6.3. Альтернативные модели динамического взаимодействия спроса и предложения на конкурентных рынках

Проанализируем сначала элементарную динамическую модель взаимодействия спроса и предложения.

Предположим, что спрос на данный товар характеризуется фиксированной долей \((s)\) расходов в совокупных доходах \((M)\) потребителей:

\(\mathit{PY}\text{=}\mathit{sM},(6.17)\)

или

\(Y\text{=}s\frac{M}{P},(6.18)\)

где \(sM\) – денежные средства потребителей, израсходованные на покупку данного товара, \(P\) – цена, \(Y\) – объем его потребления.

Продифференцировав балансовое соотношение (6.17) по времени:

\(s\frac{dM}{\mathit{dt}}\text{=}\frac{\mathit{dP}}{\mathit{dt}}Y\text{+}\frac{\mathit{dY}}{\mathit{dt}}P\)

и поделив левую и правую части полученного равенства соответственно на левую и правую часть предыдущего тождества, приходим к функции спроса в темповой записи:

\(\frac{{\mathit{dM}(t)}/\mathit{dt}}{M(t)}\text{=}\frac{{\mathit{dP}(t)}/\mathit{dt}}{P(t)}\text{+}\frac{{\mathit{dY}(t)}/\mathit{dt}}{Y(t)},\)

или

\(\frac{\overset{˙}{M}}{M}\text{=}\frac{\overset{˙}{P}}{P}\text{+}\frac{\overset{˙}{Y}}{Y},(6.19)\)

где точка над переменной, как и ранее, обозначает ее производную по времени.

Используя формулу дифференциала натурального логарифма, в соотношении темпов прироста можно перейти к логарифмической шкале измерения анализируемых показателей:

\(\overset{˙}{m}\text{=}\pi\text{+}\overset{˙}{y},(6.20)\)

где \(\overset{˙}{p}\text{=}\frac{dp}{\mathit{dt}}\equiv\pi\) – темп прироста цен на данном рынке, \(p\equiv\ln P\); \(\overset{˙}{m}\text{=}\frac{dm}{\mathit{dt}}\) – темп прироста денежных доходов потребителей \(M\), \(m\equiv\ln M\); \(\overset{˙}{y}\text{=}\frac{dy}{\mathit{dt}}\) – темп пророста объемов потребления товара, \(y\equiv\ln Y\).

Таким образом, должно выполняться следующее соотношение между темпами прироста доходов, уровня цен и объема товарной массы на данном рынке:

\(\overset{˙}{Y}\text{=}Y\left( {\overset{˙}{m}\text{-}\pi} \right).(6.21)\)

Будем предполагать, что предложение продукции характеризуется пропорциональной зависимостью (с коэффициентом пропорциональности \(k \gt 0\)) между относительным отклонением фактического объема производства \((Y)\) от потенциального уровня \(\left( Y^{\text{*}} \right)\), соответствующего полному использованию производственных мощностей производителей, и темпа прироста цен на данном рынке:

\(\pi(t)\text{=}k\left( \frac{Y(t)\text{-}Y^{\text{*}}}{Y^{\text{*}}} \right).(6.22)\)

Динамическое равновесие спроса и предложения будет выглядеть так:

\(\frac{\overset{˙}{Y}}{Y}\text{=}\overset{˙}{m}\text{-}k\left( \frac{Y\text{-}Y^{\text{*}}}{Y^{\text{*}}} \right),\)

или

\(\overset{˙}{Y}\text{-}Y\left( {\overset{˙}{m}\text{+}k} \right)\text{=}\text{-}\frac{k}{Y^{\text{*}}}Y^{2}.\)

Мы получили дифференциальное уравнение Бернулли вида¹:

\(\frac{\mathit{dY}}{\mathit{dt}}\text{+}a(t)Y\text{=}b(t)Y^{n},n\neq 1,\)

или

\(Y^{\text{-}n}\frac{\mathit{dY}}{\mathit{dt}}\text{+}a(t)Y^{1\text{-}n}\text{=}b(t).\)

Заменой \(Y^{1\text{-}n}\text{=}z\) оно сводится к линейному дифференциальному уравнению.

В нашем случае имеем:

\(Y^{\text{-}2}\overset{˙}{Y}\text{-}Y^{\text{-}1}\left( {\overset{˙}{m}\text{+}k} \right)\text{=}\text{-}\frac{k}{Y^{\text{*}}}.\)

Здесь \(z\text{=}Y^{\text{-}1}\), соответственно, \(Y\text{=}z^{\text{-}1}\). Учитывая, что \(\frac{\mathit{dz}}{\mathit{dt}}\text{=}\text{-}Y^{\text{-}2}\frac{\mathit{dY}}{\mathit{dt}}\), имеем:

\(\overset{˙}{z}\text{+}z\left( {\overset{˙}{m}\text{+}k} \right)\text{=}\frac{k}{Y^{\text{*}}}.\)

Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного. Поэтому для решения данного уравнения необходимо вначале решить соответствующее однородное уравнение \(\overset{˙}{z}\text{+}z\left( {\overset{˙}{m}\text{+}k} \right)\text{=}0\). Разделяем переменные: \(\frac{\mathit{dz}}{z}\text{=}\text{-}\left( {\overset{˙}{m}\text{+}k} \right)\mathit{dt}\), откуда \({\int{d\ln z}}\text{=}\text{-}{\int{d\ln M}}\text{-}k{\int\mathit{dt}}\text{+}\ln c\), т.е. \(z\text{=}\frac{c}{M(t)e^{\mathit{kt}}}\).

Для решения исходного неоднородного уравнения применяем метод вариации постоянной в общем решении соответствующего однородного уравнения:

\(z(t)\text{=}\frac{c(t)}{M(t)e^{\mathit{kt}}}.\)

Используем данное выражение в исходном уравнении:

\(\frac{\overset{˙}{c}}{M(t)e^{\mathit{kt}}}\text{=}\frac{k}{Y^{\text{*}}}.\)

Решая возникающее уравнение относительно варьируемого множителя, применяем метод интегрирования по частям:

\(c(t)\text{=}\frac{k}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{t}{M(\tau)e^{\mathit{k\tau}}\mathit{d\tau}}}\text{+}c_{1}\text{=}\frac{1}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{t}{M(\tau){de}^{\mathit{k\tau}}}}\text{+}c_{1}\text{=}\frac{1}{Y^{\text{*}}}\left. {M(\tau)e^{\mathit{k\tau}}} \right|_{0}^{t}\text{-}\frac{1}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{t}{\overset{˙}{M}(\tau)e^{\mathit{k\tau}}\mathit{d\tau}}}\text{+}c_{1}\text{=}\frac{M(t)}{Y^{\text{*}}}e^{\mathit{kt}}\text{-}\frac{M(0)}{Y^{\text{*}}}\text{-}\frac{1}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{t}{\overset{˙}{M}(\tau)e^{\mathit{k\tau}}\mathit{d\tau}}}\text{+}c_{1}.(6.23)\)

