Современное понимание предмета экономической теории как науки об оптимальном, рациональном использовании ограниченных ресурсов наиболее отчетливо отражается моделью общего равновесия. Модель общего экономического равновесия включает в себя количественное описание технологических, производственных процессов и вытекающих из них распределительных аспектов взаимодействия между факторами общественного воспроизводства. Эта модель характеризует экономику как систему, интегрированно включающую в себя процессы производства, распределения, обмена и потребления.
В модели общего экономического равновесия вальрасова типа рассматривается закрытая рыночная экономика без учета роли государства в условиях совершенной конкуренции1. Предполагается способность ее к саморегулированию, что подразумевает гибкость ценовых параметров: товарных цен, ставок процента и заработной платы.
Изучение общего экономического равновесия при несовершенной конкуренции, т.е. в условиях наличия власти потребителей и производителей над ценовыми параметрами рынков, когда каждый из экономических агентов оказывается в состоянии варьировать цену на продукцию и ресурсы, на современном этапе развития экономической теории не представляется возможным. В связи с этим допущение об экзогенно заданной системе цен существенно облегчает анализ.
Экономическая система анализируется в долгосрочной перспективе, когда все факторы производства для каждого хозяйствующего субъекта являются переменными величинами. Блага специфицированы в пространстве и во времени (датированы), поэтому цены – это дисконтированные оценки \(\left( \frac{p_{\mathit{jt}}}{\left( {1\text{+}r_{1}} \right)\cdots\left( {1\text{+}r_{t}} \right)} \right)\).
В модели анализируется двухсекторная экономика, что подразумевает дихотомию процессов производства и потребления (рис. 9.1).
Рисунок 9.1. Кругооборот доходов и расходов в экономической системе
Данная модель описывает частнособственническую экономику, в которой всеми предприятиями и ресурсами владеют индивидуумы – потребители. Бюджетное ограничение каждого из них, обозначаемого индексом i, имеет вид:
\({\sum\limits_{j\text{=}1}^{l}{p_{j}x_{\mathit{ij}}^{c}}}\leq M_{i}\text{=}{\sum\limits_{j\text{=}1}^{l}{p_{j}\omega_{\mathit{ij}}}}\text{+}{\sum\limits_{k\text{=}1}^{m}{\theta_{\mathit{ik}}{\sum\limits_{j\text{=}1}^{l}{p_{j}\left( {q_{\mathit{kj}}\text{-}x_{\mathit{kj}}^{p}} \right)}}}}\text{=}{\sum\limits_{j\text{=}1}^{l}{p_{j}\omega_{\mathit{ij}}}}\text{+}{\sum\limits_{k\text{=}1}^{m}{\theta_{\mathit{ik}}{\sum\limits_{j\text{=}1}^{l}{p_{j}y_{\mathit{kj}}}}}},(9.1)\)
где \(x_{\mathit{ij}}^{c}\) – объем потребления j-го товара i-м потребителем, \(x_{\mathit{kj}}^{p}\) – объем j-го ресурса, используемого k-м предприятием, \(q_{\mathit{kj}}\) – объем производства j-го товара k-м предприятием, \(y_{\mathit{kj}}\text{=}q_{\mathit{kj}}\text{-}x_{\mathit{kj}}^{p}\) – чистый выпуск j-го товара k-м предприятием, \(\theta_{\mathit{ik}}\) – доля i-го потребителя в прибыли \(\sum\limits_{j\text{=}1}^{l}{p_{j}y_{\mathit{kj}}}\) k-го предприятия, \(i\text{=}1,\ldots,n\). Очевидно, что сумма долей всех индивидуумов-собственников в прибыли k-го предприятия равна единице: \({\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}\theta_{\mathit{ik}}}\text{=}1\).
