Рассмотрим эволюционные подходы к анализу рыночной динамики на примере конкурентных рынков труда.
Традиционно выделяют несколько видов безработицы. Во-первых, это фрикционная безработица, связанная с процессом поиска нового места работы, который сопряжен с определенными транзакционными затратами времени и средств – по сбору и анализу информации, налаживанию коммуникации с потенциальными работодателями, в т.ч. ведению переговоров, перемещению на новое место работы и т.п. Во-вторых, это структурная безработица, связанная с процессами структурной перестройки хозяйственной системы, когда некоторые отрасли (бизнес-проекты) устаревают, становятся нерентабельными; другие – приходят им на смену, начинают активно развиваться. Безработица в данном контектсте связана с процессами переподготовки персонала, перемещения рабочей силы в между отраслями и секторами экономики. В-третьих, в условиях циклического спада, депрессивного состояния экономики нарастает циклическая безработица. Наконец, в-четвертых, безработица может носить сезонный характер: она сокращается в периоды ежегодного роста производства и сокращается в те месяцы, когда хозяйственные операции идут на спад.
Первый тип безработицы часто называют “добровольной” незанятостью, а второй и третий - “вынужденной” безработицей. Первые две составляющие называют “естественной” безработицей (u*). Ей, как правило, сопутствует определенный объем вакантных рабочих мест в данной хозяйственной системе.
Отражением такой ситуации является т.н. кривая Бевериджа (рис. 6.15), которая подразумевает обратную зависимость между вакантными рабочими местами \((V)\) и безработными \((U)\). Логика здесь такова: чем больше вакансий, тем выше вероятность трудоустройства незанятых. И наоборот, увеличение числа безработных означает растущую нехватку вакантных рабочих мест: предложение труда не находит соответствующего спроса – вакансий.
Кривая Бевериджа позволяет выделить еще два типа незанятости рабочей силы. Безработица является спросоизбыточной, если количество вакантных рабочих мест превышает число потенциальных работников; и наоборот, в ситуации, когда имеющихся вакансий будет недостаточно для трудоустройства всех тех, кто ищет работу, будет наблюдаться спросодефицитная безработица.
Рисунок 6.15. Кривая Бевериджа
В стационарном состоянии норма безработице должна оставаться на неизменном, “естественном” уровне:
\(\frac{d}{\mathit{dt}}\left( \frac{U}{L\text{+}U} \right)\text{=}0.\)
Дифференцируя данную стационарную норму безработицы по времени, получаем
\(\frac{\left( {L\text{+}U} \right)\frac{\mathit{dU}}{\mathit{dt}}\text{-}U\frac{(\mathit{dL}\text{+}\mathit{dU})}{\mathit{dt}}}{{(L\text{+}U)}^{2}},\)
а значит,
\(\left( {L\text{+}U} \right)\frac{\mathit{dU}}{\mathit{dt}}\text{=}U\frac{(\mathit{dL}\text{+}\mathit{dU})}{\mathit{dt}},\)
или
\(L\frac{\mathit{dU}}{\mathit{dt}}\text{=}U\frac{\mathit{dL}}{\mathit{dt}}.\)
Следовательно, из последних двух равенств получаем, что
\(\frac{\frac{dU}{\mathit{dt}}}{U}\text{=}\frac{\frac{(dL\text{+}\mathit{dU})}{\mathit{dt}}}{L}\text{=}\frac{\frac{d(L\text{+}U)}{\mathit{dt}}}{L\text{+}U}.\)
Следовательно, “естественный” уровень безработицы предполагает равенство темпов прироста занятости, безработицы и трудовых ресурсов:
\(\frac{\frac{dL}{\mathit{dt}}}{L}\text{=}\frac{\frac{dU}{\mathit{dt}}}{U}\text{=}\frac{\frac{d(L\text{+}U)}{\mathit{dt}}}{L\text{+}U}.(6.44)\)
Проанализируем показатели, которыми характеризуется “естественная” норма безработицы1. Допустим, что все население \((N)\) является экономически активным:
\(N(t)\text{=}L(t)\text{+}U(t),(6.45)\)
и его прирост достигается за счет естественного движения, т.е. рождаемости и смертности, а механическое движение населения – иммиграция и эмиграция – отсутствует.
Пусть, k – коэффициент естественного прироста населения; s – показатель увольнений, то есть доля уволенных в общем числе занятых; f – показатель трудоустройства, то есть доля трудоустроенных среди безработных.
Предположим, что весь прирост экономически активного населения вначале пополняет ряды безработных (рис. 6.16).
Рисунок 6.16. Движение населения
Итак, динамика занятости и безработицы описывается следующей системой дифференциальных уравнений:
\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{\mathit{dU}}{\mathit{dt}}\text{=}\mathit{sL}\text{-}fU\text{+}k\left( {U\text{+}L} \right),} \\ {\frac{\mathit{dL}}{\mathit{dt}}\text{=}fU\text{-}\mathit{sL}.} \\ \end{matrix} \right.\begin{matrix} {(6.46)} \\ {(6.47)} \\ \end{matrix}\)
В темповой записи она будет выглядеть так:
\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{\frac{dU}{\mathit{dt}}}{U}\text{=}s\frac{L}{U}\text{-}f\text{+}k\frac{\left( {U\text{+}L} \right)}{U},} \\ {\frac{\frac{dL}{\mathit{dt}}}{L}\text{=}f\frac{U}{L}\text{-}s.} \\ \end{matrix} \right.\)
Поскольку «естественный» уровень безработицы предполагает равенство темпов прироста занятости и безработицы (6.44), постольку из данной системы следует соотношение: \(\frac{sL}{U}\text{-}f\text{+}\frac{k\left( {U\text{+}L} \right)}{U}\text{=}\frac{\mathit{fU}}{L}\text{-}s\). Умножая его почленно на U, получаем: \(\mathit{sL}\text{-}\mathit{fU}\text{+}k\left( {U\text{+}L} \right)\text{=}\frac{fU^{2}}{L}\text{-}\mathit{sU}\), или \((s\text{+}k)\left( {U\text{+}L} \right)\text{=}\frac{\mathit{fU}\left( {U\text{+}L} \right)}{L}\), следовательно, \(L\text{=}\frac{\mathit{fU}}{s\text{+}k}\).