Таким образом, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения имеет вид:

\(z(t)\text{=}\frac{c_{1}e^{\text{-}\mathit{kt}}}{M(t)}\text{+}\frac{1}{Y^{\text{*}}}\text{-}\frac{M(0)e^{\text{-}\mathit{kt}}}{M(t)Y^{\text{*}}}\text{-}\frac{e^{\text{-}\mathit{kt}}}{M(t)Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{t}{\overset{˙}{M}(\tau)e^{\mathit{k\tau}}\mathit{d\tau}}}\text{=}\frac{1}{Y(t)}.\)

Константу интегрирования находим по начальному условию: \(c_{1}\text{=}\frac{M(0)}{Y(0)}\). Итак:

\(\frac{1}{Y(t)}\text{=}\frac{1}{Y^{\text{*}}}\text{+}\left( {\frac{1}{Y(0)}\text{-}\frac{1}{Y^{\text{*}}}} \right)\frac{M(0)}{M(t)}e^{\text{-}\mathit{kt}}\text{-}\frac{1}{Y^{\text{*}}M(t)}e^{\text{-}\mathit{kt}}{\int\limits_{0}^{t}{\overset{˙}{M}(\tau)e^{\mathit{k\tau}}\mathit{d\tau}}},\)

т.е.

\(Y(t)\text{=}\left( {\frac{1}{Y^{\text{*}}}\text{+}\left( {\frac{1}{Y(0)}\text{-}\frac{1}{Y^{\text{*}}}} \right)\frac{M(0)}{M(t)}e^{\text{-}\mathit{kt}}\text{-}\frac{1}{Y^{\text{*}}M(t)}e^{\text{-}\mathit{kt}}{\int\limits_{0}^{t}{\overset{˙}{M}(\tau)e^{\mathit{k\tau}}\mathit{d\tau}}}} \right)^{\text{-}1}.\)

В частности, при проведении рестриктивной экономической политики, когда уровень доходов является постоянным во времени \(\left( {\overset{˙}{M}\text{=}0} \right)\), данное выражение упрощается:

\(Y(t)\text{=}\left( {\frac{1}{Y^{\text{*}}}\text{+}\left( {\frac{1}{Y(0)}\text{-}\frac{1}{Y^{\text{*}}}} \right)\frac{M(0)}{M(t)}e^{\text{-}\mathit{kt}}} \right)^{\text{-}1}.\)

Очевидно, что с течением времени, в пределе (при \(t\rightarrow\infty\)) объем производимой продукции в данной ситуации будет стремиться к потенциальному значению:

\({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{Y(t)}}\text{=}Y^{\text{*}}.\)

Проанализируем теперь поведение экономической системы при функциях спроса (6.22) и предложения (6.21) в долгосрочном аспекте в общем случае. Для этого при решении соответствующего дифференциального уравнения воспользуемся первоначальным выражением проварьированного множителя \(c(t)\) (6.23) с учетом того, что значение константы интегрирования при этом остается прежним. Тогда в долгосрочном аспекте, когда время \(t\) стремится к бесконечности, система может быть охарактеризована пределом:

\({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{Y(t)}}\text{=}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\left( \frac{Y^{\text{*}}M(t)e^{\mathit{kt}}}{\frac{Y^{\text{*}}M(0)}{Y(0)}\text{+}k{\int\limits_{0}^{t}{M(\tau)e^{\mathit{k\tau}}\mathit{d\tau}}}} \right)}.(6.24)\)

Отметим, что \(\frac{\partial}{\partial t}{\int\limits_{0}^{t}{M(\tau)e^{\mathit{k\tau}}\mathit{d\tau}}}\text{=}M(t)e^{\mathit{kt}}\). Следовательно, поскольку производная данного интеграла \(M(t)e^{\mathit{kt}}\), как и уровень дохода \(M(t)\), являются положительными, постольку \(\int\limits_{0}^{t}{M(\tau)e^{\mathit{k\tau}}\mathit{d\tau}}\) монотонно возрастает.

Рассмотрим случай монотонно возрастающей динамики величины \(M(t)e^{\mathit{kt}}\). Такое ее поведение будет преобладающим, поскольку, как правило, размер доходов \(M(t)\) с течением времени увеличивается. Более того, возрастающая динамика \(M(t)e^{\mathit{kt}}\) будет сохраняться даже при убывании дохода потребителей – за исключением крайних случаев, когда последний будет сокращаться с исключительно высокой, экспоненциальной скоростью – быстрее, чем возрастает сомножитель \(e^{\mathit{kt}}\).

Итак, при возрастании \(M(t)e^{\mathit{kt}}\) в силу аналогичной динамики \(\int\limits_{0}^{t}{M(\tau)e^{\mathit{k\tau}}\mathit{d\tau}}\) в пределе (6.24) присутствует неопределенность вида \(\infty/\infty\). Раскроем ее с помощью правила Лопиталя:

\({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{Y(t)}}\text{=}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\left( \frac{\frac{\partial}{\partial t}\left( {Y^{\text{*}}M(t)e^{\mathit{kt}}} \right)}{\frac{\partial}{\partial t}\left( {\frac{Y^{\text{*}}M(0)}{Y(0)}\text{+}k{\int\limits_{0}^{t}{M(\tau)e^{\mathit{k\tau}}\mathit{d\tau}}}} \right)} \right)}\text{=}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{Y^{\text{*}}\left( \frac{\frac{\partial M}{\partial t}e^{\mathit{kt}}\text{+}M(t)ke^{kt}}{\mathit{kM}(t)e^{kt}\mathit{dt}} \right)}}\text{=}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{Y^{\text{*}}\left( {\frac{\overset{˙}{M}}{\mathit{kM}}\text{+}1} \right)}}.\)

Значит, в бесконечно удаленном времени динамика объема производимой и потребляемой продукции будет подчиняться следующему соотношению:

\({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{Y(t)}}\text{=}Y^{\text{*}}\text{+}\frac{Y^{\text{*}}}{k}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\overset{˙}{m}(t)}}.(6.25)\)

Таким образом, долгосрочная динамика экономической системы, когда спрос представлен простейшей зависимостью (6.22), а предложение не учитывает ожидания экономических агентов (6.21)², порождает функцию Энгеля, в соответствии с которой с течением времени, в пределе (при \(t\rightarrow\infty\)) темп прироста денежных доходов становится фактором, определяющим отклонение фактического объема производимой и потребляемой продукции от его потенциального уровня, соответствующего полной загрузке мощностей предприятий, присутствующих на данном рынке.