Потребители стремятся к достижению наибольшей полезности \(U\left( {x_{1},\ldots,x_{l}} \right)\) с учетом бюджетного ограничения (9.1). Производители максимизируют прибыль (4.31), причем их производственные возможности характеризуются технологическими множествами:
\(F_{k}\left( {x_{k1}^{p},\ldots,x_{\mathit{kl}}^{p},q_{k1},\ldots,q_{\mathit{kl}}} \right)\text{=}0.\)
Для экономики в целом выполняется балансовое неравенство, отражающее тот факт, что для каждого, j-го товарного рынка объемы потребления не могут превышать величины производства вместе с запасами:
\({\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}x_{\mathit{ij}}^{c}}\text{+}{\sum\limits_{k\text{=}1}^{m}x_{\mathit{kj}}^{p}}\leq{\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}\omega_{\mathit{ij}}}\text{+}{\sum\limits_{k\text{=}1}^{m}{q_{\mathit{kj}},}}т.е.{\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}x_{\mathit{ij}}^{c}}\leq{\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}\omega_{\mathit{ij}}}\text{+}{\sum\limits_{k\text{=}1}^{m}{y_{\mathit{kj}},}}\)
\(\mathit{или}x_{j}^{c}\leq\omega_{j}\text{+}y_{j},(9.2)\)
где
\(x_{j}^{c}\text{=}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}x_{\mathit{ij}}^{c}}(9.3)\)
– суммарный объем индивидуального потребления j-го товара,
\(\omega_{j}\text{=}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}\omega_{\mathit{ij}}}(9.4)\)
– суммарные запасы j-го товара у всех потребителей,
\(y_{j}\text{=}{\sum\limits_{k\text{=}1}^{m}y_{\mathit{kj}}}\text{=}q_{j}\text{-}x_{j}^{p}\text{=}{\sum\limits_{k\text{=}1}^{m}q_{\mathit{kj}}}\text{-}{\sum\limits_{k\text{=}1}^{m}x_{\mathit{kj}}^{p}}(9.5)\)
– совокупный объем чистого производства j-го товара всеми фирмами; \(j\text{=}\{ 1,\ldots,l\}\).
Совокупный рыночный, или агрегированный, чистый конечный спрос на j-й товар \(z_{j}\) – это превышение суммарного спроса всех n потребителей над суммой объемов его чистого производства всеми m фирмами и запасов данного товара, находящихся в собственности потребителей:
\(z_{j}\text{=}x_{j}^{c}\text{-}\omega_{j}\text{-}y_{j}\text{=}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}x_{\mathit{ij}}^{c}}\text{-}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}\omega_{\mathit{ij}}}\text{-}{\sum\limits_{k\text{=}1}^{m}y_{\mathit{kj}}}.(9.6)\)
Выше было показано, что маршаллианские функции потребительского спроса и функции предложения продукции фирмами непрерывны по вектору цен (3.3), (4.29). Следовательно, непрерывными по ценам будут и функции избыточного спроса (9.6) как разность непрерывных функций и константы запасов.
В дальнейшем для простоты будем анализировать экономическую систему, в которой присутствуют только два потребителя, осуществляющие выбор в пространстве двух товаров, производимых двумя фирмами2:
\(\left\{ \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} {{\underset{x_{11}^{c},x_{12}^{c}}{\max}}{U_{1}\left( {x_{11}^{c},x_{12}^{c}} \right)}:} \\ {p_{1}x_{11}^{c}\text{+}p_{2}x_{12}^{c}\leq p_{1}\omega_{11}\text{+}p_{2}\omega_{12}\text{+}\theta_{11}\left( {p_{1}y_{11}\text{+}p_{2}y_{12}} \right)\text{+}\theta_{12}\left( {p_{1}y_{21}\text{+}p_{2}y_{22}} \right);} \\ \end{matrix} \right. \\ \left\{ \begin{matrix} {{\underset{x_{21}^{c},x_{22}^{c}}{\max}}{U_{2}\left( {x_{21}^{c},x_{22}^{c}} \right)}:} \\ {p_{1}x_{21}^{c}\text{+}p_{2}x_{22}^{c}\leq p_{1}\omega_{21}\text{+}p_{2}\omega_{22}\text{+}\theta_{21}\left( {p_{1}y_{11}\text{+}p_{2}y_{12}} \right)\text{+}\theta_{22}\left( {p_{1}y_{21}\text{+}p_{2}y_{22}} \right);} \\ \end{matrix} \right. \\ {{{\underset{x_{11}^{p},x_{12}^{p}}{\max}} }{\mathit{PR}_{1}\left( {x_{11}^{p},x_{12}^{p}} \right)}\text{=}{\underset{x_{11}^{p},x_{12}^{p}}{\max}}\left( {p_{1}y_{11}\text{+}p_{2}y_{12}} \right);} \\ {{\underset{x_{21}^{p},x_{22}^{p}}{\max}}{\mathit{PR}_{2}\left( {x_{21}^{p},x_{22}^{p}} \right)}\text{=}{\underset{x_{21}^{p},x_{22}^{p}}{\max}}\left( {p_{1}y_{21}\text{+}p_{2}y_{22}} \right);} \\ {\theta_{11}\text{+}\theta_{21}\text{=}1;\theta_{12}\text{+}\theta_{22}\text{=}1;} \\ {x_{11}^{c}\geq 0;x_{12}^{c}\geq 0;x_{21}^{c}\geq 0;x_{22}^{c}\geq 0;x_{11}^{p}\geq 0;x_{12}^{p}\geq 0;x_{21}^{p}\geq 0;x_{22}^{p}\geq 0;} \\ {x_{11}^{c}\text{+}x_{21}^{c}\leq\omega_{11}\text{+}\omega_{21}\text{+}y_{11}\text{+}y_{21};} \\ {x_{12}^{c}\text{+}x_{22}^{c}\leq\omega_{12}\text{+}\omega_{22}\text{+}y_{12}\text{+}y_{22}.} \\ \end{matrix} \right.\)
Здесь \(y_{11}\text{=}q_{11}\text{-}x_{11}^{p}\), \(y_{12}\text{=}q_{12}\text{-}x_{12}^{p}\), \(y_{21}\text{=}q_{21}\text{-}x_{21}^{p}\), \(y_{22}\text{=}q_{22}\text{-}x_{22}^{p}\), где \(q_{11}\) и \(q_{12}\) – объемы производства соответственно первого и второго товаров первым предприятием, \(q_{21}\) и \(q_{22}\) – объемы производства соответственно первого и второго товара вторым предприятием, \(x_{11}^{p}\) и \(x_{12}^{p}\) – объемы соответственно первого и второго ресурсов, используемых первым предприятием; \(x_{21}^{p}\) и \(x_{22}^{p}\) – объемы соответственно первого и второго ресурсов, используемых вторым предприятием.