Таким образом, естественный уровень безработицы составляет
\(u\text{=}\frac{U}{L\text{+}U}\text{=}\frac{U}{\frac{\mathit{fU}}{s\text{+}k}\text{+}U}\text{=}\frac{s\text{+}k}{s\text{+}k\text{+}f}.\)
Если естественное движение населения отсутствует (k=0), то
\(u\text{=}\frac{s}{s\text{+}f}.\)
В данном, простейшем случае уравнения динамики занятости и безработицы принимают вид:
\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{\mathit{dU}}{\mathit{dt}}\text{=}\mathit{sL}\text{-}fU\text{=}f\left( {\frac{s}{f}L\text{-}U} \right),} \\ {\frac{\mathit{dL}}{\mathit{dt}}\text{=}fU\text{-}\mathit{sL}\text{=}f\left( {U\text{-}\frac{s}{f}L} \right).} \\ \end{matrix} \right.\begin{matrix} {(6.48)} \\ {(6.49)} \\ \end{matrix}\)
Очевидно, что при отсутствии изменения численности населения увеличение занятого населения должно равняться сокращению числа безработных: \(\frac{\mathit{dL}}{\mathit{dt}}\text{=}\text{-}\frac{\mathit{dU}}{\mathit{dt}}\).
Динамику системы (6.48)-(6.49) на качественном уровне иллюстрируют рис. 6.17-6.18. Направления изменения показателей рынка труда в каждой из областей графика, лежащих по разные стороны от луча \(U\text{=}\frac{s}{f}L\), показаны соотвествующими горизонтальными (для показателя \(L\)) и вертикальными (для \(U\)) стрелками. Комбинация данных векторов будет задавать равнодействующее направление совместной динамики экономических переменных, характеризующих использование рабочей силы, показанное изогнутой линией со стрелкой. Очевидно, что динамические силы будут сводить показатели занятости и безработицы из любой точки на координатной плоскости на луч \(U\text{=}\frac{s}{f}L\) (рис. 6.17).
Рисунок 6.17. Устойчивая динамика рынка труда при отсутствии естественного движения населения
Тот факт, что данный луч характеризует динамическое равновесие на рынке труда, отражен на рис. 6.18. Действительно, если величины занятости и безработицы оказываются меньше равновесных, то \(\overset{˙}{U} \gt 0\), \(\overset{˙}{L} \gt 0\), и данные показатели возрастают, возвращаясь к равновесным уровням. Наоборот, при отклонении в большую сторону \(\overset{˙}{U} \lt 0\), \(\overset{˙}{L} \lt 0\), значит, занятость и безработица сокращаются, стремясь обратно к равновесию. Таким образом, если любой из рыночных показателей отклоняется в большую или меньшую сторону от равновесного значения – соответственно \(\frac{s}{f}L\) для объема занятости и \(\frac{f}{s}U\) для числа безработных – направление изменения данных показателей будет направлено в противоположную сторону от исходного отклонения, что будет возвращать значения данных показателей к равновесному уровню.
Рисунок 6.18. Устойчивое соотношение численности безработных и занятых при стационарном населении
В силу того, что в данном случае экономически активное население не меняется во времени \(\left( {\overset{˙}{N}\text{=}0} \right)\) \(U(t)\text{+}L(t)\text{=}U(0)\text{+}L(0)\), а соотношение, характеризующее «естественный» уровень безработицы может быть записано в следующем виде: \(U(t)\text{=}\frac{s}{f}L(t)\), количество занятых и безработных устанавливается на фиксированных уровнях:
\(L(t)\text{=}\frac{s\left( {U(0)\text{+}L(0)} \right)}{s\text{+}f},U(t)\text{=}\frac{f\left( {U(0)\text{+}L(0)} \right)}{s\text{+}f}.\)
Таким образом, при отсутствии естественного движения населения (k=0) система рынка рабочей силы является устойчивой, и уровень безработицы сходится к “естественному”. В данном случае “естественный” уровень безработицы является устойчивым в долгосрочном плане.
В противоположность этому, в исходной, более общей системе (6.46)-(6.47), которую можно переписать следующим образом:
\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{\mathit{dU}}{\mathit{dt}}\text{=}L\left( {k\text{+}s} \right)\text{+}U\left( {k\text{-}f} \right)\text{=}\left( {k\text{-}f} \right)\left( {U\text{-}\left( \frac{k\text{+}s}{f\text{-}k} \right)L} \right),} \\ {\frac{\mathit{dL}}{\mathit{dt}}\text{=}f\left( {U\text{-}\frac{s}{f}L} \right);} \\ \end{matrix} \right.\)
“естественный” уровень безработицы неустойчив (рис. 6.19).
Относительно устойчивым же в динамическом аспекте является уровень безработицы, характеризуемый тем же соотношением \(\left( {U(t)\text{=}\frac{s}{f}L(t)} \right)\), что и в простейшем случае. При наличии прироста населения будут возникать постоянные стимулы к отклонению от него, однако динамика системы будет неизменно возвращать уровень безработицы к данному значению, но уже при новой, возросшей численности занятых и безработных с перспективой возобновления данных динамических процессов. Имеет место тенденция к перемещению вдоль луча \(U(t)\text{=}\frac{s}{f}L(t)\), которое будет сопровождаться увеличением и занятости, и безработицы (рис. 6.19).
Рисунок 6.19. Динамика рынка труда с учетом естественного движения населения
Эволюция занятости в рыночной системе может быть описана с помощью логистического уравнения, которое традиционно используется для характеристики динамических процессов, определяющих численность популяций живых существ2:
\(\frac{\mathit{dL}}{\mathit{dt}}\text{=}fL\left( {N\text{-}L} \right)\text{-}\mathit{sL},(6.50)\)
где \(f\) и \(s\) – заданные постоянные рождаемости и смертности, N – “несущая способность” окружающей среды.
Данное дифференциальное уравнение может описывать не только динамику численности живых популяций, но и хозяйственных систем – в частности, увеличение количества сотрудников, занятых на предприятиях отрасли \((L)\). Тогда \(N\), как и ранее, будет обозначать численность населения при предположении о том, что все оно является экономически активным (6.45); а разность \(\left( {N\text{-}L} \right)\) будет равна численности незанятых (безработных) трудовых ресурсов \((U)\). Соответственно, \(f\) и \(s\) – это показатели трудоустройства и увольнения.
