Рассмотрим простейшую модель (2×2) распределительной экономической системы, в которой присутствуют только два потребителя, осуществляющие выбор в пространстве двух товаров. Каждый экономический агент решает задачу выбора с учетом первоначальных запасов благ. При этом для экономической системы в целом должны выполняться натуральные балансовые ограничения по объемам потребляемой и имеющейся в наличии продукции. Итак, экономическая система в целом описывается следующей оптимизационно-балансовой моделью:
\(\left\{ \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} {{\underset{x_{11}^{c},x_{12}^{c}}{\max}}{U_{1}\left( {x_{11}^{c},x_{12}^{c}} \right)}:} \\ {p_{1}x_{11}^{c}\text{+}p_{2}x_{12}^{c}\leq p_{1}\omega_{11}\text{+}p_{2}\omega_{12};} \\ \end{matrix} \right. \\ \left\{ \begin{matrix} {{\underset{x_{21}^{c},x_{22}^{c}}{\max}}{U_{2}\left( {x_{21}^{c},x_{22}^{c}} \right)}:} \\ {p_{1}x_{21}^{c}\text{+}p_{2}x_{22}^{c}\leq p_{1}\omega_{21}\text{+}p_{2}\omega_{22};} \\ \end{matrix} \right. \\ {x_{11}^{c}\geq 0;x_{12}^{c}\geq 0;x_{21}^{c}\geq 0;x_{22}^{c}\geq 0;} \\ {x_{11}^{c}\text{+}x_{21}^{c}\leq\omega_{11}\text{+}\omega_{21};} \\ {x_{12}^{c}\text{+}x_{22}^{c}\leq\omega_{12}\text{+}\omega_{22}.} \\ \end{matrix} \right.\)
Оптимальный выбор каждого из потребителей будет подчиняться эквимаржинальному принципу (2.10):
\(\mathit{MRS}_{12}^{1}\equiv\left. {\text{-}\frac{dx_{12}^{c}}{dx_{11}^{c}}} \right|_{U_{1}\text{=}\mathit{const}}\text{=}\frac{\mathit{MU}_{11}}{\mathit{MU}_{12}}\text{=}\frac{p_{1}}{p_{2}},\)
\(\mathit{MRS}_{12}^{1}\equiv\left. {\text{-}\frac{dx_{22}^{c}}{dx_{21}^{c}}} \right|_{U_{2}\text{=}\mathit{const}}\text{=}\frac{\mathit{MU}_{21}}{\mathit{MU}_{22}}\text{=}\frac{p_{1}}{p_{2}}.\)
Поскольку в экономике вектор цен един для всех хозяйствующих субъектов, постольку предельные нормы замещения для двух потребителей равны. Таким образом, получаем условия общего равновесия в потреблении:
\(\mathit{MRS}_{12}^{1}\equiv\left. {\text{-}\frac{dx_{12}^{c}}{dx_{11}^{c}}} \right|_{U_{1}\text{=}\mathit{const}}\text{=}\frac{\mathit{MU}_{11}}{\mathit{MU}_{12}}\text{=}\frac{p_{1}}{p_{2}}\text{=}\frac{\mathit{MU}_{21}}{\mathit{MU}_{22}}\text{=}\left. {\text{-}\frac{dx_{22}^{c}}{dx_{21}^{c}}} \right|_{U_{2}\text{=}\mathit{const}}\equiv\mathit{MRS}_{12}^{1}.(9.13)\)
Пример 9.1. Общее экономическое равновесие в потреблении
Пусть экономика состоит из двух потребителей (A и B), каждый из которых потребляет три вида продуктов и обладает соответствующей функцией полезности1: \(U_{A}\text{=}\left( {x_{1}\text{-}5} \right)^{½}\left( {x_{2}\text{-}4} \right)^{¼}\left( {x_{3}\text{-}10} \right)^{¼}\), \(U_{B}\text{=}\left( {x_{1}\text{-}2} \right)^{¼}\left( {x_{2}\text{-}20} \right)^{¼}\left( {x_{3}\text{-}1} \right)^{½}\). Первоначальные запасы благ в данной экономике у этих индивидуумов составляют соответственно \(\omega_{1}^{A}\text{=}20\), \(\omega_{1}^{B}\text{=}30\), \(\omega_{2}^{A}\text{=}50\), \(\omega_{2}^{B}\text{=}100\), \(\omega_{3}^{A}\text{=}10\), \(\omega_{3}^{B}\text{=}40\). Поскольку функции полезности в данной задаче имеют вид зависимостей Стоуна–Джери (vi), постольку функции спроса на первые два товара для каждого из потребителей задаются соотношениями (viii):
