8.4.1. Скрытая информация
Рассмотрим проблему заказчика-исполнителя при асимметрии информации, порождающую неблагоприятный отбор, на примере взаимодействия заказчика – собственника предприятия и исполнителя – адвоката.
Пусть функция полезности адвоката \(i\)-го типа имеет квазилинейную форму \(U_{i}\left( {w,E} \right)\text{=}V_{i}(w_{i})\text{-}a_{i},\) где \(w_{i}\) – величина заработной платы, \(a_{i}\text{=}\frac{x_{i}}{\theta_{i}}\), \(x_{i}\) – объем предоставленных юридических услуг, \(\theta_{i}\) – уровень квалификации адвоката. Предположим для простоты, что возможен найм двух типов адвокатов \(\left( {i\text{=}\left\{ 1,2 \right\}} \right)\), для которых показатели качества соотносятся следующим образом: \(\theta_{2} \gt \theta_{1}\), следовательно, \(a_{2} \lt a_{1}\). Пусть для определенности резервный уровень полезности адвоката равен нулю.
Прибыль заказчика имеет вид: \(\mathit{PR}_{i}\text{=}x_{i}\text{-}w_{i}\). Здесь предполагается единичная цена юридических услуг.
Рассчитаем вначале оптимальные контракты в условиях полной информации. Оптимизационная задача для владельца предприятия будет выглядеть так:
\(\left\{ \begin{matrix} {\underset{x_{i},w_{i}}{\mathit{\max}}\mathit{PR}_{i}\text{=}\underset{x_{i},w_{i}}{\mathit{\max}}\left( {x_{i}\text{-}w_{i}} \right):} \\ {V_{i}(w_{i})\text{-}\frac{x_{i}}{\theta_{i}}\geq 0.} \\ \end{matrix} \right.\)
Функция Лагранжа для этой задачи будет иметь следующий вид:
\({L = x_{i}}\text{-}w_{i}\text{+}\lambda\left( {V_{i}(w_{i})\text{-}\frac{x_{i}}{\theta_{i}}} \right).\)
Необходимые условия экстремума подразумевают, прежде всего, оптимальность по искомым переменным – объему оказываемых услуг и уровню заработной платы:
\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{\partial L}{\partial x_{i}}\text{=}1\text{-}\frac{\lambda}{\theta_{i}}\text{=}0;} \\ {\frac{\partial L}{\partial w_{i}}\text{=}\text{-}1\text{+}\lambda V_{i}^{'}\left( w_{i} \right)\text{=}0;} \\ \end{matrix} \right.\)
или
\(\left\{ \begin{matrix} {\lambda\text{=}\theta_{i} \gt 0;} \\ {\lambda\text{=}\frac{1}{V_{i}^{'}(w_{i})};} \\ \end{matrix} \right.\)
а значит,
\(V_{i}^{'}\left( w_{i} \right)\text{=}\frac{1}{\theta_{i}},\)
и
\(w_{i}\text{=}{(V_{i}^{'})}^{\text{-}1}\left( \frac{1}{\theta_{i}} \right).\)
Кроме того, должны выполняться условия дополняющей нежесткости:
\(\lambda\frac{\partial L}{\partial\lambda}\text{=}\lambda\left( {V_{i}(w_{i})\text{-}\frac{x_{i}}{\theta_{i}}} \right)\text{=}0,\lambda\geq 0,V_{i}(w_{i})\text{-}\frac{x_{i}}{\theta_{i}}\geq 0.\)
В силу положительности \(\lambda\), показанной выше, из условия дополняющей нежесткости можно сделать вывод, что ограничение по рациональности является активным: \(V_{i}(w_{i})\text{=}\frac{x_{i}}{\theta_{i}}\), следовательно, используя выражение для заработной платы, получаем оптимальный объем оказанных услуг: \(x_{i}\text{=}\theta_{i}V_{i}\left( {{(V_{i}^{'})}^{\text{-}1}\left( \frac{1}{\theta_{i}} \right)} \right)\).
Условием оптимальности контракта при полной информации является равенство предельной нормы замещения между заработной платой и объемом услуг для собственника и адвоката:
\(\mathit{MRS}_{L}^{i}\text{=}\text{-}\left. \frac{dw_{i}}{dx_{i}} \right|_{U_{i}\text{=}\mathit{const}}\text{=}\frac{\frac{\partial U_{i}}{\partial x_{i}}}{\frac{\partial U_{i}}{\partial w_{i}}}\text{=}\text{-}\frac{1}{\theta_{i}V_{i}^{'}\left( w_{i} \right)}\text{=}\text{-}1\text{=}\frac{\frac{\partial\mathit{PR}_{i}}{\partial x_{i}}}{\frac{\partial\mathit{PR}_{i}}{\partial w_{i}}}\text{=}\text{-}\left. \frac{dw_{i}}{dx_{i}} \right|_{\mathit{PR}_{i}\text{=}\mathit{const}}\text{=}\mathit{MRS}_{O}^{i}.(10.16)\)
Поскольку очевидно, что сами величины \(x_{i}\) и \(w_{i}\) для заказчика и исполнителя совпадают, это означает касание кривой безразличия адвоката и изопрофиты собственника фирмы (рис. 8.24).
Итак, в условиях полной информации будут существовать два типа оптимальных контрактов – соответственно, для исполнителя, демонстрирующего высокое либо низкое качество оказанных услуг: \(\left( {x_{i}^{\text{*}},w_{i}^{\text{*}}} \right)\text{=}\left( {\theta_{i}V_{i}\left( {{(V_{i}^{'})}^{\text{-}1}\left( \frac{1}{\theta_{i}} \right)} \right),{(V_{i}^{'})}^{\text{-}1}\left( \frac{1}{\theta_{i}} \right)} \right),i\text{=}\left\{ 1,2 \right\}\).
Рисунок 8.24. Отсутствие скрытой информации
Рассчитаем теперь субоптимальные контракты в условиях асимметричной информации. Ограничение по рациональности имеет вид:
\(V_{1}(w_{1})\text{-}\frac{x_{1}}{\theta_{1}}\geq 0.\)
Ограничение по совместимости стимулов выглядит так:
\(V_{2}(w_{2})\text{-}\frac{x_{2}}{\theta_{2}}\geq V_{1}(w_{1})\text{-}\frac{x_{1}}{\theta_{2}}.\)
С точки зрения собственника фирмы, оптимизационная задача будет такова:
\(\left\{ \begin{matrix} {\underset{x_{1},w_{1},x_{2},w_{2}}{\mathit{\max}}\mathit{EPR}\text{=}\underset{x_{1},w_{1},x_{2},w_{2}}{\mathit{\max}}\left( {p_{1}\left( {x_{1}\text{-}w_{1}} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{1}} \right)\left( {x_{2}\text{-}w_{2}} \right)} \right):} \\ {V_{1}(w_{1})\text{-}\frac{x_{1}}{\theta_{1}}\geq 0,} \\ {V_{2}(w_{2})\text{-}\frac{x_{2}}{\theta_{2}}\geq V_{1}(w_{1})\text{-}\frac{x_{1}}{\theta_{2}}.} \\ \end{matrix} \right.\)
Функция Лагранжа для этой задачи будет иметь следующий вид:
\({L = p_{1}}\left( {x_{1}\text{-}w_{1}} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{1}} \right)\left( {x_{2}\text{-}w_{2}} \right)\text{+}\lambda\left( {V_{1}(w_{1})\text{-}\frac{x_{1}}{\theta_{1}}} \right)\text{+}\mu\left( {V_{2}(w_{2})\text{-}\frac{x_{2}}{\theta_{2}}\text{-}V_{1}(w_{1})\text{+}\frac{x_{1}}{\theta_{2}}} \right).\)
Условия оптимальности по искомым переменным – ставкам заработной платы в ситуации высокой либо низкой результативности фирмы – подразумевают, прежде всего, равенство нулю частных производных лагранжиана по искомым переменным – величинам заработной платы и юридических услуг:
\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{\partial L}{\partial w_{1}}\text{=}\text{-}p_{1}\text{+}\left( {\lambda\text{-}\mu} \right)V_{1}^{'}(w_{1})\text{=}0,} \\ {\frac{\partial L}{\partial w_{2}}\text{=}p_{1}\text{-}1\text{+}\mu V_{2}^{'}(w_{2})\text{=}0,} \\ {\frac{\partial L}{\partial x_{1}}\text{=}p_{1}\text{-}\frac{\lambda}{\theta_{1}}\text{+}\frac{\mu}{\theta_{2}}\text{=}0,} \\ {\frac{\partial L}{\partial x_{2}}\text{=}1\text{-}p_{1}\text{-}\frac{\mu}{\theta_{2}}\text{=}0,} \\ \end{matrix} \right.\)
а значит,
\(\left\{ \begin{matrix} {\lambda\text{-}\mu\text{=}\frac{p_{1}}{V_{1}^{'}(w_{1})},} \\ {\mu\text{=}\frac{1\text{-}p_{1}}{V_{2}^{'}(w_{2})} \gt 0,} \\ {\mu\text{=}\left( {1\text{-}p_{1}} \right)\theta_{2} \gt 0,} \\ {\lambda\text{=}\theta_{1} \gt 0.} \\ \end{matrix} \right.\)
Преобразуя данную систему, получаем:
\(\frac{1}{V_{2}^{'}(w_{2})}\text{=}\theta_{2},\frac{1}{V_{1}^{'}(w_{1})}\text{=}\frac{\theta_{1}\text{-}\left( {1\text{-}p_{1}} \right)\theta_{2}}{p_{1}},\)
а значит, оптимальные значения заработной платы будут равны:
\(w_{1}\text{=}{(V_{1}^{'})}^{\text{-}1}\left( \frac{p_{1}}{\theta_{1}\text{-}\left( {1\text{-}p_{1}} \right)\theta_{2}} \right),w_{2}\text{=}{(V_{2}^{'})}^{\text{-}1}\left( \frac{1}{\theta_{2}} \right).\)
Кроме того, необходимо учитывать условия дополняющей нежесткости:
\(\lambda\frac{\partial L}{\partial\lambda}\text{=}\lambda\left( {V_{1}(w_{1})\text{-}\frac{x_{1}}{\theta_{1}}} \right)\text{=}0,\lambda\geq 0,V_{1}(w_{1})\text{-}\frac{x_{1}}{\theta_{1}}\geq 0.\)
\(\mu\frac{\partial L}{\partial\mu}\text{=}\mu\left( {V_{2}(w_{2})\text{-}\frac{x_{2}}{\theta_{2}}\text{-}V_{1}(w_{1})\text{+}\frac{x_{1}}{\theta_{2}}} \right)\text{=}0,\mu\geq 0,V_{2}(w_{2})\text{-}\frac{x_{2}}{\theta_{2}}\text{-}V_{1}(w_{1})\text{+}\frac{x_{1}}{\theta_{2}}\geq 0.\)
Поскольку \(\lambda \gt 0\) и \(\mu \gt 0\), постольку ограничения по рациональности и самоотбору являются жесткими:
\(V_{1}(w_{1})\text{=}\frac{x_{1}}{\theta_{1}},т.е.x_{1}\text{=}\theta_{1}V_{1}(w_{1}),\)
и
\(V_{2}\left( w_{2} \right)\text{-}\frac{x_{2}}{\theta_{2}}\text{=}V_{1}\left( w_{1} \right)\text{-}\frac{x_{1}}{\theta_{2}},\)
т.е.
