Модель ценообразования финансовых активов (CAPM) опирается на теорию портфельного выбора Г. Марковица, рассмотренную в параграфе 5.2.4.4. Она предполагает совершенство и ликвидность рынка капитала и применяется с целью определения требуемого уровня доходности рискового актива с учетом рыночного риска данного актива.
Важную роль в рамках модели CAPM играет т.н. теорема о разделении Д. Тобина, которая утверждает, что оптимальная для инвестора комбинация рисковых активов не зависит от его предпочтений относительно риска и дохода.
Предполагается, что инвестор желает держать часть своего капитала в виде наличности, а также на беспроцентных депозитах с целью поддержания ликвидности для возможных транзакций. Выбор соотношения активов в портфеле будет основываться на максимизации полезности этого портфеля и состоит в выборе определенной точки на эффективной границе допустимого множества портфелей Марковица. Параметры портфеля, максимизирующего полезность, будут определятся только долей инвестиций в рисковый портфель P. При этом благосостояние инвестора влияет на его решение об инвестициях в конкретные активы, но не влияет на относительное распределение его валовых инвестиций.
Допустим, на рынке существует \((n\text{-}1)\) рисковых активов с доходностями, определяемыми как прирост стоимости их цен за единицу времени
\(r_{i}\text{=}\frac{p_{t}\text{-}p_{t\text{-}1}}{p_{t\text{-}1}},\)
и n-ый, безрисковый актив с доходностью \(r_{f}\). В этом случае доходность портфеля может быть рассчитана следующим образом:
\(r_{p}\text{=}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{n\text{-}1}{w_{i}r_{i}}}\text{+}w_{n}r_{f},\)
где \(w_{i}\) – доля вложения в i-й актив. Обозначим через \(w\) долю вложений в рисковые активы, которые приносят доходность \(r\): \({\sum\limits_{i\text{=}1}^{n\text{-}1}{w_{i}r_{i}}}\text{=}wr\). Соответственно, доля вложений в безрисковый актив составит1 \(w_{n}\text{=}(1\text{-}w)\). Тогда, уравнение доходности портфеля может быть представлено в следующем виде:
\(r_{p}\text{=}\mathit{wr}\text{+}\left( {1\text{-}w} \right)r_{f}\text{=}r_{f}\text{+}w\left( {r\text{-}r_{f}} \right).(6.110)\)
Мерой риска портфеля является стандартное отклонение:
\(\sigma_{p}\text{=}\sqrt{\sigma_{i}^{2}}\text{=}\sqrt{\sum\limits_{i\text{=}1}^{n\text{-}1}{\sum\limits_{j\text{=}1}^{n\text{-}1}{w_{i}w_{j}\mathit{cov}(r_{i},r_{j})}}},(6.111)\)
где \(\mathit{cov}(r_{i},r_{j})\) – ковариация i-го и j-го активов.
Заметим, что в случае безрискового актива, \(\sigma_{n}\text{=}0\) и \(\mathit{cov}(r_{i},r_{n})\text{=}0\) для любого i, в связи с чем при рассмотрении портфеля, состоящего только из рискового и безрискового активов, стандартное отклонение портфеля составит:
\(\sigma_{p}\text{=}\sqrt{\sigma_{p}^{2}}\text{=}\sqrt{w^{2}\sigma^{2}}\text{=}\mathit{w\sigma}.(6.112)\)
Подставляя значения \(w\text{=}\frac{\sigma_{p}}{\sigma}\) из уравнения стандартного отклонения в уравнение доходности портфеля, получаем линейную зависимость между ожидаемым доходом инвестора и риском его портфеля:
\(r_{p}\text{=}r_{f}\text{+}\theta\sigma_{p},(6.113)\)
где \(\theta\text{=}\frac{(r_{p}\text{-}r_{f})}{\sigma_{p}}\) – это т.н. коэффициент Шарпа, который показывает, как сильно по сравнению с безрисковой альтернативой вознаграждается единица риска по данному активу, и чаще всего используется в качестве меры успешности управления портфелем. Коэффициент Шарпа равен тангенсу угла наклона линии, отражающей зависимость между доходностью и риском актива (линия CAL), в связи с чем, задача инвестора заключается в его максимизации.