Частным случаем здесь выступает рассмотренная выше консервативная экономическая политика (\(M(t)\text{=}\mathit{const}\), т.е. \(\overset{˙}{m}\text{=}0\)), при которой отрасль полностью использует имеющийся потенциал и достигает в долгосрочной перспективе равновесного объема производства: \({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{Y(t)}}\text{=}Y^{\text{*}}.\)

Таким образом, можно видеть, что потенциальный объем производства не является величиной, раз и навсегда заданной. С течением времени отрасль может переступать через текущее его значение и развиваться далее.

Введем теперь в анализ ожидания экономических агентов. Рыночное предложение в динамике с учетом ожиданий можно записать в следующем виде:

\(\frac{Y_{t}\text{-}Y^{\text{*}}}{Y^{\text{*}}}\text{=}\frac{\pi_{t}\text{-}\pi_{t}^{e}}{k}.(6.26)\)

Рассмотрим простейшую ситуацию статичных ожиданий, когда прогнозное значение темпа прироста цен в будущем равно его текущему значению: \(\pi_{t}^{e}\text{=}\pi_{t\text{-}1}.\)

Тогда динамическая функция предложения принимает вид:

\(Y_{t}\text{=}Y^{\text{*}}\text{+}\frac{Y^{\text{*}}}{k}\left( {\pi_{t}\text{-}\pi_{t\text{-}1}} \right).(6.27)\)

В непрерывном времени ей соответствует дифференциальное уравнение:

\(Y(t)\text{=}Y^{\text{*}}\text{+}\frac{Y^{\text{*}}}{k}Y^{\text{*}}\overset{˙}{\pi}(t).(6.28)\)

Проанализируем на качественном уровне динамическое взаимодействие спроса (6.21) и предложения при статичных ожиданиях (6.28). Если цены растут быстрее денежных доходов \(\left( {\pi \gt \overset{˙}{m}} \right)\), то объем производимой и покупаемой продукции будет возрастать; и, наоборот, при \(\pi \lt \overset{˙}{m}\), количество товаров на рынке сокращаться. В другом ракурсе: если текущий объем производства превышает потенциальную величину \(\left( {Y \gt Y^{\text{*}}} \right)\), то будут нарастать инфляционные процессы, а при \(Y \lt Y^{\text{*}}\) темп прироста цен будет падать. Фазовый портрет динамики этой экономической системы показан на рис. 6.11. Направленность сил, действующих на рынке в отношении темпа прироста цен и количества продукции, приводит к возникновению «ценовой спирали».

Рассмотрим процесс адаптации экономической системы к регуляторному воздействию (рис. 6.12). Допустим, что в результате проведения стимулирующей экономической политики темп прироста денежных доходов возрастает от уровня \({\overset{˙}{m}}_{0}\) до \({\overset{˙}{m}}_{1}\). Для того чтобы изобразить возникающую ценовую спираль, выразим из уравнений предложения (6.27) и спроса (соответствующего (6.21) при дискретном времени \(Y_{t}\text{=}Y_{t\text{-}1}\text{+}Y_{t\text{-}1}\left( {\overset{˙}{m}\text{-}\pi_{t}} \right)\), где темп прироста доходов покупателей \(\overset{˙}{m}\) предполагается экзогенным параметром) темп прироста уровня цен через количество товара:

\(\pi_{t}\text{=}\pi_{t\text{-}1}\text{+}k\left( \frac{Y_{t}\text{-}Y^{\text{*}}}{Y^{\text{*}}} \right)\text{=}\pi_{t\text{-}1}\text{-}k\text{+}k\frac{Y_{t}}{Y^{\text{*}}};(6.29)\)

\(\pi_{t}\text{=}\overset{˙}{m}\text{-}\frac{Y_{t}\text{-}Y_{t\text{-}1}}{Y_{t\text{-}1}}\text{=}\overset{˙}{m}\text{+}1\text{-}\frac{Y_{t}}{Y_{t\text{-}1}}.(6.30)\)

Здесь подразумевается, что темп прироста денежных доходов, как и другие переменные, является дискретным: \(\overset{˙}{m}\text{=}\frac{M_{t}\text{-}M_{t\text{-}1}}{M_{t\text{-}1}}\).

Из уравнения (6.29) видно, что при \(Y_{t}\text{=}Y^{\text{*}}\) \(\pi_{t}\text{=}\pi_{t\text{-}1}\); а из уравнения (6.30) следует, что при \(Y_{t}\text{=}Y_{t\text{-}1}\), \(\pi_{t}\text{=}\overset{˙}{m}\). Таким образом, график функции предложения \(S_{t}\) проходит через точку с координатами \(\left( {Y^{\text{*}},\pi_{t\text{-}1}} \right)\), а график спроса \(D_{t}\) – через точку \(\left( {Y_{t\text{-}1},\overset{˙}{m}} \right),t \gt 0\) (рис. 6.12).

Допустим, что первоначально, при темпе прироста доходов потребителей \({\overset{˙}{m}}_{0}\), рыночная система характеризовалась функциями спроса и предложения \(D\) и \(S\) соответственно и находилась в состоянии долгосрочного равновесия при \(\pi_{t}\text{=}{\overset{˙}{m}}_{0}\), полностью реализуя свой потенциал \(Y^{\text{*}}\). При увеличении темпа прироста денежных доходов до уровня \({\overset{˙}{m}}_{1}\) спрос в соответствии с уравнением (6.30) сдвигается в положение \(D_{0}\), и возникает новое, краткосрочное равновесие \(E_{0}\) с возросшим темпом прироста цен \(\pi_{0}\) и объемом продукции на рынке \(Y_{0}\).

Поскольку в каждый момент времени уровень предыдущего периода определяет абсолютное значение тангенса угла наклона линии спроса (6.30), при снижении количества продукта ее угловой коэффициент по абсолютной величине в будущем периоде будет возрастать, и, наоборот, при увеличении объема товаров – уменьшаться. Что касается темпа прироста цен, то его текущее значение будет определять параллельное смещение линии предложения в следующий момент времени. Если темп прироста цен увеличивается, то предложение сдвинется вправо-вверх, если он уменьшается – то влево-вниз.