\(x_{1}^{A}\text{=}a_{1}^{A}\text{+}\frac{\alpha_{1}^{A}}{p_{1}}\frac{\left( {M_{A}\text{-}p_{1}a_{1}^{A}\text{-}p_{2}a_{2}^{A}\text{-}p_{3}a_{3}^{A}} \right)}{\left( {\alpha_{1}^{A}\text{+}\alpha_{2}^{A}\text{+}\alpha_{3}^{A}} \right)},(П9.1.1)\)
\(x_{2}^{A}\text{=}a_{2}^{A}\text{+}\frac{\alpha_{2}^{A}}{p_{2}}\frac{\left( {M_{A}\text{-}p_{1}a_{1}^{A}\text{-}p_{2}a_{2}^{A}\text{-}p_{3}a_{3}^{A}} \right)}{\left( {\alpha_{1}^{A}\text{+}\alpha_{2}^{A}\text{+}\alpha_{3}^{A}} \right)},(П9.1.2)\)
\(x_{1}^{B}\text{=}a_{1}^{B}\text{+}\frac{\alpha_{1}^{B}}{p_{1}}\frac{\left( {M_{B}\text{-}p_{1}a_{1}^{B}\text{-}p_{2}a_{2}^{B}\text{-}p_{3}a_{3}^{B}} \right)}{\left( {\alpha_{1}^{B}\text{+}\alpha_{2}^{B}\text{+}\alpha_{3}^{B}} \right)},(П9.1.3)\)
\(x_{2}^{B}\text{=}a_{2}^{B}\text{+}\frac{\alpha_{2}^{B}}{p_{2}}\frac{\left( {M_{B}\text{-}p_{1}a_{1}^{B}\text{-}p_{2}a_{2}^{B}\text{-}p_{3}a_{3}^{B}} \right)}{\left( {\alpha_{1}^{B}\text{+}\alpha_{2}^{B}\text{+}\alpha_{3}^{B}} \right)}.(П9.1.4)\)
В силу того, что в рамках модели общего экономического равновесия анализируется потребительский выбор с учетом первоначальных запасов благ (I.1b), следует расписать доходы потребителей по источникам их формирования: \(M_{A}\text{=}p_{1}\omega_{1}^{A}\text{-}p_{2}\omega_{2}^{A}\text{+}p_{3}\omega_{3}^{A}\), \(M_{B}\text{=}p_{1}\omega_{1}^{B}\text{-}p_{2}\omega_{2}^{B}\text{+}p_{3}\omega_{3}^{B}\). Тогда функции спроса приобретают вид:
\(x_{1}^{A}\text{=}a_{1}^{A}\text{+}\frac{\alpha_{1}^{A}}{p_{1}}\frac{\left( {p_{1}\omega_{1}^{A}\text{-}p_{2}\omega_{2}^{A}\text{+}p_{3}\omega_{3}^{A}\text{-}p_{1}a_{1}^{A}\text{-}p_{2}a_{2}^{A}\text{-}p_{3}a_{3}^{A}} \right)}{\left( {\alpha_{1}^{A}\text{+}\alpha_{2}^{A}\text{+}\alpha_{3}^{A}} \right)},\)
\(x_{2}^{A}\text{=}a_{2}^{A}\text{+}\frac{\alpha_{2}^{A}}{p_{2}}\frac{\left( {p_{1}\omega_{1}^{A}\text{-}p_{2}\omega_{2}^{A}\text{+}p_{3}\omega_{3}^{A}\text{-}p_{1}a_{1}^{A}\text{-}p_{2}a_{2}^{A}\text{-}p_{3}a_{3}^{A}} \right)}{\left( {\alpha_{1}^{A}\text{+}\alpha_{2}^{A}\text{+}\alpha_{3}^{A}} \right)},\)
\(x_{1}^{B}\text{=}a_{1}^{B}\text{+}\frac{\alpha_{1}^{B}}{p_{1}}\frac{\left( {p_{1}\omega_{1}^{B}\text{-}p_{2}\omega_{2}^{B}\text{+}p_{3}\omega_{3}^{B}\text{-}p_{1}a_{1}^{B}\text{-}p_{2}a_{2}^{B}\text{-}p_{3}a_{3}^{B}} \right)}{\left( {\alpha_{1}^{B}\text{+}\alpha_{2}^{B}\text{+}\alpha_{3}^{B}} \right)},\)
\(x_{2}^{B}\text{=}a_{2}^{B}\text{+}\frac{\alpha_{2}^{B}}{p_{2}}\frac{\left( {p_{1}\omega_{1}^{B}\text{-}p_{2}\omega_{2}^{B}\text{+}p_{3}\omega_{3}^{B}\text{-}p_{1}a_{1}^{B}\text{-}p_{2}a_{2}^{B}\text{-}p_{3}a_{3}^{B}} \right)}{\left( {\alpha_{1}^{B}\text{+}\alpha_{2}^{B}\text{+}\alpha_{3}^{B}} \right)}.\)