Общее экономическое равновесие – это такое состояние экономической системы, когда спрос равен предложению, или, другими словами, избыточный спрос как превышение спроса над предложением равен нулю на каждом из рынков. Современная теория общего равновесия доказывает возможность его существования при разумных допущениях о характеристиках функционирования экономической системы.
Традиционно общее экономическое равновесие определяется как равенство нулю или отрицательность, т.е. неположительность, избыточного спроса на всех l рынках в экономике:
\(z_{j}\leq 0,(9.7)\)
при неотрицательных ценах
\(p_{j}\geq 0,(9.8)\)
с учетом условия:
\(p_{j}z_{j}\text{=}0,j\text{=}\left\{ {1,\ldots,l} \right\}.(9.9)\)
Последнее условие означает, что либо цена, либо избыточный спрос (9.6) на каждом из l рынков равняется нулю, т.е. натуральное балансовое соотношение по объемам потребляемой и производимой продукции с учетом запасов (9.2) выполняется в виде равенства:
\(x_{j}^{c}\text{=}\omega_{j}\text{+}y_{j}.(9.10)\)
В равновесной экономике действует закон Вальраса3, утверждающий, что стоимость совокупного, или агрегированного, чистого спроса тождественно равна нулю:
\(p_{1}z_{1}\text{+}\ldots\text{+}p_{l\text{-}1}z_{l\text{-}1}\text{+}p_{l}z_{l}\text{=}{\sum\limits_{h\text{=}1}^{l}{p_{h}z_{h}}}\equiv 0.(9.11)\)
Установить его справедливость нетрудно. В условиях оптимума для каждого, i-го, индивидуума бюджетное ограничение выполняется в виде равенства: \(p_{1}x_{i1}\text{+}\ldots\text{+}p_{l}x_{\mathit{il}}\text{=}p_{1}\omega_{i1}\text{+}\ldots\text{+}p_{l}\omega_{\mathit{il}},i\text{=}1,\ldots,m\); т.е. стоимость чистого спроса i-го индивидуума равна 0: \(p_{1}\left( {x_{i1}\text{-}\omega_{i1}} \right)\text{+}\ldots\text{+}p_{l}\left( {x_{\mathit{il}}\text{-}\omega_{\mathit{il}}} \right)\text{=}p_{1}z_{i1}\text{+}\ldots\text{+}p_{l}z_{\mathit{il}}\text{=}0\). Сумма таких тождеств для всех индивидуумов, по i от 1 до m, дает нулевую величину агрегированного чистого спроса в стоимостном выражении:
\(p_{1}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{m}z_{i1}}\text{+}\cdots\text{+}p_{h}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{m}z_{\mathit{ih}}}\text{=}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{m}{p_{1}z_{i1}}}\text{+}\cdots\text{+}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{m}{p_{h}z_{\mathit{ih}}}}\text{=}{\sum\limits_{h\text{=}1}^{l}{p_{h}z_{h}}}\text{=}0,\)
что и утверждает закон Вальраса (9.11).
Из закона Вальраса вытекают два важных следствия. Во-первых, из закона Вальраса следует, что если в экономике, состоящей из l рынков, при некотором векторе цен \(p\text{=}\left\{ p_{h} \right\}_{h\text{=}1}^{l}\), \(p_{h} \gt 0\), избыточный спрос равен нулю на \(l\text{-}1\) рынках, то он оказывается нулевым и на оставшемся l-том рынке. Доказательство первого следствия проведем по индукции. Допустим, для начала, что экономика состоит из двух рынков. Пусть \(z_{1}\left( {p_{1},p_{2}} \right)\text{=}0\). Тогда из закона Вальраса (9.11), поскольку \(p_{2} \gt 0\), следует, что \(z_{2}\left( {p_{1},p_{2}} \right)\text{=}0\). Значит, если избыточный спрос нулевой на одном рынке, то он также равен нулю и на другом.
