Модель неблагоприятного отбора на рынке страхования изложена в статье Майкла Ротшильда и Джозефа Стиглица «Равновесие на конкурентном рынке страхования: эссе по экономике несовершенной информации»1 (1976).
Модель имеет ряд предпосылок и исходных условий.
Прежде всего, предполагается, что:
- W – доход (богатство) индивида, d – величина потерь дохода (богатства) индивида при наступлении несчастного случая;
- \(E({\widehat{W}}_{1},{\widehat{W}}_{2}\)) – начальный запас индивида, где \({\widehat{W}}_{1}\text{=}W,{\widehat{W}}_{2}\text{=}W\text{-}d\);
- \(\rho\) – вероятность наступления несчастного случая;
- \({\widehat{a}}_{2}\text{-}\text{страховая\ сумма},a\text{=}(a_{1},a_{2})\) – вектор страхового контракта, где \(a_{1}\) - плата за страховку (цена полиса), \(a_{2}\text{=}{\widehat{a}}_{2}\text{-}a_{1}\);
- \(W_{1}\text{=}W\text{-}a_{1}\) - доход (богатство) индивида, если страховой случай не наступает, \(W_{2}\text{=}W\text{-}d\text{+}a_{2}\) - доход (богатство) индивида при наступлении страхового случая;
- Каждый индивид максимизирует функцию ожидаемой полезности:
\(\widehat{V}\left( {\rho,W_{1},W_{2}} \right)\text{=}\left( {1\text{-}\rho} \right)U(W_{1})\text{+}\rho{U(W}_{2}),\)
где U(∙) – элементарная функция полезности денежного дохода (богатства);
- Предпочтения индивидов не зависят от состояния;
- Все индивиды одинаково несклонны к риску (U’’<0).
При определении спроса на страховые контракты в модели предполагается, что каждый их покупатель приобретает только один контракт, а его решение зависит от двух параметров:
- ожидаемая полезность при приобретении страхового контракта:
\(V\left( {\rho,a} \right)\text{=}\widehat{V}(\rho,W\text{-}a_{1},W\text{-}d\text{+}a_{2})\);
- ожидаемая полезность без приобретения страхового контракта:
\(V\left( {\rho,0} \right)\text{=}\widehat{V}(\rho,W,W\text{-}d)\).
Максимизирующий ожидаемую полезность индивид приобретет контракт, если: \(V\left( {\rho,a} \right)\geq V\left( {\rho,0} \right).\)
Предложение страховых контрактов обеспечивается страховыми компаниями, нейтральными к риску.
Цель страховых компаний – максимизация ожидаемой прибыли:
\(\pi\left( {\rho,a} \right)\text{=}\left( {1\text{-}\rho} \right)a_{1}\text{-}\rho a_{2}\text{=}a_{1}\text{-}\rho\left( {a_{1}\text{+}a_{2}} \right).\)
Любой страховой контракт, на который есть спрос и который ожидается прибыльным, будет предложен.
Выбор страховой компании сводится к определению оптимальных цен полисов и страховых сумм.
В модели рассматривается совершенно конкурентный рынок страховых контрактов со свободным входом. Однако на нем может иметь место асимметрия информации, когда приобретающие страховки индивиды имеют точную информацию о вероятности несчастного случая, который может с ними произойти, а страховые компании – нет.
В случаях асимметрии информации модель фокусируется на механизме самоотбора (self-selection mechanism), предполагающем, что страховые компании стимулируют индивидов самоидентифицироваться - совершать выбор так, чтобы одновременно выявлялись их скрытые характеристики и заключались такие контракты, которые бы были оптимальными.
В условиях равновесия набор заключаемых контрактов таков, что выполняются:
- условие безубыточности, т.е. нет контрактов, при которых \(\pi\left( {\rho,a} \right) \lt 0\);
- условие отсутствия входа, т.е. за пределами рассматриваемого рынка не могут быть предложены контракты с \(\pi\left( {\rho,a} \right)\geq 0\).
Тип рассматриваемого равновесия – равновесие Курно-Нэша: каждая страховая компания исходит из независимости решений конкурентов от ее собственных действий.
Возможно несколько вариантов равновесия.