Проанализируем логистическое уравнение (6.50), представив его в виде уравнения Бернулли \(\frac{\mathit{dL}}{\mathit{dt}}\text{-}\left( {\mathit{fN}\text{-}s} \right)L\text{=}\text{-}fL^{2}\) и используя традиционную схему решения уравнения данного типа. Преобразуя \(\frac{\frac{\mathit{dL}}{\mathit{dt}}}{L^{2}}\text{-}\frac{\mathit{fN}\text{-}s}{L}\text{=}\text{-}f\) и проводя замену переменной \(z\text{=}\frac{1}{L}\), а значит, \(\frac{\mathit{dz}}{\mathit{dt}}\text{=}\text{-}\frac{1}{L^{2}}\frac{dL}{\mathit{dt}}\), переписываем уравнение (6.50) в следующем виде: \(\frac{\mathit{dz}}{\mathit{dt}}\text{+}\left( {\mathit{fN}\text{-}s} \right)z\text{=}f.\)
Решим вначале соответствующее однородное уравнение: \(\frac{\mathit{dz}}{\mathit{dt}}\text{+}\left( {\mathit{fN}\text{-}s} \right)z\text{=}0.\) Разделяя переменные \(\frac{\mathit{dz}}{z}\text{=}d\ln|z|\text{=}\left( {s\text{-}\mathit{fN}} \right)\mathit{dt}\) и интегрируя \(\ln|z|\text{=}\left( {s\text{-}\mathit{fN}} \right)t\text{+}\ln c,\) получаем общее решение данного однородного уравнения: \(z(t)\text{=}ce^{{({s\text{-}\mathit{fN}})}t}\).
Далее, применяя метод вариации постоянной \(z(t)\text{=}c(t)e^{{({s\text{-}\mathit{fN}})}t}\), подставляем полученное решение в исходное неоднородное уравнение: \(\frac{\mathit{dc}}{\mathit{dt}}e^{{({s\text{-}\mathit{fN}})}t}\text{+}c\left( {s\text{-}\mathit{fN}} \right)e^{{({s\text{-}\mathit{fN}})}t}\text{+}\left( {\mathit{fN}\text{-}s} \right)ce^{{({s\text{-}\mathit{fN}})}t}\text{=}f;\) откуда \(\frac{\mathit{dc}}{\mathit{dt}}e^{{({s\text{-}\mathit{fN}})}t}\text{=}f,\) или \(\mathit{dc}\text{=}fe^{{({\mathit{fN}\text{-}s})}t}\mathit{dt}\text{=}\frac{f}{\left( {\mathit{fN}\text{-}s} \right)}de^{{({\mathit{fN}\text{-}s})}t}.\) Здесь мы воспользовались производной экспоненты: \(\frac{de^{{({\mathit{fN}\text{-}s})}t}}{\mathit{dt}}\text{=}\left( {\mathit{fN}\text{-}s} \right)e^{{({\mathit{fN}\text{-}s})}t},\) или \(e^{{({\mathit{fN}\text{-}s})}t}\mathit{dt}\text{=}\frac{de^{{({\mathit{fN}\text{-}s})}t}}{\mathit{fN}\text{-}s}\).
Интегрируя уравнение относительно варьируемого множителя \(c(t)\text{=}\frac{f}{\left( {\mathit{fN}\text{-}s} \right)}e^{{({\mathit{fN}\text{-}s})}t}\text{+}c_{1}\), получаем общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного: \(z(t)\text{=}\frac{f}{\mathit{fN}\text{-}s}\text{+}c_{1}e^{{({s\text{-}\mathit{fN}})}t}.\)
Возвращаемся к исходной переменной \(L(t)\text{=}\frac{1}{\frac{f}{\mathit{fN}\text{-}s}\text{+}c_{1}e^{{({s\text{-}\mathit{fN}})}t}}\) и находим значение постоянной c1 из начального условия: \(N(0)\text{=}\frac{1}{\frac{f}{\mathit{fN}\text{-}s}\text{+}c_{1}}\), т.е. \(c_{1}\text{=}\frac{1}{L(0)}\text{-}\frac{f}{\mathit{fN}\text{-}s}.\)
Итак, логистическая кривая имеет вид:
\(L(t)\text{=}\frac{\left( {\mathit{fN}\text{-}s} \right)L(0)}{fL(0)\text{+}\left( {\mathit{fU}(0)\text{-}s} \right)e^{{({s\text{-}\mathit{fN}})}t}}.(6.51)\)
Записав траекторию \(L(t)\) в таком виде, мы восстановили потерянное ранее при замене переменных тривиальное решение \(L(t)\text{=}0\).
В дальнейшем, однако, мы будем анализировать только содержательное с экономической точки зрения решение \(L(t) \gt 0\), которое предполагает \(L(0) \gt 0\).
Исследуем данную траекторию на монотонность:
\(\overset{˙}{L}\text{=}\frac{\left( {\mathit{fN}\text{-}s} \right)^{2}L(0)\left( {\mathit{fU}(0)\text{-}s} \right)e^{{({s\text{-}\mathit{fN}})}t}}{\left( {fL(0)\text{+}\left( {\mathit{fU}(0)\text{-}s} \right)e^{{({s\text{-}\mathit{fN}})}t}} \right)^{2}}.\)
При \(\mathit{fU}(0)\text{-}s \gt 0\) логистическая функция (6.51) монотонно возрастает: \(\overset{˙}{L} \gt 0\). Обратим внимание на то, что в пределе, когда время уходит в бесконечность, численность занятых стремится к величине \(N\text{-}\frac{s}{f} \gt 0\):
\({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{L(t)}}\text{=}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\left( \frac{\left( {\mathit{fN}\text{-}s} \right)L(0)}{fL(0)\text{+}\left( {\mathit{fU}(0)\text{-}s} \right)e^{{({s\text{-}\mathit{fN}})}t}} \right)}\text{=}N\text{-}\frac{s}{f},\)
т.е. \(N\text{-}\frac{m}{r}\) является горизонтальной асимптотой логистической кривой.
Приравняв вторую производную логистической функции нулю:
\(\overset{¨}{L}\text{=}\left( {\mathit{fN}\text{-}s} \right)^{3}L(0)\left( {\mathit{fN}\text{-}s\text{-}fL(0)} \right)e^{{({s\text{-}\mathit{fN}})}t}\frac{\left( {fL(0)\text{-}\left( {\mathit{fU}(0)\text{-}s} \right)e^{{({s\text{-}\mathit{fN}})}t}} \right)}{\left( {fL(0)\text{+}\left( {\mathit{fU}(0)\text{-}s} \right)e^{{({s\text{-}\mathit{fN}})}t}} \right)^{3}}\text{=}0,\)
получаем, что \(fL(0)\text{-}\left( {\mathit{fU}(0)\text{-}s} \right)e^{{({s\text{-}\mathit{fN}})}t}\text{=}0\), или \(e^{{({s\text{-}\mathit{fN}})}t}\text{=}\frac{fL(0)}{\mathit{fU}(0)\text{-}s}\), а значит, направление выпуклости логистической кривой (6.51) меняется в момент
\(t_{\mathit{перегиба}}\text{=}\frac{1}{\left( {s\text{-}\mathit{fN}} \right)}\ln\left( \frac{fL(0)}{\mathit{fU}(0)\text{-}s} \right).\)
Очевидно, что \(t_{\mathit{перегиба}} \gt 0\) при \(fL(0) \lt \mathit{fN}\text{-}s \lt 2fL(0)\).