\(x_{2}\text{=}\theta_{2}\left( {V_{2}\left( w_{2} \right)\text{-}V_{1}\left( w_{1} \right)} \right)\text{+}x_{1}\text{=}\theta_{2}V_{2}\left( w_{2} \right)\text{-}\left( {\theta_{2}\text{-}\theta_{1}} \right)V_{1}\left( w_{1} \right).\)
Следовательно, объемы юридических услуг в точке оптимума составят:
\(x_{1}\text{=}\theta_{1}V_{1}\left( {\left( V_{1}^{'} \right)^{\text{-}1}\left( \frac{p_{1}}{\theta_{1}\text{-}\left( {1\text{-}p_{1}} \right)\theta_{2}} \right)} \right),\)
\(x_{2}\text{=}\theta_{2}V_{2}\left( {{(V_{2}^{'})}^{\text{-}1}\left( \frac{1}{\theta_{2}} \right)} \right)\text{-}\left( {\theta_{2}\text{-}\theta_{1}} \right)V_{1}\left( {{(V_{1}^{'})}^{\text{-}1}\left( \frac{p_{1}}{\theta_{1}\text{-}\left( {1\text{-}p_{1}} \right)\theta_{2}} \right)} \right).\)
Числовой пример
Рассмотрим числовой пример, иллюстрирующий взаимодействие заказчика – собственника предприятия и исполнителя – адвоката. Пусть функция полезности адвоката i-го типа имеет квазилинейную форму \(U_{i}\left( {w,E} \right)\text{=}V_{i}(w_{i})\text{-}a_{i},\) где \(w_{i}\) – величина заработной платы, \(a_{i}\text{=}\frac{x_{i}}{\theta_{i}}\), \(x_{i}\) – объем предоставленных юридических услуг, \(\theta_{i}\) – уровень квалификации адвоката. Предположим для простоты, что возможен найм двух типов адвокатов \(\left( {i\text{=}\left\{ 1,2 \right\}} \right)\), для которых показатели качества соотносятся следующим образом: \(\theta_{2} \gt \theta_{1}\), следовательно, \(a_{2} \lt a_{1}\). Пусть для определенности \(V_{i}\left( w_{i} \right)\text{=}\ln w_{i}\), \(i\text{=}\left\{ 1,2 \right\}\), а резервный уровень полезности адвоката равен нулю.
Прибыль заказчика имеет вид: \(\mathit{PR}_{i}\text{=}x_{i}\text{-}w_{i}\). Здесь предполагается единичная цена юридических услуг.
Рассчитаем вначале оптимальные контракты в условиях полной информации. Оптимизационная задача для владельца предприятия будет выглядеть так:
\(\left\{ \begin{matrix} {\underset{x_{i},w_{i}}{\mathit{\max}}\mathit{PR}_{i}\text{=}\underset{x_{i},w_{i}}{\mathit{\max}}\left( {x_{i}\text{-}w_{i}} \right):} \\ {\ln w_{i}\text{-}\frac{x_{i}}{\theta_{i}}\geq 0.} \\ \end{matrix} \right.\)
Функция Лагранжа для этой задачи будет иметь следующий вид:
\({L = x_{i}}\text{-}w_{i}\text{+}\lambda\left( {\ln w_{i}\text{-}\frac{x_{i}}{\theta_{i}}} \right).\)
Необходимые условия экстремума подразумевают, прежде всего, оптимальность по искомым переменным – объему оказываемых услуг и уровню заработной платы:
\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{\partial L}{\partial x_{i}}\text{=}1\text{-}\frac{\lambda}{\theta_{i}}\text{=}0;} \\ {\frac{\partial L}{\partial w_{i}}\text{=}\text{-}1\text{+}\frac{\lambda}{w_{i}}\text{=}0,} \\ \end{matrix} \right.\)
или
\(\left\{ \begin{matrix} {\lambda\text{=}\theta_{i} \gt 0;} \\ {\lambda\text{=}w_{i},} \\ \end{matrix} \right.\)
а значит,
\(w_{i}\text{=}\theta_{i}.(1)\)
Кроме того, должны выполняться условия дополняющей нежесткости:
\(\lambda\frac{\partial L}{\partial\lambda}\text{=}\lambda\left( {\ln w_{i}\text{-}\frac{x_{i}}{\theta_{i}}} \right)\text{=}0,\lambda\geq 0,\ln w_{i}\text{-}\frac{x_{i}}{\theta_{i}}\geq 0.\)
В силу положительности \(\lambda\), показанной выше, из условия дополняющей нежесткости можно сделать вывод, что ограничение по рациональности является активным: \(\ln w_{i}\text{=}\frac{x_{i}}{\theta_{i}}\), следовательно, используя выражение для заработной платы, получаем оптимальный объем оказанных услуг:
\(x_{i}\text{=}\theta_{i}\ln\theta_{i}.(2)\)
Условием оптимальности контракта при полной информации является равенство предельной нормы замещения между заработной платой и объемом услуг для собственника и адвоката:
\(\mathit{MRS}_{L}^{i}\text{=}\text{-}\left. \frac{dw_{i}}{dx_{i}} \right|_{U_{i}\text{=}\mathit{const}}\text{=}\frac{\frac{\partial U_{i}}{\partial x_{i}}}{\frac{\partial U_{i}}{\partial w_{i}}}\text{=}\text{-}\frac{w_{i}}{\theta_{i}}\text{=}\text{-}1\text{=}\frac{\frac{\partial\mathit{PR}_{i}}{\partial x_{i}}}{\frac{\partial\mathit{PR}_{i}}{\partial w_{i}}}\text{=}\text{-}\left. \frac{dw_{i}}{dx_{i}} \right|_{\mathit{PR}_{i}\text{=}\mathit{const}}\text{=}\mathit{MRS}_{O}^{i}\).
Поскольку очевидно, что сами величины \(x_{i}\) и \(w_{i}\) для заказчика и исполнителя совпадают, это означает касание кривой безразличия адвоката и изопрофиты собственника фирмы.