Наибольшее значение коэффициента Шарпа (максимальный угол наклона) будет иметь та линия CAL, которая является касательной к эффективной границе допустимого множества портфелей Марковица2. Таким образом, существует только одна точка оптимума, так называемый касательный портфель рисковых активов P, при которой вознаграждение за риск принимает максимальное значение (рис. 6.49).
После определения оптимального рискового портфеля, инвестор, максимизируя свою функцию полезности, переходит к выбору подходящих для него уровней риска и доходности. Выбирая доходность, инвестор определяет долю рисковых инвестиций в оптимальном портфеле, а следовательно, и оптимальное количество инвестиций в безрисковые активы, при этом сам портфель рисковых активов остается неизменным.
Рисунок 6.49. Выбор комбинации рискового и безрискового актива
Рассмотрим оптимизационный подход к выводу равновесных характеристик модели CAPM3.
Наличие возможности коротких продаж подразумевает ситуацию, при которой инвестор продает актив, которого на момент совершения сделки у него нет, и который он планирует к моменту передачи актива купить на рынке по пониженной цене. В данном случае выполняется условие того, что \({\sum w_{i}}\text{=}1\), однако отсутствует условие положительности всех долей \(w_{i}\).
При \(w_{i} \gt 0\) доходность портфеля одного актива составит \(w_{i}r_{i}\text{=}w_{i}\left( {r_{i}\text{-}r_{f}} \right)\text{+}\left| w_{i} \right|r_{f}.\) \(\mathit{Если}w_{i} \lt 0,\) то инвестиция в актив будет равна цене, заплаченной за него. Полученная сумма должна быть депонирована, а также предельная возможная сумма должна быть выплачена настоящему владельцу актива, чьи акции были заимствованы для короткой продажи. В дополнение инвестор получает процент с вырученных от продажи денег, а также он может получить или не получить такой же процент от своего перевода владельцу акции. Чтобы облегчить анализ, предположим, что он всегда получает оба компонента дохода. Тогда доходность инвестиций составит \(\left| w_{i} \right|{(2r}_{f}\text{-}r_{i})\text{=}w_{i}\left( {r_{i}\text{-}r_{f}} \right)\text{+}\left| w_{i} \right|r_{f}\). Итоговую доходность портфеля можно записать так:
\(r_{p}\text{=}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{n\text{-}1}{{(w}_{i}\left( {r_{i}\text{-}r_{f}} \right)\text{+}\left| w_{i} \right|r_{f})}}\text{=}r_{f}\text{+}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{n\text{-}1}{w_{i}m_{i}}},\)
где \(m_{i}\text{=}r_{i}\text{-}r_{f}\) – это премия за риск.
Стандартное отклонение данного портфеля не изменится и составит (6.111). Таким образом, возвращаясь к задаче максимизации, (в рамках выполнения начальных условий теоремы о разделении), поиск оптимального решения сводится к безусловной максимизации коэффициента Шарпа (поскольку \(\theta\) – функция однородная степени 0 относительно \(w_{i}\), соответственно любое пропорциональное изменение во всех \(w_{i}\) не влияет на \(\theta\)).
Выпишем необходимые условия его максимизации:
\(\frac{\partial\theta}{\partial w_{i}}\text{=}\frac{m_{i}\text{-}\lambda(w_{i}\sigma_{i}^{2}\text{+}{\sum\limits_{j\neq i}{w_{j}\mathit{cov}(r_{i},r_{j}}}))}{\sigma_{p}}\text{=}0,\)
где \(\lambda\text{=}\frac{m}{{\sigma_{p}}^{2}}\text{=}\frac{\sum\limits_{i}{w_{i}m_{i}}}{\sum\limits_{i}{\sum\limits_{j}{w_{i}w_{j}\mathit{cov}(r_{i},r_{j})}}}\).
Поскольку \(\sigma_{p}\) – константа, она не влияет на решение и для каждого i-го уравнения точка максимума может быть записана так:
\(z_{i}\sigma_{i}^{2}\text{+}{\sum\limits_{j\neq i}{w_{j}\mathit{cov}(r_{i},r_{j}}})\text{=}m_{i},i\text{=}1,2,\ldots,n;\)
где \(z_{i}\text{=}\lambda w_{i}\) – относительные инвестиции в i-й актив.
