вариантов: C(S) и C′(S) – независимы от посторонних альтернатив. В частности, изменение мнений индивидуумов по поводу третьей, «несущественной» возможности не должно отразиться на социальном сопоставлении \(x_{1}\) и \(x_{2}\).
Четвертое условие «суверенитета граждан» гласит, что функция общественного благосостояния не должна быть навязанной, когда при любом наборе индивидуальных упорядочений \(\succsim_{1},\ldots,\succsim_{n}\) для пары альтернатив \(x_{1}\neq x_{2}\) в рамках общества в целом \(x_{1}\succsim x_{2}\), где \(\succsim\) – соответствующее коллективное упорядочение. Примерами навязанных функций общественного благосостояния являются господство обычая, колониальные или захватнические режимы.
Пятое условие требует, чтобы функция общественного благосостояния не была диктаторской, когда существует такой индивидуум с номером i, для которого общественные предпочтения всегда будут такими же, как и его персональные, т.е. при произвольной паре альтернатив \(x_{1}\) и \(x_{2}\) \(\left( {x_{1}\succ_{i}x_{2}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}\succ x_{2}} \right)\) независимо от упорядочений \(\succsim_{1},\ldots,\succsim_{n}\) всех индивидуумов за исключением i-го, где \(\succ\) – отношение коллективного предпочтения, соответствующее \(\succsim_{1},\ldots,\succsim_{n}\).
Правило большинства голосов – это функция общественного благосостояния, в которой \(x_{1}\succsim x_{2}\) тогда и только тогда, когда число таких индивидуумов, для которых \(x_{1}\succsim_{i}x_{2}\) (обозначим его \(N\left( {x_{1},x_{2}} \right)\) по крайней мере не меньше числа таких, для которых \(x_{2}\succsim_{i}x_{1}\) (обозначим его \(N\left( {x_{2},x_{1}} \right)\). Итак, \(\left( {x_{1}\succsim x_{2}} \right)\leftrightarrow N\left( {x_{1},x_{2}} \right)\geqslant N\left( {x_{2},x_{1}} \right)\).
Очевидно, что для рассматриваемой функции общественного благосостояния требуется видоизменить условие универсальности: каждое множество индивидуальных упорядочений двух рассматриваемых альтернатив должно порождать коллективное упорядочение, удовлетворяющее свойствам сравнимости (1.01) и транзитивности (1.02).
Теорема о возможности для двух альтернатив утверждает, что если число альтернатив равно двум, правило большинства голосов3 является функцией общественного благосостояния, удовлетворяющей всем пяти условиям, и приводит к коллективному упорядочению двух альтернатив для каждого множества индивидуальных упорядочений.
Проверим выполнение условия универсальности, т.е. связность и транзитивность данного коллективного упорядочения \(\succsim\). Очевидно, всегда либо \(N\left( {x_{1},x_{2}} \right)\geqslant N\left( {x_{2},x_{1}} \right)\), либо, наоборот, \(N\left( {x_{2},x_{1}} \right)\geqslant N\left( {x_{1},x_{2}} \right)\), так что \(\left( {x_{1}\succsim x_{2}} \right)\vee\left( {x_{2}\succsim x_{1}} \right)\) верно для произвольных альтернатив x и y, значит, \(\succsim\) связно. Докажем теперь, что, если для некоторых трех возможностей \(x_{1}\succsim x_{2}\) и \(x_{2}\succsim x_{3}\), то \(x_{1}\succsim x_{3}\). Поскольку существуют только две альтернативы, две из трех альтернатив \(x_{1}\), \(x_{2}\) и \(x_{3}\) должны совпадать. Если \(x_{1}\text{=}x_{2}\), то \(\left( {x_{2}\succsim x_{3}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}\succsim x_{3}} \right)\). Если \(x_{2}\text{=}x_{3}\), то \(\left( {x_{1}\succsim x_{2}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}\succsim x_{3}} \right)\). Показать, что \(x_{1}\succsim x_{3}\) в случае \(x_{1}\text{=}x_{3}\), эквивалентно доказательству того, что \(x_{1}\succsim x_{1}\). Это, в свою очередь, эквивалентно утверждению \(N\left( {x_{1},x_{1}} \right)\geqslant N\left( {x_{1},x_{1}} \right)\), которое безусловно истинно. Таким образом, \(\succsim\) транзитивно, а значит, условие универсальности справедливо для правила большинства голосов.
Проверим выполнение условия сравнимости по критерию Парето. Допустим, индивидуальные упорядочения \(\succsim_{1},\ldots,\succsim_{n}\) таковы, что \(\left( {x_{1}\succ x_{2}} \right)\text{=}\left( {\left( {x_{1}\succsim x_{2}} \right) \& \left( \overline{x_{2}\succsim x_{1}} \right)} \right)\), т.е. \(N\left( {x_{1},x_{2}} \right)\geqslant N\left( {x_{2},x_{1}} \right)\), и неверно, что \(N\left( {x_{2},x_{1}} \right)\geqslant N\left( {x_{1},x_{2}} \right)\). Значит:
\(N\left( {x_{1},x_{2}} \right) \gt N\left( {x_{2},x_{1}} \right).(9.29)\)
Рассмотрим новое множество индивидуальных упорядочений \(\succsim_{1}^{'},\ldots,\succsim_{n}^{'}\), удовлетворяющее гипотезе условия сравнимости по Парето, т.е.: а) для \(x_{1}^{'}\neq x_{1}\) и \(x_{2}^{'}\neq x_{1}\) \(\left( {x_{1}^{'}\succsim_{i}^{'}x_{2}^{'}} \right)\leftrightarrow\left( {x_{1}^{'}\succsim_{i}x_{2}^{'}} \right)\); б) \(\left( {x_{1}\succsim_{i}x_{2}^{'}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}\succsim_{i}^{'}x_{2}^{'}} \right)\); в) \(\left( {x_{1}\succ_{i}x_{2}^{'}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}\succ_{i}^{'}x_{2}^{'}} \right)\).