Это значит, что в следующий период (№1) угол наклона линии спроса \((D_{1})\) снизится ввиду увеличения количества продукта в предыдущем периоде \((Y_{0}\text{=}Y^{\text{*}})\), а предложение сдвинется влево-вверх в положение \(S_{0}\) в силу увеличения предыдущего темпа прироста цен \((\pi_{0}\text{=}{\overset{˙}{m}}_{0})\). В результате краткосрочное равновесие переместится в точку \(E_{1}\). Проводя те же рассуждения еще раз, приходим к следующему положению равновесия \(E_{2}\), где темп прироста цен \((\pi_{2})\) оказывается выше темпа прироста денежных доходов \(({\overset{˙}{m}}_{1})\), а текущий объем продукции (\(Y_{2})\) снижается по отношению к предыдущему значению \((Y_{1})\). Это значит, что в последующий период (№3) угловой коэффициент спроса \((D_{3})\) возрастает, в то время как предложение продолжит смещаться влево-вверх (в положение \(S_{3}\)). Рынок попадет в точку краткосрочного равновесия \(E_{3}\). Проводя аналогичную итерацию еще раз, приходим в состояние краткосрочного равновесия \(E_{4}\), когда объем производства и потребления \((Y_{4})\) оказывается ниже экономического потенциала \((Y^{\text{*}})\).

В результате возникает ценовая спираль, которая подчиняется закономерностям, сформулированным выше применительно к непрерывному времени. В итоге после бесконечного числа итераций экономика возвратится на потенциальный уровень выпуска \(Y^{\text{*}}\) при возросшем темпе прироста цен, соответствующем новому темпу роста доходов покупателей \({\overset{˙}{m}}_{1}\).

Будем теперь полагать, что в базовом периоде отрасль функционировала на уровне своего потенциала: \(Y^{\text{*}}\text{=}Y_{t\text{-}1}\). Тогда усиленная статичными ожиданиями динамическая функция предложения (6.27) принимает вид:

\(\frac{Y_{t}\text{-}Y_{t\text{-}1}}{Y_{t\text{-}1}}\text{=}\frac{\pi_{t}\text{-}\pi_{t\text{-}1}}{k}.\)

Рассмотрим теперь ту же модель рыночной динамики в непрерывном времени, когда функция предложения будет характеризоваться дифференциальным уравнением:

\(\frac{\overset{˙}{Y}}{Y}\text{=}\frac{\overset{˙}{\pi}}{k}.(6.31)\)

Запишем условие динамического равновесия спроса (6.21) и предложения (6.31):

\(\frac{\overset{˙}{M}}{M}\text{-}\pi\text{=}\frac{\overset{˙}{\pi}}{k}.\)

Перейдем к логарифмической шкале измерения денежных доходов:

\(\frac{\overset{˙}{\pi}}{k}\text{+}\pi\text{=}\overset{˙}{m}.(6.32)\)

Мы получили неоднородное линейное дифференциальное уравнение относительно темпа прироста цен \(\pi\) и скорости его изменения \(\overset{˙}{\pi}\). Для решения (6.32) вначале рассматриваем соответствующее однородное дифференциальное уравнение \(\overset{˙}{\pi}\text{=}\text{-}\mathit{k\pi}\). Разделяем переменные \(\left( {\frac{\mathit{d\pi}}{\pi}\text{=}\text{-}\mathit{kdt}} \right)\) и интегрируем: \({\int{d\ln\pi}}\text{=}\text{-}k{\int\mathit{dt}}\text{+}\ln c\), т.е. \(\pi\text{=}ce^{\text{-}\mathit{kt}}\).

Далее используем метод вариации постоянной, подставляя общее решение соответствующего однородного уравнения

\(\pi\text{=}c(t)e^{\text{-}\mathit{kt}}(6.33)\)

в неоднородное дифференциальное уравнение (6.32):

\(\overset{˙}{c}\text{=}ke^{\mathit{kt}}\overset{˙}{m}.\)

Применяя к решению данного уравнения метод интегрирования по частям, находим выражение для варьируемого множителя:

\(c(t)\text{=}k{\int\limits_{0}^{t}{\overset{˙}{m}(\tau)e^{\mathit{k\tau}}\mathit{d\tau}}}\text{+}c_{1}\text{=}{\int\limits_{0}^{t}{\overset{˙}{m}(\tau)de^{\mathit{k\tau}}}}\text{+}c_{1}\text{=}\left. {\overset{˙}{m}(\tau)e^{\mathit{k\tau}}} \right|_{0}^{t}\text{-}{\int\limits_{0}^{t}{e^{\mathit{k\tau}}d\overset{˙}{m}}}\text{+}c_{1}\text{=}\overset{˙}{m}(t)e^{\mathit{kt}}\text{-}\overset{˙}{m}(0)\text{-}{\int\limits_{0}^{t}{e^{\mathit{k\tau}}d\overset{˙}{m}}}\text{+}c_{1}.(6.34)\)

Итак, получаем общее решение исходного неоднородного уравнения (6.32):

\(\pi(t)\text{=}\overset{˙}{m}(t)\text{-}\overset{˙}{m}(0)e^{\text{-}\mathit{kt}}\text{-}e^{\text{-}\mathit{kt}}{\int\limits_{0}^{t}{e^{\mathit{k\tau}}d\overset{˙}{m}}}\text{+}c_{1}e^{\text{-}\mathit{kt}}.\)

Константу интегрирования определим по темпу прироста цен в нулевой момент времени: \(\pi(0)\text{=}c_{1}\).

В итоге решение уравнения (6.32) приобретает вид:

\(\pi(t)\text{=}\overset{˙}{m}(t)\text{+}\left( {\pi(0)\text{-}\overset{˙}{m}(0)} \right)e^{\text{-}\mathit{kt}}\text{-}e^{\text{-}\mathit{kt}}{\int\limits_{0}^{t}{e^{\mathit{k\tau}}d\overset{˙}{m}}}\text{=}\overset{˙}{m}(t)\text{+}\left( {\pi(0)\text{-}\overset{˙}{m}(0)} \right)e^{\text{-}\mathit{kt}}\text{-}{\int\limits_{0}^{t}{e^{\text{-}k(t\text{-}\tau)}d\overset{˙}{m}}}.(6.35)\)

В частности, если доходы потребителей растут постоянным темпом \(\overset{˙}{m}(t)\text{=}\overset{˙}{m}\text{=}\mathit{const}\), то интеграл в выражении (6.35) аннулируется, и ценовая динамика будет описываться траекторией:

\(\pi(t)\text{=}\overset{˙}{m}\text{+}\left( {\pi(0)\text{-}\overset{˙}{m}} \right)e^{\text{-}\mathit{kt}}.\)

Очевидно, что в долгосрочной перспективе, при \(t\rightarrow\infty\), темп прироста цен будет асимптотически приближаться к темпу прироста денежных доходов \(\overset{˙}{m}\) (рис. 6.11).

