Современные аналитические, прогнозные макроэкономические модели зачастую опираются на теорию общего экономического равновесия при монополистической конкуренции. Рассмотрим, как базовая модель монополистической конкуренции Диксита-Стиглица, проанализированная в параграфе 6.4, может быть преобразована в модель общего экономического равновесия.
Пусть экономическая система представлена \(K\) монопродуктовыми производителями, каждый из которых выпускает свой вид продукта, отличающийся от продукции иных фирм с использованием единственного фактора производства – труда, источником которого являются домашние хозяйства1. Продукты различных фирм являются несовершенными заменителями между собой с точки зрения своих потребительских качеств. Производственная функция i-й фирмы имеет вид:
\(y_{i}\text{=}F_{i}\left( n_{i} \right),\)
где \(n_{i}\) – объем используемого ею труда.
Выпишем прибыль i-й фирмы как функцию объема используемого труда:
\(\mathit{PR}_{i}\left( n_{i} \right)\text{=}p_{i}\left( y_{i} \right)F_{i}\left( n_{i} \right)\text{-}wn_{i},(9.64)\)
где \(p_{i}\left( y_{i} \right)\) – цена ее продукта, зависящая от объема продукции, выпускаемой фирмой, посредством функции остаточного спроса; \(w\) – установившаяся в экономике средняя ставка заработной платы.
Предположим, что сектор потребления в экономике представлен \(N\) идентичными домашними хозяйствами, аргументами функций полезности которых являются совокупный объем потребления \(c\) и величина досуга \(l_{j}\):
\(U\left( {\frac{c}{N},l_{j}} \right)\text{=}u\left( \frac{c}{N} \right)\text{+}\eta l_{j}^{\varepsilon},\varepsilon \lt 1.(9.65)\)
Как обычно будем предполагать ненасыщаемость потребления \(\frac{\partial u}{\partial c} \gt 0\) и невозрастание предельной полезности \(\frac{\partial^{2}u}{\partial c^{2}}\leq 0\).
При этом каждое домашнее хозяйство функционирует в условиях ограничения по совокупному временнóму фонду жизнедеятельности, который нормируется на уровне 1:
\(n_{j}\text{+}l_{j}\text{=}1.(9.66)\)
Агрегированное потребление представим функцией CES:
\(c\text{=}\left( {\sum\limits_{i\text{=}1}^{K}c_{i}^{\frac{\varphi\text{-}1}{\varphi}}} \right)^{\frac{\varphi}{\varphi\text{-}1}},(9.67)\)
где \(\varphi \gt 1\) – это эластичность замещения между различными продуктами.
Таким образом, зависимость полезности от потребления в выражении потребительских предпочтений (9.65) представляет собой монотонное возрастающее преобразование функции CES:
\(U\left( {\frac{c}{N},l_{j}} \right)\text{=}u\left( \frac{\left( {\sum\limits_{i\text{=}1}^{K}c_{i}^{\frac{\varphi\text{-}1}{\varphi}}} \right)^{\frac{\varphi}{\varphi\text{-}1}}}{N} \right)\text{+}\eta l_{j}^{\varepsilon}\text{=}u\left( \left( {\sum\limits_{i\text{=}1}^{K}\left( \frac{c_{i}}{N} \right)^{\frac{\varphi\text{-}1}{\varphi}}} \right)^{\frac{\varphi}{\varphi\text{-}1}} \right)\text{+}\eta l_{j}^{\varepsilon}.(9.68)\)
Будем предполагать, что домашние хозяйства имеют права на равные доли в прибылях фирм. Тогда репрезентативный потребитель ограничен в своем выборе поступающими в его распоряжение денежными средствами:
\(p\frac{c}{N}\text{=}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{K}{p_{i}\frac{c_{i}}{N}}}\text{=}wn_{j}\text{+}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{K}\frac{\mathit{PR}_{i}}{N}},(9.69)\)
с учетом доступного ему совокупного фонда времени (9.66). Здесь \(c\) – это агрегированное потребление, \(p\) – общий уровень цен на потребительские блага.