Таким образом, при описанных выше условиях решение логистического уравнения описывается S-образным графиком (рис. 6.20). Данное уравнение (6.50) может не только описывать динамику численности популяции живых существ, но и эволюцию изменение занятости во времени.
Рисунок 6.20. Логистическая кривая
При увеличении предельной величины \(N\text{-}\frac{s}{f}\) получаем семейство логистических кривых (рис. 6.21), которое показывает, что в хозяйственной системе может наблюдаться эволюция, смена типов естественного и механического движения населения, демографические переходы.
Рисунок 6.21. Демографические переходы и эволюция занятости
Проанализируем логистическое уравнение (6.50) при переменном во времени демографическом потенциале рыночной системы \(N(t)\), представив его в виде уравнения Бернулли \(\frac{\mathit{dL}}{\mathit{dt}}\text{-}\left( {\mathit{fN}(t)\text{-}s} \right)L\text{=}\text{-}fL^{2}\) и используя традиционную схему решения уравнения данного типа. Преобразуя \(\frac{\frac{\mathit{dL}}{\mathit{dt}}}{L^{2}}\text{-}\frac{\mathit{fN}(t)\text{-}s}{L}\text{=}\text{-}f\) и проводя замену переменной \(z\text{=}\frac{1}{L}\), а значит, \(\frac{\mathit{dz}}{\mathit{dt}}\text{=}\text{-}\frac{1}{L}\frac{\mathit{dL}}{\mathit{dt}}\), переписываем уравнение (6.50) в следующем виде: \(\frac{\mathit{dz}}{\mathit{dt}}\text{+}\left( {\mathit{fN}(t)\text{-}s} \right)z\text{=}f.\)
Решим вначале соответствующее однородное уравнение: \(\frac{\mathit{dz}}{\mathit{dt}}\text{+}\left( {\mathit{fN}(t)\text{-}s} \right)z\text{=}0.\) Разделяя переменные \(\frac{\mathit{dz}}{z}\text{=}d\ln|z|\text{=}\left( {s\text{-}\mathit{fN}(t)} \right)\mathit{dt}\) и интегрируя \(\ln|z|\text{=}{\int{\left( {s\text{-}\mathit{fN}(t)} \right)\mathit{dt}}}\text{+}\ln c\text{=}{\int\limits_{0}^{t}{\left( {s\text{-}\mathit{fN}(\tau)} \right)\mathit{d\tau}}}\text{+}\ln c,\) получаем общее решение данного однородного уравнения: \(z(t)\text{=}ce^{\int\limits_{0}^{t}{{({s\text{-}\mathit{fN}(\tau)})}\mathit{d\tau}}}\).
Далее, применяя метод вариации постоянной \(z(t)\text{=}c(t)e^{\int\limits_{0}^{t}{{({s\text{-}\mathit{fN}(\tau)})}\mathit{d\tau}}}\), подставляем полученное решение в исходное неоднородное уравнение:
\(\frac{\mathit{dc}}{\mathit{dt}}e^{\int\limits_{0}^{t}{{({s\text{-}\mathit{fN}(\tau)})}\mathit{d\tau}}}\text{+}c\left( {s\text{-}\mathit{fN}(t)} \right)e^{\int\limits_{0}^{t}{{({s\text{-}\mathit{fN}(\tau)})}\mathit{d\tau}}}\text{+}\left( {\mathit{fN}(t)\text{-}s} \right)ce^{\int\limits_{0}^{t}{{({s\text{-}\mathit{fN}(\tau)})}\mathit{d\tau}}}\text{=}f;\)
откуда
\(\frac{\mathit{dc}}{\mathit{dt}}e^{\int\limits_{0}^{t}{{({s\text{-}\mathit{fN}(\tau)})}\mathit{d\tau}}}\text{=}f,\)
или
\(\mathit{dc}\text{=}fe^{\int\limits_{0}^{t}{{({\mathit{fN}{(\tau)}\text{-}s})}\mathit{d\tau}}}\mathit{dt}\text{=}\frac{f}{\left( {\mathit{fN}(t)\text{-}s} \right)}de^{\int\limits_{0}^{t}{{({\mathit{fN}{(\tau)}\text{-}s})}\mathit{d\tau}}}.\)
Здесь мы воспользовались производной экспоненты: \(\frac{de^{\int\limits_{0}^{t}{{({\mathit{fN}{(\tau)}\text{-}s})}\mathit{d\tau}}}}{\mathit{dt}}\text{=}\left( {\mathit{fN}(t)\text{-}s} \right)e^{\int\limits_{0}^{t}{{({\mathit{fN}{(\tau)}\text{-}s})}\mathit{d\tau}}},\) или \(e^{\int\limits_{0}^{t}{{({\mathit{fN}{(\tau)}\text{-}s})}\mathit{d\tau}}}\mathit{dt}\text{=}\frac{de^{\int\limits_{0}^{t}{{({\mathit{fN}{(\tau)}\text{-}s})}\mathit{d\tau}}}}{\mathit{fN}(t)\text{-}s}\).