Рассмотрим два последних условия при \(x_{2}^{'}\text{=}x_{2}\):
\(\left( {x_{1}\succsim_{i}x_{2}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}\succsim_{i}^{'}x_{2}} \right);(9.30)\)
\(\left( {x_{1}\succ_{i}x_{2}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}\succ_{i}^{'}x_{2}} \right).(9.31)\)
Если для некоторого i \(x_{2}\succsim_{i}^{'}x_{1}\), то \(\overline{x_{1}\succ_{i}^{'}x_{2}}\), а значит, в соответствии с (9.31), \(\overline{x_{1}\succ_{i}x_{2}}\), т.е., в силу (1.3), \(\left( {x_{2}\succsim_{i}^{'}x_{1}} \right)\rightarrow\left( {x_{2}\succsim_{i}x_{1}} \right)\).
Пусть, \(N'\left( {x_{1},x_{2}} \right)\) – число индивидуумов, для которых \(x_{1}\succsim_{i}^{'}x_{2}\), \(N'\left( {x_{2},x_{1}} \right)\) – число индивидуумов, для которых \(x_{2}\succsim_{i}^{'}x_{1}\). В соответствии с (9.30), для каждого индивидуума, для которого \(x_{1}\succsim_{i}x_{2}\), выполняется и отношение \(x_{1}\succsim_{i}^{'}x_{2}\), значит, \(N'\left( {x_{1},x_{2}} \right)\geqslant N\left( {x_{1},x_{2}} \right)\). Используя (9.29), получаем: \(N'\left( {x_{1},x_{2}} \right) \gt N\left( {x_{2},x_{1}} \right)\).
Аналогично из последней импликации вытекает, что \(N\left( {x_{2},x_{1}} \right)\geqslant N'\left( {x_{2},x_{1}} \right)\), а значит, в соответствии с предпоследним неравенством \(N^{'}\left( {x_{1},x_{2}} \right) \gt N'\left( {x_{2},x_{1}} \right)\), т.е. \(x_{1}\succ^{'}x_{2}\). Таким образом, \(\left( {x_{1}\succ x_{2}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}\succ^{'}x_{2}} \right)\), и условие приемлемости по Парето выполнено.
Условие независимости от сторонних альтернатив выполняется в данном случае тривиально, потому что единственное множество S, содержащее более одного элемента, содержит целиком множество всех альтернатив, состоящее из двух элементов. Если S содержит один элемент, C(S) – тот же самый элемент независимо от вкусов относительно альтернатив, не входящих в S. Если S содержит два элемента, выбор C(S) безусловно определен индивидуальными упорядочениями для элементов из S, поскольку других просто нет.
Подтвердим выполнение условия суверенитета граждан. Предположим, что при любых \(x_{1}\) и \(x_{2}\), для любого, i-го индивидуума \(x_{2}\succ_{i}x_{1}\text{=}\left( {x_{2}\succsim_{i}x_{1}} \right) \& \left( \overline{x_{1}\succsim_{i}x_{2}} \right)\), т.е. \(N\left( {x_{2},x_{1}} \right)\geqslant N\left( {x_{1},x_{2}} \right)\), и не выполняется \(N\left( {x_{1},x_{2}} \right)\geqslant N\left( {x_{2},x_{1}} \right)\). Следовательно, по определению правила большинства, \(x_{2}\succ x_{1}\), а значит, \(\overline{x_{1}\succsim x_{2}}\). Следовательно, не существует \(x_{1}\succsim x_{2}\) независимо от индивидуальных упорядочений \(\succsim_{1},\ldots,\succsim_{n}\).
Будем проверять условие отсутствия диктатуры от противного. Предположим, что диктатор, которому присвоим первый номер \((i\text{=}1)\), существует: \(\left( {x_{1}\succ_{1}x_{2}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}\succ x_{2}} \right)\). Пусть \(x_{2}\succ_{i}x_{1}\) для всех индивидуумов, за исключением первого. Тогда \(x_{1}\succsim_{1}x_{2}\) и \(\overline{x_{1}\succsim_{i}x_{2}}\) для всех, кроме первого индивидуума, так что \(N\left( {x_{1},x_{2}} \right)\text{=}1\). Поскольку \(x_{2}\succsim_{i}x_{1}\) для всех индивидуумов, кроме первого, \(N\left( {x_{2},x_{1}} \right)\geqslant 1\text{=}N\left( {x_{1},x_{2}} \right)\), значит, по правилу большинства, \(x_{2}\succsim x_{1}\), а значит, \(\overline{x_{1}\succ x_{2}}\). Получаем противоречие с предположением о диктатуре, которая тем самым исключается.
Таким образом, теорема о возможности для правила большинства при двух альтернативах доказана4. Проведенные рассуждения показывают, что данная функция общественного благосостояния удовлетворяет условиям приемлемости по Парето, нечувствительности к сторонним альтернативам, суверенитета граждан и отсутствия диктатуры независимо от допущения о двух альтернативах – все условия, кроме универсальности, будут выполнены и при числе альтернатив, большем двух. Но парадокс голосования (Кондорсе) показывает, что правило большинства не удовлетворяет условию универсальности, когда число альтернатив уже равно трем. Данная теорема является логическим основанием англо-американской двухпартийной системы.
