Основные выводы модели CAPM, сформулированные в параграфе 6.6, могут быть получены в рамках теории общего экономического равновесия1.
Предположим, что на некотором финансовом рынке m (i) инвесторов, имеющих однородную функцию полезности, осуществляют вложения в рисковые \(\left( {j\text{=}1,\ldots,n\text{-}1} \right)\) и безрисковый \(\left( {j\text{=}n} \right)\) активы, стоимостью \(p_{1}\), \(p_{2}\), \(p_{3}\), …, \(p_{n}\), где \(p_{n}\text{=}q\) есть стоимость безрискового актива. Пусть \(r_{j}\) – ожидаемый доход j-го актива в конце периода. Для оценки дохода в относительной величине допустим, что ожидаемый доход безрискового актива будет равен \(r_{n}\text{=}1\). Доли активов в портфеле учитываются в натуральном выражении и равны (\(w_{1}\), \(w_{2},\) …, \(w_{n})\).
Задача i-ого инвестора состоит в максимизации функции полезности \(U^{i}\text{=}U^{i}(r_{p},\sigma_{p}^{2})\), где \(r_{p}\text{=}{\sum\limits_{j\text{=}1}^{n\text{-}1}r_{j}}w_{j}^{i}\text{+}w_{n}^{i}\) и \(\sigma_{p}^{2}\text{=}{\sum\limits_{j\text{=}1}^{n\text{-}1}{\sum\limits_{\alpha\text{=}1}^{n\text{-}1}{\sigma_{\mathit{ja}}w_{j}^{i}w_{\alpha}^{i}}}}\) – соответственно доходность и риск портфеля i-го индивида.
Бюджетное ограничение показывает, что i-й инвестор в данный момент времени не может купить активов больше, чем он может продать (и наоборот), т.е. вводится ограничение на «короткие» продажи. Предполагается, что количество инвестиций в рынок капитала фиксировано. Формально данное условие выражено следующим образом:
\({\sum\limits_{j\text{=}1}^{n\text{-}1}{p_{j}(w_{j}^{i}\text{-}{\overline{w}}_{j}^{i})}}\text{+}q\left( {w_{n}^{i}\text{-}{\overline{w}}_{n}^{i}} \right)\text{=}0,(9.24)\)
где \({\overline{w}}_{j}^{i}\) – активы, продаваемые инвестором (в единицах).
Данное соотношение будет задавать общее бюджетное ограничение системы (с учетом неизменности средств инвесторов и количества активов):
\({\sum\limits_{i\text{=}1}^{m}{{\sum\limits_{j\text{=}1}^{n\text{-}1}{p_{j}(w_{j}^{i}\text{-}{\overline{w}}_{j}^{i})}}\text{+}q{\sum\limits_{i\text{=}1}^{m}\left( {w_{n}^{i}\text{-}{\overline{w}}_{n}^{i}} \right)}}}\text{=}0.(9.25)\)
Решая задачу максимизации полезности инвестора при заданном бюджетном ограничении, составляем функцию Лагранжа:
\(L^{i}\text{=}U^{i}\left( {r_{p},\sigma_{p}^{2}} \right)\text{+}\theta^{i}\left( {{\sum\limits_{j\text{=}1}^{n\text{-}1}{p_{j}(w_{j}^{i}\text{-}{\overline{w}}_{j}^{i})}}\text{+}q\left( {w_{n}^{i}\text{-}{\overline{w}}_{n}^{i}} \right)} \right).\)
Условия стационарности лагранжиана по переменным имеют вид:
\(\frac{\partial L^{i}}{\partial w_{j}^{i}}\text{=}{{(U}^{i})'}_{r_{i}}r_{j}\text{+}2{{(U}^{i})'}_{\sigma_{\beta i}}{\sum\limits_{\beta\text{=}1}^{n\text{-}1}\sigma_{\beta j}}w_{j}^{i}\text{+}\theta^{i}p_{j}\text{=}0,j\text{=}1,\ldots,n\text{-}1;\)
\(\frac{\partial L^{i}}{\partial w_{n}^{i}}\text{=}{{(U}^{i})'}_{r_{i}}\text{+}\theta^{i}q\text{=}0.\)
Исключая переменную \(\theta^{i}\), приходим к эквимаржинальному условию:
\(\text{-}\frac{{{(U}^{i})'}_{r_{i}}}{{{(U}^{i})'}_{\sigma_{\mathit{\beta i}}}}\text{=}\frac{2{\sum\limits_{\beta\text{=}1}^{n\text{-}1}\sigma_{\mathit{\beta j}}}w_{j}^{i}}{r_{j}\text{-}\frac{p_{j}}{q}}.(9.26)\)
Отношение \(\text{-}\frac{{{(U}^{i})'}_{r_{i}}}{{{(U}^{i})'}_{\sigma_{\mathit{\beta i}}}}\) представляет собой предельную норму замещения риска доходностью.