Случай 1: Индивиды имеют идентичные вероятности наступления несчастного случая (\(\rho\)), которые известны страховым компаниям.
Исходя из предпосылок и условий модели, в условиях равновесия:
- у страховых компаний \(\pi\left( {\rho,a} \right)\text{=}\left( {1\text{-}\rho} \right)a_{1}\text{-}\rho a_{2}\text{=}0;\)
- индивиды максимизируют ожидаемую полезность при покупке оптимального контракта \(a^{\text{*}}\) на полную сумму потерь по справедливой цене.
Тогда в точке равновесия \(E^{\text{*}}({\widehat{W}}_{1}\text{-}a_{1},{\widehat{W}}_{2}\text{+}a_{2}\)) будет выполняться условие равенства предельной нормы замещения дохода при состоянии мира 2 доходом при состоянии мира 1 (\(\mathit{MRS}_{W_{1}W_{2}}\)) и тангенса угла наклона линии ясных шансов (\(\gamma\)) (рис. 8.3):
\(\mathit{MRS}_{W_{1}W_{2}}\text{=}\mathit{tg\gamma}\),
где:
- \(\mathit{MRS}_{W_{1}W_{2}}\text{=}\frac{\left( {1\text{-}\rho} \right)U'(W_{1})}{\mathit{\rho U}'(W_{2})}\),
- \(\mathit{tg\gamma}\text{=}\frac{1\text{-}\rho}{\rho}\).
Точка равновесия E* будет лежать на пересечении линии определенности (С) и линии ясных шансов.
Если все индивиды имеют различные \(\rho,\) которые известны страховым компаниям, рынок распадается на множество сегментов с соответствующими вероятностями несчастных случаев и соответствующими равновесными параметрами.
Рисунок 8.3. Равновесие на рынке страховых контрактов, когда индивиды имеют идентичные вероятности наступления несчастного случая
Случай 2: Две группы индивидов имеют различные вероятности наступления несчастного случая (\(\rho\)), которые известны страховым компаниям.
Два типа покупателей страховок имеют различные вероятности наступления страхового случая: низкорисковые – \(\rho^{L}\) и высокорисковые – \(\rho^{H}\). Это означает, что \(\rho^{H} \gt \rho^{L}\).
Доля высокорисковых индивидов равна λ, доля низкорисковых составляет (1-λ).
Если рынок страховых услуг является конкурентным и страховым компаниям удается точно отличить низкорискового клиента от высокорискового клиента, то складывается равновесие в условиях полной информации, при котором: \(\alpha_{1}^{L}\text{=}\rho^{L}d\) и \(\alpha_{1}^{H}\text{=}\rho^{H}d\), т.е. с каждым клиентом заключается справедливый контракт на полную сумму потерь, аналогично рассмотренному выше случаю.
Как показано на рис. 8.4, угол наклона линии ясных шансов для низкорисковых индивидов больше, чем для высокорисковых:
Рисунок 8.4. Равновесие на рынке страховых контрактов, когда индивиды имеют различные вероятности наступления несчастного случая, которые известны страховым компаниям
Случай 3: Две группы индивидов имеют различные вероятности наступления несчастного случая (\(\rho\)), которые не известны страховым компаниям и до заключения контракта они не могут отличить низкорисковых индивидов от высокорисковых.
В рамках этого случая возможны три варианта исходов.
Вариант 1. Если каждая страховая компания продолжит продавать полисы двух типов на полное страховое покрытие, как это было показано в Случае 2, то у высокорисковых клиентов появится возможность выдать себя за низкорисковых. В результате может сложиться такая ситуация, когда клиенты обоих типов покупают дешевые контракты. Таким образом, страховые компании станут убыточными и разорятся. Очевидно, что этот вариант нельзя признать оптимальным для страхового рынка.