Интегрируя уравнение относительно варьируемого множителя:
\(c(t)\text{=}f{\int\limits_{0}^{t}{e^{\int\limits_{0}^{\tau}{{({\mathit{fN}{(\xi)}\text{-}s})}\mathit{d\xi}}}\mathit{d\tau}}}\text{+}c_{1}\text{=}f{\int\limits_{0}^{t}{\frac{de^{\int\limits_{0}^{\tau}{{({\mathit{fN}{(\xi)}\text{-}s})}\mathit{d\xi}}}}{\left( {\mathit{fN}(\tau)\text{-}s} \right)}\text{+}c_{1}}}\text{=}\frac{fe^{\int\limits_{0}^{t}{{({\mathit{fN}{(\tau)}\text{-}s})}\mathit{d\tau}}}}{\mathit{fN}(t)\text{-}s}\text{+}f^{2}{\int\limits_{0}^{t}{\frac{\overset{˙}{N}e^{\int\limits_{0}^{\tau}{{({\mathit{fN}{(\xi)}\text{-}s})}\mathit{d\xi}}}}{\left( {\mathit{fN}(\tau)\text{-}s} \right)^{2}}d\tau}}\text{+}c_{1},\)
получаем общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного:
\(z(t)\text{=}\frac{f}{\mathit{fN}(t)\text{-}s}\text{+}f^{2}e^{\int\limits_{0}^{t}{{({s\text{-}\mathit{fN}(\tau)})}\mathit{d\tau}}}{\int\limits_{0}^{t}{\frac{\overset{˙}{N}e^{\int\limits_{0}^{\tau}{{({\mathit{fN}{(\xi)}\text{-}s})}\mathit{d\xi}}}}{\left( {\mathit{fN}(\tau)\text{-}s} \right)^{2}}d\tau}}\text{+}c_{1}e^{\int\limits_{0}^{t}{{({s\text{-}\mathit{fN}(\tau)})}\mathit{d\tau}}}.\)
Возвращаемся к исходной переменной
\(L(t)\text{=}\frac{1}{\frac{f}{\mathit{fN}(t)\text{-}s}\text{+}f^{2}e^{\int\limits_{0}^{t}{{({s\text{-}\mathit{fN}(\tau)})}\mathit{d\tau}}}{\int\limits_{0}^{t}{\frac{\overset{˙}{N}e^{\int\limits_{0}^{\tau}{{({\mathit{fN}{(\xi)}\text{-}s})}\mathit{d\xi}}}}{\left( {\mathit{fN}(\tau)\text{-}s} \right)^{2}}d\tau}}\text{+}c_{1}e^{\int\limits_{0}^{t}{{({s\text{-}\mathit{fN}(\tau)})}\mathit{d\tau}}}}\)
и находим значение постоянной c1 из начального условия:
\(L(0)\text{=}\frac{1}{\frac{f}{\mathit{fN}(t)\text{-}s}\text{+}c_{1}}\), т.е. \(c_{1}\text{=}\frac{1}{L(0)}\text{-}\frac{f}{\mathit{fN}(t)\text{-}s}.\)
Итак, логистическая кривая имеет вид:
\(L(t)\text{=}\frac{\left( {\mathit{fN}(t)\text{-}s} \right)L(0)}{fL(0)\text{+}\left( {\mathit{fN}(t)\text{-}s\text{-}fL(0)\text{+}f^{2}L(0)\left( {\mathit{fN}(t)\text{-}s} \right){\int\limits_{0}^{t}{\frac{\overset{˙}{N}e^{\int\limits_{0}^{\tau}{{({\mathit{fN}{(\xi)}\text{-}s})}\mathit{d\xi}}}}{\left( {\mathit{fN}(\tau)\text{-}s} \right)^{2}}d\tau}}} \right)e^{\int\limits_{0}^{t}{{({s\text{-}\mathit{fN}(\tau)})}\mathit{d\tau}}}}.(6.52)\)
При переменном во времени демографическом потенциале так же, как и в простейшем случае, когда \(N(t)\text{=}\mathit{const}\), логистическая кривая описывает режим с насыщением: в пределе, когда время уходит в бесконечность, численность занятых стремится к разности между экономически активным населением и отношением коэффициентов увольнения и трудоустройства:
\({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{L(t)}}\text{=}N(t)\text{-}\frac{s}{f};\)
при этом предельное значение логистической функции \(N\text{-}\frac{s}{f}\) «дрейфует» во времени.
Исследуем траекторию \(L(t)\) на монотонность:
\(\overset{˙}{L}\text{=}\frac{L(0)\left( {\mathit{fN}(t)\text{-}s} \right)^{2}\left( {\mathit{fN}(t)\text{-}s\text{-}fL(0)\text{+}f^{2}L(0)\left( {\left( {\mathit{fN}(t)\text{-}s} \right){\int\limits_{0}^{t}{\frac{\overset{˙}{N}e^{\int\limits_{0}^{\tau}{{({\mathit{fN}{(\xi)}\text{-}s})}\mathit{d\xi}}}}{\left( {\mathit{fN}(\tau)\text{-}s} \right)^{2}}d\tau}}\text{-}\frac{\overset{˙}{N}}{\left( {\mathit{fN}(\tau)\text{-}s} \right)^{2}}} \right)} \right)e^{\int\limits_{0}^{t}{{({s\text{-}\mathit{fN}(\tau)})}\mathit{d\tau}}}}{\left( {fL(0)\text{+}\left( {\mathit{fN}(t)\text{-}s\text{-}fL(0)\text{+}f^{2}L(0)\left( {\mathit{fN}(t)\text{-}s} \right){\int\limits_{0}^{t}{\frac{\overset{˙}{N}e^{\int\limits_{0}^{\tau}{{({\mathit{fN}{(\xi)}\text{-}s})}\mathit{d\xi}}}}{\left( {\mathit{fN}(\tau)\text{-}s} \right)^{2}}d\tau}}} \right)e^{\int\limits_{0}^{t}{{({s\text{-}\mathit{fN}(\tau)})}\mathit{d\tau}}}} \right)^{2}}\).
Отметим, что
\(\frac{\int\limits_{0}^{t}{\frac{\overset{˙}{N}e^{\int\limits_{0}^{\tau}{{({\mathit{fN}{(\xi)}\text{-}s})}\mathit{d\xi}}}}{\left( {\mathit{fN}(\tau)\text{-}s} \right)^{2}}d\tau}}{t}\text{=}\overline{\left( \frac{\overset{˙}{N}e^{\underset{0}{\overset{t}{\int}}{{({\mathit{fN}{(\tau)}\text{-}s})}\mathit{d\tau}}}}{\left( {\mathit{fN}(t)\text{-}s} \right)^{2}} \right)}\)
представляет собой среднее значение дроби \(\frac{\overset{˙}{N}e^{\int\limits_{0}^{\tau}{{({\mathit{fN}{(\xi)}\text{-}s})}\mathit{d\xi}}}}{\left( {\mathit{fN}(\tau)\text{-}s} \right)^{2}}\) на временнóм отрезке \(\tau\in\lbrack 0,t\rbrack\), т.е.