Покажем, что данный вывод сохраняется практически при любом характере изменения доходов потребителей. Для этого преобразуем траекторию ценовой динамики (6.35), подставляя в общее решение однородного уравнения (6.33) первоначальное выражение варьируемого множителя (6.34) и учитывая, что константа интегрирования при этом сохраняет прежнее значение \(\left( {c_{1}\text{=}\pi(0)} \right)\):

\(\pi(t)\text{=}\pi(0)e^{\text{-}\mathit{kt}}\text{+}ke^{\text{-}\mathit{kt}}{\int\limits_{0}^{t}{\overset{˙}{m}(\tau)e^{\mathit{k\tau}}\mathit{d\tau}}}\text{=}\pi(0)e^{\text{-}\mathit{kt}}\text{+}k{\int\limits_{0}^{t}{\overset{˙}{m}(\tau)e^{\text{-}k(t\text{-}\tau)}\mathit{d\tau}}}.\)

Рассмотрим поведение системы в пределе, на бесконечно удаленном временнóм интервале:

\({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\pi(t)}}\text{=}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{\pi(0)\text{+}k{\int\limits_{0}^{t}{\overset{˙}{m}(\tau)e^{\mathit{k\tau}}\mathit{d\tau}}}}{e^{\mathit{kt}}}}.\)

Учитывая, что \(\frac{\partial}{\partial t}{\int\limits_{0}^{t}{\overset{˙}{m}(\tau)e^{\mathit{k\tau}}\mathit{d\tau}}}\text{=}\overset{˙}{m}(t)e^{\mathit{kt}} \gt 0\) при \(\overset{˙}{m}(t) \gt 0\), можно сделать вывод о монотонном росте \(\int\limits_{0}^{t}{\overset{˙}{m}(\tau)e^{\mathit{k\tau}}\mathit{d\tau}}\) с течением времени при увеличении денежных доходов. При этом в пределе выше присутствует неопределенность вида \(\infty/\infty\). Раскроем ее с помощью правила Лопиталя:

\({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\pi(t)}}\text{=}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{\frac{\partial}{\partial t}\left( {\pi(0)\text{+}k{\int\limits_{0}^{t}{\overset{˙}{m}(\tau)e^{\mathit{k\tau}}\mathit{d\tau}}}} \right)}{\frac{\partial e^{\mathit{kt}}}{\partial t}}}\text{=}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\overset{˙}{m}(t)}}.\)

Таким образом, если рыночная система при статичных ожиданиях характеризуется элементарной функцией спроса (6.21), то с течением времени в пределе (при \(t\rightarrow\infty\)) темп прироста цен уравнивается с темпом прироста денежных доходов. При этом выпуск и потребление продукции достигает потенциального уровня. Следовательно, инфляционная спираль в данной модели всегда будет сходится к точке \(\left( {Y^{\text{*}},\overset{˙}{m}} \right)\), где \(Y^{\text{*}}\) – потенциальный выпуск, \(\overset{˙}{m}\text{=}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\overset{˙}{m}(t)}}\) (рис. 6.11). Возможность “взрывной”, “разносящей” динамики цен и объема производства, тем самым, исключается.

Итак, при стимулирующей экономической политике наличие ожиданий является необходимым условием для достижения долгосрочного равновесия в динамическом аспекте.

Рассмотрим теперь видоизменение анализа динамического равновесия при наличии в функции спроса (6.18) некоторого потребительского минимума или автономного потребления \(Y_{A}\):

\(Y\text{=}Y_{A}\text{+}s\frac{M}{P}.(6.36)\)

В силу того, что скорость изменения доходов в реальном выражении представляет собой разность темпов прироста номинальных доходов \(\overset{˙}{m}\) и цен \(\pi\), умноженную на величину реальных доходов

\(\frac{d}{\mathit{dt}}\left( \frac{M}{P} \right)\text{=}\frac{M}{P}\left( {\frac{\mathit{dM}/\mathit{dt}}{M}\text{-}\frac{\mathit{dP}/\mathit{dt}}{P}} \right),(6.37)\)

можно представить динамическую функцию спроса в следующем виде:

\(\overset{˙}{Y}\text{=}s\frac{M}{P}\left( {\frac{\overset{˙}{M}}{M}\text{-}\pi} \right).(6.38)\)

Проанализируем вначале динамическое равновесие при простейшей функции предложения без учета ожиданий (6.22).

Тогда условие динамического равновесия спроса и предложения будет таким:

\(\overset{˙}{Y}\text{=}s\frac{M}{P}\left( {\frac{\overset{˙}{M}}{M}\text{-}k\frac{Y}{Y^{\text{*}}}\text{+}k} \right),\)

или:

\(\overset{˙}{Y}\text{=}s\frac{M}{P}\frac{\overset{˙}{M}}{M}\text{-}\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}\frac{M}{P}Y\text{+}\mathit{ks}\frac{M}{P}.(6.39)\)

Для решения данного неоднородного линейного дифференциального уравнения необходимо вначале решить соответствующее однородное уравнение:

\(\overset{˙}{Y}\text{=}\text{-}\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}\frac{M}{P}Y.\)

Разделяем переменные

\(\frac{\mathit{dY}}{Y}\text{=}\text{-}\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}\frac{M}{P}\mathit{dt}\)

и интегрируем его:

\(\ln Y\text{=}\text{-}\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int{\frac{M}{P}\mathit{dt}}}\text{+}\ln c.\)

Потенцируя, получаем решение анализируемого однородного дифференциального уравнения, к которому применяем метод вариации постоянной:

\(Y(t)\text{=}c(t)e^{\text{-}\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}.\)

Подставляя его в исходное неоднородное уравнение, после очевидных преобразований получаем следующее дифференциальное уравнение для варьируемого множителя:

\(\mathit{dc}\text{=}B\frac{M}{P}\overset{˙}{m}e^{\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}dt\text{+}\mathit{ks}\frac{M}{P}e^{\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}\mathit{dt}.\)

Интегрируем данное уравнение:

\(c\text{=}s{\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}(\tau)\overset{˙}{m}(\tau)e^{\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{\tau}{\frac{M}{P}{(\xi)}\mathit{d\xi}}}}\mathit{d\tau}}}\text{+}Y^{\text{*}}e^{\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}\text{+}c_{1}.\)

Подстановка данного соотношения в общее решение однородного уравнения дает общее решение исходного неоднородного уравнения (6.39):

\(Y(t)\text{=}Y^{\text{*}}\text{+}\left( {c_{1}\text{+}s{\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}(\tau)\overset{˙}{m}(\tau)e^{\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{\tau}{\frac{M}{P}{(\xi)}\mathit{d\xi}}}}\mathit{d\tau}}}} \right)e^{\text{-}\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}.\)

По объему товарной массы в нулевой момент времени определим константу интегрирования: \(c_{1}\text{=}Y(0)\text{-}Y^{\text{*}}\).