Вариант 2. Страховые компании продают полисы, исходя из средней вероятности наступления страхового случая:
\(a\text{=}\overline{\rho}d\), где: \(\overline{\rho}\text{=}\lambda\rho^{H}\text{+}\left( {1\text{-}\lambda} \right)\rho^{L}.\)
Тогда контракт \(\alpha\), принадлежащий линии рыночных шансов (market odds line) \(\mathit{EF}\) с углом наклона \(\varphi\), где \((\mathit{tg}\varphi\text{=}\frac{1\text{-}\overline{\rho}}{\overline{\rho}}),\) не будет объединяющим (агрегирующим) равновесием, при котором обе группы покупают одинаковый контракт, так как \(\pi\left( {\overline{\rho},a} \right)\text{=}0\), однако поскольку пересекающиеся в \(\alpha\) кривые безразличия \(\overline{U}\)H и \(\overline{U}\)L имеют разные углы наклона, причем \(\frac{1\text{-}\rho^{L}}{\rho^{L}} \gt \frac{1\text{-}\rho^{H}}{\rho^{H}}\), существует контракт, соответствующий \(\beta\), который не выберут высокорисковые индививды, но предпочтут низкорисковые индивиды (рис. 8.5). Следовательно:
\(\pi\left( {\rho^{L},\beta} \right) \gt \pi\left( {\overline{\rho},a} \right)\text{=}0\),
что противоречит условию отсутствия входа (ii).
Это означает, что в состоянии равновесия каждый тип клиентов должен приобретать сепаратный контракт.
Рисунок 8.5. Рынок страховых контрактов, когда две группы индивидов имеют различные вероятности наступления несчастного случая, которые не известны страховым компаниям и они продают полисы, исходя из средней вероятности наступления страхового случая
Вариант 3. Разделяющее равновесие, когда страхователи разных типов выбирают различные контракты и выполняются следующие условия:
- Самоотбор - индивиды должны самостоятельно предпочесть контракт, соответствующий их типу;
- Безубыточность – каждый равновесный контракт дает \(\pi\text{=}0\);
- Отсутствие входа – исключается возможность появления другого контракта, который бы изменил поведение страхователей.
При таких условиях (\(\alpha^{H},\alpha^{L}\)) – единственное разделяющее равновесие (рис. 8.6), где:
- \(\alpha^{H}\) - оптимум высокорисковых индивидов на EH с наклоном \(\frac{1\text{-}\rho^{H}}{\rho^{H}}\);
- \(\alpha^{L}\) - оптимум низкорисковых индивидов на EL с наклоном \(\frac{1\text{-}\rho^{L}}{\rho^{L}}\).
В ситуации асимметрии информации компания будет заинтересована в выработке такого оптимального договора страхования, в котором заложены механизмы самоотбора, стимулирующие страховщиков проявить индивидуальный уровень риска. Такой контракт должен подчиняться «ограничению совместимости стимулов»: для высокорисковой группы не должно быть выгодным выбирать контракт, предназначенный индивидам с низким риском наступления страхового случая, т.е.
\(\mathit{EU}_{h}\text{=}\left( {1\text{-}\rho^{H}} \right)U\left( {W\text{-}\alpha^{H}\rho^{H}} \right)\text{+}\rho^{H}U\left( {W\text{-}d\text{+}\left( {1\text{-}\rho^{H}} \right)\alpha^{H}} \right)\geq\)
\(\geq\mathit{EU}_{h}\text{=}\left( {1\text{-}\rho^{H}} \right)U\left( {W\text{-}\alpha^{L}\rho^{L}} \right)\text{+}\rho^{H}U\left( {W\text{-}d\text{+}\left( {1\text{-}\rho^{L}} \right)\alpha^{L}} \right).\)
Напомним, что при справедливом страховании цена полиса должна быть равна вероятности наступления страхового случая.
Чтобы последнее неравенство выполнялось, контракт, предлагаемый для высокорисковых индивидов, должен быть как можно более выгодным. Это увеличивало бы значение левой части неравенства. Поскольку, как было показано ранее, полезность страховщика возрастает при увеличении страхового покрытия, а значит, высокорисковой группе клиентов должен быть предложен контракт \(\alpha^{H}\) (рис. 8.6) с полным покрытием: \(\alpha^{H}\text{=}d\). При этом наиболее выгодным контрактом для низкорисковой группы будет такой, при котором последнее неравенство будет выполнено как равенство при условии полного покрытия для высокорисковых страховщиков:
\(U\left( {W\text{-}\rho^{H}d} \right)\text{=}\left( {1\text{-}\rho^{H}} \right)U\left( {W\text{-}\alpha^{L}\rho^{L}} \right)\text{+}\rho^{H}U\left( {W\text{-}d\text{+}\left( {1\text{-}\rho^{L}} \right)\alpha^{L}} \right).\)
Этот контракт \(\alpha^{L}\) будет находиться на пересечении бюджетного ограничения низкорисковой группы с кривой безразличия высокорисковых клиентов (рис. 8.6). Очевидно, что при этом полезность низкорисковых клиентов не будет максимальной, то есть им будет предлагаться контракт с неполным покрытием: \(\alpha^{L} \lt d\).