Теорема о возможности в случае двух индивидуумов и трех альтернатив утверждает, что не существует функции благосостояния, совместимой со всеми пятью сформулированным выше условиями, для общества, состоящего из двух индивидуумов, при наличии трех альтернатив5.
Для доказательства данной теоремы возьмем \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\) – три альтернативы, из которых делается выбор. Пусть \(x_{1}^{'}\) и \(x_{2}^{'}\) – переменные, представляющие данные три альтернативы, т.е. принимающие значения \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\).
Утверждение 1. \(\left( {x_{1}^{'}\succ_{1}x_{2}^{'}} \right) \& \left( {x_{2}^{'}\succ_{2}x_{1}^{'}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}^{'}\succ x_{2}^{'}} \right)\): если оба индивида предпочитают переменную \(x_{1}^{'}\) переменной \(x_{2}^{'}\), то общество должно предпочесть \(x_{1}^{'}\) по отношению к \(x_{2}^{'}\).
Докажем утверждение 1. Согласно условию 4, существуют такие индивидуальные предпочтения \(\succsim_{1}^{'}\) и \(\succsim_{2}^{'}\), что в соответствующем коллективном предпочтении \(x_{1}^{'}\succ^{'}x_{2}^{'}\). Построим \(\succsim_{1}^{''}\) из \(\succsim_{1}^{'}\), поднимая \(x_{1}^{'}\), если потребуется, на самый верх и оставляя относительные положения двух других альтернатив неизменными. Сформируем таким же образом \(\succsim_{2}^{''}\) из \(\succsim_{2}^{'}\). Поскольку была лишь поднята альтернатива \(x_{1}^{'}\) в оценке каждого, а остальные альтернативы остались неизменными, в силу положительной связи индивидуальных и коллективных оценок, для общества по–прежнему \(x_{1}^{'}\succ^{''}x_{2}^{'}\).
Итак, по построению, оба индивидуума предпочитают \(x_{1}^{'}\) переменной \(x_{2}^{'}\) в упорядочениях \(\succsim_{1}^{''}\) и \(\succsim_{2}^{''}\), и общество предпочитает \(x_{1}^{'}\) по отношению к \(x_{2}^{'}\). Поскольку, по условию 3, коллективный выбор между \(x_{1}^{'}\) и \(x_{2}^{'}\) зависит только от индивидуальных упорядочений этих двух альтернатив, отсюда следует, что, поскольку всякий раз оба индивидуума предпочитают \(x_{1}^{'}\) переменной \(x_{2}^{'}\) независимо от положения третьей альтернативы, общество предпочтет \(x_{1}^{'}\) переменной \(x_{2}^{'}\).
Утверждение 2. Предположим, что существуют такие альтернативы \(x_{1}^{'}\) и \(x_{2}^{'}\), для которых \(\left( {x_{1}^{'}\succ_{1}x_{2}^{'}} \right) \& \left( {x_{2}^{'}\succ_{2}x_{1}^{'}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}^{'}\succ^{'}x_{2}^{'}} \right)\). Тогда \(\left( {x_{1}^{'}\succ_{1}x_{2}^{'}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}^{'}\succ x_{2}^{'}} \right)\). Другими словами, если в данной ситуации воля первого индивидуума возобладала над сопротивлением второго, то взгляды первого возобладают, когда второй – безразличен или согласен с первым.
Докажем утверждение 2. Пусть для упорядочения \(\succsim_{1}\) выполняется соотношение \(x_{1}^{'}\succ_{1}x_{2}^{'}\), а \(\succsim_{2}\) – любое упорядочение. Пусть, далее \(\succsim_{1}^{'}\) – такое же упорядочение, как и \(\succsim_{1}\), а \(\succsim_{2}^{'}\) выводится из \(\succsim_{2}\) опусканием \(x_{1}^{'}\) в самый низ при сохранении относительного порядка двух других альтернатив. По построению, \(\left( {x_{1}^{'}\succ_{1}^{'}x_{2}^{'}} \right) \& \left( {x_{2}^{'}\succ_{2}^{'}x_{1}^{'}} \right)\), следовательно, по предположению, \(x_{1}^{'}\succ^{'}x_{2}^{'}\). Единственным различием между \(\succsim_{1}^{'}\), \(\succsim_{2}^{'}\) и \(\succsim_{1}\), \(\succsim_{2}\) является то, что \(x_{1}^{'}\) располагается в \(\succsim_{1}\) выше, чем в \(\succsim_{2}^{'}\). Следовательно, по условию приемлемости по Парето, \(\left( {x_{1}^{'}\succ^{'}x_{2}^{'}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}^{'}\succ x_{2}^{'}} \right)\). Таким образом, если \(\succsim_{1}\) и \(\succsim_{2}\) таковы, что \(x_{1}^{'}\succ_{1}x_{2}^{'}\), то обязательно будет выполнено отношение \(x_{1}^{'}\succ x_{2}^{'}\).
Утверждение 3. \(\left( {x_{1}^{'}\succsim_{1}x_{2}^{'}} \right) \& \left( {x_{2}^{'}\succsim_{2}x_{1}^{'}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}^{'} \sim x_{2}^{'}} \right)\): если у двух индивидуумов строго противоположные интересы при выборе между данными альтернативами, то общество будет безразлично к этим альтернативам.
Будем проводить доказательство утверждения 3 от противного. Пусть утверждение неверно, т.е. либо:
а) \(\left( {x_{1}^{'}\succ_{1}x_{2}^{'}} \right) \& \left( {x_{2}^{'}\succ_{2}x_{1}^{'}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}^{'}\succ x_{2}^{'}} \right)\), либо:
б) \(\left( {x_{1}^{'}\succ_{1}x_{2}^{'}} \right) \& \left( {x_{2}^{'}\succ_{2}x_{1}^{'}} \right)\rightarrow\left( {x_{2}^{'}\succ x_{1}^{'}} \right)\).