\({\int\limits_{0}^{t}{\frac{\overset{˙}{N}e^{\int\limits_{0}^{\tau}{{({\mathit{fN}{(\xi)}\text{-}s})}\mathit{d\xi}}}}{\left( {\mathit{fN}(\tau)\text{-}s} \right)^{2}}d\tau}}\text{=}t\overline{\left( \frac{\overset{˙}{N}e^{\underset{0}{\overset{t}{\int}}{{({\mathit{fN}{(\tau)}\text{-}s})}\mathit{d\tau}}}}{\left( {\mathit{fN}(t)\text{-}s} \right)^{2}} \right)},\)
причем, поскольку \(\mathit{fN}\text{-}s \gt 0\), постольку \({\int\limits_{0}^{t}{\left( {\mathit{fN}(\tau)\text{-}s} \right)\mathit{d\tau}}} \gt 0\) и \(e^{\int\limits_{0}^{t}{{({\mathit{fN}{(\tau)}\text{-}s})}\mathit{d\tau}}} \gt 1\), а значит, \(t\overline{\left( \frac{\overset{˙}{N}e^{\underset{0}{\overset{t}{\int}}{{({\mathit{fN}{(\tau)}\text{-}s})}\mathit{d\tau}}}}{\left( {\mathit{fN}(t)\text{-}s} \right)^{2}} \right)} \gt \overline{\left( \frac{\overset{˙}{N}}{\left( {\mathit{fN}(t)\text{-}s} \right)^{2}} \right)}\) при \(t \gt 1\).
Если \(\overset{¨}{N} \lt 0\), то дробь \(\frac{\overset{˙}{N}}{\left( {\mathit{fN}(t)\text{-}s} \right)^{2}}\) убывает во времени, следовательно, ее среднее значение за весь временной интервал \(\lbrack 0,t\rbrack\) будет больше, чем текущее значение: \(\overline{\left( \frac{\overset{˙}{N}}{\left( {\mathit{fN}(t)\text{-}s} \right)^{2}} \right)} \gt \frac{\overset{˙}{N}}{\left( {\mathit{fN}(t)\text{-}s} \right)^{2}}\). Действительно, если для некоторой функции \(x(t)\) \(\overset{˙}{x} \lt 0\), а значит, \(x(t)\text{+}t\overset{˙}{x}\text{=}\overset{˙}{\left( \mathit{tx} \right)} \lt x(t)\); то \(x(t) \lt \frac{\int\limits_{0}^{t}{x(\tau)d\tau}}{t}\).
Если теперь предположить, что в пределе, когда время уходит в бесконечность, потенциал занятости превышает ее начальное значение \(\left( {N\text{-}\frac{s}{f} \gt L(0)} \right)\) и, кроме того, \(\mathit{fN}(t)\text{-}s \gt fL(0) \gt 1\), т.е. в первоначальный момент появляется более одного нового работника; то \(\left( {\mathit{fN}(t)\text{-}m} \right){\int\limits_{0}^{t}{\frac{\overset{˙}{N}e^{\int\limits_{0}^{\tau}{{({\mathit{fN}{(\xi)}\text{-}s})}\mathit{d\xi}}}}{\left( {\mathit{fN}(\tau)\text{-}s} \right)^{2}}d\tau}} \gt \frac{\overset{˙}{N}}{\left( {\mathit{fN}(t)\text{-}s} \right)^{2}}\), числитель дроби в выражении \(\overset{˙}{L}\) положителен, и значит, занятость монотонно возрастает со временем \(\left( {\overset{˙}{L} \gt 0} \right)\) вплоть до величины \(N(t)\text{-}\frac{s}{f}\).
Еще одним примером эволюционных подходов к анализу взаимодействия спроса на рабочую силу и ее предложения может служить система дифференциальных уравнений, анализируемых в математической биологии и описывающих динамику определенных экосистем:
\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{\mathit{dU}}{\mathit{dt}}\text{=}\varepsilon_{1}U\text{+}\mu_{1}\mathit{UV},} \\ {\frac{\mathit{dV}}{\mathit{dt}}\text{=}\varepsilon_{2}V\text{+}\mu_{2}\mathit{UV}.} \\ \end{matrix} \right.(6.53)\)
В зависимости от знаков коэффициентов и данная система уравнений, впервые проанализированная А. Лоткой и В. Вольтерра в первой трети XX века3, может описывать соперничество между видами, количество которых характеризуется переменными U(t) и V(t), за источники пищи, а также взаимодействие между хищниками и их жертвами либо паразитов со своими хозяевами. В то же время система (6.53) может быть использована для анализа экономических процессов. Она может служить достаточно простым, но вместе с тем плодотворным инструментом анализа согласования численности вакантных рабочих мест и трудовых ресурсов на отраслевом уровне в динамическом аспекте4.
С этой точки зрения U(t) будет обозначать численность потенциальных работников (безработных), V(t) – число вакансий, 1 и 2 – коэффициенты автономного прироста, UV – совокупные возможности во всем их многообразии потенциальных перемещений безработных на вакантные места, а \(\mu_{1}\) и \(\mu_{2}\) – коэффициенты пропорциональности, показывающие, как существующий потенциал обеспечения работой нуждающихся в ней лиц сказывается на общем количестве безработных и вакансий.
Очевидно, что социально-экономическая система эволюционирует, отталкиваясь от некоторых начальных условий: \(U(0)\text{=}U_{0}\), \(V(0)\text{=}V_{0}\).