Объединенное, финансово-временнóе бюджетное ограничение потребителя имеет вид:
\(p\frac{c}{N}\text{=}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{K}{p_{i}\frac{c_{i}}{N}}}\text{=}w\left( {1\text{-}l_{j}} \right)\text{+}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{K}\frac{\mathit{PR}_{i}}{N}}\text{=}w\text{-}wl_{j}\text{+}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{K}\frac{\mathit{PR}_{i}}{N}},\)
или
\(p\frac{c}{N}\text{+}wl_{j}\text{=}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{K}{p_{i}\frac{c_{i}}{N}}}\text{+}wl_{j}\text{=}w\text{+}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{K}\frac{\mathit{PR}_{i}}{N}}.(9.70)\)
Немного забегая вперед, обратим внимание на то, что в условиях монополистической конкуренции, когда при наличии положительной экономической прибыли наблюдается свободный вход фирм на рынок, в итоге экономическая прибыль оказывается равной нулю (9.83), и бюджетное ограничение потребителя (9.70) упрощается:
\(p\frac{c}{N}\text{+}wl_{j}\text{=}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{K}{p_{i}\frac{c_{i}}{N}}}\text{+}wl_{j}\text{=}w,(9.71)\)
или
\(\frac{c}{N}\text{=}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{K}{\frac{p_{i}}{p}\frac{c_{i}}{N}}}\text{=}\frac{w}{p}\text{-}\frac{w}{p}l_{j}\text{=}\frac{w}{p}n_{j}.(9.72)\)
Итак, задача максимизации полезности потребителя (9.68) при условии ограничения по денежным расходам и по временнóму фонду жизнедеятельности (9.71) ставится в следующем виде:
\(\begin{matrix} {{\underset{c_{1},\ldots,c_{K},\,l_{j}}{\max}}\,{U\left( {\frac{c}{N},l_{j}} \right)} = {\underset{c_{1},\ldots,c_{K},\,l_{j}}{\max}}{\left( {u\left( \left( {\sum\limits_{i\text{=}1}^{K}\left( \frac{c_{i}}{N} \right)^{\frac{\varphi\text{-}1}{\varphi}}} \right)^{\frac{\varphi}{\varphi\text{-}1}} \right)\text{+}\eta l_{j}^{\varepsilon}} \right):}} \\ {{\sum\limits_{i\text{=}1}^{K}{p_{i}\frac{c_{i}}{N}}}\text{+}wl_{j}\text{=}w.} \\ \end{matrix}\)
Выпишем соответствующую функцию Лагранжа:
\(L\text{=}u\left( \left( {\sum\limits_{i\text{=}1}^{K}\left( \frac{c_{i}}{N} \right)^{\frac{\varphi\text{-}1}{\varphi}}} \right)^{\frac{\varphi}{\varphi\text{-}1}} \right)\text{+}\eta l_{j}^{\varepsilon}\text{+}\lambda\left( {w\text{-}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{K}{p_{i}\frac{c_{i}}{N}}}\text{-}wl_{j}} \right).\)
Условие оптимальности по потреблению каждого блага имеет вид:
\(\frac{\partial L}{\partial c_{i}}\text{=}\frac{1}{N}\left( {\frac{\partial u}{\partial c}\left( \frac{c}{c_{i}} \right)^{\frac{1}{\varphi}}\text{-}\lambda p_{i}} \right)\text{=}0.\)
Его можно переписать так:
\(\frac{c_{i}}{c}\text{=}\left( \frac{\lambda p_{i}}{\frac{\partial u}{\partial c}} \right)^{\text{-}\varphi}.(9.73)\)
Условие оптимальности по величине досуга выглядит так:
\(\frac{\partial L}{\partial l_{j}}\text{=}\mathit{\eta\varepsilon}l_{j}^{\varepsilon\text{-}1}\text{-}\mathit{\lambda w}\text{=}0.(9.74)\)
Выбор домашнего хозяйства можно также представить с точки зрения оптимизации агрегированного потребления (9.67):
\(\begin{matrix} {{\underset{c,\,l_j}{\max}}\,{U\left( {\frac{c}{N},l_{j}} \right)} = {\underset{c,\,l_j}{\max}} {\left( {u\left( \frac{c}{N} \right)\text{+}\eta l_{j}^{\varepsilon}} \right):}} \\ {p\frac{c}{N}\text{+}wl_{j}\text{=}w.} \\ \end{matrix}\)
Тогда функция Лагранжа принимает вид:
\(L\text{=}u\left( \frac{c}{N} \right)\text{+}\eta l_{j}^{\varepsilon}\text{+}\lambda\left( {w\text{-}p\frac{c}{N}\text{-}wl_{j}} \right)\)
Условие оптимальности по агрегированному потреблению будет таким:
\(\frac{\partial L}{\partial c}\text{=}\frac{1}{N}\left( {\frac{\partial u}{\partial c}\text{-}\mathit{\lambda p}} \right)\text{=}0,\)
или
\(\frac{\frac{\partial u}{\partial c}}{p}\text{=}\lambda.(9.75)\)
Условие оптимальности по величине досуга (9.74) при этом остается без изменения.