Отсутствие скрытой информации: пример
Итак, в условиях полной информации будут существовать два типа оптимальных контрактов – соответственно, для исполнителя, демонстрирующего высокое либо низкое качество оказанных услуг: \(\left( {x_{i}^{\text{*}},w_{i}^{\text{*}}} \right)\text{=}\left( {\theta_{i}\ln\theta_{i},\theta_{i}} \right),i\text{=}\left\{ 1,2 \right\}\). Прибыль работодателя в каждом из случаев составит
\(\mathit{PR}_{i}^{\text{*}}\text{=}\theta_{i}\ln\theta_{i}\text{-}\theta_{i}\text{=}\theta_{i}\left( {\ln\theta_{i}\text{-}1} \right),\)
следовательно, ее ожидаемая величина в условиях оптимума при полной информации будет равна:
\(\mathit{EPR}^{\text{*}}\text{=}p_{1}\mathit{PR}_{1}^{\text{*}}\text{+}\left( {1\text{-}p_{1}} \right)\mathit{PR}_{2}^{\text{*}}\text{=}p_{1}\theta_{1}\left( {\ln\theta_{1}\text{-}1} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{1}} \right)\theta_{2}\left( {\ln\theta_{2}\text{-}1} \right).\)
Рассчитаем теперь субоптимальные контракты в условиях асимметричной информации.
Ограничение по рациональности имеет вид:
\(\ln w_{1}\text{-}\frac{x_{1}}{\theta_{1}}\geq 0.\)
Ограничение по совместимости стимулов выглядит так:
\(\ln w_{2}\text{-}\frac{x_{2}}{\theta_{2}}\geq\ln w_{1}\text{-}\frac{x_{1}}{\theta_{2}}.\)
При оптимизации стимулирующего контракта данные ограничения будут активными:
\(x_{1}\text{=}\theta_{1}\ln w_{1},\)
\(x_{2}\text{=}\theta_{2}\ln w_{2}\text{+}\left( {\theta_{1}\text{-}\theta_{2}} \right)\ln w_{1}.\)
При необходимости жесткость данных ограничений можно обосновать, выписав функцию Лагранжа и соответствующие условия стационарности по переменным – ставкам заработной платы и объемам юридических услуг, а также дополняющей нежесткости.
Итак, с точки зрения собственника фирмы, оптимизационная задача принимает вид:
\(\left\{ \begin{matrix} {\underset{x_{1},w_{1},x_{2},w_{2}}{\mathit{\max}}\mathit{EPR}\text{=}\underset{x_{1},w_{1},x_{2},w_{2}}{\mathit{\max}}\left( {p_{1}\left( {x_{1}\text{-}w_{1}} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{1}} \right)\left( {x_{2}\text{-}w_{2}} \right)} \right):} \\ {x_{1}\text{=}\theta_{1}\ln w_{1},} \\ {x_{2}\text{=}\theta_{2}\ln w_{2}\text{+}\left( {\theta_{1}\text{-}\theta_{2}} \right)\ln w_{1}.} \\ \end{matrix} \right.\)
Будем решать данную задачу подстановкой ограничений в целевую функцию. Тем самым, данную задачу условной оптимизации можно свести к задаче безусловной максимизации ожидаемой прибыли по ставкам заработной платы:
\(\underset{w_{1},w_{2}}{\mathit{\max}}\mathit{EPR}\text{=}\underset{w_{1},w_{2}}{\mathit{\max}}\left( {p_{1}\left( {\theta_{1}\ln w_{1}\text{-}w_{1}} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{1}} \right)\left( {\theta_{2}\ln w_{2}\text{+}\left( {\theta_{1}\text{-}\theta_{2}} \right)\ln w_{1}\text{-}w_{2}} \right)} \right)\text{-}\text{=}\underset{w_{1},w_{2}}{\mathit{\max}}\left( {\left( {\theta_{1}\text{-}\left( {1\text{-}p_{1}} \right)\theta_{2}} \right)\ln w_{1}\text{-}p_{1}w_{1}\text{+}\left( {1\text{-}p_{1}} \right)\theta_{2}\ln w_{2}\text{-}\left( {1\text{-}p_{1}} \right)w_{2}} \right).\)
Необходимые условия экстремума имеют вид:
\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{\partial\mathit{EPR}}{\partial w_{1}}\text{=}\frac{\theta_{1}\text{-}\left( {1\text{-}p_{1}} \right)\theta_{2}}{w_{1}}\text{-}p_{1}\text{=}0,} \\ {\frac{\partial\mathit{EPR}}{\partial w_{2}}\text{=}\frac{\left( {1\text{-}p_{1}} \right)\theta_{2}}{w_{2}}\text{-}\left( {1\text{-}p_{1}} \right)\text{=}0;} \\ \end{matrix} \right.\)
а значит,
\(\left\{ \begin{matrix} {w_{1}\text{=}\frac{\theta_{1}\text{-}\left( {1\text{-}p_{1}} \right)\theta_{2}}{p_{1}},} \\ {w_{2}\text{=}\theta_{2}.} \\ \end{matrix} \right.\)
Следовательно, объемы юридических услуг в точке оптимума составят:
\(x_{1}\text{=}\theta_{1}\ln w_{1}\text{=}\theta_{1}\ln\left( {\theta_{1}\text{-}\left( {1\text{-}p_{1}} \right)\theta_{2}} \right)\text{-}\theta_{1}\ln p_{1},\)
\(x_{2}\text{=}\theta_{2}\ln w_{2}\text{+}\left( {\theta_{1}\text{-}\theta_{2}} \right)\ln w_{1}\text{=}\theta_{2}\ln\theta_{2}\text{+}\left( {\theta_{1}\text{-}\theta_{2}} \right)\ln\left( {\theta_{1}\text{-}\left( {1\text{-}p_{1}} \right)\theta_{2}} \right)\text{-}\left( {\theta_{1}\text{-}\theta_{2}} \right)\ln p_{1}.\)
Итак, \(w_{2}\text{=}w_{2}^{\text{*}}\), т.е. работнику, предоставляющему высококачественные услуги, выплачивается максимально возможная, с точки зрения эффективности функционирования предприятия, заработная плата, хотя объем оказанных услуг меньше оптимального уровня, который имеет место в условиях полной информации: \(x_{2} \lt x_{2}^{\text{*}}\).
Асимметрия информации, наличие низкопроизводительных работников позволяет высококвалифицированному специалисту диктовать работодателю свои условия, претендовать на самый высокий из возможных уровень заработной платы и при этом проявлять оппортунистическое поведение, минимизируя затрачиваемые усилия, сокращая их уровень по отношению к оптимальному, с точки зрения владельца бизнеса, уровню. Заказчик в этих условиях пытается простимулировать его к осуществлению максимального трудового вклада, назначая по возможности наиболее высокую заработную плату, но объективно не в силах добиться поставленной цели, теряя в прибыли на данной группе сотрудников, по сравнению с ситуацией полной информации. Стремление компенсировать потери, понижая заработную плату работнику, предоставляющему низкокачественные услуги, по сравнению с уровнем при полной информации \(w_{1} \lt w_{1}^{\text{*}}\), не приносит успеха, т.к. объем оказанных услуг таким исполнителем также ниже оптимального значения \(x_{1} \lt x_{1}^{\text{*}}\), и при этом прибыль заказчика на данном сегменте персонала оказывается ниже максимально возможного уровня, достигаемого в условиях полноты информации, когда взаимосвязь между величиной трудового вклада исполнителя и его заработной платой описывается соотношением (2). Действительно, соответствующий оптимальной ситуации уровень заработной платы (1) дает максимум прибыли заказчика для каждой из групп исполнителей \(\mathit{PR}_{i}^{\text{*}}\text{=}\theta_{i}\ln\theta_{i}\text{-}\theta_{i},i\text{=}\left\{ 1,2 \right\};\) и любое отклонение от этой точки будет приводить к снижению рентабельности бизнеса.
Таким образом, в условиях квазиоптимума величина ожидаемой прибыли собственника фирмы оказывается ниже уровня, соответствующего ситуации полноты информации, что порождает, тем самым, агентские издержки асимметрии информации.
8.4.2. Скрытые действия
Модели взаимодействия заказчика и исполнителя анализируют проблематику морального риска в контексте отделения собственности от управления.
Проблема заказчика-исполнителя возникает как проявление постконтрактного оппортунизма, когда одним индивидом (исполнителем) по поручению другого (заказчика) осуществляется некоторая деятельность. Она связана с тем, что исполнитель, формально действуя от имени заказчика, может преследовать свои цели, достижение которых не входит в интересы другой стороны. Скрыто действовать в собственных интересах исполнителю позволяет асимметрия информации: заказчик либо вовсе не может проконтролировать его, либо это оказывается крайне сложно и дорогостояще.
Отношения между заказчиком и исполнителем, осложненные информационной асимметрией, довольно распространены. Наиболее наглядно проблема этих отношений выглядит в корпорации. Две стороны отношений - акционеры, которые являются собственниками фирмы, и менеджеры, управляющие делами фирмы. Акционеры выступают в роли заказчиков, а менеджеры - в роли исполнителей. Заказчики не имеют полной информации о действиях исполнителей. К примеру, акционерам доступна информация о валовой прибыли корпорации, но им ничего не известно о тех усилиях менеджеров, которые они вложили в ее получение. Им также ничего не известно о том, каким образом будет использоваться менеджерами доля прибыли, направляющаяся на расширение производства, но их интересует та часть прибыли, которая пойдет на выплату дивидендов. Иными словами, акционеры не имеют возможности проконтролировать, были ли действия менеджеров адекватными стремлениям их как собственников корпорации.