Данное утверждение по индукции распространяется на экономику, состоящую из \(l\) рынков. Пусть имеет место нулевой избыточный спрос на \(l\text{-}1\) рынках: \(z_{1}\text{=}0\), …, \(z_{l\text{-}1}\text{=}0\). Поскольку \(p_{l} \gt 0\), из закона Вальраса (9.11) вместе с условием (9.7) следует, что \(z_{l}\text{=}0\). Итак, в соответствии с законом Вальраса, если все рынки, за исключением данного, находятся в состоянии равновесия, то избыточный спрос и на данном, последнем рынке равен нулю.
Во-вторых, следствием из закона Вальраса является то, что когда цена хотя бы одного блага в экономике отлична от нуля, величины избыточного спроса zl не могут быть одновременно одного знака.
Докажем второе следствие для экономики, состоящей из двух рынков. В силу (9.11):
\(p_{1}z_{1}\text{=}\text{-}p_{2}z_{2}.(9.12)\)
В случае экономических благ, когда обе цены положительны \((p_{i} \gt 0,i\text{=}1,2)\), получается, что если \(z_{1}\geqslant 0\), то \(z_{2}\leqslant 0\), и наоборот, из \(z_{2}\geqslant 0\) следует \(z_{1}\leqslant 0\). Если первое благо является свободным \((p_{1}\text{=}0)\), то избыточный спрос на него не может быть положительным \((z_{1}\leqslant 0)\). При этом, поскольку \(p_{2} \gt 0\), постольку из (9.12) следует, что \(z_{2}\text{=}0\). Аналогично, если второе благо является свободным \((p_{2}\text{=}0)\), то избыточный спрос на него не может быть положительным \((z_{2}\leqslant 0)\). При этом, поскольку \(p_{1} \gt 0\), постольку из (9.12) следует, что \(z_{1}\text{=}0\). Тем самым, второе следствие из закона Вальраса доказано.
В силу натуральных балансовых ограничений для каждого из рынков, \(z_{1}\leqslant 0\), \(z_{2}\leqslant 0\). Поэтому сумма величин избыточного спроса в стоимостном выражении по всем рынкам в экономике должна быть неположительной: \(p_{1}z_{1}\text{+}\ldots\text{+}p_{l\text{-}1}z_{l\text{-}1}\text{+}p_{l}z_{l}\text{=}{\sum\limits_{h\text{=}1}^{l}{p_{h}z_{h}}}\leqslant 0\). Но, поскольку в состоянии равновесия либо цена товара, либо величина избыточного спроса на него должны равняться нулю (9.9), нулевой будет и сумма соответствующих произведений, что было установлено выше законом Вальраса (9.11).
Таким образом, совокупность бюджетных ограничений потребителей и натуральных балансовых соотношений, касающихся объемов потребляемой и имеющейся в наличии продукции для всех товарных рынков, содержит одну и ту же информацию. Следовательно, одно из данных условий в состоянии равновесия является линейно зависимым от остальных.
Искомыми величинами в модели являются объемы потребления всех (l) товаров каждым из m потребителей, а также равновесный вектор цен, состоящий из l компонент. Значит, всего в модели \(\left( {l\text{+}1} \right)m\) неизвестных. По доказанному, в модели \(\left( {l\text{+}1} \right)m\text{-}1\) независимое условие. Следовательно, можно ставить задачу определения не абсолютного уровня цен, а их относительных значений, когда цена одного из благ либо, что эквивалентно, сумма всех товарных цен будет служить единицей счета.
Осуществим переход от фактической системы цен – к нормированной, рассчитав относительные цены следующим образом: \(\rho_{j}\text{=}\frac{p_{j}}{\sum\limits_{j\text{=}1}^{l}p_{j}}\). Поэтому \(0\leqslant\rho_{j}\leqslant 0,j\text{=}1,\ldots,l\). Действительно, относительная – так же, как и абсолютная – цена свободного блага будет равна нулю. Если же все блага – свободные и лишь одно – экономическое, то для данного, последнего товара сумма в знаменателе относительной цены совпадет с числителем – его абсолютной ценой, поэтому относительная – окажется равной единице. В остальных случаях относительные цены товаров будут находиться в промежутке между данными крайними значениями.