Объединяя соотношения (9.73) и (9.75), можно записать эквимаржинальное условие оптимальности потребительского выбора, которое характеризует спрос на i-е благо как функцию его цены в реальном выражении \(\frac{p_{i}}{p}\) при предположении о неизменном уровне совокупного потребления \(c\):
\(\frac{c_{i}}{c}\text{=}\left( \frac{p_{i}}{p} \right)^{\text{-}\varphi}.(9.76)\)
Если объем потребления каждого товара \(c_{i}\) составляет малую долю совокупного потребления \(c\) и влиянием изменения \(c_{i}\) на величину \(c\) можно пренебречь, то эластичность спроса на данное, i-е благо \(c_{i}\text{=}c\left( \frac{p_{i}}{p} \right)^{\text{-}\varphi}\) по его относительной цене \(\frac{p_{i}}{p}\) будет равна показателю степени в выражении (9.76):
\(E_{p_{i}/p}^{c_{i}}\text{=}\frac{d}{d\left( \frac{p_{i}}{p} \right)}\left( {c\left( \frac{p_{i}}{p} \right)^{\text{-}\varphi}} \right)\cdot\frac{\frac{p_{i}}{p}}{c\left( \frac{p_{i}}{p} \right)^{\text{-}\varphi}}\text{=}\text{-}\varphi c\left( \frac{p_{i}}{p} \right)^{\text{-}\varphi\text{-}1}\left( \frac{\frac{p_{i}}{p}}{c\left( \frac{p_{i}}{p} \right)^{\text{-}\varphi}} \right)\text{=}\text{-}\varphi.\)
Обратим внимание на то, что, поскольку показатель эластичности представляет собой безразмерную величину, которая не зависит от единиц измерения количества потребляемого блага и его цены
\(E_{\mathit{ap}}^{\mathit{bq}}\text{=}\frac{d(\mathit{bq})}{d(\mathit{ap})}\cdot\frac{\mathit{ap}}{\mathit{bq}}\text{=}\frac{\mathit{bdq}}{\mathit{adp}}\cdot\frac{\mathit{ap}}{\mathit{bq}}\text{=}\frac{\mathit{dq}}{\mathit{dp}}\cdot\frac{p}{q}\text{=}E_{p}^{q},\)
постольку эластичность полученной выше функции спроса (9.76) по абсолютной цене \(p_{i}\) точно так же, как и по относительной цене \(\frac{p_{i}}{p}\) на данное благо, будет равна параметру \(\text{-}\varphi\):
\(E_{p_{i}}^{c_{i}}\text{=}\frac{d}{dp_{i}}\left( {c\left( \frac{p_{i}}{p} \right)^{\text{-}\varphi}} \right)\cdot\frac{p_{i}}{c\left( \frac{p_{i}}{p} \right)^{\text{-}\varphi}}\text{=}\text{-}\frac{\mathit{\varphi c}p_{i}^{\text{-}\varphi\text{-}1}}{p^{\text{-}\varphi}}\left( \frac{p_{i}}{c\left( \frac{p_{i}}{p} \right)^{\text{-}\varphi}} \right)\text{=}\text{-}\varphi.(9.77)\)
Используя обозначение для совокупных расходов на потребительские блага
\(\mathit{pc}\text{=}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{K}{p_{i}c_{i}}},\)
можно представить общий уровень цен как суммарные расходы на каждое из благ в расчете на агрегированное потребление:
\(p\text{=}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{K}{p_{i}\frac{c_{i}}{c}}}.(9.78)\)
Подстановка эквимаржинального условия для i-го блага (9.76) в (9.78) дает выражение для индекса цен как их \(K^{\frac{1}{1\text{-}\varphi}}\)-кратное среднее степени \(1\text{-}\varphi\):
\(p\text{=}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{K}{p_{i}\left( \frac{p_{i}}{p} \right)^{\text{-}\varphi}}}\text{=}\left( {\sum\limits_{i\text{=}1}^{K}p_{i}^{1\text{-}\varphi}} \right)^{\frac{1}{1\text{-}\varphi}}.\)
Заменяя в условии оптимальности по величине досуга (9.74) множитель Лагранжа с помощью соотношения (9.75), из ограничения по индивидуальному временнóму фонду жизнедеятельности (9.66) можно получить функцию индивидуального предложения труда:
\(n_{j}\text{=}1\text{-}\left( {\frac{\frac{\partial u}{\partial c}}{\mathit{\eta\varepsilon}}\cdot\frac{w}{p}} \right)^{\frac{1}{\varepsilon\text{-}1}}.(9.79)\)
Поскольку \(\varepsilon \lt 1\), постольку предложение труда является возрастающей функцией ставки реальной заработной платы \(\frac{w}{p}\): \(\frac{\partial n_{j}}{\partial\left( \frac{w}{p} \right)} \gt 0\).