Рассмотрим случай а). Пусть \(x_{1}^{'}\text{=}x_{1}\), \(x_{2}^{'}\text{=}x_{2}\). Если верно а), то \(\left( {x_{1}\succ_{1}x_{2}} \right) \& \left( {x_{2}\succ_{2}x_{1}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}\succ x_{2}} \right)\). Отсюда с учетом утверждения 2 следует, что \(\left( {x_{1}\succ_{1}x_{2}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}\succ x_{2}} \right)\).
Пусть \(x_{1}^{'}\text{=}x_{1}\), \(x_{2}^{'}\text{=}x_{3}\), тогда, по предположению а), \(\left( {x_{1}\succ_{1}x_{3}} \right) \& \left( {x_{3}\succ_{2}x_{1}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}\succ x_{3}} \right)\), откуда, по утверждению 2, получаем \(\left( {x_{1}\succ_{1}x_{3}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}\succ x_{3}} \right)\).
Пусть \(x_{1}^{'}\text{=}x_{2}\), \(x_{2}^{'}\text{=}x_{3}\), значит, предполагая а), можно записать: \(\left( {x_{2}\succ_{1}x_{3}} \right) \& \left( {x_{3}\succ_{2}x_{2}} \right)\rightarrow\left( {x_{2}\succ x_{3}} \right)\). Отсюда, по утверждению 2, получаем: \(\left( {x_{2}\succ_{1}x_{3}} \right)\rightarrow\left( {x_{2}\succ x_{3}} \right)\).
Пусть \(x_{1}^{'}\text{=}x_{2}\), \(x_{2}^{'}\text{=}x_{1}\). Из гипотезы а) вытекает, что \(\left( {x_{2}\succ_{1}x_{1}} \right) \& \left( {x_{1}\succ_{2}x_{2}} \right)\rightarrow\left( {x_{2}\succ x_{1}} \right)\); откуда, в силу утверждения (9.30), \(\left( {x_{2}\succ_{1}x_{1}} \right)\rightarrow\left( {x_{2}\succ x_{1}} \right)\).
Пусть \(x_{1}^{'}\text{=}x_{3}\), \(x_{2}^{'}\text{=}x_{1}\), тогда, по предположению а), можно записать: \(\left( {x_{3}\succ_{1}x_{1}} \right) \& \left( {x_{1}\succ_{2}x_{3}} \right)\rightarrow\left( {x_{3}\succ x_{1}} \right)\). Значит, в силу утверждения 2, \(\left( {x_{3}\succ_{1}x_{1}} \right)\rightarrow\left( {x_{3}\succ x_{1}} \right)\).
Пусть, наконец, \(x_{1}^{'}\text{=}x_{3}\), \(x_{2}^{'}\text{=}x_{2}\). Предполагая а), получаем: \(\left( {x_{3}\succ_{1}x_{2}} \right) \& \left( {x_{2}\succ_{2}x_{3}} \right)\rightarrow\left( {x_{3}\succ x_{2}} \right)\). По утверждению 2, \(\left( {x_{3}\succ_{1}x_{2}} \right)\rightarrow\left( {x_{3}\succ x_{2}} \right)\).
Итак, из проведенных рассуждений на основе гипотезы а) с учетом утверждения 2 вытекает, что для любой пары альтернатив \(x_{1}^{'}\), \(x_{2}^{'}\) \(\left( {x_{1}^{'}\succ_{1}x_{2}^{'}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}^{'}\succ x_{2}^{'}} \right)\). Следовательно, по определению, индивидуум 1 является диктатором, что запрещено условием 5. Значит, предположение а) ложно.
Рассуждения для случая б) полностью аналогичны. Таким образом, утверждение 3 доказано.
Опираясь на утверждения 1 и 3, можно завершить доказательство отсутствия функции благосостояния для общества, состоящего из двух индивидуумов, при наличии трех альтернатив. Пусть, \(\succsim_{1}\) – упорядочение \(\left( {x_{1},x_{2},x_{3}} \right)\); \(\succsim_{2}\) – это \(\left( {x_{3},x_{1},x_{2}} \right)\). Согласно утверждению 1 \(x_{1}\succ x_{2}\). Поскольку \(\left( {x_{2}\succ_{1}x_{3}} \right) \& \left( {x_{3}\succ_{2}x_{2}} \right)\), из утверждения 3 вытекает, что \(x_{2} \sim x_{3}\); а значит, с учетом предпоследнего отношения предпочтения получаем: \(x_{1}\succ x_{3}\). Но также имеет место \(\left( {x_{1}\succ_{1}x_{3}} \right) \& \left( {x_{3}\succ_{2}x_{1}} \right)\), откуда, по утверждению 3, следует \(x_{1} \sim x_{3}\). Не может быть, чтобы альтернатива \(x_{1}\) одновременно предпочиталась и была безразлична по отношению к \(x_{3}\). Следовательно, предположение, что существует функция общественного благосостояния, совместная со всеми перечисленными выше пятью условиями, привело к противоречию.
Общая теорема о возможности утверждает, что если существуют хотя бы три альтернативы, которые индивидуумы вольны ранжировать любым способом, то каждая функция общественного благосостояния, соответствующая условиям приемлемости по Парето и независимости от сторонних альтернатив и приводящая к коллективному упорядочению, удовлетворяющему свойствам сравнимости и транзитивности, должна быть либо навязанной, либо диктаторской.