Перепишем систему (6.53) с учетом того, что \(d\ln U\text{=}\frac{\mathit{dU}}{U}\), \(d\ln V\text{=}\frac{\mathit{dV}}{V}\):
\(\left\{ \begin{matrix} {d\ln U\text{=}\left( {\varepsilon_{1}\text{+}\mu_{1}V} \right)\mathit{dt},} \\ {d\ln V\text{=}\left( {\varepsilon_{2}\text{+}\mu_{2}U} \right)\mathit{dt};} \\ \end{matrix} \right.\)
откуда делением первого равенства на второе получаем
\(\frac{d\ln U}{d\ln V}\text{=}\frac{\varepsilon_{1}\text{+}\mu_{1}V}{\varepsilon_{2}\text{+}\mu_{2}U}.\)
Преобразуем данное соотношение следующим образом:
\(\varepsilon_{2}d\ln U\text{+}\mu_{2}\mathit{dU}\text{=}\varepsilon_{1}d\ln V\text{+}\mu_{1}\mathit{dV}.\)
Интегрируя это равенство \(\varepsilon_{2}{\int{d\ln U}}\text{+}\mu_{2}{\int\mathit{dU}}\text{=}\varepsilon_{1}{\int{d\ln V}}\text{+}\mu_{1}{\int\mathit{dV}}\text{+}\ln C\), получаем \(\varepsilon_{2}\ln U\text{+}\mu_{2}U\text{=}\varepsilon_{1}\ln V\text{+}\mu_{1}V\text{+}\ln C\). Потенцируя данное соотношение \(e^{\varepsilon_{2}\ln U\text{+}\mu_{2}U}\text{=}e^{\varepsilon_{1}\ln V\text{+}\mu_{1}V\text{+}\ln C}\), приходим к следующему равенству: \({U(t)}^{\varepsilon_{2}}e^{\mu_{2}U(t)}\text{=}C{V(t)}^{\varepsilon_{1}}e^{\mu_{1}V(t)}\). Константу \(C\) можно определить из начального условия:
\(C\text{=}\frac{{U(0)}^{\varepsilon_{2}}}{{V(0)}^{\varepsilon_{1}}}e^{\mu_{2}U{(0)}\text{-}\mu_{1}V(0)}.(6.54)\)
В итоге получаем следующую взаимозависимость динамики безработицы и вакантных мест:
\(\left( \frac{U(t)}{U(0)} \right)^{\varepsilon_{2}}e^{\mu_{2}{({U{(t)}\text{-}U(0)})}}\text{=}\left( \frac{V(t)}{V(0)} \right)^{\varepsilon_{1}}e^{\mu_{1}{({V{(t)}\text{-}V(0)})}}.(6.55)\)
В частности, если положить для простоты \(L(0)\text{=}H(0)\text{=}1\), то С=1, и решение системы (6.55) в замкнутой форме будет выглядеть следующим образом:
\({U(t)}^{\varepsilon_{2}}e^{\mu_{2}U(t)}\text{=}{V(t)}^{\varepsilon_{1}}e^{\mu_{1}V(t)}.\)
В отличии от кривой Бевериджа (рис. 6.15) данная модель позволяет описывать целый спектр взаимозависимостей между вакансиями и безработными. Как и в биологии, применительно к социально-экономической проблематике возможны различные сочетания знаков коэффициентов \(\varepsilon_{1}\), \(\varepsilon_{2}\), \(\mu_{1}\), \(\mu_{2}\). Здесь мы рассмотрим наиболее характерные и наиболее типичные ситуации с точки зрения структурных сдвигов в хозяйственной системе5.
Будем анализировать случай положительных коэффициентов \(\varepsilon_{1}\) и \(\varepsilon_{2}\). Поскольку моделирование взаимосвязи между демографическими и социально-экономическими процессами остается за рамками анализируемой модели, можно, в частности, допустить, что одним из значимых источников увеличения численности безработных являются активные процессы естественного либо механического прироста населения. При этом увеличение численности экономически активного населения, часть которого находится в поиске работы, оказывается пропорциональным имеющемуся его количеству.
Наращивание количества вакантных рабочих мест так же зачастую оказывается пропорциональным существующему их количеству. Это может, в частности, наблюдаться при стабильном поступательном развитии экономики, когда действуют кумулятивные процессы повышения деловой активности.
Рассмотрим вначале наиболее ярко выраженные проявления процессов трансформации хозяйственной среды, когда оба коэффициента \(\mu_{1}\) и \(\mu_{2}\) оказываются положительными. Модель не раскрывает источники увеличения численности безработных. Это может быть как увольнение работников, так и приток в состав экономически активного населения новых трудоспособных жителей за счет как естественного (рождаемости и смертности), так и миграционного движения населения. В частности, в условиях демографического всплеска в регионах, сопредельных с данным, трудодефицитным – и, как следствие, бурного притока мигрантов на местный рынок труда трудоустройство их части может стимулировать бурный приток новых людей в поисках занятости. Отражением такой динамики спроса на рынке труда будет коэффициент \(\mu_{1} \gt 0\) в модели (6.53).
Одной из интерпретаций \(\mu_{2} \gt 0\) может служить взаимосвязь миграционных и инвестиционных процессов. При наплыве непритязательной к условиям труда и быта, дешевой рабочей силы на местный рынок работодатели оказываются в состоянии снижать затраты на создание новых рабочих мест, которые ранее требовали существенных капитальных вложений. Появляется возможность быстро наращивать число вакансий, открытие которых откладывалось бы при ином состоянии хозяйственной среды, если бы на рынке присутствовали только высококвалифицированные и сравнительно высокооплачиваемые специалисты.
Для анализа динамики решения эволюционной системы требуется рассмотреть вспомогательную зависимость \({{Y = X^{\varepsilon}}e^{\mathit{\mu X}}}{}\). Она образуется произведением экспоненциальной \({Y = e^{\mathit{\mu X}}}{}\) и степенной \({Y = X^{\varepsilon}}{}\) функций. При положительных значениях коэффициентов и они представляют собой возрастающие зависимости Y от X. Результирующая функция \({{Y = X^{\varepsilon}}e^{\mathit{\mu X}}}{}\) в данном случае так же будет монотонно возрастающей (рис.6.22).
Для анализа решения эволюционной системы требуется рассмотреть вспомогательную зависимость \(Y\text{=}X^{\varepsilon}e^{\mathit{\mu X}}\). Она образуется произведением экспоненциальной \(Y\text{=}e^{\mathit{\mu X}}\) и степенной \(Y\text{=}X^{\varepsilon}\) функций. При положительных значениях коэффициентов и они представляют собой возрастающие зависимости Y от X. Результирующая функция \(Y\text{=}X^{\varepsilon}e^{\mathit{\mu X}}\) в данном случае так же будет монотонно возрастающей (рис. 6.22).
Рисунок 6.22. Построение вспомогательной зависимости \(Y\text{=}X^{\varepsilon}e^{\mathit{\mu X}}\)
Данная зависимость переносится в системы координат “Y–U” и “Z–V” на рис. 6.23. Полученное выше решение эволюционной системы (6.55) устанавливает линейную зависимость между значениями функций \(Y\text{=}U^{\varepsilon_{2}}e^{\mu_{2}U}\) и \(Z\text{=}Ve^{\mu_{1}V}\): Y=CZ с коэффициентом пропорциональности (6.54). Это соотношение изображено в правом верхнем квадранте рис. 6.23. В итоге можно видеть, что, в противоположность кривой Бевериджа (рис. 6.15), анализируемая эволюционная система (6.53) при положительных коэффициентах и генерирует возрастающую зависимость между числом безработных и количеством вакантных рабочих мест как одну из возможных фазовых траекторий при структурных сдвигах характеристик хозяйственной среды.