В силу однородности нулевой степени функций спроса по Маршаллу с учетом первоначальных запасов благ, а также функций предложения продукции предприятиями по вектору цен можно перейти в функциях избыточного спроса от абсолютных цен к относительным. Видоизмененные функции останутся полностью эквивалентными исходным: сохранятся без изменения их значения и свойства, в частности, непрерывности по вектору цен.
Основной в концепции общего экономического равновесия является следующая теорема Эрроу–Дебре, устанавливающая достаточные условия его существования4. Пусть выполняются предположения о непрерывности и строгой квазивогнутости функций полезности, а также о непрерывности и строгой вогнутости производственных функций. Тогда для любого первоначального распределения запасов благ между потребителями существует вектор цен, при котором достигается общее конкурентное равновесие (9.7) – (9.9).
Будем рассматривать только совокупность бюджетных ограничений, пока не привлекая к анализу натуральные балансовые соотношения по объемам потребления, производства и запасам товаров на каждом рынке. Вначале для иллюстрации проведем доказательство теоремы существования общего равновесия в экономике, состоящей из двух рынков экономических благ \((p_{i} \gt 0,i\text{=}1,2)\). На рис. 9.2 изображена пространственная кривая избыточного спроса \(Z\left( \rho_{1} \right)\text{=}\left( {z_{1}\left( \rho_{1} \right),z_{2}\left( \rho_{1} \right)} \right)\) и ее проекция на плоскость Z10Z2. Здесь \(\rho_{1}\text{=}\frac{p_{1}}{p_{1}\text{+}p_{2}}\) – относительная цена первого товара. Очевидно, что \(\rho_{2}\text{=}1\text{-}\rho_{1}\) можно не включать в число аргументов функций избыточного спроса. По второму следствию из закона Вальраса, в случае отсутствия равновесия экономика будет находиться в некотором состоянии A во втором квадранте или в каком-то состоянии B в четвертом квадранте. Все состояния в первом и третьем квадрантах недоступны, поскольку там величины избыточного спроса \(z_{1}\) и \(z_{2}\) имеют одинаковый знак: они либо оба положительны, либо – отрицательны.
Пространственная иллюстрация
Проекция на плоскость избыточного спроса
Рисунок 9.2. Возможные равновесные ситуации
Для действительнозначных функций \(z:\rho\longmapsto z(\rho)\) известна теорема Коши–Больцано, которая гласит, что если \(z(\rho)\in C^{0}\lbrack a,b\rbrack\), то \(z(\rho)\) принимает на каждом интервале \((\alpha,\beta)\subset\lbrack a,b\rbrack\) все промежуточные значения между \(z(\alpha)\) и \(z(\beta)\). Из теоремы Коши–Больцано следует, что функция из класса \(C^{0}\lbrack a,b\rbrack\), имеющая разные по знаку значения в точках \(\alpha\) и \(\beta\), где \((\alpha,\beta)\subset\lbrack a,b\rbrack\), обязательно принимает в некоторой промежуточной между \(\alpha\) и \(\beta\) точке нулевое значение. Воспользуемся этим следствием для доказательства существования общего равновесия.
В состоянии A: \(z_{1} \lt 0\), \(z_{2} \gt 0\). В состоянии B: \(z_{1} \gt 0\), \(z_{2} \lt 0\). По теореме Коши–Больцано, в силу того, что каждая координата отображения избыточного спроса \(Z\left( \rho_{1} \right)\text{=}\left( {z_{1}\left( \rho_{1} \right),z_{2}\left( \rho_{1} \right)} \right)\) непрерывна, для перехода экономики из состояния A в состояние B каждая из координат должна принять нулевое значение. Пусть, для определенности, в состоянии E1 \(z_{1}\text{=}0\). По первому следствию из закона Вальраса, избыточный спрос \(z_{2}\) также должен быть нулевым. Итак, в состоянии E1 величины избыточного спроса \(z_{1}\) и \(z_{2}\) одновременно равны нулю при положительных ценах, т.е. достигается общее экономическое равновесие. Таким образом, доказано существование общего равновесия в экономике с двумя рынками при положительных ценах \((p_{i} \gt 0,i\text{=}1,2)\). Точка E2 отражает ситуацию, когда второе благо является свободным \(\left( {\rho_{2}\text{=}0,z_{2} \lt 0} \right)\), а первое – экономическим \(\left( {\rho_{1}\text{=}1,z_{1}\text{=}0} \right)\); а E3 – когда, наоборот, первое – свободное \(\left( {\rho_{1}\text{=}0,z_{1} \lt 0} \right)\), а второе – экономическое \(\left( {\rho_{2}\text{=}1,z_{2}\text{=}0} \right)\).