Суммарный спрос двух потребителей на каждое благо должен равняться его запасам, находящимся в распоряжении индивидуумов, причем, в силу закона Вальраса, достаточно выписать балансы лишь для двух из трех рынков:
\(x_{1}^{A}\text{+}x_{1}^{B}\text{=}a_{1}^{A}\text{+}a_{1}^{B}\text{+}\frac{1}{p_{1}}\left( \frac{\alpha_{1}^{A}\left( {p_{1}\omega_{1}^{A}\text{-}p_{2}\omega_{2}^{A}\text{+}p_{3}\omega_{3}^{A}\text{-}p_{1}a_{1}^{A}\text{-}p_{2}a_{2}^{A}\text{-}p_{3}a_{3}^{A}} \right)}{\alpha_{1}^{A}\text{+}\alpha_{2}^{A}\text{+}\alpha_{3}^{A}} \right.\text{+}\left. \frac{\alpha_{1}^{B}\left( {p_{1}\omega_{1}^{B}\text{-}p_{2}\omega_{2}^{B}\text{+}p_{3}\omega_{3}^{B}\text{-}p_{1}a_{1}^{B}\text{-}p_{2}a_{2}^{B}\text{-}p_{3}a_{3}^{B}} \right)}{\alpha_{1}^{B}\text{+}\alpha_{2}^{B}\text{+}\alpha_{3}^{B}} \right)\text{=}\omega_{1}^{A}\text{+}\omega_{1}^{B};\)
\(x_{2}^{A}\text{+}x_{2}^{B}\text{=}a_{2}^{A}\text{+}a_{2}^{B}\text{+}\frac{1}{p_{2}}\left( \frac{\alpha_{2}^{A}\left( {p_{1}\omega_{1}^{A}\text{-}p_{2}\omega_{2}^{A}\text{+}p_{3}\omega_{3}^{A}\text{-}p_{1}a_{1}^{A}\text{-}p_{2}a_{2}^{A}\text{-}p_{3}a_{3}^{A}} \right)}{\alpha_{1}^{A}\text{+}\alpha_{2}^{A}\text{+}\alpha_{3}^{A}} \right.\text{+}\left. \frac{\alpha_{2}^{B}\left( {p_{1}\omega_{1}^{B}\text{-}p_{2}\omega_{2}^{B}\text{+}p_{3}\omega_{3}^{B}\text{-}p_{1}a_{1}^{B}\text{-}p_{2}a_{2}^{B}\text{-}p_{3}a_{3}^{B}} \right)}{\alpha_{1}^{B}\text{+}\alpha_{2}^{B}\text{+}\alpha_{3}^{B}} \right)\text{=}\omega_{2}^{A}\text{+}\omega_{2}^{B}.\)
Распишем данные балансовые равенства объемов потребления и запасов применительно к условиям задачи:
\(\frac{p_{1}15\text{+}p_{2}46}{2p_{1}}\text{+}\frac{p_{1}28\text{+}p_{2}80\text{+}p_{3}39}{4p_{1}}\text{=}43;\)
\(\frac{p_{1}15\text{+}p_{2}46}{4p_{2}}\text{+}\frac{p_{1}28\text{+}p_{2}80\text{+}p_{3}39}{4p_{2}}\text{=}126.\)
Получаем систему уравнений:
\(\left\{ \begin{matrix} {43p_{1}\text{=}378p_{2}\text{-}39p_{3},} \\ {114p_{1}\text{=}172p_{2}\text{+}39p_{3}.} \\ \end{matrix} \right.\)
Их сумма дает отношения товарных цен:
\(\frac{p_{2}}{p_{1}}\text{=}\frac{157}{550}.\)
Таким образом, получаем равновесный вектор относительных цен:
\(\left( {\rho_{1},\rho_{2},\rho_{3}} \right)\text{=}\left( {0,339;0,0968;0,5642} \right).(П9.1.5)\)
Рассмотрим теперь условия общего равновесия в производстве. Предположим, что в экономике присутствуют два предприятия, каждое из которых производит один, отличный от другого вид продукции. Выпишем функции прибыли каждой из фирм. Для первого предприятия она будет иметь вид:
\(\mathit{PR}_{1}\left( {x_{11}^{p},x_{12}^{p}} \right)\text{=}p_{1}y_{11}\text{+}p_{2}y_{12}\text{=}p_{1}\left( {q_{11}\text{-}x_{11}^{p}} \right)\text{+}p_{2}\left( {q_{12}\text{-}x_{12}^{p}} \right)\text{=}p_{1}q_{11}\text{-}p_{1}x_{11}^{p}\text{-}p_{2}x_{12}^{p},\)
поскольку, по предположению, \(q_{12}\text{=}0\).