Второе слагаемое в предыдущем уравнении – это сумма ковариаций i-го актива с j-ым. Поскольку ковариационная матрица \(\check{X}\) положительно определена, постольку можно выделить вектор оптимальных решений \(z_{i}^{0}\text{=}{\sum\limits_{j\text{=}1}^{n\text{-}1}\mathit{cov}^{\mathit{mi},\mathit{mj}}}m_{j}\), где \(\mathit{cov}^{\mathit{ij}}\) – элементы ij обратной ковариационной матрицы премий к доходностям активов.
Преобразовав данное выражение обратно к форме долей активов в портфеле, получаем \(w_{i}^{0}\text{=}\left( \frac{1}{\lambda^{0}} \right){\sum\limits_{j\text{=}1}^{n\text{-}1}{\mathit{cov}^{\mathit{ri},\mathit{rj}}(r_{j}\text{-}r_{f})}}\).
Поскольку сумма долей всех активов равна 1, постольку
\(\lambda^{0}\text{=}{\sum\limits_{i}\left| z_{i}^{0} \right|}\text{=}\frac{m_{p}}{{\sigma_{p}}^{2}},(6.114)\)
что позволяет получить оценку долей активов в оптимальном портфеле: \({w_{i}}^{0}\text{=}\frac{\lambda_{i}}{\lambda^{0}}\text{-}{\sum\limits_{i\neq j}w_{j}^{0}}{\sigma^{2}}_{\mathit{ij}}\text{/}\mathit{cov}(r_{i},r_{j})\).
Итак, оптимальная доля каждого актива в портфеле равна отношению его \(\lambda_{i}\) к \(\lambda^{0}\) всего портфеля, при предпосылке о нулевых ковариациях (как упрощающее условие). Тогда сумма всех \(\lambda_{i}\) будет равна \(\lambda^{0}\). Если ковариация принимает ненулевые значения, то оптимальная доля актива в портфеле будет равна отношению \(\lambda_{i}\) к \(\lambda^{0}\) за вычетом отношения ковариации актива с другими активами к его дисперсии.
Если инвестор осуществляет исключительно «длинные» инвестиции, это накладывает ограничительное условие на \(w_{i}\geq 0\), все активы, \(\lambda_{i}/\lambda^{0}\) которых отрицательно, исключаются, и задача решается аналогичным образом.
Для определения оптимального портфеля в такой ситуации осуществляется максимизация функции \(\phi\left( {w,u} \right)\text{=}\theta\text{+}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{n\text{-}1}{u_{i}w_{i}}}\) с учетом ковариаций:
\(\frac{\partial\phi}{\partial w_{i}}\text{=}m_{i}\text{-}\lambda_{i}\left( {w_{i}\sigma_{i}^{2}\text{+}{\sum\limits_{j\neq i}{w_{j}\mathit{cov}\left( {r_{i},r_{j}} \right)}}} \right)\text{+}\delta u_{i}\text{=}0.\)
У оптимального портфеля будет максимальный коэффициент \(\lambda\). В данном случае \(v_{i}\text{=}\delta u_{i}\) описывает оптимальное решение для случая отсутствия коротких продаж. Оптимальный вектор \(z_{i}^{0}\) – может быть найден с использованием условий Куна-Таккера:
\(z_{i}^{0}\sigma_{i}^{2}\text{+}{\sum\limits_{j\neq i}{w_{j}\mathit{cov}(r_{i},r_{j}}})\text{-}v_{i}^{0}\text{=}m_{i},i\text{=}1,2,\ldots,n;\)
\(z_{i}^{0}\geq 0,v_{i}^{0}\geq 0,z_{i}^{0}v_{i}^{0}\text{=}0.\)
Однако для некоторого количества активов, которое реально держит инвестор \(z_{i} \gt 0\), в соответствии с ограничением из данных условий Куна-Таккера следует, что \(v_{i}^{0}\text{=}0\). Таким образом, решение превращается в аналог ранее приведенного и все дальнейшие выкладки для случая с отсутствием коротких продаж эквиваленты случаю с короткими продажами за исключением количества активов, формирующих оптимальный портфель.
Поскольку ковариации между большинством пар ценных бумаг положительны, то ценные бумаги, которые держались на длинной позиции (\(w_{i} \gt 0\)) в портфеле – это те бумаги, у которых ожидаемая норма доходности превышает безрисковую ставку процента.