Источники конфликта интересов собственников и менеджеров кроются в том, что каждая из сторон имеет личные цели и действует в разной рыночной среде. Акционеры преумножают свое богатство в виде акций, приносящих дивиденды, на фондовом рынке, а менеджеры стремятся максимально дорого продать свою рабочую силу на рынке труда. В этой связи у менеджеров появляется ряд оснований для того, чтобы управлять фирмой в разрез с интересами собственников.
Во-первых, у менеджеров возникают определенные предпочтения в области представительских расходов. Они могут счесть необходимым строительство фешенебельного офиса, найм огромного количества обслуживающего персонала, покупку шикарных представительских служебных машин для членов совета директоров и высших менеджеров и т.п. Менеджеры могут обосновывать эти расходы необходимостью, но на деле они могут служить в большей степени их собственному благу. Высокие представительские расходы могут приносить полезность менеджерам, одновременно повышая издержки и сокращая долю прибыли, остающуюся для выплаты дивидендов акционерам.
Во-вторых, менеджеры, как и большинство людей при прочих равных условиях предпочитают тяжелой работе отдых. Они способны предпринять усилия по реализации того или иного мероприятия только в том случае, если оно принесет им дополнительные выгоды большие, чем те издержки, которые им придется понести. Однако в том случае, если выгоды в виде растущих дивидендов будут доставаться акционерам, менеджеры предпочтут отказаться от лишних расходов собственных сил.
В-третьих, на поведение менеджеров будет оказывать влияние и их негативное отношение к риску. Как правило, акционеры диверсифицируют свой риск, приобретая акции различных компаний. Если дивиденды по акциям одних компаний снижаются, то акционерам удается компенсировать падение доходов за счет роста дивидендов по акциям других компаний. Судьба доходов менеджеров, напротив, целиком связана с деятельностью одной единственной компании, на благо которой они заставляют служить свой человеческий капитал. Следовательно, если ради получения высокой прибыли, а значит и выплаты высоких дивидендов акционерам, надо будет выбирать рискованную рыночную стратегию, грозящую в случае неудачи убытками или крахом компании, менеджеры вряд ли пойдут на это.
В-четвертых, реализация интересов менеджеров и акционеров может происходить в разных временных промежутках. К примеру, менеджеры могут быть в большей степени заинтересованы в достижении краткосрочных целей, а акционеры - долгосрочных. Так, очень часто жалование менеджеров напрямую зависит от того, какую долю общей выручки компания получила благодаря их персональной активности. Но не всегда рост общей выручки в коротком периоде способствует укреплению конкурентного преимущества фирмы и росту прибыли в долгом периоде, в котором заинтересованы акционеры.
Легко убедится, что перечисленные предпочтения менеджеров, исходя из которых они могут строить свое поведение, идут вразрез с интересами акционеров как собственников корпорации, состоящими в максимизации прибыли фирм, и, как следствие, - причитающихся им дивидендов.
Проанализируем типичную модель взаимодействия заказчика и исполнителя (рис. 8.25). Предположим, что существуют два состояния экономической среды: благоприятное (С1), когда валовая прибыль фирмы – чистая выручка за вычетом всех издержек за исключением компенсации управляющего звена – будет высокой \(\left( \mathit{NR}_{1} \right)\), и неблагоприятное (С2), при котором доходы низкие \(\left( \mathit{NR}_{2} \right)\). Нейтральный к риску собственник, или заказчик (принципал), которому принадлежит предприятие, нанимает для его управления менеджера, или исполнителя (агента), действующего в своекорыстных интересах и способного работать как с высокой самоотдачей \(\left( E_{H} \right)\), так и «спустя рукава» \(\left( E_{L} \right)\), если ему это будет выгодно. При этом полезность не склонного к риску управляющего описывается квазилинейной функцией: \(U\left( {w,E} \right)\text{=}V(w)\text{-}E\), возрастающей по ставке заработной платы \((w)\). Уровень трудовых усилий менеджера \((E)\), который понижает величину полезности работника, сказывается на вероятности того, будет ли деятельность фирмы успешной или нет. Если он работает с высокой самоотдачей на благо предприятия \(\left( E_{H} \right)\), то и вероятность коммерческого успеха будет выше \(\left( {p_{H} \gt \frac{1}{2}} \right)\), по сравнению с ситуацией, когда управленец будет прикладывать незначительные усилия для улучшения функционирования фирмы \(\left( E_{L} \right)\), полагаясь на то, что благоприятная экономическая конъюнктура скомпенсирует его оппортунизм, но прекрасно понимая, что такое развитие событий является не очень вероятным \(\left( {p_{L} \lt p_{H}} \right)\). Система денежной компенсации менеджеру (И) выстраивается владельцем фирмы (З) с привязкой к результативности деятельности предприятия: если чистая выручка оказывается высокой, то соответствующей будет и заработная плата управляющего \(\left( w_{1} \right)\), и наоборот, при низкой валовой прибыльности фирмы менеджер будет получать меньший гонорар \(\left( w_{2} \right)\). Исполнитель волен отклонить контракт, предлагаемый заказчиком, соглашаясь на некоторый резервный (минимально гарантированный) уровень полезности \(\left( {V(0)} \right)\) и принося при этом нулевую чистую выручку фирме. Чистая прибыль фирмы представляет собой разность между валовой прибылью и компенсацией управляющему: \(\mathit{NR}_{i}\text{-}w_{i},i\text{=}\left\{ 1,2 \right\}\).
Рисунок 8.25. Взаимодействие заказчика и исполнителя
При полной информации оптимизационная задача состоит в максимизации ожидаемой прибыли фирмы:
\(\mathit{EPR}\text{=}p_{j}\left( {\mathit{NR}_{1}\text{-}w_{1}^{j}} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{j}} \right)\left( {\mathit{NR}_{2}\text{-}w_{2}^{j}} \right),\)
где \(j\text{=}\left\{ {H,L} \right\}\) – уровень усилий менеджера, при условии выполнения ограничения по рациональности менеджера, в соответствии с которым его ожидаемая полезность должна быть не меньше некоторого гарантированного при любой ситуации (резервного) уровня:
\(p_{j}V\left( w_{1}^{j} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{j}} \right)V\left( w_{2}^{j} \right)\text{-}E_{j}\geq U(0)\text{=}V(0),j\text{=}\left\{ {H,L} \right\}.\)
Если ограничение по резервной полезности, или «ограничение участия», не выполняется, то очевидно, что рациональные экономические агенты откажутся от данного вида деятельности, предпочитая ему альтернативный.
Итак, оптимизационная задача для собственника предприятия при полной информации имеет вид:
\(\left\{ \begin{matrix} {\underset{w_{1}^{j},w_{2}^{j}}{\mathit{\max}}\mathit{EPR}_{H}\text{=}\underset{w_{1}^{j},w_{2}^{j}}{\mathit{\max}}\left( {p_{j}\left( {\mathit{NR}_{1}\text{-}w_{1}^{j}} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{j}} \right)\left( {\mathit{NR}_{2}\text{-}w_{2}^{j}} \right)} \right):} \\ {\mathit{EU}_{j}\text{=}p_{j}V\left( w_{1}^{j} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{j}} \right)V\left( w_{2}^{j} \right)\text{-}E_{j}\geq V(0),j\text{=}\left\{ {H,L} \right\}.} \\ \end{matrix} \right.\)
Функция Лагранжа для этой задачи будет такова:
\({L = p_{j}}\left( {\mathit{NR}_{1}\text{-}w_{1}^{j}} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{j}} \right)\left( {\mathit{NR}_{2}\text{-}w_{2}^{j}} \right)\text{+}\lambda\left( {p_{j}V\left( w_{1}^{j} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{j}} \right)V\left( w_{2}^{j} \right)\text{-}E_{j}\text{-}V(0)} \right).\)
Необходимые условия экстремума подразумевают, прежде всего, оптимальность по искомым переменным – уровням заработной платы, соответствующим разным состояниям экономической среды:
\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{\partial L}{\partial w_{1}^{j}}\text{=}p_{j}\left( {\lambda V^{'}\left( w_{1}^{j} \right)\text{-}1} \right)\text{=}0,} \\ {\frac{\partial L}{\partial w_{2}^{j}}\text{=}\left( {1\text{-}p_{j}} \right)\left( {\lambda V^{'}\left( w_{2}^{j} \right)\text{-}1} \right)\text{=}0,} \\ \end{matrix} \right.\)
\(т.е.V^{'}\left( w_{1}^{j} \right)\text{=}V^{'}\left( w_{2}^{j} \right)\text{=}\frac{1}{\lambda} \gt 0,\)
\(а\mathit{значит},w_{1}^{j}\text{=}w_{2}^{j}\text{=}w_{j}.\)
Кроме того, должны выполняться условия дополняющей нежесткости:
\(\lambda\frac{\partial L}{\partial\lambda}\text{=}\lambda\left( {p_{j}V\left( w_{1}^{j} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{j}} \right)V\left( w_{2}^{j} \right)\text{-}E_{j}\text{-}V(0)} \right)\text{=}0,\)
\(\lambda\geq 0,p_{j}V\left( w_{1}^{j} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{j}} \right)V\left( w_{2}^{j} \right)\text{-}E_{j}\geq V(0).\)
Из этого условия видно, что поскольку в силу монотонности полезности по заработной плате \(\lambda \gt 0\), постольку ограничение по рациональности является активным:
\(p_{j}V\left( w_{1}^{j} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{j}} \right)V\left( w_{2}^{j} \right)\text{-}E_{j}\text{=}V(0).\)
Решение данной задачи будет найдено из данного равенства с учетом единого уровня заработной платы независимо от результативности функционирования предприятия:
\(w_{j}\text{=}V^{\text{-}1}\left( {E_{j}\text{+}V(0)} \right),j\text{=}\left\{ {H,L} \right\}.\)
В данном случае нет распределения рисков. Весь риск несет собственник, который к нему нейтрален. При этом собственнику не причиняется никакого морального ущерба. Издержки агентского поведения отсутствуют, если менеджер ведет себя так, как того желает собственник.