Аналогично, в силу предположения, что \(q_{21}\text{=}0\), прибыль второй фирмы такова:
\(\mathit{PR}_{2}\left( {x_{21}^{p},x_{22}^{p}} \right)\text{=}p_{1}y_{21}\text{+}p_{2}y_{22}\text{=}p_{1}\left( {q_{21}\text{-}x_{21}^{p}} \right)\text{+}p_{2}\left( {q_{22}\text{-}x_{22}^{p}} \right)\text{=}p_{2}q_{22}\text{-}p_{1}x_{21}^{p}\text{-}p_{2}x_{22}^{p}.\)
Условия максимизации прибыли каждого из предприятий будут иметь вид (4.35):
\(\left\{ \begin{matrix} {\mathit{MP}_{11}\text{=}\frac{\partial q_{11}}{\partial x_{11}^{p}}\text{=}1,} \\ {\mathit{MP}_{12}\text{=}\frac{\partial q_{11}}{\partial x_{12}^{p}}\text{=}\frac{p_{2}}{p_{1}};} \\ \end{matrix} \right.и\left\{ \begin{matrix} {\mathit{MP}_{21}\text{=}\frac{\partial q_{22}}{\partial x_{21}^{p}}\text{=}\frac{p_{1}}{p_{2}},} \\ {\mathit{MP}_{22}\text{=}\frac{\partial q_{22}}{\partial x_{22}^{p}}\text{=}1.} \\ \end{matrix} \right.\)
Поделив в каждой из систем первое из равенств на второе и объединив полученные соотношения, получаем аналогичное распределительной системе (9.13) соотношение, характеризующее общее равновесие в производстве:
\(\mathit{MRTS}_{12}^{1}\equiv\left. {\text{-}\frac{dx_{12}^{p}}{dx_{11}^{p}}} \right|_{q_{11}\text{=}\mathit{const}}\text{=}\frac{\mathit{MP}_{11}}{\mathit{MP}_{12}}\text{=}\frac{p_{1}}{p_{2}}\text{=}\frac{\mathit{MP}_{21}}{\mathit{MP}_{22}}\text{=}\left. {\text{-}\frac{dx_{22}^{p}}{dx_{21}^{p}}} \right|_{q_{22}\text{=}\mathit{const}}\equiv\mathit{MRTS}_{12}^{2}.(9.14)\)
Распишем полный дифференциал технологии первого производителя, в котором учтем условия максимизации прибыли:
\(dq_{11}\text{=}\frac{\partial q_{11}}{\partial x_{11}^{p}}dx_{11}^{p}\text{+}\frac{\partial q_{11}}{\partial x_{12}^{p}}dx_{12}^{p}\text{=}dx_{11}^{p}\text{+}\frac{p_{2}}{p_{1}}dx_{12}^{p},\)
т.е.
\(dq_{11}\text{-}dx_{11}^{p}\text{=}\frac{p_{2}}{p_{1}}dx_{12}^{p}.\)
Аналогично, для второй фирмы имеем:
\(dq_{22}\text{=}\frac{\partial q_{22}}{\partial x_{21}^{p}}dx_{21}^{p}\text{+}\frac{\partial q_{22}}{\partial x_{22}^{p}}dx_{22}^{p}\text{=}\frac{p_{1}}{p_{2}}dx_{21}^{p}\text{+}dx_{22}^{p},\)
т.е.