Условия, при которых разделяющее равновесие не существует:
- Издержки объединяющего равновесия низки (относительно мало высокорисковых индивидов или \(\rho^{L}\) и \(\rho^{H}\) мало отличаются);
- Издержки сепарирования, связанные с неготовностью индивидов покупать полные страховки, высоки (например, полярный случай, когда \(\rho^{L}\) очень низка).
Как показано на рис. 8.6, линии E’, E*, E” соответствуют усредненной вероятности \(\overline{\rho}\text{=}\lambda\rho^{H}\text{+}\left( {1\text{-}\lambda} \right)\rho^{L}\) при λ =λ’, λ*, λ” и имеют наклон \(\varphi^{'},\varphi^{\text{*}},\varphi''\).
Линия Е* определяет критическое значение доли высокорисковых индивидов λ*: для λ’<λ* равновесия не существует вообще, для λ”≥λ* существует разделяющее равновесие при контрактах, приводящих их покупателей в точки \(\alpha\)L и \(\alpha\)H.
Рисунок 8.6. Разделяющее равновесие на рынке страховых контрактов
Выводы из модели неблагоприятного отбора на рынке страхования:
- Если λ столь низка, что равновесия не существует, то рынок страхования переживает постоянные изменения.
- Если λ высока, то плата за страховку, исходя из средней вероятности наступления страхового случая, чересчур высока по сравнению с \(a_{1}^{L}\), поэтому низкорисковые индивиды не хотят покупать дополнительное страховое покрытие и выбирают справедливое страхование. На практике на рынке страхования предлагается устойчивый набор дифференцированных контрактов (например, стандартный контракт предполагает полное страховое покрытие по конкретной цене и возможность получения скидки при сокращении степени покрытия).
- На рынке страхования не достигается Парето-оптимальность: бремя неблагоприятного отбора несут низкорисковые индивиды, поскольку, чтобы исключить из числа покупателей их контрактов высокорисковых индивидов, страховая компания заставляет недостраховываться низкорисковых индивидов (по справедливой цене им предлагается лишь частичная компенсация, достаточная для попадания в точку \(\alpha\)L).
М. Ротшильд и Дж. Стиглиц справедливо отмечают существование альтернативных концепций равновесия на рынке страховых контрактов, которые отличаются допущениями относительно поведения страховых компаний и другими предпосылками. Одной из них является концепция Чарльза Уилсона (1976), в которой предложено следующее определение равновесного набора контрактов:
- в нем нет контрактов с \(\pi\left( {\rho,a} \right) \lt 0\) (условие безубыточности);
- не существует нового контракта (или набора контрактов), который, будь он предложен, принесет положительную прибыль, даже если все контракты, которые станут убыточными вследствие его появления, будут устранены.
Рисунок 8.7. Равновесие по Ч. Уилсону
Очевидно, что, если разделяющее равновесие по Ротшильду-Стиглицу существует, оно также является равновесием по Уилсону.
Если разделяющего равновесия по Ротшильду-Стиглицу не существует, равновесие по Уилсону – это объединяющее равновесие, в котором максимизируется благосостояние низкорисковых индивидов.
Как показано на рис. 8.7, пример равновесия по Уилсону – это объединяющее равновесие \(\beta\), максимизирующее благосостояние низкорисковых индивидов. Оно предпочтительнее разделяющего равновесия (\(\alpha\)H\(\text{,}\alpha\)L), которое не может существовать.