Максимизируя прибыль, каждое, i-е предприятие определяет для себя оптимальный объем используемого труда в соответствии с условием:
\(\frac{\partial\mathit{PR}_{i}}{\partial n_{i}}\text{=}\frac{\partial\mathit{TR}_{i}}{\partial y_{i}}\frac{\partial y_{i}}{\partial n_{i}}\text{-}w\text{=}p_{i}\left( {1\text{+}\frac{1}{E_{p_{i}}^{y_{i}}}} \right)\frac{\partial F_{i}}{\partial n_{i}}\text{-}w\text{=}0.(9.80)\)
В модели общего экономического равновесия предполагается сбалансированное состояние каждого продуктового рынка, когда весь произведенный объем продукции находит свой спрос и потребляется:
\(y_{i}\text{=}c_{i}.(9.81)\)
При равновесии на товарных рынках (9.81) с учетом эластичности спроса на продукт i-й фирмы (9.77) необходимое условие максимизации прибыли i-м предприятием (9.80) принимает вид:
\(\frac{\left( {\varphi\text{-}1} \right)}{\varphi}\cdot\frac{\partial F_{i}}{\partial n_{i}}\text{=}\frac{w}{p_{i}}.(9.82)\)
Модель монополистической конкуренции традиционно предполагает свободный вход фирм на рынок, в результате которого экономическая прибыль (9.64) падает до нуля:
\(\frac{F_{i}\left( n_{i} \right)}{n_{i}}\text{=}\frac{w}{p_{i}}.(9.83)\)
Тем самым, условие нулевой экономической прибыли будет задавать величину остаточного спроса на продукт i-го производителя \(p_{i}\left( y_{i} \right)\).
Система из условий (9.82) и (9.83)
\(\frac{\left( {\varphi\text{-}1} \right)}{\varphi}\cdot\frac{\partial F_{i}}{\partial n_{i}}\text{=}\frac{w}{p_{i}}\text{=}\frac{F_{i}\left( n_{i} \right)}{n_{i}}\)
будет определять объемы используемого труда \(n_{i}^{\text{*}}\), выпускаемого и потребляемого продукта \(y_{i}^{\text{*}}\text{=}F_{i}\left( n_{i}^{\text{*}} \right)\text{=}c_{i}^{\text{*}}\), а также реальную ставку заработной платы \(\frac{w}{p_{i}}^{\text{*}}\). Поскольку все фирмы идентичные, постольку оптимальный объем занятости для них будет представлять собой одинаковую величину, не зависящую от номера фирмы \(n_{i}^{\text{*}}\text{=}n^{\text{*}}\). Следовательно, совокупный спрос на труд будет равен объему занятости на отдельном предприятии, умноженному на число производителей всех брендов:
\(n_{\Sigma}^{d}\text{=}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{K}n_{i}^{\text{*}}}\text{=}K\cdot n^{\text{*}}.(9.84)\)
Информация об объеме потребления каждого товара \(\left( c_{i}^{\text{*}} \right)\) позволяет определить объем совокупного потребления \(c^{\text{*}}\) (9.67), а значит, и его предельную полезность \(\frac{\partial u}{\partial c}\left( c^{\text{*}} \right)\). Далее, рассчитав отношения \(\frac{c_{i}^{\text{*}}}{c^{\text{*}}}\), можно в соответствии с условием оптимального потребительского выбора (9.76) получить значения относительных цен на все товары \(\frac{p_{i}}{p}^{\text{*}}\).