В ситуации, когда действия менеджера можно наблюдать, оптимальные, с точки зрения общественного благосостояния, контракты в условиях полной информации эквивалентны контрактам, оговаривающим денежную компенсацию исполнителю в зависимости от его усилий. Действительно, поскольку по доказанному выше при решении каждой из двух оптимизационных задач, характеризующих ситуацию, когда агенты демонстрируют, соответственно, высокий либо низкий уровень трудозатрат, уровень заработной платы оказывается инвариантным по отношению к состоянию экономической среды: \(w_{1}\text{=}w_{2}\). Следовательно, постановку оптимизационной задачи в ситуации с работником, прилагающим большие усилия для выполнения производственных задач, можно упростить:
\(\left\{ \begin{matrix} {\underset{w_{j}}{\mathit{\max}}\mathit{EPR}_{j}\text{=}\underset{w_{j}}{\mathit{\max}}\left( {p_{j}\left( {\mathit{NR}_{1}\text{-}w_{j}} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{j}} \right)\left( {\mathit{NR}_{2}\text{-}w_{j}} \right)} \right):} \\ {U\left( {w,E} \right)\text{=}V(w_{j})\text{-}E_{j}\geq V(0),j\text{=}\left\{ {H,L} \right\}.} \\ \end{matrix} \right.\)
Оптимальность контракта предполагает равенство нулю производной лагранжиана
\({L = p_{j}}\mathit{NR}_{1}\text{+}\left( {1\text{-}p_{j}} \right)\mathit{NR}_{2}\text{-}w_{j}\text{+}\lambda\left( {V\left( w_{j} \right)\text{-}E_{j}\text{-}V(0)} \right)\)
по уровню заработной платы:
\(\frac{\partial L}{\partial w_{j}}\text{=}\text{-}1\text{+}\frac{\lambda}{V^{'}\left( w_{j} \right)}\text{=}0,т.е.V^{'}\left( w_{j} \right)\text{=}\lambda \gt 0,\)
а также условия дополняющей нежесткости:
\(\lambda\frac{\partial L}{\partial\lambda}\text{=}\lambda\left( {V\left( w_{j} \right)\text{-}E_{j}\text{-}V(0)} \right)\text{=}0,\lambda\geq 0,V(w_{j})\text{-}E_{j}\geq V(0).\)
Поскольку \(\lambda \gt 0\), постольку \(V\left( w_{j} \right)\text{=}E_{j}\text{+}V(0)\).
Таким образом, в условиях полной информации исполнителю будет назначена заработная плата, обеспечивающая ему резервный уровень полезности:
\(w_{j}\text{=}V^{\text{-}1}\left( {E_{j}\text{+}V(0)} \right),j\text{=}\left\{ {H,L} \right\}.\)
Подводя итог анализа ситуации полной информации, сравним величину прибыли фирмы при различной степени участия в ее деятельности управляющего:
\(\mathit{EPR}_{H}^{\text{*}}\text{=}p_{H}\mathit{NR}_{1}\text{+}\left( {1\text{-}p_{H}} \right)\mathit{NR}_{2}\text{-}w_{H}\text{=}p_{H}\mathit{NR}_{1}\text{+}\left( {1\text{-}p_{H}} \right)\mathit{NR}_{2}\text{-}V^{\text{-}1}\left( {E_{H}\text{+}V(0)} \right),\)
\(\mathit{EPR}_{L}^{\text{*}}\text{=}p_{L}\mathit{NR}_{1}\text{+}\left( {1\text{-}p_{L}} \right)\mathit{NR}_{2}\text{-}w_{L}\text{=}p_{L}\mathit{NR}_{1}\text{+}\left( {1\text{-}p_{L}} \right)\mathit{NR}_{2}\text{-}V^{\text{-}1}\left( {E_{L}\text{+}V(0)} \right),\)
следовательно,
\(\mathit{EPR}_{H}^{\text{*}}\text{-}\mathit{EPR}_{L}^{\text{*}}\text{=}\left( {p_{H}\text{-}p_{L}} \right)\left( {\mathit{NR}_{1}\text{-}\mathit{NR}_{2}} \right)\text{-}\left( {w_{H}\text{-}w_{L}} \right)\text{=}\left( {p_{H}\text{-}p_{L}} \right)\left( {\mathit{NR}_{1}\text{-}\mathit{NR}_{2}} \right)\text{-}\left( {V^{\text{-}1}\left( {E_{H}\text{+}V(0)} \right)\text{-}V^{\text{-}1}\left( {E_{L}\text{+}V(0)} \right)} \right).\)
Таким образом, для того чтобы с точки зрения собственника более предпочтительным был высокий уровень усилий менеджера, разность между величинами чистой выручки при хорошей и плохой конъюнктуре должна превышать разность между соответствующими уровнями заработной платы менеджера в расчете на единицу прироста вероятности наступления благоприятного исхода при увеличении трудозатрат управляющего:
\(\mathit{NR}_{1}\text{-}\mathit{NR}_{2}\text{=}\frac{V^{\text{-}1}\left( {E_{H}\text{+}V(0)} \right)\text{-}V^{\text{-}1}\left( {E_{L}\text{+}V(0)} \right)}{p_{H}\text{-}p_{L}}.\)
Перейдем теперь к рассмотрению ситуации асимметрии информации, когда собственник фирмы не имеет возможности проконтролировать действия наемного менеджера. Очевидно, что сам управляющий, рационализируя уровень своего участия в деятельности руководимого им предприятия, выбирает тот уровень усилий, который ему выгоден с точки зрения индивидуальной полезности. Поскольку действия менеджера для собственника не наблюдаемы, рациональной стратегией для заказчика будет привязка системы денежного стимулирования наемного работника к результативности функционирования предприятия в целом, характеризуемой чистой выручкой, которую принципал в состоянии достоверно определить.