Наличие контракта \(\delta\) по Ротшильду-Стиглицу не позволяет считать \(\beta\) равновесием. Однако по Уилсону появление \(\delta\) сначала переключит на него низкорисковых индивидов, что сделает убыточным и приведет к отмене \(\beta\), а затем убыточным станет \(\delta\), когда на него перейдут и высокорисковые индивиды. Таким образом, \(\delta\) не может успешно конкурировать с \(\beta\).
М.Ротшильд и Дж. Стиглиц подчеркивают, что концепция равновесия Уилсона – это «не близорукая концепция равновесия, которая более приемлема для моделей монополии (или олигополии), чем для моделей конкуренции»2. Действительно, в условиях конкуренции трудно представить себе возможности отдельной страховой компании прогнозировать все последствия появления предлагаемого ею нового контракта.
Числовой пример
Предположим, что нейтральная к риску страховая компания, работающая в условиях совершенной конкуренции, предлагает справедливые страховые полисы владельцам недвижимости (городских квартир) стоимостью 16 (ден.ед.), обладающим одинаковым первоначальным богатством \(w\text{=}25\), в которое включена стоимость самих квартир, и одинаковыми функциями полезности \(U\text{=}\sqrt{w}\), но различающимся вероятностями наступления страхового случая, связанного с утратой полной стоимости объекта недвижимости: у половины она составляет \(\rho^{L}\text{=}\frac{1}{4}\), а у другой половины – \(\rho^{H}\text{=}\frac{1}{2}\).
Рассмотрим вначале ситуацию полной информированности о вероятностях наступления страховых случаев как страхователя, так и каждого страховщика. Предполагая, что страхователь имеет возможность предлагать различные по характеристикам полисы для разных групп страховщиков, на основе проведенного ранее анализа принципов формирования оптимальных страховых контрактов, определяем, что все индивиды будут полностью страховать свой ущерб: \(\alpha^{H}\text{=}\alpha^{L}\text{=}16\). При этом в условиях справедливого страхования лицам с низкой вероятностью наступления страхового случая будет предложен единичный полис за \(q^{L}\text{=}\rho^{L}\text{=}\frac{1}{4}\), тогда как индивидам, для которых характерен высокий риск инцидента, стоимость полиса будет выше: \(q^{H}\text{=}\rho^{H}\text{=}\frac{1}{2}\).
Предположим теперь, что имеет место асимметрия информации в пользу страховщиков, которые точно знают вероятности наступления соответствующего ущерба, тогда как страхователь не располагает такими данными.
Индивиды с высоким риском будут полностью страховать вероятный ущерб: \(\alpha^{H}\text{=}16\). При этом их выбор подчиняется ограничению совместимости по стимулам: \(\sqrt{25\text{-}16\bullet\frac{1}{2}}\text{=}\frac{1}{2}\sqrt{25\text{-}\frac{1}{4}\alpha^{L}}\text{+}\frac{1}{2}\sqrt{25\text{-}16\text{+}\frac{3}{4}\alpha^{L}}\). Преобразуя данное условие: \(2\sqrt{17}\text{=}\sqrt{25\text{-}\frac{\alpha^{L}}{4}}\text{+}\sqrt{9\text{+}\frac{3\alpha^{L}}{4}}\), или \(34\text{-}\frac{\alpha^{L}}{2}\text{=}2\sqrt{25\text{-}\frac{\alpha^{L}}{4}}\sqrt{9\text{+}\frac{3\alpha^{L}}{4}}\), приходим к квадратному уравнению: \(\alpha^{L2}\text{-}100\alpha^{L}\text{+}256\text{=}0\). Его решением могут быть две величины страхового полиса \(\alpha^{L}\text{=}50\pm\sqrt{2244}\), из которых допустимым является меньшее. Таким образом, страховщики с низким риском выберут неполное страхование ущерба в размере \(\alpha^{L}\approx 2,63\). Стоимости страховок будут такими же, как и в условиях полной информации.
Rothschild M., Stiglitz J.E. Equilibrium in Competitive Insurance Markets: An Essay on the Economics of Imperfect Information. The Quarterly Journal of Economics. 1976. Vol. 90. P. 630–649.↩︎
Rothschild M., Stiglitz J.E. Equilibrium in Competitive Insurance Markets: An Essay on the Economics of Imperfect Information. The Quarterly Journal of Economics. 1976. Vol. 90. P. 647.↩︎