В ходе доказательства теоремы будем обозначать через V множество индивидуумов. В частности, V′ – это множество, состоящее из одного индивидуума, V″ – множество всех индивидуумов. Множество V назовем решающим для \(x_{1}\) против \(x_{2}\), если \(x_{1}\neq x_{2}\) и \(x_{1}\succ x_{2}\) для всех допустимых наборов индивидуальных упорядочений, в которых \(x_{1}\succ_{i}x_{2}\) для любого индивидуума с номером i из V.
Утверждение 1. Пусть, \(\succsim_{1},\ldots,\succsim_{n}\) и \(\succsim_{1}^{'},\ldots,\succsim_{n}^{'}\) – два таких набора индивидуальных упорядочений, что при заданных \(x_{1}\) и \(x_{2}\) для любого индивидуума, для которого \(x_{1}\succsim_{i}x_{2}\), будет верно, что \(x_{1}\succ_{i}^{'}x_{2}\). Тогда \(\left( {x_{1}\succ x_{2}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}\succ^{'}x_{2}} \right)\), где \(\succ\) и \(\succ^{'}\) – отношения коллективного предпочтения, соответствующие \(\succsim_{1},\ldots,\succsim_{n}\) и \(\succsim_{1}^{'},\ldots,\succsim_{n}^{'}\).
Это утверждение расширяет условие приемлемости по Парето. Если \(x_{1}\) поднимается или не опускается относительно \(x_{2}\) в упорядочениях для каждого индивидуума и строго поднимается, когда \(x_{1}\) и \(x_{2}\) безразличны, и если сначала \(x_{1}\) предпочтительнее для коллектива, чем \(x_{2}\), то \(x_{1}\) предпочтительнее \(x_{2}\) вне зависимости от изменений в предпочтениях относительно альтернатив, отличных от \(x_{2}\).
Для доказательства утверждения 1 предположим, что существуют три альтернативы \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\). Пусть \(x_{3}\neq x_{1}\), \(x_{3}\neq x_{2}\). Введем такие вспомогательные упорядочения \(\succsim_{i}^{''}\) и \(\succsim_{i}^{\text{*}}\), которые позволили бы сравнить два набора, приемлемые по Парето.
Для каждого, i-го индивидуума определим упорядочение \(\succsim_{i}^{''}\) так:
\(\left( {x_{1}^{'}\succsim_{i}^{''}x_{2}^{'}} \right)\leftrightarrow\left( {\left( {x_{1}^{'}\succsim_{i}x_{2}^{'}} \right) \& \left( {x_{1}^{'}\neq x_{3}} \right)} \right)\vee\left( {x_{2}^{'}\text{=}x_{3}} \right),(9.32)\)
т.е. \(x_{3}\) передвигается в самый конец упорядочения \(\succsim_{i}\), а в остальном \(\succsim_{i}\) остается без изменений.
Легко убедиться, что \(\succsim_{i}^{''}\) представляет собой упорядочение, т.е. для него справедливы свойства сравнимости и транзитивности. Кроме того, для каждого индивидуума \(\succsim_{i}^{''}\) упорядочивает элементы \(x_{1}\), \(x_{2}\) так же, как и \(\succsim_{i}\), т.е. \(\left( {x_{1}^{'}\succsim_{i}^{''}x_{2}^{'}} \right)\leftrightarrow\left( {x_{1}^{'}\succsim_{i}x_{2}^{'}} \right)\) для \(x_{1}^{'}\), \(x_{2}^{'}\) в \(\{ x_{1},x_{2}\}\). Отсюда, с учетом условия нечувствительности к сторонним альтернативам, следует, что для соответствующих функций коллективного выбора выполняется равенство \(C\left( \left\{ {x_{1},x_{2}} \right\} \right)\text{=}C''(\{ x_{1},x_{2}\})\).
По нашей гипотезе, \(x_{1}\succ x_{2}\), а из (1.5) следует, что \(C(\{ x_{1},x_{2}\})\) содержит единственный элемент \(x_{1}\). Значит, \(C''(\{ x_{1},x_{2}\})\) содержит единственный элемент \(x_{1}\), или в соответствии с (1.5):
\(x_{1}\succ^{''}x_{2}.(9.33)\)
Определим индивидуальные упорядочения \(\succsim_{1}^{\text{*}},\ldots,\succsim_{n}^{\text{*}}\) так:
\(\left( {x_{1}^{'}\succsim_{i}^{\text{*}}x_{2}^{'}} \right)\leftrightarrow\left( {\left( {x_{1}^{'}\succsim_{i}x_{2}^{'}} \right) \& \left( {x_{1}^{'}\neq x_{3}} \right)} \right)\vee\left( {x_{2}^{'}\text{=}x_{3}} \right).(9.34)\)
Условие (9.34) аналогично (9.32). Из (9.32) и (9.34) в силу определения предпочтения следует, что для всех индивидуумов \(x_{2}\succ_{i}^{''}x_{3}\) и \(x_{2}\succ_{i}^{\text{*}}x_{3}\). Следовательно, при \(x_{1}^{'}\neq x_{1}\) и \(x_{2}^{'}\neq x_{1}\):
\(\left( {x_{1}^{'}\succsim_{i}^{''}x_{2}^{'}} \right)\leftrightarrow\left( {x_{1}^{'}\succsim_{i}^{\text{*}}x_{2}^{'}} \right).(9.35)\)
Для любого, i-го индивидуума так же имеет место \(x_{1}\succ_{i}^{''}x_{3}\), \(x_{1}\succ_{i}^{\text{*}}x_{3}\).