Рисунок 6.23. Динамика вакансий и безработицы в условиях структурной трансформации экономики: \(\varepsilon_{1} \gt 0, \varepsilon_{2} \gt 0, \mu_{1} \gt 0, \mu_{2} \gt 0\)
Рассмотрим теперь более стабильную экономическую ситуацию, когда при \(\varepsilon_{1} \gt 0\), \(\varepsilon_{2} \gt 0\) коэффициенты \(\mu_{1}\) и \(\mu_{2}\) оказываются отрицательными. Данный случай более типичен для хозяйственной практики, поскольку обращение потенциального работника по поводу трудоустройства на вакантное место при благоприятном стечении обстоятельств должно приводить к ликвидации как данной вакансии, так и статуса временно незанятого работника. Оказывается, что такое, более реалистичное соотношение между параметрами модели (6.53) может приводить к возникновению целого спектра различных по направленности фазовых траекторий численности безработных и вакансий.
Проанализируем вначале вспомогательные зависимости \(Y\text{=}X^{\varepsilon}\) и \(Y\text{=}e^{\mathit{\mu X}}\) (рис.6.22). Первая из них остается без изменения, поскольку коэффициенты так же, как и в предыдущем случае, принимают положительные значения. Вторая же зависимость, ввиду отрицательного показателя степени экспоненты , становится теперь убывающей. Композиция данных функций \(Y\text{=}X^{\varepsilon}e^{\mathit{\mu X}}\) является немонотонной. При увеличении независимой переменной X>0 значение функции вначале возрастает, ведь при \(\mu \lt 0\), \(Y^{'}\text{=}X^{\varepsilon}e^{\mathit{\mu X}}\left( {\frac{\varepsilon}{X}\text{+}\mu} \right) \gt 0\) на интервале \(0 \lt X \lt \text{-}\frac{\varepsilon}{X}\); а затем, при \(X \gt \text{-}\frac{\varepsilon}{X}\), убывает \(\left( {Y^{'} \lt 0} \right)\). Значение \(X\text{=}\text{-}\frac{\varepsilon}{X}\) дает максимум анализируемого произведения функций.
Потенциальные соотношения между количеством незанятого населения и вакантных рабочих мест при \(\mu \lt 0\) приведены на рис. 6.24. В отличии от стационарной хозяйственной системы, в которой действуют закономерности, отраженные кривой Бевериджа (рис.6.15), в условиях эволюции хозяйственной системы при различных значениях константы (6.54) оказываются возможными и убывающая, и возрастающая (III), а также немонотонная (I) и даже неоднозначная, нефункциональная (II) зависимости между анализируемыми социально-экономическими показателями.
Рисунок 6.24. Обобщенная взаимозависимость числа вакансий и безработных в динамичной хозяйственной среде
Существуют различные проявления взаимосвязи между количеством вакансий и размерами занятости в масштабах конкретного рынка:
\(L\text{=}\mathit{\alpha V},\)
где \(\alpha\) – постоянный коэффициент.
В условиях стационарной экономики эта зависимость будет убывающей: с увеличением числа трудоустроенных отрасли количество вакантных рабочих мест будет сокращаться \((\alpha \lt 0)\). В ситуации экономического роста данная зависимость, наоборот, будет возрастающей: объем занятости и число вакансий в отрасли могут увеличиваться параллельно \((\alpha \gt 0)\). Аналогичное сонаправленное изменение этих показателей \((\alpha \gt 0)\) может наблюдаться и в кризисных условиях, когда при сокращении численности работников количество вакансии также будет снижаться.
Поэтому вольтерровская система (6.53) может быть переформулирована в терминах зависимости между объемами занятости и безработицы в контексте отраслевого рынка труда:
\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{\mathit{dU}}{\mathit{dt}}\text{=}\varepsilon_{1}U\text{+}\nu_{1}\mathit{UL},} \\ {\frac{\mathit{dL}}{\mathit{dt}}\text{=}\delta_{2}L\text{+}\nu_{2}\mathit{UL};} \\ \end{matrix} \right.(6.56)\)
где \(\nu_{1}\text{=}\alpha\mu_{1}\), \(\nu_{2}\text{=}\alpha\mu_{2}\),\(\delta_{2}\text{=}\alpha\varepsilon_{2}\).
Очевидной отличительной особенностью данной системы, характеризующей динамику взаимодействия спроса и предложения на рынке труда, от элементарной системы (6.46)-(6.47) является наличие мультипликативного взаимодействия между занятостью и безработицей.
Поскольку число безработных и занятых оказываются связанными балансовым соотношением (6.45), постольку динамическая система (6.56) приобретает следующий вид:
\(\left\{ \begin{matrix} {\frac{\mathit{dU}}{\mathit{dt}}\text{=}\varepsilon_{1}U\text{+}\nu_{1}U\left( {N\text{-}U} \right),} \\ {\frac{\mathit{dL}}{\mathit{dt}}\text{=}\delta_{2}L\text{+}\nu_{2}L\left( {N\text{-}L} \right),} \\ {U\text{+}L\text{=}N.} \\ \end{matrix} \right.\)
Очевидно, что при этом динамика каждого из показателей, характеризующих рынок труда, будет описываться логистической кривой (6.52). Таким образом, вольтерровская система (6.53) является обобщением логистического уравнения (6.50) с учетом системно-динамического взаимодействия между структурообразующими элементами данной хозяйственной системы.
Вереникин А.О., Волошин Д.И. Теория структурных изменений в экономике. – М.: ТЕИС, 2009.↩︎
Логистическое уравнение было впервые изучено Ферхюльстом в работе: Verhulst P.F. Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement // Corresp. math. et phys., vol.10, 1838, p.113-121. Цит.по: Вольтера В. Математическая теория борьбы за существование. – Москва, Ижевск: Ин-т компьют. исслед-ний, 2004, с.245-246.↩︎
Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.↩︎
Коровкин А.Г., Наумов А.В. Подход к прогнозированию рациональных структур занятости населения региона // Развитие комплекса моделей рационального планирования и методов их согласования / Отв. ред. Фаерман Е.Ю. – М.: ЦЭМИ АН СССР, 1986; Коровкин А.Г. Динамика занятости и рынка труда: вопросы макроэкономического анализа и прогнозирования. – М.: МАКС Пресс, 2001.↩︎
Вереникин А.О., Сидоренко В.Н. Возможности использования различных методов прогнозирования потребностей экономики в кадрах с высшим образованием // Альтернативы экономической политики в условиях замедления экономического роста / Под ред. А.А. Аузана, В.В. Герасименко. М.: Экономический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова, 2015. – С.761-768.↩︎