Активы, у которых ожидаемая доходность меньше, чем безрисковая ставка процента, это те ценные бумаги, которые, с одной стороны, (а) в достаточной степени отрицательно коррелируют с другими важными ценными бумагами, которые держались в портфеле на длинной позиции или, с другой стороны, (б) ценные бумаги, которые в достаточной степени положительно коррелируют с другими ценными бумагами, которые держались в портфеле на короткой позиции.
Необходимо отметить, что при определении оптимума премия за риск зависит от дисперсии, а не от стандартного отклонения актива (6.114). Таким образом, существует линейная взаимосвязь между доходностью и дисперсией внутри множества эффективных портфелей, отражающая эффект диверсификации в координатах \(\left( {r,\sigma} \right)\).
В точке оптимума для всех активов соблюдается условие равенства отношения премии за риск к дисперсии \(\lambda^{0}\), то есть за единицу риска (в данном случае дисперсии) все активы в оптимуме должны получать одинаковое вознаграждение.
Если свести анализ к рассмотрению всего двух активов, один из которых – целевой актив, доходность которого требуется определить, а второй – портфель, состоящий из всех остальных активов на рынке, можно представить соотношение долей этих активов следующим образом:
\(\frac{w_{1}}{w_{2}}\text{=}\frac{m_{1}\sigma_{2}^{2}\text{-}m_{2}\mathit{cov}(r_{1},r_{2})}{m_{2}\sigma_{1}^{2}\text{-}m_{1}\mathit{cov}(r_{1},r_{2})}.\)
Отсюда можно получить выражение доходности актива:
\(r_{1}\text{=}r_{f}\text{+}z_{2}\mathit{cov}\left( {r_{1},r_{2}} \right)\text{+}z_{2}{\frac{w_{1}}{w_{2}}\sigma}_{1}^{2}\text{=}r_{f}\text{+}\left( {r_{2}{\text{-}r}_{f}} \right)\frac{\mathit{cov}\left( {r_{1},r_{2}} \right)\text{+}{\frac{w_{1}}{w_{2}}\sigma}_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}\text{+}\frac{w_{1}}{w_{2}}\mathit{cov}\left( {r_{1},r_{2}} \right)},\)
где \(z_{2}\text{=}\frac{r_{2}\text{-}r_{f}}{\sigma_{2}^{2}\text{+}\frac{w_{1}}{w_{2}}\mathit{cov}\left( {r_{1},r_{2}} \right)}\).
Отметим, что \(z_{2}\frac{w_{1}}{w_{2}}\text{=}\lambda^{0}w_{1}^{0}\) и \(\lambda^{0} \gt 0\). Из этого следует, что доля вложения в актив будет положительная, если наблюдается положительная линейная связь между доходностью актива и дисперсией этой доходности. Если же доля вложения в актив отрицательная, то зависимость между его доходностью и дисперсией будет обратной.
Полученное уравнение доходности актива является основой для классической трактовки модели CAPM4, оценивающей требуемую доходность актива в зависимости от его риска и ковариации с рыночным портфелем. Поскольку в качестве второго актива выступает весь остальной рынок, число активов на котором не ограничено (согласно предпосылке о совершенно конкурентном рынке капитала), постольку в пределе отношение долей становится бесконечно малым: \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{w_{1}}{\sum\limits_{i\text{=}2}^{n}w_{i}}\text{=}0}\). Следовательно, \(r_{1}\text{=}r_{f}\text{+}\beta\left( {r_{m}{\text{-}r}_{f}} \right),\) где коэффициент \(\beta\text{=}\frac{\mathit{cov}\left( {r_{1},r_{m}} \right)}{\sigma_{2}^{2}}\) представляет собой меру систематического риска актива, который должен быть вознагражден доходностью. Для рыночного портфеля \(\beta\text{=}1\), и все остальные активы будут оцениваться относительно рыночного портфеля.