Согласно (9.32) для всех индивидуумов, для которых \(x_{1}\succsim_{i}^{''}x_{2}\), верно, что \(x_{1}\succsim_{i}x_{2}\). Согласно предположению, для таких индивидуумов \(x_{1}\succ_{i}^{'}x_{2}\), и потому, согласно (9.34), \(x_{1}\succ_{i}^{\text{*}}x_{2}\). Следовательно,
для любой альтернативы \(x_{2}^{'}\left( {x_{1}\succsim_{i}^{''}x_{2}^{'}} \right)\leftrightarrow\left( {x_{1}\succsim_{i}^{\text{*}}x_{2}^{'}} \right),(9.36)\)
для любой альтернативы \(x_{2}^{'}\left( {x_{1}\succ_{i}^{''}x_{2}^{'}} \right)\leftrightarrow\left( {x_{1}\succ_{i}^{\text{*}}x_{2}^{'}} \right).(9.37)\)
Согласно (9.35)–(9.37) и (9.33), предпосылки условия приемлемости по критерию Парето выполнены, следовательно, \(x_{1}\succ^{\text{*}}x_{2}\).
Из (9.34) путем рассуждений, аналогичных проведенным выше, следует, что \(C^{\text{*}}\left( \left\{ {x_{1},x_{2}} \right\} \right)\text{=}C'(\{ x_{1},x_{2}\})\), значит, \(x_{1}\succ^{'}x_{2}\), что и требовалось доказать.
Утверждение 2. Если существует некоторый набор таких индивидуальных упорядочений \(\succsim_{1},\ldots,\succsim_{n}\), что для некоторых \(x_{1}\) \(x_{1}\succ_{i}x_{2}\) для всех индивидуумов в V и \(x_{2}\succ_{i}x_{1}\) для индивидуумов вне V, причем \(x_{1}\succ x_{2}\), то V является решающим для \(x_{1}\) против \(x_{2}\).
Для доказательства утверждения 2 предположим, что \(\succsim_{1}^{'},\ldots,\succsim_{n}^{'}\) – набор индивидуальных упорядочений, отвечающих условию:
\(x_{1}\succ_{i}^{'}x_{2}\) для любого индивидуума в \(V.(9.38)\)
Чтобы показать, что V является решающим, необходимо согласно определению, показать, что для любого такого набора \(\succsim_{1}^{'},\ldots,\succsim_{n}^{'}\) соответствующее коллективное упорядочение \(\succsim^{'}\) будет давать \(x_{1}\succ^{'}x_{2}\). Согласно (9.38) и предположению, что \(x_{1}\succ_{i}^{'}x_{2}\) для каждого, i-го индивидуума в V и \(x_{2}\succ_{i}^{'}x_{1}\) для всех индивидуумов вне V, следует, что \(x_{1}\succ_{i}^{'}x_{2}\) всякий раз, когда \(x_{1}\succsim_{i}x_{2}\). Согласно утверждению 1, \(x_{1}\succ^{'}x_{2}\), что и требовалось доказать.
Утверждение 3. Для любых не совпадающих друг с другом альтернатив \(x_{1}\) и \(x_{2}\) \(x_{1}\neq x_{2}\), V″ – решающее множество для \(x_{1}\) против \(x_{2}\): если каждый индивидуум предпочитает \(x_{1}\) альтернативе \(x_{2}\), то группа имеет аналогичные предпочтения.
Для доказательства утверждения 3 обратим определение навязанной функции общественного благосостояния. Тогда условие суверенитета граждан гласит, что существует набор \(\succsim_{1},\ldots,\succsim_{n}\), для которого \(\overline{x_{2}\succsim x_{1}}\). В силу (1.3):
\(x_{1}\succ x_{2}.(9.39)\)
Пусть \(\succsim_{1}^{'},\ldots,\succsim_{n}^{'}\) – такое множество индивидуальных упорядочений, что:
\(x_{1}\succ_{i}^{'}x_{2}\) для любого индивидуума с номером \(i.(9.40)\)
Согласно (9.40), очевидно, выполняется \(x_{1}\succ_{i}^{'}x_{2}\) для любого, i-го индивидуума, такого, что \(x_{1}\succsim_{i}x_{2}\). Тогда из (9.39) и утверждения 1 вытекает, что \(x_{1}\succ^{'}x_{2}\). Поскольку это справедливо для любого набора упорядочений, удовлетворяющих (9.40), из определения V″ следует, что \(x_{1}\succ^{'}x_{2}\) для любого набора упорядочений, такого, что \(x_{1}\succ_{i}^{'}x_{2}\) для всех, i–х индивидуумов в V″ и \(x_{2}\succ_{i}^{'}x_{1}\) для всех индивидуумов с номерами i вне V″, т.е. ни для какого i. Согласно утверждению 2, V″ – решающее множество для \(x_{1}\) против \(x_{2}\).
Утверждение 4. Если одноэлементное множество V′ является решающим: либо для \(x_{1}\) против \(x_{2}\), либо для \(x_{2}\) против \(x_{3}\), то V′ – решающее множество для \(x_{1}\) против \(x_{3}\), где \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\) – отличные друг от друга альтернативы. Другими словами, если индивидуум является решающим для некоторой альтернативы \(x_{1}\) против другой альтернативы \(x_{2}\), то он является решающим для \(x_{1}\) против любой другой альтернативы; если индивидуум является решающим для любой альтернативы против данной – \(x_{3}\), то он является решающим для данной, конкретной альтернативы против \(x_{3}\).