В итоге решение уравнения (6.39) таково:

\(Y(t)\text{=}Y^{\text{*}}\text{+}\left( {Y(0)\text{-}Y^{\text{*}}} \right)e^{\text{-}\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}\text{+}se^{\text{-}\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}{\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}(\tau)\overset{˙}{m}(\tau)e^{\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{\tau}{\frac{M}{P}{(\xi)}\mathit{d\xi}}}}\mathit{d\tau}}}.(6.40)\)

В частности, если проводится консервативная экономическая политика, поддерживающая уровень доходов на фиксированном, неизменном во времени уровне, когда \(\overset{˙}{m}\text{=}0\), то интеграл в выражении (6.40) аннулируется, и траектория динамики объема продукции на рынке упрощается:

\(Y(t)\text{=}Y^{\text{*}}\text{+}\left( {Y(0)\text{-}Y^{\text{*}}} \right)e^{\text{-}\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}.\)

Поскольку \(\frac{d}{\mathit{dt}}{\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}\mathit{d\tau}}}\text{=}\frac{M}{P}(t) \gt 0\), постольку \(\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}\mathit{d\tau}}\) монотонно возрастает. Следовательно, т.к. \(\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}} \gt 0\), \({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}e^{\text{-}\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}\mathit{d\tau}}}}}\text{=}0\). Значит, в данной, упрощенной ситуации стационарности денежных доходов в долгосрочной перспективе отраслевое производство будет выходить на уровень потенциала:

\({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{Y(t)}}\text{=}Y^{\text{*}}.\)

Рассмотрим в долгосрочном плане поведение системы в общем случае (6.40):

\({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{Y(t)}}\text{=}Y^{\text{*}}\text{+}\left( {Y(0)\text{-}Y^{\text{*}}} \right){\lim\limits_{t\rightarrow\infty}e^{\text{-}\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}}\text{+}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{s{\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}(\tau)\overset{˙}{m}(\tau)e^{\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{\tau}{\frac{M}{P}{(\xi)}\mathit{d\xi}}}}\mathit{d\tau}}}}{e^{\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}}}.\)

Поскольку \(\frac{d}{\mathit{dt}}{\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}(\tau)\overset{˙}{m}(\tau)e^{\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{\tau}{\frac{M}{P}{(\xi)}\mathit{d\xi}}}}\mathit{d\tau}}}\text{=}\frac{M}{P}(t)\overset{˙}{m}(t)e^{\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}{(\tau)}\mathit{d\tau}}}} \gt 0\) при \(\overset{˙}{m}(t) \gt 0\), постольку при стимулирующей экономической политике \(\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}(\tau)\overset{˙}{m}(\tau)e^{\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{\tau}{\frac{M}{P}{(\xi)}\mathit{d\xi}}}}\mathit{d\tau}}\) монотонно возрастает. Следовательно, в последнем пределе выше присутствует неопределенность вида \(\infty/\infty\). Раскроем ее с помощью правила Лопиталя:

\({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{s{\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}(\tau)\overset{˙}{m}(\tau)e^{\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{\tau}{\frac{M}{P}{(\xi)}\mathit{d\xi}}}}\mathit{d\tau}}}}{e^{\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}}}\text{=}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{\frac{d}{\mathit{dt}}s{\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}(\tau)\overset{˙}{m}(\tau)e^{\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{\tau}{\frac{M}{P}{(\xi)}\mathit{d\xi}}}}\mathit{d\tau}}}}{\frac{de^{\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}}{\mathit{dt}}}}\text{=}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{s\frac{M}{P}(t)\overset{˙}{m}(t)e^{\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}}{\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}\frac{M}{P}(t)e^{\frac{\mathit{ks}}{Y^{\text{*}}}{\int\limits_{0}^{t}{\frac{M}{P}{(\tau)}\mathit{d\tau}}}}}}\text{=}\frac{Y^{\text{*}}}{k}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\overset{˙}{m}(t)}}.\)

Следовательно, в бесконечно удаленный момент времени существует возрастающая зависимость объемов производства и потребления от темпа прироста денежных доходов (6.25). При этом в условиях рестриктивной экономической политики, когда \(\overset{˙}{m}(t)\text{=}0\), объем производимой и продаваемой продукции будет стремиться к потенциальному значению: \({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{Y(t)}}\text{=}Y^{\text{*}}.\)

Таким образом, динамические функции предложения при отсутствии ожиданий (6.22) и спроса как при наличии автономного потребления (6.38), так и без такового (6.21) в пределе, на бесконечно удаленном временнóм интервале порождают одну и ту же функцию Энгеля (6.25), т.е. данные разновидности модели динамического взаимодействия спроса и предложения оказываются асимптотически эквивалентными.

Если усилить ожиданиями функцию совокупного предложения, то поведение макроэкономической системы будет описываться уравнениями (6.28), (6.38).

В дискретном времени совокупное предложение с учетом ожиданий описывается соотношением (6.27), а уравнение совокупного спроса, соответствующее (6.38), будет иметь вид:

\(Y_{t}\text{=}Y_{t\text{-}1}\text{+}s\frac{M_{t}}{P_{t}}\left( {{\overset{˙}{m}}_{t}\text{-}\pi_{t}} \right).(6.41)\)

При этом величина доходов и уровень цен берутся в каждый данный момент времени, т.е. их величина является результатом экономической политики и разворачивающихся процессов ценовой динамики.

Колебательные траектории характеристик экономической системы будут аналогичны проанализированной ранее ситуации при элементарной функции спроса (6.21) с той лишь разницей, что в силу (6.37) при \(\overset{˙}{m}(t) \gt \pi(t)\) \(\frac{d}{\mathit{dt}}\left( \frac{M}{P} \right) \gt 0\), т.е. реальные доходы возрастают, а значит, увеличивается абсолютное значение углового коэффициента линии спроса (6.41). Соответственно, при \(\overset{˙}{m}(t) \lt \pi(t)\), \(\frac{d}{\mathit{dt}}\left( \frac{M}{P} \right) \lt 0\), и отношение \(\frac{M(t)}{P(t)}\) убывает, следовательно, линия спроса (6.41) становится более «пологой».

При этом возникают ценовые спирали, соответствующие различным видам экономической политики государства. Для того чтобы изобразить траекторию динамики рыночной системы, выразим из уравнения спроса (6.41) темп прироста цен через количество продукции:

\(\pi_{t}\text{=}{\overset{˙}{m}}_{t}\text{+}\frac{P_{t}Y_{t\text{-}1}}{sM_{t}}\text{-}\frac{P_{t}Y_{t}}{sM_{t}}.(6.42)\)

Уравнение предложения (6.27) принимает вид (6.29).