Если \(w \gt 0\), то инвестор держит часть своего капитала в безрисковых активах и получает доход \(\left( {1\text{-}w} \right)r_{f}\). Если \(w \lt 0\), то инвестор берет заемные средства и платит за них \(\left( {1\text{-}w} \right)r_{f}\).↩︎
Один из способов доказательства теоремы о разделении основан на максимизации инвестором, располагающим денежной суммой в размере \(A_{0}\), ожидаемой полезности \(E\left\lbrack {U\left( {A_{0}r_{p},A_{0}\sigma_{p}} \right)} \right\rbrack\text{=}\overline{U}(A_{0}r_{p},A_{0}\sigma_{p})\), обладающей следующими свойствами:
\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{\partial\overline{U}}{\partial r_{p}}\text{=}A_{0}{\overline{U}}_{1} \gt 0;\frac{\partial\overline{U}}{\partial\sigma_{p}}\text{=}A_{0}{\overline{U}}_{2} \lt 0;} \\ \\ {\left. \frac{dr_{p}}{d\sigma_{p}} \right|\overline{U}\text{=}\text{-}\frac{{\overline{U}}_{2}}{{\overline{U}}_{1}} \gt 0;\left. \frac{d^{2}r_{p}}{d{\sigma^{2}}_{p}} \right|\overline{U} \gt 0.} \\ \end{matrix} \right.\)
Все доступные портфели активов могут находиться на эффективной границе Марковица (т.н. границы “E-V”), характеризуемой соотношениями: \(r_{i}\text{=}f\left( \sigma_{i} \right),f^{'}\left( \sigma_{i} \right) \gt 0,f^{''}\left( \sigma_{i} \right) \lt 0\), либо ниже и правее данной границы. Более того, поскольку \({\overline{U}}_{1} \gt 0\) и \({\overline{U}}_{2} \lt 0\), все комбинации внутри данного множества допустимых портфелей будут менее эффективными, чем те, которые расположены на его границе.
Используя данные характеристики эффективной границы Марковица в соотношениях (6.110) – (6.113), можно выписать систему необходимых условий максимизации полезности:
\(\frac{\partial U}{\partial w}\text{=}{\overline{U}}_{1}\left( {r_{i}\text{-}r_{f}} \right)\text{+}{\overline{U}}_{2}\sigma_{i}\text{=}0,\)
\(\frac{\partial U}{\partial\sigma_{i}}\text{=}{\overline{U}}_{1}wf^{'}(\sigma)\text{+}{\overline{U}}_{2}w\text{=}0;\)
которая может быть преобразована в цепочку равенств:
\(\theta\text{=}\frac{r_{i}\text{-}r_{f}}{\sigma_{i}}\text{=}\text{-}\frac{{\overline{U}}_{2}}{{\overline{U}}_{1}}\text{=}f^{'}\left( \sigma_{i} \right).\)
Теорема о разделении выводится непосредственно из условия (6.111), если заметить, что равенство \(\theta\text{=}f^{'}(\sigma_{r})\) является условием максимизации \(\theta\), т.к.
\(\frac{\partial\theta}{\partial\sigma_{i}}\text{=}\frac{\sigma_{i}\left\lbrack {f^{'}\left( \sigma_{i} \right)} \right\rbrack\text{-}\lbrack r_{i}\text{-}r_{f}\rbrack}{\sigma_{i}^{2}}\text{=}\frac{f^{'}\left( \sigma_{i} \right)\text{-}\theta}{\sigma_{i}},\)
\(\frac{\partial^{2}\theta}{\partial{{(\sigma}_{i})}^{2}}\text{=}\frac{\sigma_{i}f^{''}\left( \sigma_{i} \right)\text{+}\left\lbrack {f^{'}\left( \sigma_{i} \right)\text{-}\theta} \right\rbrack\text{-}\left\lbrack {f^{'}\left( \sigma_{i} \right)\text{-}\theta} \right\rbrack}{\sigma_{i}^{2}}\text{=}\frac{f^{''}\left( \sigma_{i} \right)}{\sigma_{i}} \lt 0,\mathit{для}\mathit{всех}\sigma_{i} \gt 0.\)
Необходимое условие максимизации полезности и коэффициента \(\theta\) не зависит от w. Значение \(\text{-}\frac{{\overline{U}}_{2}}{{\overline{U}}_{1}}\), однако, напрямую зависит от w (для любых значений \(\theta)\), и второе необходимое условие максимизации \(\overline{U}\), заключается в том, что необходимо скорректировать w таким образом, чтобы \(\theta\text{=}\text{-}\frac{{\overline{U}}_{2}}{{\overline{U}}_{1}}\), что удовлетворяет условию касания функции полезности и линии рыночных возможностей.↩︎
Lintner J. The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets // Review of Economics and Statistics. 1965. Vol. 47. №1.↩︎
Sharpe W.F. Capital asset prices: a theory of market equilibrium under conditions of risk // Journal of Finance. 1964. Vol. 19. №3.↩︎