Рассмотрим вначале первую возможность. Пусть V′ – решающее множество для \(x_{1}\) против \(x_{2}\). Без потери общности можно присвоить решающему индивидууму первый номер. Пусть, далее, \(\succsim_{1},\ldots,\succsim_{n}\) – набор индивидуальных упорядочений, удовлетворяющий следующим условиям:
\(x_{1}\succ_{1}x_{2},(9.41)\)
\(x_{2}\succ_{i}x_{3}\) для любого индивидуума, \((9.42)\)
\(x_{3}\succ_{i}x_{1}\) для всех индивидуумов, кроме первого.\((9.43)\)
Согласно (9.41), \(x_{1}\succ_{i}x_{2}\) для всех индивидуумов в \(V^{'}\), поэтому, по определению решающего множества:
\(x_{1}\succ x_{2}.(9.44)\)
Из (9.42) следует, что \(x_{2}\succ_{i}x_{3}\) для всех индивидуумов в V″. По утверждению 3 и определению решающего множества:
\(x_{2}\succ x_{3}.(9.45)\)
Согласно условию универсальности, отношение коллективного упорядочения связно и транзитивно, в частности для него справедливо утверждение (1.4). Значит, из (9.44) – (9.45) следует, что:
\(x_{1}\succ x_{3}.(9.46)\)
Исходя из (9.41) – (9.42) и свойства транзитивности, можно записать: \(\left( {x_{1}\succ_{1}x_{2}} \right) \& \left( {x_{2}\succ_{1}x_{3}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}\succ_{1}x_{3}} \right)\), или:
\(x_{1}\succ_{i}x_{3}\) для всех индивидуумов в \(V^{'}.(9.47)\)
Условие (9.43) можно переписать следующим образом:
\(x_{3}\succ_{i}x_{1}\) для каждого индивидуума вне \(V^{'}.(9.48)\)
Согласно (9.46) – (9.48), посылки утверждения 2 удовлетворены, так что V′ является решающим для \(x_{1}\) против \(x_{3}\).
Рассмотрим теперь вторую возможность. Пусть V′ – решающее множество для \(x_{2}\) против \(x_{3}\). Пусть индивидуум в V′ имеет первый номер. Пусть, \(\succsim_{1},\ldots,\succsim_{n}\) – набор индивидуальных упорядочений, таких, что:
\(x_{1}\succ_{i}x_{2}\) для всех индивидуумов, \((9.49)\)
\(x_{2}\succ_{1}x_{3},(9.50)\)
\(x_{3}\succ_{i}x_{1}\) для всех индивидуумов, за исключением первого.\((9.51)\)
Как и в предыдущем случае, из (9.49) вытекает, что \(x_{1}\succ x_{2}\); из (9.50) – что \(x_{2}\succ x_{3}\), следовательно, \(x_{1}\succ x_{3}\). Но (9.49) – (9.50) свидетельствуют о том, что \(x_{1}\succ_{1}x_{3}\), что вместе с (9.51) обеспечивает выполнение предположений утверждения 2, значит, V′ – решающее множество для \(x_{1}\) против \(x_{3}\).
Утверждение 5. Для каждой пары альтернатив \(x_{1}\), \(x_{2}\) и каждого одноэлементного множества индивидуумов V′ утверждение, что V′ – решающее множество для \(x_{1}\) против \(x_{2}\) ложно.
Проведем доказательство утверждения 5 от противного. Присвоим некоторому решающему индивидууму из множества V′ первый номер. Пусть, V′ – решающее множество для некоторой альтернативы \(x_{1}\) против некоторой альтернативы \(x_{2}\).
Из утверждения 4 вытекает, что V′ – решающее множество для \(x_{1}\) так же против некоторой альтернативы \(x_{2}^{'}\), отличной от \(x_{1}\) и \(x_{2}\). Поскольку это утверждение остается верным для \(x_{2}^{'}\text{=}x_{2}\), можно сказать, что:
\(V^{'}\) - решающее множество для \(x_{1}\) против любого \(x_{2}^{'}\neq x_{1}.(9.52)\)
Пусть для фиксированной \(x_{2}^{'}\neq x_{1}\) альтернатива \(x_{1}^{'}\) отлична от \(x_{1}\) и \(x_{2}^{'}\). Этот выбор возможен, согласно условию универсальности, так как существуют только три альтернативы. Из (9.52) и утверждения 4 вытекает, что V′ – решающее для \(x_{1}^{'}\) против \(x_{2}^{'}\). Согласно (9.52), это утверждение справедливо и при \(x_{1}^{'}\text{=}x_{1}\):
V′ – решающее множество для \(x_{1}^{'}\) против \(x_{2}^{'}\)
при \(x_{1}^{'}\neq x_{2}^{'}\) и \(x_{2}^{'}\neq x_{1}.(9.53)\)
Выберем любую \(x_{1}^{'}\neq x_{1}\) и некоторую \(x_{2}^{''}\), отличную как от \(x_{1}\), так и от \(x_{1}^{'}\). Этот выбор возможен, согласно условию универсальности. Тогда (9.53) выполняется в следующем виде: V′ – решающее для \(x_{1}^{'}\) против y″ при \(x_{1}^{'}\neq x_{2}^{''}\), \(x_{2}^{''}\neq x_{1}\), \(x_{1}^{'}\neq x_{1}\). Тогда в силу утверждения 4, если в качестве \(x_{3}\) взять \(x_{1}\), можно записать, что:
\(V^{'}\) - решающее множество для \(x_{1}^{'}\) против \(x_{1}\) при \(x_{1}^{'}\neq x_{1}.(9.54)\)
Объединяя условия (9.53) – (9.54), получаем, что:
V′ – решающее множество для любого \(x_{1}^{'}\) против любого \(x_{2}^{'}\)
при \(x_{1}^{'}\neq x_{2}^{'}.(9.55)\)
По определению решающего множества, (9.55) утверждает, что для каждого \(x_{1}^{'}\neq x_{2}^{'}\) \(\left( {x_{1}^{'}\succ_{1}x_{2}^{'}} \right)\rightarrow\left( {x_{1}^{'}\succ x_{2}^{'}} \right)\). Значит, по определению, функция общественного благосостояния является диктаторской, что исключается. Следовательно, предположение о ложности утверждения 5 ведет к противоречию с одним из условий. Таким образом, утверждение 5 истинно.