При неполноте информации оптимизационная задача состоит в максимизации ожидаемой прибыли фирмы
\(\mathit{EPR}\text{=}p_{H}\left( {\mathit{NR}_{1}\text{-}w_{1}} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{H}} \right)\left( {\mathit{NR}_{2}\text{-}w_{2}} \right),\)
при условии выполнения ограничений по минимальной, гарантированной полезности
\(p_{H}V\left( w_{1} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{H}} \right)V\left( w_{2} \right)\text{-}E_{H}\text{-}V(0)\geq 0,\)
и по совместимости стимулов
\(\mathit{EU}_{H}\text{=}p_{H}V\left( w_{1} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{H}} \right)V\left( w_{2} \right)\text{-}E_{H}\geq\mathit{EU}_{L}\text{=}\left( {1\text{-}p_{H}} \right)V\left( w_{1} \right)\text{+}p_{H}V\left( w_{2} \right)\text{-}E_{L},\)
\(\mathit{или}V\left( w_{1} \right)\text{-}V\left( w_{2} \right)\text{+}\frac{E_{L}\text{-}E_{H}}{2p_{H}\text{-}1}\geq 0.\)
Очевидно, что собственник заинтересован в том, чтобы простимулировать менеджера к высокому уровню усилий. Итак, принципал (заказчик) решает следующую задачу:
\(\left\{ \begin{matrix} {\underset{w_{1},w_{2}}{\mathit{\max}}\mathit{EPR}_{H}\text{=}\underset{w_{1},w_{2}}{\mathit{\max}}\left( {p_{H}\left( {{NR}_{1}\text{-}w_{1}} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{H}} \right)\left( {\mathit{NR}_{2}\text{-}w_{2}} \right)} \right):} \\ {\mathit{EU}_{H}\text{=}p_{H}V\left( w_{1} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{H}} \right)V\left( w_{2} \right)\text{-}E_{H}\geq V(0),} \\ {V\left( w_{1} \right)\text{-}V\left( w_{2} \right)\text{+}\frac{E_{L}\text{-}E_{H}}{2p_{H}\text{-}1}\geq 0.} \\ \end{matrix} \right.\)
Функция Лагранжа для этой задачи будет иметь следующий вид:
\({L = p_{H}}\left( {\mathit{NR}_{1}\text{-}w_{1}} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{H}} \right)\left( {\mathit{NR}_{2}\text{-}w_{2}} \right)\text{+}\lambda\left( {p_{H}V\left( w_{1} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{H}} \right)V\left( w_{2} \right)\text{-}E_{H}\text{-}V(0)} \right)\text{+}\mu\left( {V\left( w_{1} \right)\text{-}V\left( w_{2} \right)\text{+}\frac{E_{L}\text{-}E_{H}}{2p_{H}\text{-}1}} \right).\)
Необходимые условия экстремума подразумевают, прежде всего, оптимальность по искомым переменным – уровням заработной платы, соответствующим разным состояниям экономической среды:
\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{\partial L}{\partial w_{1}}\text{=}\text{-}p_{H}\text{+}\lambda p_{H}V^{'}\left( w_{1} \right)\text{+}\mu V^{'}\left( w_{1} \right)\text{=}0,} \\ {\frac{\partial L}{\partial w_{2}}\text{=}\lambda\left( {1\text{-}p_{H}} \right)V^{'}\left( w_{2} \right)\text{-}\mu V^{'}\left( w_{2} \right)\text{+}p_{H}\text{-}1\text{=}0,} \\ \end{matrix} \right.\)
\(т.е.\left\{ \begin{matrix} {V^{'}\left( w_{1} \right)\text{=}\frac{p_{H}}{\lambda p_{H}\text{+}\mu},} \\ {V^{'}\left( w_{2} \right)\text{=}\frac{1\text{-}p_{H}}{\lambda\left( {1\text{-}p_{H}} \right)\text{-}\mu},} \\ \end{matrix} \right.\mathit{или}\left\{ \begin{matrix} {\frac{1}{V^{'}\left( w_{1} \right)}\text{=}\lambda\text{+}\frac{\mu}{p_{H}},} \\ {\frac{1}{V^{'}\left( w_{2} \right)}\text{=}\lambda\text{-}\frac{\mu}{1\text{-}p_{H}},} \\ \end{matrix} \right.\)
а значит,
\(\frac{1}{V^{'}\left( w_{1} \right)}\text{+}\frac{1}{V^{'}\left( w_{2} \right)}\text{=}\frac{\mu\left( {1\text{-}2p_{H}} \right)}{p_{H}\left( {1\text{-}p_{H}} \right)}.\)
Кроме того, должны выполняться условия дополняющей нежесткости:
\(\lambda\frac{\partial L}{\partial\lambda}\text{=}\lambda\left( {p_{H}V\left( w_{1} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{H}} \right)V\left( w_{2} \right)\text{-}E_{H}\text{-}V(0)} \right)\text{=}0,\)
\(\lambda\geq 0,p_{H}V\left( w_{1} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{H}} \right)V\left( w_{2} \right)\text{-}E_{H}\geq V(0);\)
\(\mu\frac{\partial L}{\partial\mu}\text{=}\mu\left( {V\left( w_{1} \right)\text{-}V\left( w_{2} \right)\text{+}\frac{E_{L}\text{-}E_{H}}{2p_{H}\text{-}1}} \right)\text{=}0,\mu\geq 0,V\left( w_{1} \right)\text{-}V\left( w_{2} \right)\text{+}\frac{E_{L}\text{-}E_{H}}{2p_{H}\text{-}1}\geq 0.\)
Если \(\mu\text{=}0\), то \(V^{'}\left( w_{1} \right)\text{=}V^{'}\left( w_{2} \right)\), а значит, \(V\left( w_{1} \right)\text{-}V\left( w_{2} \right)\text{=}0\). Но это противоречит соотношению дополняющей нежесткости, в соответствии с которым \(V\left( w_{1} \right)\text{-}V\left( w_{2} \right)\text{+}\frac{E_{L}\text{-}E_{H}}{2p_{H}\text{-}1}\geq 0\), ведь \(\frac{E_{L}\text{-}E_{H}}{2p_{H}\text{-}1} \lt 0\), т.к. \(E_{L} \lt E_{H}\) и \(p_{H} \gt \frac{1}{2}\). Значит, \(\mu \gt 0\) и условие совместимости по стимулам является жестким:
\(V\left( w_{1} \right)\text{-}V\left( w_{2} \right)\text{=}\frac{E_{H}\text{-}E_{L}}{2p_{H}\text{-}1}.\)
Следовательно, из условия оптимальности по \(w_{2}\) и монотонности полезности по заработной плате \(\left( {V^{'}\left( w_{2} \right) \gt 0} \right)\) вытекает, что \(\lambda \gt 0\). В силу первого из условий дополняющей нежесткости это означает, что ограничение по рациональности также является активным:
\(p_{H}V\left( w_{1} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{H}} \right)V\left( w_{2} \right)\text{=}E_{H}\text{+}V(0).\)
Решая систему из двух последних уравнений, получаем, что
\(V\left( w_{1} \right)\text{=}\frac{\left( {1\text{-}p_{H}} \right)\left( {E_{H}\text{-}E_{L}} \right)}{2p_{H}\text{-}1}\text{+}E_{H}\text{+}V(0),\)
то есть
\(w_{1}\text{=}V^{\text{-}1}\left( {\frac{\left( {1\text{-}p_{H}} \right)\left( {E_{H}\text{-}E_{L}} \right)}{2p_{H}\text{-}1}\text{+}E_{H}\text{+}V(0)} \right);\)
и
\(V\left( w_{2} \right)\text{=}\frac{p_{H}\left( {E_{L}\text{-}E_{H}} \right)}{2p_{H}\text{-}1}\text{+}E_{H}\text{+}V(0),\)
то есть
\(w_{2}\text{=}V^{\text{-}1}\left( {\frac{p_{H}\left( {E_{L}\text{-}E_{H}} \right)}{2p_{H}\text{-}1}\text{+}E_{H}\text{+}V(0)} \right).\)
Поскольку \(\frac{\left( {1\text{-}p_{H}} \right)\left( {E_{H}\text{-}E_{L}} \right)}{2p_{H}\text{-}1} \gt 0\), а \(\frac{p_{H}\left( {E_{L}\text{-}E_{H}} \right)}{2p_{H}\text{-}1} \lt 0\), постольку решения задач в условиях полной информации при высоком трудовом вкладе менеджера и в условиях асимметрии информации будут связаны неравенством: \(w_{1} \gt w_{H} \gt w_{2}\). Таким образом, для стимулирования менеджера к высоким трудозатратам в условиях асимметрии информации собственник должен обеспечить ему повышенную заработную плату, по сравнению с ситуацией полной информации, и предусмотреть снижение заработной платы в качестве санкций за оппортунистическое поведение наемного работника.
Обратим внимание на то, что оптимальной стратегией для заказчика будет переложить частично риск на исполнителя, предлагая ему такое меню контрактов, которое обеспечивало бы агенту ожидаемую полезность на резервном уровне:
\(\mathit{EU}_{H}\text{=}p_{H}V\left( w_{1} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{H}} \right)V\left( w_{2} \right)\text{-}E_{H}\text{=}p_{H}\left( {\frac{\left( {1\text{-}p_{H}} \right)\left( {E_{H}\text{-}E_{L}} \right)}{2p_{H}\text{-}1}\text{+}E_{H}\text{+}V(0)} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{H}} \right)\left( {\frac{p_{H}\left( {E_{L}\text{-}E_{H}} \right)}{2p_{H}\text{-}1}\text{+}E_{H}\text{+}V(0)} \right)\text{-}E_{H}\text{=}V(0)\text{=}U(0).\)
Таким образом, в ситуации асимметрии информации собственник не несет весь риск – он делит его с менеджером.
Числовой пример
Рассмотрим пример, иллюстрирующий проблематику морального ущерба, рассмотренную на модельном уровне выше. Допустим, что чистая выручка фирмы может быть высокой \(\mathit{NR}_{1}\text{=}3e^{2}\) либо низкой \(\mathit{NR}_{2}\text{=}3e\); а менеджер фирмы может прикладывать либо большие усилия \(E_{H}\text{=}\frac{4}{3}\), либо маленькие \(E_{L}\text{=}1\). Действия управляющего сказываются на вероятности того, будет деятельность фирмы более или менее результативной: исход \(\mathit{NR}_{1}\) имеет место с вероятностью \(p_{H}\text{=}\frac{2}{3}\), если предпринято действие \(E_{H}\), и лишь с вероятностью \(p_{L}\text{=}\frac{1}{3}\) в противном случае.