Очевидно, что при \(\overset{˙}{m}(t) \gt \pi(t)\) отношение \(\frac{M(t)}{P(t)}\) будет возрастать, а значит, график данной обратной функции спроса (6.42) становится более «пологим». Соответственно, при \(\overset{˙}{m}(t) \lt \pi(t)\) реальные доходы убывают, следовательно, будет увеличиваться угловой коэффициент линии спроса (6.42). Поскольку в свободном члене линии спроса (6.42) присутствуют величины \(Y_{t\text{-}1}\) и \(\frac{M_{t}}{P_{t}}\), постольку точка пересечения данного графика с вертикальной координатной осью будет зависеть от их соотношения.

Как следует из уравнения (6.29), при \(Y_{t}\text{=}Y^{\text{*}}\) \(\pi_{t}\text{=}\pi_{t\text{-}1}\); уравнение спроса с учетом автономного потребления (6.42) свидетельствует о том, что при \(Y_{t}\text{=}Y_{t\text{-}1}\), \(\pi_{t}\text{=}{\overset{˙}{m}}_{t}\). Таким образом, как и при элементарной функции спроса при отсутствиии автономного потребления (6.21), график функции \(S_{t}\) проходит через точку с координатами \(\left( {Y^{\text{*}},\pi_{t\text{-}1}} \right)\), а график \(D_{t}\) – через точку \(\left( {Y_{t\text{-}1},{\overset{˙}{m}}_{t}} \right)\), \(t \gt 0\).

Рассмотрим процесс адаптации экономической системы к стимулирующему регуляторному воздействию (рис. 6.13). Пусть исходно, при темпе прироста денежных доходов \({\overset{˙}{m}}_{0}\), рыночная система характеризовалась функциями спроса \(D\) и предложения \(S\) и находилась в состоянии долгосрочного равновесия при \(\pi_{t}\text{=}{\overset{˙}{m}}_{0}\), полностью реализуя свой потенциал \(Y^{\text{*}}\). Допустим, что в результате проведения стимулирующей экономической политики темп прироста денежных доходов возрастает от уровня \({\overset{˙}{m}}_{0}\) до \({\overset{˙}{m}}_{1}\) и затем остается постоянным.

Происходит сдвиг функции спроса в положение \(D_{0}\), и в качестве новой точки отсчета получаем краткосрочное равновесие \(E_{0}\) с возросшим темпом прироста цен \(\pi_{0} \lt {\overset{˙}{m}}_{1}\) и объемом продукции \(Y_{0}\). Это значит, что в следующий момент времени предложение (6.29) сдвинется влево-вверх, а спрос переместится вправо-вверх и повернется против часовой стрелки \((D_{1})\). При этом рынок окажется в точке \(E_{1}\). Повторная итерация переведет систему в положение, когда темп прироста цен уже превысит темп прироста денежных доходов \((\pi_{2} \gt {\overset{˙}{m}}_{1})\), в количество товаров начнет снижаться \((Y_{2} \lt Y_{1})\). Это значит, что в следующий момент времени спрос уже сдвинется вниз и повернется по часовой стрелке \((D_{3})\), тогда как предложение продолжит смещаться вверх \((S_{3})\). Следующая аналогичная итерация переведет рынок из положения \(E_{3}\) в точку \(E_{4}\). При этом темп прироста цен начнет снижаться, а объем товарной массы упадет ниже потенциала.

Таким образом, возникает ценовая спираль, и рыночная система возвращается на потенциальный уровень производства и потребления при возросшем темпе прироста цен, соответствующем новому темпу прироста денежных доходов \({\overset{˙}{m}}_{1}\).

Однократное экзогенное воздействие, например, единовременная индексация доходов, в долгосрочном плане никак не скажется на параметрах равновесия (рис. 6.14). В результате первоначального, мгновенного увеличения темпа прироста денежных доходов (который сразу же возвращается на исходный уровень) линия спроса \(D\), задаваемая соотношением (6.42), перемещается вверх в положение \(D_{0}\). \(D_{1}\) сдвигается выше по отношению к \(D_{0}\) за счет возросшего объема продукта и, поскольку \(\overset{˙}{m} \lt \pi\), поворачивается по часовой стрелке. \(S_{1}\) окажется выше и левее по сравнению с \(S\) в силу возросшего темпа прироста цен в предыдущий период. В новом равновесии \(E_{1}\) темп прироста цен увеличится по сравнению с предыдущим значением \(\pi_{0}\), оставаясь выше темпа прироста денежных доходов \(\overset{˙}{m}\); а количество товаров \((Y_{1})\) окажется ниже предыдущего уровня \((Y_{0})\). Это значит, что в следующий момент предложение продолжит сдвигаться вверх – в положение \(S_{2}\), а спрос \((D_{2})\) сместится вниз, поворачиваясь по часовой стрелке. В новом краткосрочном равновесии \(E_{2}\) и количество продукции, и темп прироста цен сократятся по сравнению с предыдущими значениями. Теперь уже не только спрос, но и предложение начнет сдвигаться вниз. Ценовая спираль возвращает рынок в первоначальное состояние долгосрочного равновесия E, соответствующее полной реализации экономического потенциала при неизменном темпе прироста денежных доходов и прежнем темпе прироста цен \(\left( {\pi_{0}\text{=}{\overset{˙}{m}}_{0}} \right)\).

Проанализируем теперь динамическое взаимодействие спроса при наличии автономного потребления (6.38) и предложения с учетом ожиданий (6.31).

Воспользуемся выражением разности между фактическим и автономным потреблением через долю реального дохода \(Y\text{-}Y_{A}\text{=}s\frac{M}{P}\), которое вытекает из соотношения (6.36), в функции спроса (6.38)

\(\overset{˙}{Y}\text{=}s\frac{M}{P}\left( {\frac{\overset{˙}{M}}{M}\text{-}\pi} \right)\text{=}\left( {Y\text{-}Y_{A}} \right)\left( {\overset{˙}{m}\text{-}\pi} \right)\)

и рассчитаем далее темп прироста количества продукции на рынке:

\(\frac{\overset{˙}{Y}}{Y}\text{=}\left( {\overset{˙}{m}\text{-}\pi} \right)\left( {1\text{-}\frac{Y_{A}}{Y}} \right).\)

Приравнивая данную функцию спроса предложению (6.31), получаем следующее уравнение, характеризующее динамику показателей рыночного равновесия:

\(\frac{\overset{˙}{\pi}}{k}\text{=}\left( {\overset{˙}{m}\text{-}\pi} \right)\left( {1\text{-}\frac{Y_{A}}{Y}} \right),\)

или

\(\overset{˙}{\pi}\text{+}k\pi\left( {1\text{-}\frac{Y_{A}}{Y}} \right)\text{=}\overset{˙}{m}\left( {1\text{-}\frac{Y_{A}}{Y}} \right).(6.43)\)