Теперь можно завершить доказательство общей теоремы о возможности. Пусть S – предъявление, составленное из трех отличных друг от друга альтернатив, которые встречаются в условии универсальности. Для каждой возможной упорядоченной пары \(x_{1}^{'}\), \(x_{2}^{'}\) из предъявления S, \(x_{1}^{'}\neq x_{2}^{'}\), имеется, согласно утверждению 3, по крайней мере, одно решающее множество индивидуумов для \(x_{1}^{'}\) против \(x_{2}^{'}\). Рассмотрим все решающие множества индивидуумов для некоторой \(x_{1}^{'}\) против некоторой \(x_{2}^{'}\neq x_{1}^{'}\) в S. Среди этих множеств выберем такое, в котором присутствует наименьшее число лиц – если его нельзя выбрать однозначно, то возьмем любое из таких множеств. Обозначим выбранное множество \(V_{1}\). С помощью соответствующего обозначения можно сказать, что \(V_{1}\) является решающим для \(x_{1}\) против \(x_{2}\).
Пусть, k – число индивидуумов в \(V_{1}\). Обозначим их номерами \(1,\ldots,k\). Пусть, V′ содержит индивидуума под первым номером, \(V_{2}\) – индивидуумов с номерами \(2,\ldots,k\), \(V_{3}\) – остальных с номерами \(k\text{+}1,\ldots,n\). На основании построения можно заключить:
\(V_{1}\) - решающее множество для \(x_{1}\) против \(x_{2};(9.56)\)
любое решающее множество для некоторой альтернативы в S
против некоторой другой альтернативы в S
содержит не менее чем \(k\) элементов.\((9.57)\)
По построению, \(V_{2}\) содержит \(k\text{-}1\) элементов. Значит, в соответствии с (9.57):
\(V_{2}\) не является решающим для любой альтернативы в S
против любой другой альтернативы в \(S.(9.58)\)
В силу утверждения 5
V′ не является решающим множеством для любой альтернативы
против произвольной другой альтернативы.\((9.59)\)
Пусть \(\succsim_{1},\ldots,\succsim_{n}\) – такой набор индивидуальных упорядочений, что:
для любого индивидуума в \(V'\left( {x_{1}\succ_{i}x_{2}} \right) \& \left( {x_{2}\succ_{i}x_{3}} \right),(9.60)\)
для каждого индивидуума в \(V_{2}\left( {x_{3}\succ_{i}x_{1}} \right) \& \left( {x_{1}\succ_{i}x_{2}} \right),(9.61)\)
для всех индивидуумов в \(V_{3}\left( {x_{2}\succ_{i}x_{3}} \right) \& \left( {x_{3}\succ_{i}x_{1}} \right).(9.62)\)
Из (9.60) – (9.62) и определений \(V_{1}\), \(V_{2}\), V′ следует, что \(x_{1}\succ_{i}x_{2}\) для всех, i-х индивидуумов в \(V_{1}\). Из (9.56) вытекает, что:
\(x_{1}\succ x_{2}.(9.63)\)
Из (9.61) и транзитивности \(\succsim_{i}\) приходим к выводу о том, что \(x_{3}\succ_{i}x_{2}\) для всех индивидуумов в \(V_{2}\). Из (9.60) и (9.62) делаем вывод, что \(x_{2}\succ_{i}x_{3}\) для каждого индивидуума вне \(V_{2}\). Если бы \(x_{3}\succ x_{2}\), то в силу данных выводов и утверждения 2 \(V_{2}\) было бы решающим множеством для \(x_{2}\) против \(x_{3}\), что противоречит (9.58). Следовательно, \(\overline{x_{3}\succ x_{2}}\), т.е. \(x_{2}\succ x_{3}\).
Из (9.63) и последнего отношения предпочтения, в силу транзитивности \(\succsim\), следует \(x_{1}\succ x_{3}\). Из (9.60) и транзитивности отношения \(\succsim_{i}\) вытекает, что \(x_{1}\succ_{i}x_{3}\) для всех индивидуумов в V′. А из (9.61)–(9.62) следует, что \(x_{3}\succ_{i}x_{1}\) для каждого индивидуума вне V′. Согласно последним трем отношениям предпочтения и утверждению 2, V′ – решающее множество для \(x_{1}\) против \(x_{3}\), что противоречит (9.59). Таким образом, общая теорема о возможности доказана6.
Эрроу К.Дж. Возможности и пределы рынка как механизма распределения ресурсов // THESIS. 1993. Т. 1. Вып. 2.↩︎
Эрроу К.Дж. Коллективный выбор и индивидуальные ценности. – М.: Изд-во ГУ ВШЭ, 2004.↩︎
О формальных характеристиках правила большинства голосов как функции общественного благосостояния см., например: Нуреев Р.М. Теория общественного выбора. – М.: Изд-во ГУ ВШЭ, 2005.↩︎
Эрроу К.Дж. Коллективный выбор и индивидуальные ценности. – М.: Изд-во ГУ ВШЭ, 2004.↩︎
Эрроу К.Дж. Коллективный выбор и индивидуальные ценности. – М.: Изд-во ГУ ВШЭ, 2004.↩︎
Эрроу К.Дж. Коллективный выбор и индивидуальные ценности. – М.: Изд-во ГУ ВШЭ, 2004.↩︎