Взаимодействие заказчика и исполнителя: пример
Пусть функция полезности менеджера имеет квазилинейную форму:
\(U\left( {w,E} \right)\text{=}\ln w\text{-}E,\)
а его резервный уровень полезности равен нулю.
Нейтральный к риску собственник предприятия разрабатывает стимулирующие контракты, которые предусматривают компенсацию менеджеру в размере \(w_{i}\), привязанную к получению выручки на уровне \(\mathit{TR}_{i}\), \(i\text{=}\{ 1,2\}\).
Рассчитаем вначале оптимальные контракты в условиях полной информации.
Ожидаемая прибыль собственника предприятия составит:
\(\mathit{EPR}\text{=}p_{j}\left( {3e^{2}\text{-}w_{1}} \right)\text{+}\left( {1\text{-}p_{j}} \right)\left( {3e\text{-}w_{2}} \right),\)
где \(j\text{=}\left\{ {H,L} \right\}\) – уровень усилий менеджера.
В случае высоких усилий менеджера оптимизационная задача для владельца предприятия будет выглядеть так:
\(\left\{ \begin{matrix} {\underset{w_{1}^{H},w_{2}^{H}}{\mathit{\max}}\mathit{EPR}_{H}\text{=}\underset{w_{1}^{H},w_{2}^{H}}{\mathit{\max}}\left( {\frac{2}{3}\left( {3e^{2}\text{-}w_{1}^{H}} \right)\text{+}\frac{1}{3}\left( {3e\text{-}w_{2}^{H}} \right)} \right):} \\ {\mathit{EU}_{H}\text{=}\frac{2}{3}\left( {\ln w_{1}^{H}\text{-}\frac{4}{3}} \right)\text{+}\frac{1}{3}\left( {\ln w_{2}^{H}\text{-}\frac{4}{3}} \right)\text{=}\frac{2}{3}\ln w_{1}^{H}\text{+}\frac{1}{3}\ln w_{2}^{H}\text{-}\frac{4}{3}\geq 0.} \\ \end{matrix} \right.\)
Функция Лагранжа для этой задачи будет иметь следующий вид:
\({L = \frac{2}{3}}\left( {3e^{2}\text{-}w_{1}^{H}} \right)\text{+}\frac{1}{3}\left( {3e\text{-}w_{2}^{H}} \right)\text{+}\lambda\left( {\frac{2}{3}\ln w_{1}^{H}\text{+}\frac{1}{3}\ln w_{2}^{H}\text{-}\frac{4}{3}} \right).\)
Необходимые условия экстремума подразумевают, прежде всего, оптимальность по искомым переменным – уровням заработной платы, соответствующим разным состояниям экономической среды:
\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{\partial L}{\partial w_{1}^{H}}\text{=}\text{-}\frac{2}{3}\text{+}\frac{2\lambda}{3w_{1}^{H}}\text{=}0;} \\ {\frac{\partial L}{\partial w_{2}^{H}}\text{=}\text{-}\frac{1}{3}\text{+}\frac{\lambda}{3w_{2}^{H}}\text{=}0,} \\ \end{matrix} \right.т.е.w_{1}^{H}\text{=}w_{2}^{H}\text{=}\lambda \gt 0.\)
Кроме того, должны выполняться условия дополняющей нежесткости:
\(\lambda\frac{\partial L}{\partial\lambda}\text{=}\lambda\left( {\frac{2}{3}\ln w_{1}^{H}\text{+}\frac{1}{3}\ln w_{2}^{H}\text{-}\frac{4}{3}} \right)\text{=}0,\lambda\geq 0,\frac{2}{3}\ln w_{1}^{H}\text{+}\frac{1}{3}\ln w_{2}^{H}\text{-}\frac{4}{3}\geq 0.\)
В силу положительности \(\lambda\), показанной выше, из условия дополняющей нежесткости можно сделать вывод, что \(\frac{2}{3}\ln w_{1}^{H}\text{+}\frac{1}{3}\ln w_{2}^{H}\text{-}\frac{4}{3}\text{=}0\), т.е. \(\ln w_{1}^{H}\text{=}\ln w_{2}^{H}\text{=}\frac{4}{3}\), и \(w_{1}^{H}\text{=}w_{2}^{H}\text{=}e^{\frac{4}{3}}\).
В случае низких усилий менеджера оптимизационная задача принимает вид:
\(\left\{ \begin{matrix} {\underset{w_{1}^{L},w_{2}^{L}}{\mathit{\max}}\mathit{EPR}_{L}\text{=}\underset{w_{1}^{L},w_{2}^{L}}{\mathit{\max}}\left( {\frac{1}{3}\left( {3e^{2}\text{-}w_{1}^{L}} \right)\text{+}\frac{2}{3}\left( {3e\text{-}w_{2}^{L}} \right)} \right):} \\ {\mathit{EU}_{L}\text{=}\frac{1}{3}\left( {\ln w_{1}^{L}\text{-}1} \right)\text{+}\frac{2}{3}\left( {\ln w_{2}^{L}\text{-}1} \right)\text{=}\frac{1}{3}\ln w_{1}^{L}\text{+}\frac{2}{3}\ln w_{2}^{L}\text{-}1\geq 0.} \\ \end{matrix} \right.\)
Выпишем функцию Лагранжа:
\({L = \frac{1}{3}}\left( {3e^{2}\text{-}w_{1}^{L}} \right)\text{+}\frac{2}{3}\left( {3e\text{-}w_{2}^{L}} \right)\text{+}\lambda\left( {\frac{1}{3}\ln w_{1}^{L}\text{+}\frac{2}{3}\ln w_{2}^{L}\text{-}1} \right).\)
Необходимые условия экстремума подразумевают оптимальность по заработной плате в разных условиях экономической конъюнктуры:
\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{\partial L}{\partial w_{1}^{L}}\text{=}\text{-}\frac{1}{3}\text{+}\frac{\lambda}{3w_{1}^{L}}\text{=}0,} \\ {\frac{\partial L}{\partial w_{2}^{L}}\text{=}\text{-}\frac{2}{3}\text{+}\frac{2\lambda}{3w_{2}^{L}}\text{=}0,} \\ \end{matrix} \right.т.е.w_{1}^{L}\text{=}w_{2}^{L}\text{=}\lambda \gt 0;\)
а также условия дополняющей нежесткости:
\(\lambda\frac{\partial L}{\partial\lambda}\text{=}\lambda\left( {\frac{1}{3}\ln w_{1}^{L}\text{+}\frac{2}{3}\ln w_{2}^{L}\text{-}1} \right)\text{=}0,\lambda\geq 0,\frac{1}{3}\ln w_{1}^{L}\text{+}\frac{2}{3}\ln w_{2}^{L}\text{-}1\geq 0.\)
Из последней системы вытекает, что λ – положительная величина, следовательно, \(\frac{\partial L}{\partial\lambda}\text{=}0\), т.е. \(\frac{1}{3}\ln w_{1}^{L}\text{+}\frac{2}{3}\ln w_{2}^{L}\text{=}\ln w_{1}^{L}\text{=}\ln w_{2}^{L}\text{=}1\), и \(w_{1}^{L}\text{=}w_{2}^{L}\text{=}e\).
В ситуации, когда действия менеджера можно наблюдать, оптимальные, с точки зрения общественного благосостояния, контракты в условиях полной информации эквивалентны контрактам, оговаривающим денежную компенсацию исполнителю в зависимости от его усилий. Действительно, поскольку по доказанному выше при решении каждой из двух оптимизационных задач, характеризующих ситуацию, когда агенты демонстрируют, соответственно, высокий либо низкий уровень трудозатрат, уровень заработной платы оказывается инвариантным по отношению к состоянию экономической среды: \(w_{1}\text{=}w_{2}\). Следовательно, постановку оптимизационной задачи в ситуации с работником, прилагающим большие усилия для выполнения производственных задач, можно упростить:
\(\left\{ \begin{matrix} {\underset{w_{H}}{\mathit{\max}}\mathit{EPR}_{H}\text{=}\underset{w_{H}}{\mathit{\max}}\left( {\frac{2}{3}\left( {3e^{2}\text{-}w_{H}} \right)\text{+}\frac{1}{3}\left( {3e\text{-}w_{H}} \right)} \right)\text{=}\underset{w_{H}}{\mathit{\max}}\left( {2e^{2}\text{+}e\text{-}w_{H}} \right):} \\ {U_{H}\text{=}\ln w_{H}\text{-}\frac{4}{3}\geq 0.} \\ \end{matrix} \right.\)
Оптимальность контракта предполагает равенство нулю производной лагранжиана \(L\text{=}2e^{2}\text{+}e\text{-}w_{H}\text{+}\lambda\left( {\ln w_{H}\text{-}\frac{4}{3}} \right)\) по уровню заработной платы \(\frac{\partial L}{\partial w_{H}}\text{=}\text{-}1\text{+}\frac{\lambda}{w_{H}}\text{=}0,\) т.е. \(w_{H}\text{=}\lambda \gt 0\), а также условия дополняющей нежесткости: \(\lambda\frac{\partial L}{\partial\lambda}\text{=}\lambda\left( {\ln w_{H}\text{-}\frac{4}{3}} \right)\text{=}0,\lambda\geq 0,\ln w_{H}\text{-}\frac{4}{3}\geq 0.\) Поскольку \(\lambda \gt 0\), постольку \(\ln w_{H}\text{=}\frac{4}{3}\), т.е. \(w_{H}\text{=}e^{\frac{4}{3}}\).