Решая данное неоднородное линейное дифференциальное уравнение, выписываем соответствующее однородное уравнение: \(\overset{˙}{\pi}\text{+}k\pi\left( {1\text{-}\frac{Y_{A}}{Y}} \right)\text{=}0.\)

Разделяя переменные \(\frac{\mathit{d\pi}}{\pi}\text{=}k\left( {\frac{Y_{A}}{Y}\text{-}1} \right)\mathit{dt}\), интегрируем его:

\(\ln\pi\text{=}k{\int{\left( {\frac{Y_{A}}{Y}\text{-}1} \right)\mathit{dt}}}\text{+}\ln c.\)

Потенцируя, получаем решение анализируемого однородного дифференциального уравнения, к которому применяем метод вариации постоянной:

\(\pi(t)\text{=}c(t)e^{k{\int\limits_{0}^{t}{{({\frac{Y_{A}}{Y{(\tau)}}\text{-}1})}\mathit{d\tau}}}}.\)

Подставляя его в исходное неоднородное уравнение, после очевидных преобразований получаем следующее дифференциальное уравнение для варьируемого множителя:

\(\overset{˙}{c}\text{=}k\overset{˙}{m}(t)\left( {1\text{-}\frac{Y_{A}}{Y(t)}} \right)e^{k{\int\limits_{0}^{t}{{({1\text{-}\frac{Y_{A}}{Y{(\tau)}}})}\mathit{d\tau}}}}.\)

Интегрируем данное уравнение:

\(c\text{=}k{\int\limits_{0}^{t}{\overset{˙}{m}(\tau)\left( {1\text{-}\frac{Y_{A}}{Y(\tau)}} \right)e^{k{\int\limits_{0}^{\tau}{{({1\text{-}\frac{Y_{A}}{Y{(\xi)}}})}\mathit{d\xi}}}}\mathit{d\tau}}}\text{+}c_{1}.\)

Подстановка данного соотношения в общее решение однородного уравнения

\(\pi(t)\text{=}\left( {c_{1}\text{+}k{\int\limits_{0}^{t}{\overset{˙}{m}(\tau)\left( {1\text{-}\frac{Y_{A}}{Y(\tau)}} \right)e^{k{\int\limits_{0}^{\tau}{{({1\text{-}\frac{Y_{A}}{Y{(\xi)}}})}\mathit{d\xi}}}}\mathit{d\tau}}}} \right)e^{k{\int\limits_{0}^{t}{{({\frac{Y_{A}}{Y{(\tau)}}\text{-}1})}\mathit{d\tau}}}}.\)

с учетом начального условия \(\pi(0)\text{=}c_{1}\) дает общее решение исходного неоднородного уравнения (6.43):

\(\pi(t)\text{=}\pi(0)e^{k{\int\limits_{0}^{t}{{({\frac{Y_{A}}{Y{(\tau)}}\text{-}1})}\mathit{d\tau}}}}\text{+}ke^{k{\int\limits_{0}^{t}{{({\frac{Y_{A}}{Y{(\tau)}}\text{-}1})}\mathit{d\tau}}}}{\int\limits_{0}^{t}{\overset{˙}{m}(\tau)\left( {1\text{-}\frac{Y_{A}}{Y(\tau)}} \right)e^{k{\int\limits_{0}^{\tau}{{({1\text{-}\frac{Y_{A}}{Y{(\xi)}}})}\mathit{d\xi}}}}\mathit{d\tau}}}.\)

Рассмотрим в долгосрочном плане поведение данной рыночной системы, пользуясь для этого, как и ранее правилом Лопиталя:

\({\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\pi(t)}}\text{=}\pi(0){\lim\limits_{t\rightarrow\infty}e^{k{\int\limits_{0}^{t}{{({\frac{Y_{A}}{Y{(\tau)}}\text{-}1})}\mathit{d\tau}}}}}\text{+}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{k{\int\limits_{0}^{t}{\overset{˙}{m}(\tau)\left( {1\text{-}\frac{Y_{A}}{Y(\tau)}} \right)e^{k{\int\limits_{0}^{\tau}{{({1\text{-}\frac{Y_{A}}{Y{(\xi)}}})}\mathit{d\xi}}}}\mathit{d\tau}}}}{e^{k{\int\limits_{0}^{t}{{({1\text{-}\frac{Y_{A}}{Y{(\tau)}}})}\mathit{d\tau}}}}}}\text{=}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{k\frac{d}{\mathit{dt}}{\int\limits_{0}^{t}{\overset{˙}{m}(\tau)\left( {\frac{Y_{A}}{Y(\tau)}\text{-}1} \right)e^{k{\int\limits_{0}^{\tau}{{({1\text{-}\frac{Y_{A}}{Y{(\xi)}}})}\mathit{d\xi}}}}\mathit{d\tau}}}}{\frac{de^{k{\int\limits_{0}^{t}{{({1\text{-}\frac{Y_{A}}{Y{(\tau)}}})}\mathit{d\tau}}}}}{\mathit{dt}}}}\text{=}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{k\overset{˙}{m}(t)\left( {1\text{-}\frac{Y_{A}}{Y(t)}} \right)e^{k{\int\limits_{0}^{t}{{({1\text{-}\frac{Y_{A}}{Y{(\tau)}}})}\mathit{d\tau}}}}}{k\left( {1\text{-}\frac{Y_{A}}{Y(t)}} \right)e^{k{\int\limits_{0}^{t}{{({1\text{-}\frac{Y_{A}}{Y{(\tau)}}})}\mathit{d\tau}}}}}}\text{=}{\lim\limits_{t\rightarrow\infty}{\overset{˙}{m}(t)}}.\)

Следовательно, в бесконечно удаленном периоде при непрерывном, как и при дискретном, течении времени уравниваются темпы прироста цен и денежных доходов.

Итак, нами проанализирована динамика рыночной системы, описываемой функциями спроса при наличии и отсутствии автономного потребления и предложения с учетом и без учета ожиданий. Решение возникающих при этом дифференциальных уравнений показывает, что экзогенная подпитка доходов населения может стимулировать увеличение потенциального уровня производства и потребления. В частности, при отсутствии ожиданий функции спроса как с учетом, так и без учета автономного потребления оказываются асимптотически эквивалентными, генерируя функции Энгеля, отражающие возрастающую зависимость между денежными доходами покупателей и объемом производимой и потребляемой продукции.

---

1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – 2-е изд. – М.: Наука, 1969.↩︎

2. За исключением вырожденных ситуаций, соответствующих чрезвычайно высокой, превышающей экспоненциальную, скорости сокращения доходов.↩︎