\(\text{-}dx_{21}^{p}\text{=}\text{-}\frac{p_{2}}{p_{1}}dq_{22}\text{+}\frac{p_{2}}{p_{1}}dx_{22}^{p}.\)
Складывая полученные соотношения и используя определения совокупного чистого выпуска для каждого из товаров по экономике в целом, приходим к соотношению:
\(dq_{11}\text{-}dx_{11}^{p}\text{-}dx_{21}^{p}\text{=}dy_{1}\text{=}\text{-}\frac{p_{2}}{p_{1}}\left( {dq_{22}\text{-}dx_{12}^{p}\text{-}dx_{22}^{p}} \right)\text{=}\text{-}\frac{p_{2}}{p_{1}}dy_{2}.(9.15)\)
Поскольку первоначальные запасы благ в экономике фиксированы, постольку изменение объема производства будет соответствовать изменению объема потребления каждого из товаров: \(dx_{1}^{c}\text{=}dy_{1}\text{+}d\omega_{1}\text{=}dy_{1}\), \(dx_{2}^{c}\text{=}dy_{2}\text{+}d\omega_{2}\text{=}dy_{2}\). Следовательно, равенство (9.15) можно переписать таким образом:
\(\mathit{MRT}_{12}\equiv\text{-}\frac{dy_{2}}{dy_{1}}\text{=}\text{-}\frac{dx_{2}^{c}}{dx_{1}^{c}}\text{=}\frac{p_{1}}{p_{2}},(9.16)\)
где \(\mathit{MRT}_{12}\equiv\text{-}\frac{dy_{2}}{dy_{1}}\) – предельная норма трансформации одного продукта в другой для данной экономической системы.
Объединяя соотношения (9.13), (9.14) и (9.16), получаем условия совместного равновесия в производстве и потреблении:
\(\mathit{MRT}_{12}\text{=}\mathit{MRTS}_{12}^{1}\text{=}\mathit{MRTS}_{12}^{2}\text{=}\mathit{MRS}_{12}^{1}\text{=}\mathit{MRS}_{12}^{2}\text{=}\frac{p_{1}}{p_{2}}.(9.17)\)
Итак, в условиях общего экономического равновесия предельная норма трансформации равна обратной величине относительного предельного продукта каждого из факторов производства, которая совпадает с относительными ценами продуктов и ресурсов.
Пример 9.2. Совместное равновесие в производстве и потреблении
Допустим, что в экономике присутствуют два потребителя с функциями полезности \(U_{1}\text{=}\left( x_{11}^{c} \right)^{½}\left( x_{12}^{c} \right)^{½}\) и \(U_{2}\text{=}\left( x_{21}^{c} \right)^{¼}\left( x_{22}^{c} \right)^{¾}\), которые располагают запасами благ \(\omega_{11}\text{=}2\), \(\omega_{12}\text{=}4\), \(\omega_{21}\text{=}5\), \(\omega_{22}\text{=}4\) и долями в прибылях двух предприятий \(\theta_{11}\text{=}¼\), \(\theta_{12}\text{=}¾\), \(\theta_{21}\text{=}¾\), \(\theta_{22}\text{=}¼\). Каждое из предприятий производит один, отличный от другого продукт. Технологии производства описываются следующими функциями: \(q_{1}\text{=}\left( x_{11}^{p} \right)^{½}\left( x_{12}^{p} \right)^{¼}\), \(q_{2}\text{=}\left( x_{21}^{p} \right)^{¼}\left( x_{22}^{p} \right)^{½}\).
Распишем функции прибыли каждой из фирм. Для первого предприятия она будет иметь вид:
\(\mathit{PR}_{1}\left( {x_{11}^{p},x_{12}^{p}} \right)\text{=}p_{1}y_{11}\text{+}p_{2}y_{12}\text{=}p_{1}q_{1}\text{-}p_{1}x_{11}^{p}\text{-}p_{2}x_{12}^{p}\text{=}p_{1}\left( x_{11}^{p} \right)^{½}\left( x_{12}^{p} \right)^{¼}\text{-}p_{1}x_{11}^{p}\text{-}p_{2}x_{12}^{p},\)
поскольку, по предположению, выпуск второго продукта на первом предприятии отсутствует.