При наличии в экономике больше двух товарных рынков использование теоремы Больцано-Коши для доказательства существования общего равновесия становится невозможным, и необходимо привлекать к анализу ее теорему Брауэра о неподвижной точке, которую можно рассматривать как обобщение теоремы Коши–Больцано на случай векторнозначных функций (соответствий) векторного аргумента.
Теорема Брауэра утверждает5, что если X – непустое компактное выпуклое множество в \({\mathbb{R}}^{n}\), а f: X→X – непрерывное отображение, переводящее каждую точку x множества X в некоторую точку f(x) этого же множества X, то f имеет неподвижную точку: x*=f(x*). В одномерном случае (в пространстве \({\mathbb{R}}_{\text{+}}\)) теорема Брауэра сводится к констатации наличия неподвижной точки у любой непрерывной функции, отображающей отрезок [0,1] в себя (f(x):[0,1][0,1]): график данной непрерывной функции обязательно пересекает диагональ квадрата f(x)=x со стороной [0,1] (рис.9.3).
Рисунок 9.3. Теорема Брауэра о неподвижной точке
Для доказательства достижения экономикой состояния общего равновесия достаточно рассмотреть функцию агрегированного чистого спроса, зависящую только от вектора цен, положив константой первоначальное распределение запасов благ между владельцами человеческого потенциала в потребительной и производственной сферах. Отметим, что если допустить возможность анализа в рамках модели общего экономического равновесия свободных благ с нулевыми ценами \(\left( {\exists j\in\left\{ {1,\ldots,n} \right\}:p_{j}\text{=}0} \right)\), то интервал, в котором лежат нормированные цены (95), становится отрезком:
\(0\leqslant\rho_{j}\leqslant 1,j\text{=}1,\ldots,n.\)
Итак, ценовое множество \(P\text{=}\left\{ {\rho\text{=}\left\{ \rho_{j} \right\}_{j\text{=}1}^{n}\left| {0\leqslant\rho_{j}\leqslant 1} \right.} \right\}\) представляет собой \(n\)-мерный вещественный брус. Он является непустым выпуклым множеством. Для того чтобы это показать, рассмотрим два вектора цен \(\widehat{\rho}\text{=}\left\{ {\widehat{\rho}}_{j} \right\}_{j\text{=}1}^{n}\) и \(\check{\rho}\text{=}\left\{ {\check{\rho}}_{j} \right\}_{j\text{=}1}^{n}\), а также произвольный ценовой вектор \(\rho\text{=}\lambda\widehat{\rho}\text{+}(1\text{-}\lambda)\check{\rho}\), принадлежащий соединяющему их отрезку. Поскольку каждая из координат концов отрезка \(\widehat{\rho}\) и \(\check{\rho}\) лежит в диапазоне от нуля до единицы, такому же двойному неравенству удовлетворяют и компоненты любой его внутренней точки: \(0\leqslant\rho_{j}\text{=}\lambda{\widehat{\rho}}_{j}\text{+}\left( {1\text{-}\lambda} \right){\check{\rho}}_{j}\leqslant\lambda\text{+}(1\text{-}\lambda)\text{=}1\), что доказывает выпуклость ценового бруса \(P\text{=}\left\{ {\rho\text{=}\left\{ \rho_{j} \right\}_{j\text{=}1}^{n}\left| {0\leqslant\rho_{j}\leqslant 1} \right.} \right\}\).
Кроме того, \(P\text{=}\left\{ {\rho\text{=}\left\{ \rho_{j} \right\}_{j\text{=}1}^{n}\left| {{\sum\limits_{j\text{=}1}^{n}\rho_{j}}\text{=}1,\rho_{j}\geqslant 0} \right.} \right\}\) как стандартный симплекс представляет собой не только выпуклое, но и компактное множество6.
Рассмотрим отображение \(\xi(\rho)\):
\(\xi_{j}(\rho)\text{=}\rho_{j}\text{+}z_{j}(\rho),j\text{=}1,\ldots,n.\)
Оно непрерывно, представляя собой сдвиг на линейную функцию \(\rho_{j}\) непрерывного избыточного спроса. Построим на основе отображения \(\xi(\rho)\) композитное отображение, которое призвана обеспечить совпадение области определения и значений анализируемой функции \(\zeta(\rho)\):[0,1][0,1]:
\(\zeta_{j}(\rho)\text{=}\left\lbrack \begin{matrix} {0,\mathit{\ если\ }\xi_{j}(\rho)\leqslant 0,} \\ {\xi_{j}(\rho),\mathit{\ если\ }0 \lt \xi_{j}(\rho) \lt 1,} \\ {1,\mathit{\ если\ }\xi_{j}(\rho)\geqslant 1;} \\ \end{matrix} \right.\)
где \(j\text{=}1,\ldots,n\).