Для получения общего рыночного равновесия необходимо ввести ограничения на замкнутость рынка:
\({\sum\limits_{i\text{=}1}^{m}\left( {w_{j}^{i}\text{-}{\overline{w}}_{j}^{i}} \right)}\text{=}0,j\text{=}1,\ldots,n;т.е.\)
\({\sum\limits_{i\text{=}1}^{m}w_{j}^{i}}\text{=}{\overline{w}}_{j}^{i}.(9.27)\)
Подставляя это равенство в бюджетное ограничение (9.25), получаем:
\(q{\sum\limits_{i\text{=}1}^{m}\left( {w_{n}^{i}\text{-}{\overline{w}}_{n}^{i}} \right)}\text{=}0,т.е.{\sum\limits_{i\text{=}1}^{m}w_{n}^{i}}\text{=}{\overline{w}}_{n}^{i}.\)
В результате получается полная система уравнений, которой может быть описано равновесие в модели. Данная система состоит из \(m\) уравнений (9.24), mn уравнений (9.24) и (9.26) и n уравнений (9.27). Итого \(m(n\text{+}1)\text{+}n\) уравнений. Также в модели насчитывается \(m\left( {n\text{+}1} \right)\text{+}n\) переменных, из которых \(m\left( {n\text{+}1} \right)\) значений \(w_{j}^{i}\) и \(n\) значений цен активов \(p_{j}\).
Рассчитаем ожидаемую норму доходности: \(r_{j}\text{=}\left( \frac{\mu_{j}}{p_{j}} \right)\text{-}1.\) Чистая процентная ставка (сумма цены за ожидание и собственно цены за риск), или ставка доходности безрискового актива, будет равна: \(r_{n}\text{=}\frac{1}{q}\text{-}1.\) Цена за риск (risk margin) составит: \(m_{j}\text{=}r_{j}\text{-}r_{n}\text{=}\frac{\mu_{j}\text{-}\frac{p_{j}}{q}}{p_{j}}.\)
Сравним цены за риск двух активов с номерами j и k:
\(\frac{m_{j}}{m_{k}}\text{=}\left( \frac{\mu_{j}\text{-}\frac{p_{j}}{q}}{\mu_{k}\text{-}\frac{p_{k}}{q}} \right)\frac{p_{k}}{p_{j}}.\)
Используя уравнение для предельной нормы замещения и (6.67) получаем:
\(\frac{m_{j}}{m_{k}}\text{=}\frac{{\overline{w}}_{j}{\sum\limits_{\alpha}{\sigma_{\mathit{j\alpha}}{\overline{w}}_{\alpha}}}}{{\overline{w}}_{k}{\sum\limits_{\alpha}{\sigma_{\mathit{k\alpha}}{\overline{w}}_{\alpha}}}}\cdot\frac{p_{k}{\overline{w}}_{k}}{p_{j}{\overline{w}}_{j}},\mathit{или}\frac{m_{j}R_{j}}{V_{j}}\text{=}\frac{m_{k}R_{k}}{V_{k}}\)
Итак, рисковая маржа (или надбавка за риск) представляет собой отношение совокупной (общей) компенсации риска за актив к общей дисперсии актива, и эта надбавка постоянна для всех активов.
Mossin J. Equilibrium in a capital asset market // Econometrica. 1966. Vol. 34. №4.↩︎