Аналогично, в силу предположения о нулевом выпуске первого продукта на втором предприятии, прибыль второй фирмы такова:
\(\mathit{PR}_{2}\left( {x_{21}^{p},x_{22}^{p}} \right)\text{=}p_{1}y_{21}\text{+}p_{2}y_{22}\text{=}p_{2}q_{2}\text{-}p_{1}x_{21}^{p}\text{-}p_{2}x_{22}^{p}\text{=}p_{2}\left( x_{21}^{p} \right)^{¼}\left( x_{22}^{p} \right)^{½}\text{-}p_{1}x_{21}^{p}\text{-}p_{2}x_{22}^{p}.\)
Условия максимизации прибыли первого и второго предприятий соответственно будут иметь вид:
\(\left\{ \begin{matrix} {\mathit{MP}_{11}\text{=}\frac{\partial q_{1}}{\partial x_{11}^{p}}\text{=}\frac{\left( x_{12}^{p} \right)^{¼}}{2\left( x_{11}^{p} \right)^{½}}\text{=}1,} \\ {\mathit{MP}_{12}\text{=}\frac{\partial q_{1}}{\partial x_{12}^{p}}\text{=}\frac{\left( x_{11}^{p} \right)^{½}}{4\left( x_{12}^{p} \right)^{¾}}\text{=}\frac{p_{2}}{p_{1}};} \\ \end{matrix} \right.\)
\(\left\{ \begin{matrix} {\mathit{MP}_{21}\text{=}\frac{\partial q_{2}}{\partial x_{21}^{p}}\text{=}\frac{\left( x_{22}^{p} \right)^{½}}{4\left( x_{21}^{p} \right)^{¾}}\text{=}\frac{p_{1}}{p_{2}},} \\ {\mathit{MP}_{22}\text{=}\frac{\partial q_{2}}{\partial x_{22}^{p}}\text{=}\frac{\left( x_{21}^{p} \right)^{¼}}{2\left( x_{22}^{p} \right)^{½}}\text{=}1.} \\ \end{matrix} \right.\)
Из первого равенства следует, что \(\left( x_{12}^{p} \right)^{¼}\text{=}2\left( x_{11}^{p} \right)^{½}\), а значит, в силу второго равенства получается, что \(\frac{\left( x_{11}^{p} \right)^{½}}{4\left( x_{12}^{p} \right)^{¾}}\text{=}\frac{1}{8\left( x_{12}^{p} \right)^{½}}\text{=}\frac{p_{2}}{p_{1}}\), т.е. \(y_{12}\text{=}\text{-}x_{12}^{p}\text{=}\text{-}\left( \frac{p_{1}}{8p_{2}} \right)^{2}\), \(x_{11}^{p}\text{=}\frac{p_{1}}{32p_{2}}\), \(q_{1}\text{=}\left( x_{11}^{p} \right)^{½}\left( x_{12}^{p} \right)^{¼}\text{=}\frac{p_{1}}{16p_{2}}\), \(y_{11}\text{=}q_{1}\text{-}x_{11}^{p}\text{=}\frac{p_{1}}{32p_{2}}\).
Из последнего равенства второй системы вытекает, что \(\left( x_{21}^{p} \right)^{¼}\text{=}2\left( x_{22}^{p} \right)^{½}\), следовательно, предыдущее соотношение системы дает: \(\frac{\left( x_{22}^{p} \right)^{½}}{4\left( x_{21}^{p} \right)^{¾}}\text{=}\frac{1}{8\left( x_{21}^{p} \right)^{½}}\text{=}\frac{p_{1}}{p_{2}}\), т.е. \(y_{21}\text{=}\text{-}x_{21}^{p}\text{=}\text{-}\left( \frac{p_{2}}{8p_{1}} \right)^{2},\) \(x_{22}^{p}\text{=}\frac{p_{2}}{32p_{1}},q_{2}\text{=}\left( x_{21}^{p} \right)^{¼}\left( x_{22}^{p} \right)^{½}\text{=}\frac{p_{2}}{16p_{1}},y_{22}\text{=}q_{2}\text{-}x_{22}^{p}\text{=}\frac{p_{2}}{32p_{1}}.\)
Отметим, что данные результаты полностью согласуются с выведенными ранее функциями производного спроса на ресурсы (2.121).