Располагая значениями равновесной ставки заработной платы по отношению к цене каждого из товаров \(\frac{w}{p_{i}}^{\text{*}}\), а также об их ценах в реальном выражении \(\frac{p_{i}}{p}^{\text{*}}\), можно определить уровень равновесной реальной заработной платы по отношению к общему уровню цен \(\frac{w}{p}^{\text{*}}\), что позволяет с учетом известной предельной полезности совокупного потребления \(\frac{\partial u}{\partial c}\left( c^{\text{*}} \right)\) рассчитать величину предложения труда каждым из индивидуумов \(n_{j}^{\text{*}}\) (9.79). Совокупное предложение труда в экономической системе будет представлять собой сумму объемов индивидуального предложения труда:
\(n_{\Sigma}^{s}\text{=}{\sum\limits_{j\text{=}1}^{N}n_{j}^{\text{*}}}\text{=}N\cdot\left( {1\text{-}\left( {\frac{\frac{\partial u}{\partial c}\left( c^{\text{*}} \right)}{\mathit{\eta\varepsilon}}\cdot\frac{w}{p}^{\text{*}}} \right)^{\frac{1}{\varepsilon\text{-}1}}} \right).(9.85)\)
Поскольку в состоянии общего экономического равновесия должен иметь место баланс совокупного спроса (9.85) и предложения (9.84) на рынке труда:
\(n_{\Sigma}^{s}\text{=}n_{\Sigma}^{d},\)
постольку, разделив объем совокупного предложения труда на объем трудозатрат отдельной фирмы, можно рассчитать равновесное количество производителей отдельных брендов:
\(K^{\text{*}}\text{=}\frac{n_{\Sigma}^{s}}{n^{\text{*}}}.\)
Возможно построить видоизмененную модель общего экономического равновесия при монополистической конкуренции, которая не использует предпосылку о свободном входе фирм на рынок, предполагая, что общее их количество является фиксированной величиной. Пусть экономическая система представлена \(N\) монопродуктовыми производителями, каждый из которых выпускает свой вид продукта, отличающийся от продукции иных фирм с использованием единственного фактора производства – труда, источником которого являются домашние хозяйства2. Продукты различных фирм являются несовершенными заменителями между собой с точки зрения своих потребительских качеств. Производственная функция i-й фирмы имеет вид:
\(y_{i}\text{=}F_{i}\left( n_{i} \right),\)
где \(n_{i}\) – объем используемого ею труда.
Выпишем прибыль i-й фирмы как функцию объема используемого труда:
\(\mathit{PR}_{i}\left( n_{i} \right)\text{=}p_{i}F_{i}\left( n_{i} \right)\text{-}w_{i}n_{i},\)
где \(p_{i}\) – цена ее продукта, \(w_{i}\) – назначаемая ею ставка заработной платы.
Предположим, что сектор потребления в экономике представлен \(N\) идентичными домашними хозяйствами, аргументами функций полезности которых являются совокупный объем потребления \(c\) и величина досуга \(l_{i}\) (9.65). Каждое, данное домашнее хозяйство предоставляет в распоряжение i-й фирмы рабочую силу требуемой квалификации в соответствии со своим ограничением по совокупному временнóму фонду жизнедеятельности, который нормируется на уровне 1 (9.66).
Как и ранее, будем предполагать, что зависимость полезности от потребления в выражении потребительских предпочтений (9.65) представляет собой монотонное возрастающее преобразование функции CES (9.68).