Очевидно, что, если \(\xi(\rho)\leqslant 0\) при \(0\leqslant\rho\leqslant 1\), то \(\zeta(\rho)\text{=}0\), и \(\zeta(\rho)\) является непрерывной при любом ρ. Аналогично, если \(\xi(\rho)\geqslant 1\) при 0≤ρ≤1, то \(\zeta(\rho)\text{=}1\), следовательно, представляет собой непрерывную функцию. Так же и в том случае, когда \(0 \lt \xi(\rho) \lt 1\) на всем диапазоне \(0\leqslant\rho\leqslant 1\) При этом \(\zeta(\rho)\text{=}\xi(\rho)\) является непрерывной функцией.
Покажем непрерывность функции \(\zeta(\rho)\) на стыке ее сегментов: \(\zeta(\rho)\text{=}\xi(\rho)\) и \(\zeta(\rho)\text{=}0\) либо \(\zeta(\rho)\text{=}\xi(\rho)\) и \(\zeta(\rho)\text{=}1\). Допустим, что существует такая точка \(\rho\text{=}\widehat{\rho}\), в которой \(\xi\left( \widehat{\rho} \right)\text{=}0\text{=}\zeta\left( \widehat{\rho} \right)\). Пусть, существует проколотая окрестность точки \(\widehat{\rho}\) \(Ů\left( \widehat{\rho} \right)\), такая, что при любых \(\rho\in Ů\left( \widehat{\rho} \right)\) \(\xi(\rho) \gt 0\). Значит, при \(\rho\in Ů\left( \widehat{\rho} \right)\), \(\zeta(\rho)\text{=}\xi(\rho)\). Следовательно, в силу непрерывности \(\xi(\rho)\), \({\lim\limits_{\rho\rightarrow\widehat{\rho}\text{-}}{\xi(\rho)}}\text{=}{\lim\limits_{\rho\rightarrow\widehat{\rho}\text{-}}{\zeta(\rho)}}\text{=}{\lim\limits_{\rho\rightarrow\widehat{\rho}\text{+}}{\xi(\rho)}}\text{=}{\lim\limits_{\rho\rightarrow\widehat{\rho}\text{+}}{\zeta(\rho)}}\text{=}\zeta\left( \widehat{\rho} \right)\text{=}\xi\left( \widehat{\rho} \right)\text{=}0\), то есть функция \(\zeta(\rho)\) является непрерывной в точке \(\rho\text{=}\widehat{\rho}\).
Рассмотрим теперь случай, когда в \(Ů\left( \widehat{\rho} \right)\) слева и справа от \(\rho\text{=}\widehat{\rho}\) \(\xi(\rho)\) имеет значения разных знаков или же, когда с одной стороны от \(\widehat{\rho}\) \(\xi(\rho)\text{=}0\), а с другой – она либо положительна, либо отрицательна. Пусть, для определенности при \(\rho \lt \widehat{\rho}\) \(0 \lt \xi(\rho) \lt 1\), а при \(\rho \gt \widehat{\rho}\) \(\xi(\rho)\leqslant 1\). Тогда, в силу непрерывности функций \(\xi(\rho)\) и \(\zeta(\rho)\text{=}1\), \({\lim\limits_{\rho\rightarrow\widehat{\rho}\text{-}}{\zeta(\rho)}}\text{=}{\lim\limits_{\rho\rightarrow\widehat{\rho}\text{-}}{\xi(\rho)}}\text{=}1\text{=}{\lim\limits_{\rho\rightarrow\widehat{\rho}\text{+}}{\zeta(\rho)}}\), то есть в точке \(\rho\text{=}\widehat{\rho}\) наблюдается непрерывность \(\zeta(\rho)\). Аналогичные рассуждения справедливы при противоположном изменении знаков \(\xi(\rho)\) при переходе через точку \(\rho\text{=}\widehat{\rho}\), а также при переходе \(\xi(\rho)\) через точку \(\rho\text{=}1\).
Таким образом, как комбинация непрерывной функции \({(\zeta}_{j}(\rho)\text{=}\xi_{j}(\rho))\) с линейными (\(\zeta_{j}(\rho)\text{=}0\) и \(\zeta_{j}(\rho)\text{=}1\)), отображение \(\zeta_{j}(\rho)\), j=1,…,n, является непрерывным.