Потребительские предпочтения в данной задаче описываются функциями полезности Кобба – Дугласа, следовательно, спрос по Маршаллу для каждого из потребителей на оба блага имеет вид (3.20):
\(x_{11}^{c}\text{=}\frac{M_{1}}{2p_{1}}\text{=}\frac{2p_{1}\text{+}4p_{2}\text{+}¼p_{1}y_{11}\text{+}¼p_{2}y_{12}\text{+}¾p_{1}y_{21}\text{+}¾p_{2}y_{22}}{2p_{1}},\)
\(x_{12}^{c}\text{=}\frac{M_{1}}{2p_{2}}\text{=}\frac{2p_{1}\text{+}4p_{2}\text{+}¼p_{1}y_{11}\text{+}¼p_{2}y_{12}\text{+}¾p_{1}y_{21}\text{+}¾p_{2}y_{22}}{2p_{2}},\)
\(x_{21}^{c}\text{=}\frac{M_{2}}{4p_{1}}\text{=}\frac{5p_{1}\text{+}4p_{2}\text{+}¾p_{1}y_{11}\text{+}¾p_{2}y_{12}\text{+}¼p_{1}y_{21}\text{+}¼p_{2}y_{22}}{4p_{1}},\)
\(x_{22}^{c}\text{=}\frac{3M_{2}}{4p_{2}}\text{=}\frac{3\left( {5p_{1}\text{+}4p_{2}\text{+}¾p_{1}y_{11}\text{+}¾p_{2}y_{12}\text{+}¼p_{1}y_{21}\text{+}¼p_{2}y_{22}} \right)}{4p_{2}};\)
где \(M_{1}\text{=}p_{1}\omega_{11}\text{+}p_{2}\omega_{12}\text{+}\theta_{11}\left( {p_{1}y_{11}\text{+}p_{2}y_{12}} \right)\text{+}\theta_{12}\left( {p_{1}y_{21}\text{+}p_{2}y_{22}} \right)\text{=}2p_{1}\text{+}4p_{2}\text{+}¼p_{1}y_{11}\text{+}¼p_{2}y_{12}\text{+}¾p_{1}y_{21}\text{+}¾p_{2}y_{22}\) и \(M_{2}\text{=}p_{1}\omega_{21}\text{+}p_{2}\omega_{22}\text{+}\theta_{21}\left( {p_{1}y_{11}\text{+}p_{2}y_{12}} \right)\text{+}\theta_{22}\left( {p_{1}y_{21}\text{+}p_{2}y_{22}} \right)\text{=}5p_{1}\text{+}4p_{2}\text{+}¾p_{1}y_{11}\text{+}¾p_{2}y_{12}\text{+}¼p_{1}y_{21}\text{+}¼p_{2}y_{22}\) – доходы первого и второго потребителей соответственно.
Натуральное балансовое равенство для первого товарного рынка в условиях равновесия будет выглядеть так:
\(x_{11}^{c}\text{+}x_{21}^{c}\text{=}\frac{½\left( {2p_{1}\text{+}4p_{2}\text{+}¼p_{1}y_{11}\text{+}¼p_{2}y_{12}\text{+}¾p_{1}y_{21}\text{+}¾p_{2}y_{22}} \right)}{p_{1}}\text{+}\frac{¼\left( {5p_{1}\text{+}4p_{2}\text{+}¾p_{1}y_{11}\text{+}¾p_{2}y_{12}\text{+}¼p_{1}y_{21}\text{+}¼p_{2}y_{22}} \right)}{p_{1}}\text{=}\frac{9}{4}\text{+}3\frac{p_{2}}{p_{1}}\text{+}\frac{5}{16}y_{11}\text{+}\frac{5}{16}y_{12}\frac{p_{2}}{p_{1}}\text{+}\frac{7}{16}y_{21}\text{+}\frac{7}{16}y_{22}\frac{p_{2}}{p_{1}}\text{=}\omega_{11}\text{+}\omega_{21}\text{+}q_{1}\text{-}x_{11}^{p}\text{-}x_{21}^{p}\text{=}7\text{+}y_{11}\text{+}y_{21};\)
или
\(\text{-}\frac{19}{4}\text{+}3\frac{p_{2}}{p_{1}}\text{-}\frac{9}{16}y_{11}\text{+}\frac{5}{16}y_{12}\frac{p_{2}}{p_{1}}\text{-}\frac{9}{16}y_{21}\text{+}\frac{7}{16}y_{22}\frac{p_{2}}{p_{1}}\text{=}0.\)
С учетом полученных выше величин объемов чистого выпуска последнее равенство можно преобразовать к виду:
\(\text{-}\frac{19}{4}\text{+}3\frac{p_{2}}{p_{1}}\text{-}\frac{9}{16}\frac{p_{1}}{32p_{2}}\text{-}\frac{5}{16}\left( \frac{p_{1}}{8p_{2}} \right)^{2}\frac{p_{2}}{p_{1}}\text{+}\frac{9}{16}\left( \frac{p_{2}}{8p_{1}} \right)^{2}\text{+}\frac{7}{16}\frac{p_{2}}{32p_{1}}\frac{p_{2}}{p_{1}}\text{=}\text{-}\frac{19}{4}\text{+}3\frac{p_{2}}{p_{1}}\text{-}\frac{23}{1024}\frac{p_{1}}{p_{2}}\text{+}\frac{23}{1024}\left( \frac{p_{2}}{p_{1}} \right)^{2}\text{=}0,\)
или
\(23\left( \frac{p_{2}}{p_{1}} \right)^{3}\text{+}3072\left( \frac{p_{2}}{p_{1}} \right)^{2}\text{-}4864\frac{p_{2}}{p_{1}}\text{-}23\text{=}0.\)
Решая данное кубическое уравнение, можно рассчитать относительную цену второго товара: \(\frac{p_{2}}{p_{1}}\approx 1,57\). Таким образом, искомый равновесный вектор относительных цен будет таков:
\(\left( {\rho_{1},\rho_{2}} \right)\text{=}\left( {1,\frac{p_{2}}{p_{1}}} \right)\text{=}\left( {1;1,57} \right).\)
Рассчитаем теперь по каждому из товаров чистый выпуск первой и второй фирм, а также спрос со стороны каждого из потребителей:
\(y_{11}\text{=}\frac{p_{1}}{32p_{2}}\text{=}0,0199;y_{12}\text{=}\text{-}\left( \frac{p_{1}}{8p_{2}} \right)^{2}\text{=}\text{-}0,006339;\)
\(y_{22}\text{=}\frac{p_{2}}{32p_{1}}\text{=}0,0490625;y_{21}\text{=}\text{-}\left( \frac{p_{2}}{8p_{1}} \right)^{2}\text{=}\text{-}0,0385;\)
\(x_{11}^{c}\text{=}\frac{2p_{1}\text{+}4p_{2}\text{+}¼p_{1}y_{11}\text{+}¼p_{2}y_{12}\text{+}¾p_{1}y_{21}\text{+}¾p_{2}y_{22}}{2p_{1}}\text{=}1\text{+}\frac{y_{11}}{8}\text{+}\frac{3}{8}y_{21}\text{+}\frac{p_{2}}{p_{1}}\left( {2\text{+}\frac{y_{12}}{8}\text{+}\frac{3}{8}y_{22}} \right)\text{=}4,0979;\)
\(x_{21}^{c}\text{=}\frac{5p_{1}\text{+}4p_{2}\text{+}¾p_{1}y_{11}\text{+}¾p_{2}y_{12}\text{+}¼p_{1}y_{21}\text{+}¼p_{2}y_{22}}{4p_{1}}\text{=}\frac{5}{4}\text{+}\frac{3}{16}y_{11}\text{+}\frac{y_{21}}{16}\text{+}\frac{p_{2}}{p_{1}}\left( {1\text{+}\frac{3}{16}y_{12}\text{+}\frac{y_{22}}{16}} \right)\text{=}2,8243;\)
\(x_{12}^{c}\text{=}\frac{2p_{1}\text{+}4p_{2}\text{+}¼p_{1}y_{11}\text{+}¼p_{2}y_{12}\text{+}¾p_{1}y_{21}\text{+}¾p_{2}y_{22}}{2p_{2}}\text{=}2\text{+}\frac{y_{12}}{8}\text{+}\frac{3}{8}y_{22}\text{+}\frac{p_{1}}{p_{2}}\left( {1\text{+}\frac{y_{11}}{8}\text{+}\frac{3}{8}y_{21}} \right)\text{=}2,6469;\)
\(x_{22}^{c}\text{=}\frac{3\left( {5p_{1}\text{+}4p_{2}\text{+}¾p_{1}y_{11}\text{+}¾p_{2}y_{12}\text{+}¼p_{1}y_{21}\text{+}¼p_{2}y_{22}} \right)}{4p_{2}}\text{=}3\text{+}\frac{9}{16}y_{12}\text{+}\frac{3}{16}y_{22}\text{+}\frac{p_{1}}{p_{2}}\left( {\frac{15}{4}\text{+}\frac{9}{16}y_{11}\text{+}\frac{3}{16}y_{21}} \right)\text{=}5,3967.\)
Ср. Тарасевич Л.С., Гребенников Л.И., Леусский А.И. Макроэкономика. – 6-е изд. – М.: Высшее образование, 2006.↩︎