Объединенное, финансово-временнóе бюджетное ограничение потребителя имеет вид:
\(\frac{\mathit{pc}}{N}\text{=}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{N}\frac{p_{i}c_{i}}{N}}\text{=}w_{i}\left( {1\text{-}l_{i}} \right)\text{+}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{N}\frac{\mathit{PR}_{i}}{N}}\text{=}w_{i}\text{-}w_{i}l_{i}\text{+}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{N}\frac{\mathit{PR}_{i}}{N}},\)
или
\(\frac{\mathit{pc}}{N}\text{+}w_{i}l_{i}\text{=}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{N}\frac{p_{i}c_{i}}{N}}\text{+}w_{i}l_{i}\text{=}w_{i}\text{+}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{N}\frac{\mathit{PR}_{i}}{N}}.(9.86)\)
Итак, задача максимизации полезности потребителя (9.68) при условии ограничения по денежным расходам и по временнóму фонду жизнедеятельности (9.86) ставится в следующем виде:
\(\begin{matrix} {{\underset{c_{1},\ldots,c_{n},\,l_{i}}{\max}}\,{U\left( {\frac{c}{N},l_{i}} \right)} = {\underset{c_{1},\ldots,c_{n},\,l_{i}}{\max}}{\left( {u\left( \frac{\left( {\sum\limits_{i\text{=}1}^{N}c_{i}^{\frac{\varphi\text{-}1}{\varphi}}} \right)^{\frac{\varphi}{\varphi\text{-}1}}}{N} \right)\text{+}\eta l_{i}^{\varepsilon}} \right):}} \\ {{\sum\limits_{i\text{=}1}^{N}\frac{p_{i}c_{i}}{N}}\text{+}w_{i}l_{i}\text{=}w_{i}\text{+}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{N}\frac{\mathit{PR}_{i}}{N}}.} \\ \end{matrix}\)
Выписывая соответствующую функцию Лагранжа:
\(L\text{=}u\left( \frac{\left( {\sum\limits_{i\text{=}1}^{N}c_{i}^{\frac{\varphi\text{-}1}{\varphi}}} \right)^{\frac{\varphi}{\varphi\text{-}1}}}{N} \right)\text{+}\eta l_{i}^{\varepsilon}\text{+}\lambda\left( {w_{i}\text{+}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{N}\frac{\mathit{PR}_{i}}{N}}\text{-}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{N}\frac{p_{i}c_{i}}{N}}\text{-}w_{i}l_{i}} \right),\)
получаем условие оптимальности по потреблению каждого блага (9.73).
Условие оптимальности по величине досуга выглядит так:
\(\frac{\partial L}{\partial l_{i}}\text{=}\mathit{\eta\varepsilon}l_{i}^{\varepsilon\text{-}1}\text{-}\lambda w_{i}\text{=}0.(9.87)\)
Выбор домашнего хозяйства можно также представить с точки зрения оптимизации агрегированного потребления (9.67):
\(\begin{matrix} {{\underset{c,\,l_{i}}{\max}}{U\left( {\frac{c}{N},l_{i}} \right)} = {\underset{c_{1},\ldots,c_{n},\,l_{i}}{\max}}{\left( {u\left( \frac{c}{N} \right)\text{+}\eta l_{i}^{\varepsilon}} \right):}} \\ {\frac{\mathit{pc}}{N}\text{+}w_{i}l_{i}\text{=}w_{i}\text{+}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{N}\frac{\mathit{PR}_{i}}{N}}.} \\ \end{matrix}\)
Условие оптимальности по агрегированному потреблению будет иметь вид (9.75).
Объединяя соотношения (9.73) и (9.75), записываем эквимаржинальное условие оптимальности потребительского выбора, которое характеризует спрос на i-е благо как функцию его цены в реальном выражении \(\frac{p_{i}}{p}\) при предположении о неизменном уровне совокупного потребления \(c\) (9.76).
Заменяя в условии оптимальности по величине досуга (9.87) множитель Лагранжа с помощью соотношения (9.75), из ограничения по индивидуальному временнóму фонду жизнедеятельности (9.66) можно получить функцию индивидуального предложения труда:
\(n_{i}\text{=}1\text{-}\left( {\frac{\frac{\partial u}{\partial c}}{\mathit{\eta\varepsilon}}\frac{w_{i}}{p}} \right)^{\frac{1}{\varepsilon\text{-}1}}.(9.88)\)
Из выражения (9.88) можно получить обратную функцию предложения труда:
\(\frac{w_{i}}{p}\text{=}\frac{\mathit{\eta\varepsilon}}{\frac{\partial u}{\partial c}}\left( {1\text{-}n_{i}} \right)^{\varepsilon\text{-}1}.(9.89)\)
Максимизируя прибыль, каждое, i-е предприятие определяет для себя оптимальный объем используемого труда в соответствии с условием:
\(\frac{\partial\mathit{PR}_{i}}{\partial n_{i}}\text{=}\frac{\partial\mathit{TR}_{i}}{\partial y_{i}}\frac{\partial y_{i}}{\partial n_{i}}\text{-}w_{i}\text{=}p_{i}\left( {1\text{+}\frac{1}{E_{p_{i}}^{y_{i}}}} \right)\frac{\partial F_{i}}{\partial n_{i}}\text{-}w_{i}\text{=}0.\)
Данное необходимое условие максимизации прибыли с учетом эластичности спроса на продукт фирмы (9.77) и равновесия рынке данного продукта \(\left( {c_{i}\text{=}y_{i}} \right)\) задает обратную функцию спроса на труд, предъявляемого данным, i-м предприятием:
\(\frac{w_{i}}{p}\text{=}\frac{\left( {\varphi\text{-}1} \right)}{\varphi}\frac{p_{i}}{p}\frac{\partial F_{i}}{\partial n_{i}}.(9.90)\)
Равенство ставок реальной заработной платы, присутствующих в соответствующих функциях предложения (9.89) и спроса (9.90)
\(\frac{w_{i}}{p}\text{=}\frac{\mathit{\eta\varepsilon}}{\frac{\partial u}{\partial c}}\left( {1\text{-}n_{i}} \right)^{\varepsilon\text{-}1}\text{=}\frac{\left( {\varphi\text{-}1} \right)}{\varphi}\frac{p_{i}}{p}\frac{\partial F_{i}}{\partial n_{i}},\)
будет характеризовать равновесие на рынке труда и определять соответствующий объем трудозатрат \(n_{i}^{\text{*}}\) как функцию относительной цены i-го продукта \(\frac{p_{i}}{p}\).