Аналогично, задачу оптимизации при низких усилиях агента можно переписать в виде:
\(\left\{ \begin{matrix} {\underset{w_{L}}{\mathit{\max}}\mathit{EPR}_{L}\text{=}\underset{w_{L}}{\mathit{\max}}\left( {\frac{1}{3}\left( {3e^{2}\text{-}w_{L}} \right)\text{+}\frac{2}{3}\left( {3e\text{-}w_{L}} \right)} \right)\text{=}\underset{w_{L}}{\mathit{\max}}\left( {e^{2}\text{+}2e\text{-}w_{L}} \right):} \\ {U_{L}\text{=}\ln w_{L}\text{-}1\geq 0.} \\ \end{matrix} \right.\)
Для функции Лагранжа \(L\text{=}e^{2}\text{+}2e\text{-}w_{L}\text{+}\lambda\left( {\ln w_{L}\text{-}1} \right)\) должны выполняться условия оптимальности по заработной плате \(\frac{\partial L}{\partial w_{L}}\text{=}\text{-}1\text{+}\frac{\lambda}{w_{L}}\text{=}0,\) т.е. \(w_{L}\text{=}\lambda \gt 0,\) и дополняющей нежесткости: \(\lambda\frac{\partial L}{\partial\lambda}\text{=}\lambda\left( {\ln w_{L}\text{-}1} \right)\text{=}0,\lambda\geq 0,\ln w_{L}\text{-}1\geq 0.\)
Учитывая, что \(\lambda \gt 0\), получаем \(\ln w_{L}\text{=}1\), а значит \(w_{L}\text{=}e\), как мы и рассчитывали выше при привязке платежа менеджеру к состоянию экономической среды.
Подводя итог анализа ситуации полной информации, можно отметить, что
\(\mathit{EPR}_{H}^{\text{*}}\text{=}\frac{2}{3}\left( {3e^{2}\text{-}e^{\frac{4}{3}}} \right)\text{+}\frac{1}{3}\left( {3e\text{-}e^{\frac{4}{3}}} \right)\text{=}2e^{2}\text{+}e\text{-}e^{\frac{4}{3}} \gt e^{2}\text{+}e\text{=}\mathit{EPR}_{L}^{\text{*}},\)
следовательно, с точки зрения собственника будет предпочтительным высокий уровень усилий менеджера \(E_{H}\).
Рассчитаем теперь субоптимальные контракты в условиях асимметричной информации. Ограничение по рациональности имеет вид:
\(\frac{2}{3}\ln w_{1}\text{+}\frac{1}{3}\ln w_{2}\text{-}\frac{4}{3}\geq 0,\) или \(2\ln w_{1}\text{+}\ln w_{2}\text{-}4\geq 0.\)
Ограничение по совместимости стимулов выглядит так:
\(\mathit{EU}_{H}\text{=}\frac{2}{3}\ln w_{1}\text{+}\frac{1}{3}\ln w_{2}\text{-}\frac{4}{3}\geq\mathit{EU}_{L}\text{=}\frac{1}{3}\ln w_{1}\text{+}\frac{2}{3}\ln w_{2}\text{-}1,\) или \(\ln w_{1}\text{-}\ln w_{2}\text{-}1\geq 0.\)
С точки зрения собственника фирмы, оптимизационная задача будет такова:
\(\left\{ \begin{matrix} {\underset{w_{1},w_{2}}{\mathit{\max}}\mathit{EPR}_{H}\text{=}\underset{w_{1},w_{2}}{\mathit{\max}}\left( {\frac{2}{3}\left( {3e^{2}\text{-}w_{1}} \right)\text{+}\frac{1}{3}\left( {3e\text{-}w_{2}} \right)} \right):} \\ {2\ln w_{1}\text{+}\ln w_{2}\text{-}4\geq 0,} \\ {\ln w_{1}\text{-}\ln w_{2}\text{-}1\geq 0.} \\ \end{matrix} \right.\)
Функция Лагранжа для этой задачи будет иметь следующий вид:
\({L = \frac{2}{3}}\left( {3e^{2}\text{-}w_{1}} \right)\text{+}\frac{1}{3}\left( {3e\text{-}w_{2}} \right)\text{+}\lambda\left( {2\ln w_{1}\text{+}\ln w_{2}\text{-}4} \right)\text{+}\mu\left( {\ln w_{1}\text{-}\ln w_{2}\text{-}1} \right).\)
Условия оптимальности по искомым переменным – ставкам заработной платы в ситуации высокой либо низкой результативности фирмы – будут выглядеть так:
\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{\partial L}{\partial w_{1}}\text{=}\text{-}\frac{2}{3}\text{+}\frac{2\lambda}{w_{1}}\text{+}\frac{\mu}{w_{1}}\text{=}0,} \\ {\frac{\partial L}{\partial w_{2}}\text{=}\text{-}\frac{1}{3}\text{+}\frac{\lambda}{w_{2}}\text{-}\frac{\mu}{w_{2}}\text{=}0;} \\ \end{matrix} \right.\)
или
\(\left\{ \begin{matrix} {w_{1}\text{=}3\lambda\text{+}\frac{3}{2}\mu,} \\ {w_{2}\text{=}3\lambda\text{-}3\mu;} \\ \end{matrix} \right.\)
а значит, \(w_{1}\text{-}w_{2}\text{=}4,5\mu\).
Кроме того, необходимо учитывать условия дополняющей нежесткости:
\(\lambda\frac{\partial L}{\partial\lambda}\text{=}\lambda\left( {2\ln w_{1}\text{+}\ln w_{2}\text{-}4} \right)\text{=}0,\lambda\geq 0,2\ln w_{1}\text{+}\ln w_{2}\text{-}4\geq 0.\)
\(\mu\frac{\partial L}{\partial\mu}\text{=}\mu\left( {\ln w_{1}\text{-}\ln w_{2}\text{-}1} \right)\text{=}0,\mu\geq 0,\ln w_{1}\text{-}\ln w_{2}\text{-}1\geq 0.\)
Если \(\mu\text{=}0\), то \(w_{1}\text{=}w_{2}\), а значит, \(\ln w_{1}\text{-}\ln w_{2}\text{=}0\). Но это противоречит соотношению дополняющей нежесткости, в соответствии с которым \(\ln w_{1}\text{-}\ln w_{2}\text{-}1\geq 0\). Значит, \(\mu \gt 0\) и \(\ln w_{1}\text{-}\ln w_{2}\text{=}1\).
Следовательно, из условия оптимальности по \(w_{2}\) вытекает, что \(\lambda \gt 0\). Это означает, в силу первого из условий дополняющей нежесткости, что
\(2\ln w_{1}\text{+}\ln w_{2}\text{=}4.\)
Решая систему из двух последних уравнений, получаем, что \(3\ln w_{1}\text{=}5\), то есть \(w_{1}\text{=}e^{\frac{5}{3}}\); и \(\ln w_{2}\text{=}\frac{2}{3}\), то есть \(w_{2}\text{=}e^{\frac{2}{3}}\).
В условиях квазиоптимума величина ожидаемой прибыли собственника фирмы составит \(\mathit{EPR}_{H}\text{=}\frac{2}{3}\left( {3e^{2}\text{-}e^{\frac{5}{3}}} \right)\text{+}\frac{1}{3}\left( {3e\text{-}e^{\frac{2}{3}}} \right)\text{=}2e^{2}\text{-}\frac{2}{3}e^{\frac{5}{3}}\text{+}e\text{-}\frac{1}{3}e^{\frac{2}{3}}\).
Рассчитаем агентские издержки асимметрии информации: \(\mathit{EPR}_{H}^{\text{*}}\text{-}\mathit{EPR}_{H}\text{=}\left( {2e^{2}\text{-}e^{\frac{4}{3}}\text{+}e} \right)\text{-}\left( {2e^{2}\text{-}\frac{2}{3}e^{\frac{5}{3}}\text{+}e\text{-}\frac{1}{3}e^{\frac{2}{3}}} \right)\text{=}\frac{2}{3}e^{\frac{5}{3}}\text{-}e^{\frac{4}{3}}\text{+}\frac{1}{3}e^{\frac{2}{3}}\).