Если не требовать строгой квазивогнутости, то возникает потенциальная неединственность решения задачи потребительского выбора (рис. 2.4). В таком случае функция выбора превращается в отношение, поэтому при анализе вопросов, связанных с существованием общего экономического равновесия, теорема Брауэра оказывается уже недостаточной, и необходимо использовать вместо нее утверждение о неподвижной точке в формулировке Какутани. Если принять предположение о строгой квазивогнутости анализируемых функций, то решение задач оптимизации процессов производства и потребления оказывается единственным, что позволяет исключить множественные отношения выбора из круга рассматриваемых проблем. Это, в свою очередь, упрощает анализ модели, потому что оказывается возможным доказывать требуемые положения, не прибегая к использованию теоремы Какутани, оперирующей терминами отношений, и ограничиваясь ее более узким вариантом в виде теоремы Брауэра, формулируемой в более привычных понятиях отображений.
Итак, для доказательства существования общего экономического равновесия рассмотрим преобразование \(\zeta(\rho)\), состоящее из n компонент \(\zeta_{j}(\rho)\), j=1,…,n. Отображение \(\zeta(\rho):\rho\mapsto\zeta_{j}(\rho)\) ставит в соответствие элементам ценового множества Ρ значения в этом же множестве \(\zeta_{j}(\rho)\in{\mathbb{R}}_{\text{+}}\), \(0\leqslant\zeta_{j}(\rho)\leqslant 1\), j=1,…,l+m. Ценовое множество Ρ непусто, выпукло и компактно. Как было показано выше, отображение ζ(ρ) непрерывно. Следовательно, по теореме Брауэра, отображение \(\zeta(\rho):\rho\mapsto\zeta_{j}(\rho)\) имеет неподвижную точку \(\rho\text{=}\zeta(\rho)\). Покажем, что в этой точке ρ, отображаемой в себя, достигается общее экономическое равновесие. Рассмотрим три возможных случая, соответствующих трем составляющим отображения \(\zeta(\rho)\):
\(\rho_{j}\text{=}\zeta_{j}(\rho)\text{=}\left\lbrack \begin{matrix} {0,\mathit{\ если\ }\xi_{j}(\rho)\leqslant 0,} \\ {\xi_{j}(\rho),\mathit{\ если\ }0 \lt \xi_{j}(\rho) \lt 1,} \\ {1,\mathit{\ если\ }\xi_{j}(\rho)\geqslant 1;} \\ \end{matrix} \right.\)
где \(j\text{=}1,\ldots,n\).
В случае если цена находится внутри допустимого интервала значений \((0 \lt \rho_{j} \lt 1)\), получаем следующее равенство: \(\rho_{j}\text{=}\zeta_{j}(\rho)\text{=}\xi_{j}(\rho)\text{=}\rho_{j}\text{+}z_{j}(\rho)\). Поэтому избыточный спрос обращается в нуль \(z_{j}(\rho)\text{=}0\), и предложение полностью покрывает спрос.
Если цена находится на минимальной границе \((\rho_{j}\text{=}0)\), то получается неравенство \(\xi_{j}(\rho)\text{=}\rho_{j}\text{+}z_{j}(\rho)\leqslant 0\), то есть \(z_{j}(\rho)\leqslant 0\).
Если же цена находится на максимальной границе \((\rho_{j}\text{=}1)\), то \(\xi_{j}(\rho)\text{=}\rho_{j}\text{+}z_{j}(\rho)\geqslant 1\). Поскольку \(\rho_{j}\text{=}1\), имеем \(z_{j}(\rho)\text{=}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}x_{\mathit{ij}}}\text{-}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}y_{\mathit{ij}}}\text{-}\omega_{j}\geqslant 0\). Но, в силу натурального ограничения в модели функционирования экономической системы, должно выполняться противоположное неравенство: \({\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}x_{\mathit{ij}}}\text{-}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}y_{\mathit{ij}}}\text{-}\omega_{j}\leqslant 0\). Единственным вариантом, удовлетворяющим этим двум неравенствам, является случай нулевого избыточного спроса \((z_{j}\text{=}0)\), когда балансовое ограничение на объемы потребления, производства и запасов выполняется в виде равенства.
-
Вальрас Л. Элементы чистой политической экономии, или теория общественного богатства. – М.: Экономика, 2000.↩︎
-
Эту так называемую модель 2×2×2 возможно без труда обобщить на случай произвольного конечного числа экономических агентов и товаров.↩︎
-
См.: Lange O. Say’s law: a restatement and criticism // Studies in mathematical economics and econometrics / Ed. by O. Lange. – Chicago, 1942.↩︎
-
Debreu G. Theory of value. – N.Y.: Willey; L.: Chapman & Hall, 1959; Arrow K., Hahn F. General competitive analysis. – San Francisco: Holden Day; Edinburgh: Oliver & Boyd, 1971.↩︎
-
Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. – М.: Мир, 1972.↩︎
-
Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. – М.: Мир, 1972; Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. – М.: Мир, 1988.↩︎