Равновесный объем отработанных человеко-часов труда \(n_{i}^{\text{*}}\left( \frac{p_{i}}{p} \right)\), используемый в качестве аргумента производственной функции, будет задавать предложение продукта i-го вида:
\(y_{i}\text{=}F_{i}\left( {n_{i}^{\text{*}}\left( \frac{p_{i}}{p} \right)} \right).(9.91)\)
Равенство спроса (9.76) и предложения (9.91) будет характеризовать сбалансированное состояние данного продуктового рынка, определяя равновесный уровень относительной цены i-го блага \(\frac{p_{i}}{p}\):
\(c\left( \frac{p_{i}}{p} \right)^{\text{-}\varphi}\text{=}c_{i}\text{=}y_{i}\text{=}F_{i}\left( {n_{i}^{\text{*}}\left( \frac{p_{i}}{p} \right)} \right),\)
где совокупное потребление должно удовлетворять бюджетному ограничению (9.70):
\(c\text{=}\frac{w_{i}}{p}Nn_{i}\text{+}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{N}\frac{\mathit{PR}_{i}}{p}}\text{=}\frac{w_{i}}{p}Nn_{i}^{\text{*}}\left( \frac{p_{i}}{p} \right)\text{+}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{N}\left( {\frac{p_{i}}{p}F_{i}\left( {n_{i}^{\text{*}}\left( \frac{p_{i}}{p} \right)} \right)\text{-}\frac{w_{i}}{p}n_{i}^{\text{*}}\left( \frac{p_{i}}{p} \right)} \right)}.\)
Итак, состояние общего экономического равновесия на рынках рабочей силы и потребительских благ будет определяться системой условий (9.70), (9.76), (9.89)-(9.91):
\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{w_{i}}{p}\text{=}\frac{\mathit{\eta\varepsilon}}{\frac{\partial u}{\partial c}}\left( {1\text{-}n_{i}} \right)^{\varepsilon\text{-}1},} \\ {\frac{w_{i}}{p}\text{=}\frac{\left( {\varphi\text{-}1} \right)}{\varphi}\frac{p_{i}}{p}\frac{\partial F_{i}}{\partial n_{i}},} \\ {\frac{c_{i}}{c}\text{=}\left( \frac{p_{i}}{p} \right)^{\text{-}\varphi},} \\ {y_{i}\text{=}F_{i}\left( {n_{i}^{\text{*}}\left( \frac{p_{i}}{p} \right)} \right),} \\ {c\text{=}\frac{w_{i}}{p}Nn_{i}^{\text{*}}\left( \frac{p_{i}}{p} \right)\text{+}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{N}\left( {\frac{p_{i}}{p}F_{i}\left( {n_{i}^{\text{*}}\left( \frac{p_{i}}{p} \right)} \right)\text{-}\frac{w_{i}}{p}n_{i}^{\text{*}}\left( \frac{p_{i}}{p} \right)} \right)}.} \\ \end{matrix} \right.\)
Ср.: Wickens M. Macroeconomic theory: a dynamic general equilibrium approach. 2nd ed. – Princeton, Oxford: Princeton univ. press, 2011. – P.315-320.↩︎
Ср.: Wickens M. Macroeconomic theory: a dynamic general equilibrium approach. 2nd ed. – Princeton, Oxford: Princeton univ. press, 2011. – P.315-320.↩︎